2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題09 解析幾何專題（數(shù)學(xué)文化）含解析

2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題09解析幾何專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形截某圓錐得到橢圓，且與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，運(yùn)用中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國(guó)際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時(shí)代的中國(guó)新形象、新夢(mèng)想．會(huì)徽?qǐng)D形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運(yùn)動(dòng)員的英姿．中間舞動(dòng)的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場(chǎng)、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有參賽運(yùn)動(dòng)員應(yīng)以公正、坦誠(chéng)的運(yùn)動(dòng)員精神在比賽場(chǎng)上相見(jiàn)．其中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為，若雙曲線C以為焦點(diǎn)、以直線為一條漸近線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022春·云南曲靖·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖乙），則橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑為（

）

A．3 B．4 C．5 D．64．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓C為“最美橢圓”，且以橢圓C上一點(diǎn)P和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（

）．A． B．C． D．5．（2022秋·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題一般的描述是：已知點(diǎn)、是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大?問(wèn)題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B．2 C． D．46．（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谥校┑聡?guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)天體運(yùn)行軌道是橢圓，已知地球運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)在它的一個(gè)焦點(diǎn)上，若軌道近日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離之比為，那么地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大.”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)，兩點(diǎn)且和射線相切的圓與射線的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B． C．1或 D．1或8．（2022秋·北京·高二北大附中?？计谀┕?世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯利用垂直于母線的平面去截頂角分別為銳角、鈍角和直角的圓錐，發(fā)現(xiàn)了三種圓錐曲線.之后，數(shù)學(xué)家亞理士塔歐、歐幾里得、阿波羅尼斯等都對(duì)圓錐曲線進(jìn)行了深入的研究.直到3世紀(jì)末，帕普斯才在其《數(shù)學(xué)匯編》中首次證明：與定點(diǎn)和定直線的距離成定比的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，定比小于、大于和等于1分別對(duì)應(yīng)橢圓、雙曲線和拋物線.已知是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|=4，則下列關(guān)于軌跡的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線B．到兩點(diǎn)距離之比等于2的點(diǎn)的軌跡是圓C．到兩點(diǎn)距離之和等于5的點(diǎn)的軌跡是橢圓D．到兩點(diǎn)距離之差等于3的點(diǎn)的軌跡是雙曲線9．（2021秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明．經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明．他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.如圖②，一個(gè)半徑為的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長(zhǎng)軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn)．直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若的斜率之積為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C． D．12．（2022秋·北京·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（

）A． B． C． D．13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1949年公布的《國(guó)旗制法說(shuō)明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn)．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在唐詩(shī)“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題16．（2020秋·重慶巴南·高二重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2020年11月24日，我國(guó)在中國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)，用長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號(hào)探測(cè)器，它將首次帶月壤返回地球，我們離月球的“距離”又近一步了.已知點(diǎn)，直線，若某直線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡曲線是一條線段B．不是“最遠(yuǎn)距離直線”C．是“最遠(yuǎn)距離直線”D．點(diǎn)的軌跡與直線：是沒(méi)有交會(huì)的軌跡即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)17．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．無(wú)解 B．的解為C．的最小值為2 D．的最大值為218．（2022秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）(多選)如圖所示，“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，下列式子正確的是（

