2023-2024學(xué)年湖北省武漢光谷未來學(xué)校九年級上冊月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期九年級自我檢測月練習(xí)練習(xí)時間：12．18學(xué)科：數(shù)學(xué)滿分：120分時間：120分鐘一．選擇題（共10小題）1．事件：“在只裝有2個紅球和6個黑球的袋子里，摸出一個白球”是（）A．不確定事件 B．隨機事件 C．必然事件 D．不可能事件2．中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以點C為圓心，以3cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相離5．某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由元降到了元，設(shè)平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是（

）A． B．C． D．6．已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A．7 B．8 C．9 D．107．如圖所示，把繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，若點恰好是邊的中點，，則點運動到點的位置時，所經(jīng)過的路線長為（

）A． B． C． D．8．若拋物線的對稱軸是直線，且經(jīng)過點，則使函數(shù)值成立的x的取值范圍是（）A． B．或 C． D．或9．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．若，，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．10．若對于任意非零實數(shù)，拋物線總不經(jīng)過點，則符合條件的點（

）A．有且只有1個 B．有且只有2個 C．有且只有3個 D．有無窮多個二．填空題（共6小題）11．在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標是.12．用一條長40cm的繩子圍成一個面積為64cm2的矩形．設(shè)矩形的一邊長為xcm，則可列方程為．13．如圖所示，三角形ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，則它的內(nèi)切圓半徑為cm．14．現(xiàn)有四張完全相同的刮刮卡，涂層下面的文字分別是“我”、“愛”、“中”、“國”．小亮從中隨機抽取兩張并刮開，則這兩張刮刮卡上的文字恰好是“愛”和“國”的概率是．15．二次函數(shù)的大致圖象如圖所示，頂點坐標為，下列結(jié)論：①；②；③若方程有兩個根和，且，則；④的最小值為．其中正確結(jié)論的是．16．如圖，在等邊中，，過點作交的平分線于點，點為上的一點，點為上的一點，，連接，則的最小值是．三．解答題（共8小題）17．若是方程的一個根，求的值和方程的另一個根．18．如圖，等腰中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，它們交于點M．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．19．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和”，例如．桌面上有4張正面分別標有數(shù)字5，6，7，8的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余均相同，現(xiàn)將它們背面向上洗勻．（注：只有1和它本身兩個因數(shù)且大于1的正整數(shù)叫做素數(shù)．）(1)求隨機翻開一張卡片，正面數(shù)字是素數(shù)的概率．(2)先隨機翻開一張卡片記錄上面的數(shù)字，再從余下的3張中隨機翻開一張記錄上面的數(shù)字，請用列表或畫樹狀圖，求翻到兩個數(shù)之和為偶數(shù)的概率．20．如圖，已知AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分別為E、F．(1)求證：2OE=CD；(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求陰影部分的面積．21．如圖是由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示）．(1)在圖1中為格點三角形，經(jīng)過兩個格點，交于點．①畫弦，使；②畫出圓心；(2)在圖2中，為上兩點，其中為格點，點為與網(wǎng)格線交點．①將弦繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到（與對應(yīng)，與對應(yīng)），畫線段；②連接，畫弦，使平分．22．如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器，將發(fā)石車置于山坡底部處，以點為原點，水平方向為軸方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，將發(fā)射出去的石塊當作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線的一部分，山坡上有一堵防御墻，其豎直截面為，墻寬米，與軸平行，點與點的水平距離為米、垂直距離為米．(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為米，①求拋物線的解析式；②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部上（包括端點、），求的取值范圍，23．點為外一點，．(1)如圖1，，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，若___________．24．如圖1，拋物線與軸相交于點，直線與軸相交于點，與拋物線有公共點．(1)求證：直線與拋物線只有唯一的公共點；(2)過點作軸于點，連接，證明：；(3)如圖2，直線交新拋物線于兩點，連接交軸于點．若，說明直線必過定點，并求此定點的坐標．參考答案與解析1．D【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念逐項判定即可．【詳解】解：“在只裝有2個紅球和8個黑球的袋子里，摸出一個白球”是不可能事件，故選D．