）A． B．C．< D．19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家稱為黃金比，記為ω.定義：若橢圓的短軸與長(zhǎng)軸之比為黃金比ω，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.以橢圓中心為圓心，半焦距長(zhǎng)為半徑的圓稱為焦點(diǎn)圓.若黃金橢圓”：與它的焦點(diǎn)圓在第一象限的交點(diǎn)為Q，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．黃金橢圓離心率C．設(shè)直線OQ的傾斜角為θ，則 D．交點(diǎn)Q坐標(biāo)為(b,ωb)20．（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）1765年，數(shù)學(xué)家歐拉在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線就是后人所說(shuō)的“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，重心，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．為等邊三角形C．歐拉線方程為D．外接圓的方程為21．（2023秋·江蘇南京·高二?？计谀┕畔ＥD著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為圓，又已知?jiǎng)訄A：.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓的方程是B．當(dāng)變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為C．當(dāng)時(shí)，過(guò)直線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，則的最大值為D．存在使得圓與圓內(nèi)切22．（2022秋·江蘇無(wú)錫·高二江蘇省天一中學(xué)?？计谀╇p紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布﹒伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．雙紐線關(guān)于軸對(duì)稱 B．C．雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè) D．的最大值為三、填空題23．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谀┯图垈闶侵袊?guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史．為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動(dòng)中將一把油紙傘撐開(kāi)后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示．該傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為，當(dāng)陽(yáng)光與地面夾角為時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，該橢圓的離心率_____________．24．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期末）臺(tái)球賽的一種得分戰(zhàn)術(shù)手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標(biāo)球之間，設(shè)置障礙，使得本球不能直接擊打目標(biāo)球.如圖，某場(chǎng)比賽中，某選手被對(duì)手做成了一個(gè)“斯諾克”，本球需經(jīng)過(guò)邊，兩次反彈后擊打目標(biāo)球N，點(diǎn)M到的距離分別為，點(diǎn)N到的距離分別為，將M，N看成質(zhì)點(diǎn)，本球在M點(diǎn)處，若擊打成功，則___________．25．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）大約在2000多年前，我國(guó)的墨子給出了圓的概念“一中同長(zhǎng)也”，意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100多年．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)滿足，若過(guò)點(diǎn)的直線將動(dòng)點(diǎn)的軌跡分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率__________．26．（2022秋·湖南·高二校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓，則該橢圓的面積為_(kāi)_______．27．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）我們知道距離是衡量?jī)牲c(diǎn)之間的遠(yuǎn)近程度的一個(gè)概念.數(shù)學(xué)中根據(jù)不同定義有好多種距離.平面上，歐幾里得距離是與兩點(diǎn)間的直線距離，即.切比雪夫距離是與兩點(diǎn)中橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值和縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值中的最大值，即.已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離最小時(shí)，其切比雪夫距離為_(kāi)__________.28．（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）中國(guó)景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛(ài)，如圖1這個(gè)精美的青花瓷它的頸部（圖2）外形上下對(duì)稱，基本可看作是離心的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為_(kāi)_____厘米．29．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期末）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角，則其焦徑比為_(kāi)_____．30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射的光線全部都會(huì)經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_(kāi)________．31．（2022春·江西九江·高二九江一中?？茧A段練習(xí)）天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線（CassiniOval）．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（且為常數(shù)），化簡(jiǎn)得曲線E：．下列命題中正確序號(hào)是__________．①曲線E既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形；②的最小值為2a；③當(dāng)時(shí)，的最大值為；④面積不大于．32．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過(guò)雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)．若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例壓縮后可近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為_(kāi)_____．33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________.34．（2022秋·北京·高二北京八十中?？计谀┓▏?guó)數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，分別與交于P，Q兩點(diǎn)，直線交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法，正確的有______.①橢圓的離心率為②面積的最大值為③到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為④若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線，的斜率分別記為，，則35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值是__．四、解答題36．（2022秋·江西宜春·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘時(shí)期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)A(0，6)，B(0，3)、動(dòng)點(diǎn)M滿足，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)N(0、4)的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若P為線段NQ的中點(diǎn)，求直線l的方程.37．（2021春·上海普陀·高二?？计谥校?972年9月，蘇步青先生第三次來(lái)到江南造船廠，這一次他是為解決造船難題、開(kāi)發(fā)更好的船體數(shù)學(xué)放樣方法而來(lái)，他為我國(guó)計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).造船時(shí)，在船體放樣中，要畫出甲板圓弧線，由于這條圓弧線的半徑很大，無(wú)法在鋼板上用圓規(guī)畫出，因此需要先求出這條圓弧線的方程，再用描點(diǎn)法畫出圓弧線.如圖，已知圓弧的半徑r29米，圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)l12米，以米為單位，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求圓弧的方程（答案中數(shù)據(jù)精確到0.001米，）.38．（2021春·江西撫州·高一黎川縣第一中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的重心?外心?垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線，若的頂點(diǎn)，，且的歐拉線的方程為．（注：如果三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則重心的坐標(biāo)是.）（1）求外心(外接圓圓心)的坐標(biāo)；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．39．（2022秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．現(xiàn)已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，圓的圓心在的歐拉線上，且滿足，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．(1)求的歐拉線的方程；(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．40．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的“將軍飲馬”問(wèn)題，這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即為回到軍營(yíng).（1）若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋?，求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)闉椋?，求“將軍飲馬”的最短總路程．41．（2022秋·湖北武漢·高三?？茧A段練習(xí)）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.現(xiàn)已知直線與雙曲線及其漸近線圍成的平面圖形如圖所示.若將圖形被直線所截得的兩條線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)面的面積______；若將圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積______.專題09解析幾何專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形截某圓錐得到橢圓，且與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題得，再判斷選項(xiàng)得解.【詳解】解：矩形的四邊與橢圓相切，則矩形的面積為，所以.只有選項(xiàng)A符合.故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，運(yùn)用中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國(guó)際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時(shí)代的中國(guó)新形象、新夢(mèng)想．會(huì)徽?qǐng)D形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運(yùn)動(dòng)員的英姿．中間舞動(dòng)的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場(chǎng)、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有參賽運(yùn)動(dòng)員應(yīng)以公正、坦誠(chéng)的運(yùn)動(dòng)員精神在比賽場(chǎng)上相見(jiàn)．其中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為，若雙曲線C以為焦點(diǎn)、以直線為一條漸近線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出雙曲線漸近線的方程，結(jié)合離心率的意義計(jì)算作答.【詳解】依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，點(diǎn)，設(shè)雙曲線C的方程為，其漸近線為，因直線為一條漸近線，則有，雙曲線C的離心率為.故選：B3．（2022春·云南曲靖·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖乙），則橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由蒙日?qǐng)A的定義，確定出圓上的一點(diǎn)即可求出圓的半徑．【詳解】解：由蒙日?qǐng)A的定義，可知橢圓的兩條切線、的交點(diǎn)在圓上，所以蒙日?qǐng)A的半徑.故選：C．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓C為“最美橢圓”，且以橢圓C上一點(diǎn)P和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】先由得到與，再由的最大值得，進(jìn)而求得，，故可得到橢圓C的方程.【詳解】解：由已知，得，故，∵，即，∴，得，故，所以橢圓C的方程為.故選：D．5．（2022秋·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題一般的描述是：已知點(diǎn)、是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大?問(wèn)題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由米勒定理確定的外接圓與軸的位置關(guān)系，再應(yīng)用垂徑定理、直線與圓關(guān)系確定圓心和半徑，進(jìn)而寫出的外接圓的方程，即可求的縱坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，分別是、，是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)米勒定理知，當(dāng)?shù)耐饨訄A與軸相切時(shí)，最大，由垂徑定理知，弦的垂直平分線必過(guò)的外接圓圓心，所以弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為，故弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的外接圓半徑的大小，即，由垂徑定理得圓心為，所以的外接圓的方程為，令，得的縱坐標(biāo)為.