【點睛】本題考查了隨機事件，解本題的關(guān)鍵是掌握：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；;不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【詳解】解：選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；選項A、B、C均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，故選：D．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．3．D【分析】方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即計算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】過點C作于D，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CD，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】解：過點C作于D，如圖，∵，BC=4cm，∴cm，∵，∴以點C為圓心，以3cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是相交；故選：A.【點睛】本題考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握直線與圓位置關(guān)系的判定是關(guān)鍵.5．D【分析】根據(jù)原售價降低率）得出兩次降價后的價格，然后即可列出方程．【詳解】解：設(shè)平均每月降低的百分率為x，依題意得：，故選：D【點睛】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵在于理解題意列出方程.6．A【分析】結(jié)合一元二次方程根的定義，以及根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程根的定義，以及根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程有兩個實數(shù)根，，則，，掌握以上公式是解題關(guān)鍵．7．A【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，弧長的求解，含角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求得和．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，∵為的中點，∴∴，即為等邊三角形，∴，∴，∴，由勾股定理可得：∴點運動到點的位置時，所經(jīng)過的路線長為故選：A8．D【分析】根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線與x軸的另一交點為，再由，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，且經(jīng)過點，∴拋物線與x軸的另一個交點為，∵，∴使函數(shù)值成立的x的取值范圍是或．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】如圖設(shè)交于．首先證明是，，推出，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖設(shè)交于．，，，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解，根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的不等式，然后化簡，根據(jù)題意求解即可．【詳解】解：對于任意非零實數(shù)，拋物線總不經(jīng)過點，則即∵任意非零實數(shù)∴或或點坐標為，，則符合條件的點有且僅有三個，故選：C11．【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特點“橫、縱坐標都互為相反數(shù)”，即可解答．【詳解】點關(guān)于原點對稱的點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查關(guān)于原點對稱的點的坐標特點．掌握關(guān)于原點對稱的點的橫、縱坐標都互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．12．【詳解】矩形的一邊長為xcm，則另一邊長為，因為矩形的面積為64cm2，所以，．故答案為：．13．2【分析】首先根據(jù)圓切線的性質(zhì)得出四邊形DCEO是正方形，然后利用切線長定理得出內(nèi)切圓半徑和三角形邊長的關(guān)系，列出方程組求解即可．【詳解】解：如圖所示：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為R，切點分別為D、E、F，∵CD=CE，BE=BF，AF=AD，∵OD⊥AC，OE⊥BC，∴四邊形ODCE是正方形，即CD=CE=R，∴AC-CD=AB-BF，即6-R=10-BF①BC-CE=AB-AF，即8-R=BF②，①②聯(lián)立得，R=2．故答案為：2．【點睛】此題考查了直角三角形內(nèi)切圓半徑，切線長定理的運用，解題的關(guān)鍵是作出半徑構(gòu)造出正方形找到半徑和三角形邊長的關(guān)系．14．【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，進行求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩張刮刮卡上的文字恰好是“愛”和“國”的結(jié)果有2種，∴這兩張刮刮卡上的文字恰好是“愛”和“國”的概率是：，故答案為：．【點睛】此題考查了樹狀圖法求概率，熟練掌握方法是解題的關(guān)鍵．15．②③④【分析】根據(jù)拋物線圖象判斷參數(shù)符號判斷①，由頂點坐標可得b=4a、c=-5a，進而判斷②；根據(jù)拋物線與x軸的交點坐標為（-5，0）和（1，0），可判斷③；再把b=4a、c=-5a代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可判斷④，即可．【詳解】解：觀察圖象得：拋物線的開口向上，對稱軸在y軸的左側(cè)，交y軸的負半軸，∴a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①錯誤；∵頂點坐標為，∴，∴，∴拋物線的解析式為，∴，故②正確；當y=0時，，解得：或1，即拋物線與x軸的交點坐標為（-5，0）和（1，0），∵方程有兩個根和，且，∴，故③正確；∵，∴，∴當時，有最小值，最小值為，故④正確．