故選：C6．（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谥校┑聡?guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)天體運(yùn)行軌道是橢圓，已知地球運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)在它的一個(gè)焦點(diǎn)上，若軌道近日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離之比為，那么地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，由題意可得，所以，即，因此地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是．故選：D.7．（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大.”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)，兩點(diǎn)且和射線相切的圓與射線的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】A【分析】利用米勒問(wèn)題的結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)為過(guò)，兩點(diǎn)且和軸相切的圓與軸的切點(diǎn)，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.【詳解】由題意知，點(diǎn)為過(guò)，兩點(diǎn)且和軸相切的圓與軸的切點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的垂直平分線方程為，所以以線段為弦的圓的圓心在線段的垂直平分線上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑，又因?yàn)?，所以，解得或，即切點(diǎn)分別為和，由于圓上以線段（定長(zhǎng)）為弦所對(duì)的圓周角會(huì)隨著半徑增大而圓周角角度減小，，且過(guò)點(diǎn)的圓的半徑比過(guò)的圓的半徑大，所以，故點(diǎn)為所求，所以當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1.故選：A.8．（2022秋·北京·高二北大附中?？计谀┕?世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯利用垂直于母線的平面去截頂角分別為銳角、鈍角和直角的圓錐，發(fā)現(xiàn)了三種圓錐曲線.之后，數(shù)學(xué)家亞理士塔歐、歐幾里得、阿波羅尼斯等都對(duì)圓錐曲線進(jìn)行了深入的研究.直到3世紀(jì)末，帕普斯才在其《數(shù)學(xué)匯編》中首次證明：與定點(diǎn)和定直線的距離成定比的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，定比小于、大于和等于1分別對(duì)應(yīng)橢圓、雙曲線和拋物線.已知是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|=4，則下列關(guān)于軌跡的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線B．到兩點(diǎn)距離之比等于2的點(diǎn)的軌跡是圓C．到兩點(diǎn)距離之和等于5的點(diǎn)的軌跡是橢圓D．到兩點(diǎn)距離之差等于3的點(diǎn)的軌跡是雙曲線【答案】D【分析】判斷到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是連線的垂直平分線，判斷A;建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，可判斷B;根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可判斷.【詳解】對(duì)于A，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是連線的垂直平分線，正確；對(duì)于B，以為x軸，的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知,即，化簡(jiǎn)為，即此時(shí)點(diǎn)的軌跡為圓，B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離之和等于5，即，由于，故到兩點(diǎn)距離之和等于5的點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，C正確；對(duì)于D，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離之差等于3，即,由于，故到兩點(diǎn)距離之差等于3的點(diǎn)的軌跡是雙曲線靠近B側(cè)的一支，D錯(cuò)誤，故選：D9．（2021秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明．經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明．他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將原方程兩邊同時(shí)開(kāi)平方，結(jié)合兩點(diǎn)得距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可得關(guān)于的不等式，從而可得出答案.【詳解】解：由方程，，得，則，則，可得動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離之比為常數(shù)，由雙曲線得定義可得，解得.故選：A.10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.如圖②，一個(gè)半徑為的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長(zhǎng)軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)球與相切與點(diǎn)，可得，利用二倍角正切公式可得，由此可得，由可求得焦距.【詳解】設(shè)球與相切與點(diǎn)，作出軸截面如下圖所示，由題意知：，，，，又，，，又，，橢圓的焦距為.故選：C.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn)．直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若的斜率之積為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】由題意得到方程組①和②，即可解出a、b，求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】橢圓的面積，即①.因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C的上項(xiàng)點(diǎn)，所以.因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則且，所以.因?yàn)榈男甭手e為，所以，把代入整理化簡(jiǎn)得：②①②聯(lián)立解得：.所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6.故選：B12．（2022秋·北京·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記點(diǎn)、、，可得出，數(shù)形結(jié)合可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，記點(diǎn)、、，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.故選：C.13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1949年公布的《國(guó)旗制法說(shuō)明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn)．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【分析】根據(jù)5顆星的位置情況知∠BAO3＝18°，過(guò)O3作x軸的平行線O3E并確定∠OO3E的大小，即可知AB所在直線的傾斜角.【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點(diǎn)，∴OO3平分第三顆小星的一個(gè)角，又五角星的內(nèi)角為36°知：∠BAO3＝18°，過(guò)O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.故選：C14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在唐詩(shī)“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出將軍出發(fā)點(diǎn)關(guān)于河岸所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接交河岸所在直線于點(diǎn)，則由對(duì)稱性可知為最短距離，求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)關(guān)于河岸線所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)題意，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)橐詧A心為，半徑的圓上和圓內(nèi)所有點(diǎn)，為最短距離，先求出的坐標(biāo)，的中點(diǎn)為，，直線的斜率為1，則，解得，，，又，所以，故選：C．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，則外層橢圓方程為（），分別列出過(guò)和的切線方程，聯(lián)立切線和內(nèi)層橢圓，由分別轉(zhuǎn)化出的表達(dá)式，結(jié)合可求與關(guān)系式，齊次化可求離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為（），因?yàn)閮?nèi)、外層橢圓離心率相同，所以外層橢圓方程可設(shè)成（），設(shè)切線方程為，與聯(lián)立得，，由，化簡(jiǎn)得：，設(shè)切線方程為，同理可求得，所以，，所以，因此.故選：D二、多選題16．（2020秋·重慶巴南·高二重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）2020年11月24日，我國(guó)在中國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)，用長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號(hào)探測(cè)器，它將首次帶月壤返回地球，我們離月球的“距離”又近一步了.已知點(diǎn)，直線，若某直線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡曲線是一條線段B．不是“最遠(yuǎn)距離直線”C．是“最遠(yuǎn)距離直線”D．點(diǎn)的軌跡與直線：是沒(méi)有交會(huì)的軌跡即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)【答案】BCD【分析】由題意結(jié)合拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡，可以判斷選項(xiàng)A，根據(jù)拋物線的曲線性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D，對(duì)于選項(xiàng)B和C，結(jié)合題意可知，判斷直線是否是“最遠(yuǎn)距離直線”,只需要聯(lián)立拋物線與直線方程，通過(guò)判斷方程是否有解即可.【詳解】由題意可得：點(diǎn)到點(diǎn)的距離比等于點(diǎn)到直線的距離，由拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，即：，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B和C：判斷直線是不是“最遠(yuǎn)距離直線”，只需要判斷直線與拋物線是否有交點(diǎn)，所以聯(lián)立直線與拋物線可得方程，易得方程無(wú)實(shí)根，故選項(xiàng)B正確；同理，通過(guò)聯(lián)立直線與拋物線可得方程，易得方程有實(shí)根，故選項(xiàng)C正確；由于拋物線與其準(zhǔn)線沒(méi)有交點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．而拋物線的定義是我們解題的關(guān)鍵，牢記這些對(duì)解題非常有益．17．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．無(wú)解 B．的解為C．的最小值為2 D．的最大值為2【答案】BC【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合橢圓的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，設(shè)，，，則，若，則，則的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，此時(shí)，，即，，即橢圓方程為，當(dāng)時(shí)，得，得，得，故A錯(cuò)誤，B正確，關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，無(wú)最大值，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.18．（2022秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）(多選)如圖所示，“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，下列式子正確的是（

）A． B．C．< D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得答案.【詳解】觀察圖形可知，即A不正確；，即B正確；由，知，，即，從而,即：,即D正確，C不正確．故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查知識(shí)的遷移與應(yīng)用，考查分析問(wèn)題與處理問(wèn)題的能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于由圖知，進(jìn)而根據(jù)不等式性質(zhì)討論求解.19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家稱為黃金比，記為ω.定義：若橢圓的短軸與長(zhǎng)軸之比為黃金比ω，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.以橢圓中心為圓心，半焦距長(zhǎng)為半徑的圓稱為焦點(diǎn)圓.若黃金橢圓”：與它的焦點(diǎn)圓在第一象限的交點(diǎn)為Q，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．黃金橢圓離心率C．設(shè)直線OQ的傾斜角為θ，則 D．交點(diǎn)Q坐標(biāo)為(b,ωb)【答案】AC【分析】A：由方程的根可判斷正誤；B：由題設(shè)，根據(jù)橢圓參數(shù)關(guān)系及離心率即可判斷正誤；C：由圓的性質(zhì)有且，，結(jié)合同角平方關(guān)系、倍角正弦公式可判斷正誤；D：由C易得Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為且，即可判斷正誤.【詳解】A：方程的一個(gè)根為，正確；B：由題意知，，則，錯(cuò)誤；C：易知，且，則，所以，即，兩邊平方得，即，正確；D：由，結(jié)合知：Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為，而，錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)黃金橢圓、焦點(diǎn)圓定義及橢圓參數(shù)關(guān)系，計(jì)算離心率、夾角正弦值以及判斷交點(diǎn)坐標(biāo).20．