∴正確結(jié)論的是②③④．故答案為：②③④【點睛】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．16．【分析】過點D作，取，連接，，過點作于點M，過點作，交的延長線于點N，延長交于點H，證明，得出，說明，得出當、、三點共線時，最小，即最小，且最小值為，利用勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：過點D作，取，連接，，過點作于點M，過點作，交的延長線于點N，延長交于點H，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當、、三點共線時，最小，即最小，且最小值為，∵，∴，根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，負值舍去，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)三角形的判定，證明．17．的值為，方程的另一個根為．【分析】本題考查了一元二次方程的根，以及一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是將代入方程中，正確求得，進而求解．【詳解】解：是方程的一個根，則，解得，則方程為：，即，解得，，即的值為，方程的另一個根為．18．(1)見解析(2)50°【分析】(1)根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證得，據(jù)此即可證得；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，即可求得．【詳解】（1）證明：∵繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，即，∵，∴，在與中，∴，∴；（2）解：，∴∵，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．19．(1)(2)【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）利用列表法或樹狀圖法得出所有可能及滿足題意的可能，然后利用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：5，6，7，8中素數(shù)有5和7，正面數(shù)字是素數(shù)的概率為；（2）列表如下：56785111213611131471213158131415共有12種結(jié)果，其中兩個數(shù)之和為偶數(shù)有4種，∴．【點睛】題目主要考查利用列表法或樹狀圖法求概率及概率公式，熟練掌握列表法或樹狀圖法是解題關(guān)鍵．20．(1)見解析(2)2π-【分析】（1）連接BD，先證，，再根據(jù)垂徑定理，證得，最后通過等量代換證得結(jié)論．（2）將代入∠BAD+∠EOF=150°，結(jié)合，解得，，由，分別求得、、，計算即可．【詳解】（1）證明：連接BD，∵AD是⊙O的直徑，B為圓上的點，∴，∵OE⊥AB，∴，∴，∴，∵AD是⊙O的直徑，即O為AD的中點，∴E為AB的中點，∴．∵AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點，BC⊥AD，∴，∴，即．（2）解：∵，又∵∠BAD+∠EOF=150°，∴，即．∵，∴，∴，．如圖，連接BD，∵AD=4，AD是⊙O的直徑，，∴．同理，，，，∴，．∵AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點，BC⊥AD，∴．∵AD=4，，∴．，，，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理，中位線的判定及性質(zhì)，扇形相關(guān)的陰影面積計算，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．21．(1)①見解析；②見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）①如圖所示，取格點F，連接交于點E，點E即為所求；②如圖所示，連接交格線于點O，點O即為所求；（2）①如圖所示，取格點E以及與格線的交點F，連接，則即為所求；②如圖所示，取格點W以及與格線的交點M，連接并延長交于G，連接，則即為所求．【詳解】（1）解：①如圖所示，取格點F，連接交于點E，點E即為所求；由網(wǎng)格的特點可知，則；②如圖所示，連接交格線于點O，點O即為所求；由90度角所對的弦是直徑可得是的直徑，由點O在線段的垂直平分線上可知點O即為所求；（2）解：①如圖所示，取格點E以及與格線的交點F，連接，則即為所求；由網(wǎng)格的特點可知，則點E即為所求；由網(wǎng)格的特點可得，再由可證明，則，易證明，進而可證明，即，則點F即為所求；②如圖所示，取格點W以及與格線的交點M，連接并延長交于G，連接，則即為所求；易證明，則，由圓內(nèi)接四邊形對角互補可得，由平角的定義可得，∴，∴，∴，∴，即平分．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，弧，弦與圓周角之間的關(guān)系，等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，畫旋轉(zhuǎn)圖形，確定圓心的位置等等，熟知圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．22．(1)；②石塊能飛越防御墻；(2)【分析】（1）①根據(jù)題意得拋物線解析式為：，待定系數(shù)法求解析式即可求解；②根據(jù)題意，得出，將代入解析式計算，即可求解．（2）依題意得出，進而根據(jù)以及原點分別待定系數(shù)法求解析式即可求解．【詳解】（1）解：①∵發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為米，∴拋物線解析式為：，將點代入得，，解得：，∴拋物線解析式為，∴，②∵點與點的水平距離為米、垂直距離為米．∴，當時，，∴石塊能飛越防御墻；（2）∵，，∴當經(jīng)過點，時，，解得：.當經(jīng)過點，時，，解得：∴要使石塊恰好落在防御墻頂部上（包括端點、），的取值范圍為【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．23．(1)見