（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）1765年，數(shù)學(xué)家歐拉在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線就是后人所說(shuō)的“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，重心，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．為等邊三角形C．歐拉線方程為D．外接圓的方程為【答案】ACD【分析】根據(jù)重心公式計(jì)算得到A正確；計(jì)算得到B錯(cuò)誤；計(jì)算線段垂直平分線的方程得到C正確；計(jì)算外接圓圓心為，得到圓方程，D正確，得到答案.【詳解】為的重心，設(shè)，由重心坐標(biāo)公式，解得，，選項(xiàng)A正確；，所以不是等邊三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，的外心?重心?垂心都位于線段的垂直平分線上，的頂點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段所在直線的斜率，線段垂直平分線的方程為，即，的歐拉線方程為，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)榫€段的垂直平分線方程為，的外心為線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，所以交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，外接圓半徑，所以外接圓方程為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.21．（2023秋·江蘇南京·高二校考期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為圓，又已知?jiǎng)訄A：.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓的方程是B．當(dāng)變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為C．當(dāng)時(shí)，過(guò)直線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，則的最大值為D．存在使得圓與圓內(nèi)切【答案】ABC【分析】對(duì)于A根據(jù)“阿波羅尼斯圓”的定義列式化簡(jiǎn)即可；對(duì)于B，設(shè)圓心，而，消去即可得到圓心的估計(jì)方程；對(duì)于C，因?yàn)槭侵苯侨切?，根?jù)三角函數(shù)找出的最大值，再得出的最大值；對(duì)于D，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出范圍，再根據(jù)兩圓內(nèi)切條件判斷即可.【詳解】.解：設(shè)，由得化簡(jiǎn)整理得：.故A正確；設(shè)，則消去得.故B正確；當(dāng)時(shí)，，直線的方程為：.因?yàn)?，要使最大，只需最?所以，所以，即.所以的最大值為，故C正確；因?yàn)椋魞蓤A內(nèi)切有，故不存在使得，故D錯(cuò)誤.故選:ABC22．（2022秋·江蘇無(wú)錫·高二江蘇省天一中學(xué)?？计谀╇p紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布﹒伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．雙紐線關(guān)于軸對(duì)稱 B．C．雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè) D．的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)A，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則對(duì)稱點(diǎn)代入軌跡方程，顯然成立；對(duì)B，根據(jù)的面積范圍證明；對(duì)C，若，則在y軸上，代入軌跡方程求解；對(duì)D，根據(jù)余弦定理分析中的邊長(zhǎng)關(guān)系，進(jìn)而利用三角形的關(guān)系證明即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意可得的軌跡方程為把關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程，顯然成立，故A正確；對(duì)B，因?yàn)椋剩?，所以，即，故．故B正確；對(duì)C，若，則在的中垂線即y軸上．故此時(shí)，代入，可得，即，僅有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，，故．即，所以．又，?dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)取等號(hào)．故，即，解得，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的性質(zhì)判定，因?yàn)檐壽E方程比較復(fù)雜，故在作不出圖像時(shí)，需要根據(jù)題意求出動(dòng)點(diǎn)的方程進(jìn)行對(duì)稱性分析，同時(shí)結(jié)合解三角形的方法對(duì)所給信息進(jìn)行辨析.三、填空題23．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谀┯图垈闶侵袊?guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史．為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動(dòng)中將一把油紙傘撐開(kāi)后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示．該傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為，當(dāng)陽(yáng)光與地面夾角為時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，該橢圓的離心率_____________．【答案】##0.5【分析】由傘沿半徑及圓心到傘柄底端的距離，得傘柄與地面夾角為，陽(yáng)光光線與傘柄平行，易得橢圓長(zhǎng)半軸，短半軸的長(zhǎng)，可求出離心率.【詳解】因?yàn)閭阊厥前霃綖?的圓，圓心到傘柄底端的距離為，設(shè)傘柄與地面的夾角為，則，所以，即陽(yáng)光光線與傘柄平行，所以橢圓長(zhǎng)半軸，短半軸，離心率.故答案為：.24．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期末）臺(tái)球賽的一種得分戰(zhàn)術(shù)手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標(biāo)球之間，設(shè)置障礙，使得本球不能直接擊打目標(biāo)球.如圖，某場(chǎng)比賽中，某選手被對(duì)手做成了一個(gè)“斯諾克”，本球需經(jīng)過(guò)邊，兩次反彈后擊打目標(biāo)球N，點(diǎn)M到的距離分別為，點(diǎn)N到的距離分別為，將M，N看成質(zhì)點(diǎn)，本球在M點(diǎn)處，若擊打成功，則___________．【答案】【分析】以C為原點(diǎn)，邊分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)，求出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則直線方向?yàn)楸厩蛏涑龇较颍眯甭使胶驼T導(dǎo)公式可求出結(jié)果.【詳解】以C為原點(diǎn)，邊分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線方向?yàn)楸厩蛏涑龇较?，?.故答案為：.25．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）大約在2000多年前，我國(guó)的墨子給出了圓的概念“一中同長(zhǎng)也”，意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100多年．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)滿足，若過(guò)點(diǎn)的直線將動(dòng)點(diǎn)的軌跡分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率__________．【答案】【分析】過(guò)定點(diǎn)的直線將動(dòng)點(diǎn)的軌跡分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，圓心到直線的距離最遠(yuǎn)，即為圓心到M的距離.此時(shí)，直線l與CM垂直，由可得答案.【詳解】依題意可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即.因?yàn)?，故點(diǎn)在內(nèi).當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，.因?yàn)橹本€的斜率，所以所求直線的斜率.故答案為：.26．（2022秋·湖南·高二校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓，則該橢圓的面積為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)橢圓方程求出、，依題意橢圓的面積，從而計(jì)算可得.【詳解】解：對(duì)于橢圓，則、，所以橢圓的面積；故答案為：27．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）我們知道距離是衡量?jī)牲c(diǎn)之間的遠(yuǎn)近程度的一個(gè)概念.數(shù)學(xué)中根據(jù)不同定義有好多種距離.平面上，歐幾里得距離是與兩點(diǎn)間的直線距離，即.切比雪夫距離是與兩點(diǎn)中橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值和縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值中的最大值，即.已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離最小時(shí)，其切比雪夫距離為_(kāi)__________.【答案】6【分析】由條件確定與兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置，再根據(jù)切比雪夫距離的定義求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，要使最小，則，此時(shí)，所以，由方程組，解得，，所以，，兩點(diǎn)之間的切比雪夫距離為6.故答案為：6.28．（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）中國(guó)景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛(ài)，如圖1這個(gè)精美的青花瓷它的頸部（圖2）外形上下對(duì)稱，基本可看作是離心的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為_(kāi)_____厘米．【答案】【分析】根據(jù)離心率可求出雙曲線方程，再將橫坐標(biāo)代入可得縱坐標(biāo).【詳解】依題意知：又，又瓶口直徑為20厘米，代入雙曲線方程得：高為20厘米故答案為：2029．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期末）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角，則其焦徑比為_(kāi)_____．【答案】【分析】理解題意，根據(jù)拋物線有關(guān)知識(shí)求解【詳解】設(shè)拋物線的方程為，則．設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故其焦徑比．故答案為?0．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射的光線全部都會(huì)經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_(kāi)________．【答案】##【分析】根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，在中由橢圓的定義可求出，再由直角三角形求出，計(jì)算離心率即可.【詳解】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，都經(jīng)過(guò)，且在中，，如圖，所以，由橢圓的定義可知，即，又，可得，在中，，所以，所以.故答案為：31．（2022春·江西九江·高二九江一中?？茧A段練習(xí)）天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線（CassiniOval）．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（且為常數(shù)），化簡(jiǎn)得曲線E：．下列命題中正確序號(hào)是__________．①曲線E既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形；②的最小值為2a；③當(dāng)時(shí)，的最大值為；④面積不大于．【答案】①③④【分析】①：以代x，以代y，同時(shí)以代x，以代y判斷；②：分和判斷；③：由，化簡(jiǎn)得到，代入求解判斷；④：由面積為判斷.【詳解】①：以代x，得：，所以曲線關(guān)于縱軸對(duì)稱；以代y，得：，所以曲線關(guān)于橫軸對(duì)稱；同時(shí)以代x，以代y得：，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線E既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形，故正確；②：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，顯然P與，中一點(diǎn)重合，故此時(shí)，故錯(cuò)誤；③：當(dāng)時(shí)，由，化簡(jiǎn)得，因此有，所以，故正確；④：面積為：，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，故正確.故答案為：①③④32．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過(guò)雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)．若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例壓縮后可近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】由上焦點(diǎn)到漸近線的距離利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，再由離心率為2，可求出，從而可求出，進(jìn)而可求得雙曲線方程.【詳解】因?yàn)?，所以下焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，則下焦點(diǎn)到的距離為．，解得，則，所以該雙曲線的方程為．故答案為：33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________.【答案】【分析】根據(jù)題意得出滿足條件的過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，由已知當(dāng)取最大值時(shí)，圓必與軸相切于點(diǎn)，得出對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，并依據(jù)定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，舍棄，得到滿足條件的，從而得出答案.【詳解】解：，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，則圓的方程為，當(dāng)取最大值時(shí)，圓必與軸相切于點(diǎn)（由題中結(jié)論得），則此時(shí)P的坐標(biāo)為，代入圓的方程得，解得或，即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，因?yàn)閷?duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，又過(guò)點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)為所求，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：34．（2022秋·北京·高二北京八十中?？计谀┓▏?guó)數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，分別與交于P，Q兩點(diǎn)，直線交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法，正確的有______.①橢圓的離心率為②面積的最大值為③到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為④若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線，的斜率分別記為，，則【答案】①②④【分析】根據(jù)定義，確定蒙日?qǐng)A的點(diǎn)結(jié)合橢圓離心率計(jì)算判斷①；根據(jù)定義求得，再求出最大面積判斷②；設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)并求出其橫坐標(biāo)范圍計(jì)算判斷③；根據(jù)定義確定點(diǎn)A，B的關(guān)系，再利用“點(diǎn)差法”計(jì)算判斷④作答.【詳解】對(duì)于①，直線，與橢圓都相切，且這兩條直線垂直，因此其交點(diǎn)在圓上，即有，則，橢圓的離心率，①正確；對(duì)于②，依題意，點(diǎn)均在圓上，且，因此線段是圓的直徑，即有，顯然圓上的點(diǎn)到直線距離最大值為圓的半徑，即點(diǎn)到直線距離最大值為，因此面積的最大值為，②正確；對(duì)于③，令，有，令橢圓的左焦點(diǎn)，有，則，而，因此，即，所以到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，③不正確；對(duì)于④，依題意，直線過(guò)原點(diǎn)O，即點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，設(shè)，有，于是得，又由①知，，得，所以，④正確，所以說(shuō)法正確的有①②④.故答案為：①②④35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值是__．【答案】【分析】由題意畫出草圖，結(jié)合相似三角形，可得的最小值即為，而，從而可得所求的最小值.【詳解】如圖所示：取點(diǎn)，設(shè)，則，在和中，，所以和相似，且相似比為，所以，則，而，即的最小值為，所以.故答案為：.四、解答題36．（2022秋·江西宜春·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘時(shí)期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)A(0，6)，B(0，3)、動(dòng)點(diǎn)M滿足，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)N(0、4)的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若P為線段NQ的中點(diǎn)，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式，代入等量關(guān)系中化簡(jiǎn)即可求解方程，（2）聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）設(shè)，由點(diǎn)A(0，6)，B(0，3)、動(dòng)點(diǎn)M滿足得，兩邊平方化簡(jiǎn)得：，故曲線C的方程（2）當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)；此時(shí)直線與圓相交P，Q兩點(diǎn)，則或者,均不符合P為線段NQ的中點(diǎn)，當(dāng)直線有斜率時(shí)；設(shè)：，聯(lián)立直線與圓的方程，化簡(jiǎn)得，，故設(shè)，則-①若為線段的中點(diǎn)，則，所以，將其代入①中得：，進(jìn)而得，滿足，所以，因此的方程為37．（2021春·上海普陀·高二?？计谥校?972年9月，蘇步青先生第三次來(lái)到江南造船廠，這一次他是為解決造船難題、開(kāi)發(fā)更好的船體數(shù)學(xué)放樣方法而來(lái)，他為我國(guó)計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).造船時(shí)，在船體放樣中，要畫出甲板圓弧線，由于這條圓弧線的半徑很大，無(wú)法在鋼板上用圓規(guī)畫出，因此需要先求出這條圓弧線的方程，再用描點(diǎn)法畫出圓弧線.如圖，已知圓弧的半徑r29米，圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)l12米，以米為單位，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求圓弧的方程（答案中數(shù)據(jù)精確到0.001米，）.【答案】【分析】以所在直線為軸，弦的垂直平分線為軸，根據(jù)勾股定理求得圓心坐標(biāo)即可得解.【詳解】如圖，以所在直線為軸，弦的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓弧的圓心為，連接，則，所以，即圓心的坐標(biāo)為，所以圓弧的方程為38．（2021春·江西撫州·高一黎川縣第一中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的重心?外心?垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線，若的頂點(diǎn)，，且的歐拉線的方程為．（注：如果三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則重心的坐標(biāo)是.）（1）求外心(外接圓圓心)的坐標(biāo)；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由已知條件求出邊上的中垂線方程，因?yàn)橥庑闹腥呏写咕€的交點(diǎn)，外心又在歐拉線上，所以由可求得外心坐標(biāo)；（2）設(shè)，則的重心坐標(biāo)為，因?yàn)橹匦脑跉W拉線上，所以將重心坐標(biāo)代入歐拉線方程化簡(jiǎn)可得，由可得，然后解方程組可求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】（1）三角形外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，由已知條件知頂點(diǎn)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為所以邊上的中垂線方程為，化簡(jiǎn)得.又因?yàn)槿切蔚耐庑脑跉W拉線上，聯(lián)立，解得所以外心的坐標(biāo)為（2）設(shè)，則的重心坐標(biāo)為，由題意可知重心在歐拉線上，故滿足，化簡(jiǎn)得由（1）得外心的坐標(biāo)為，則，即，整理得聯(lián)立，解得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，故舍去，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.39．（2022秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．現(xiàn)已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，圓的圓心在的歐拉線上，且滿足，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．(1)求的歐拉線的方程；(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由重心坐標(biāo)公式可求得重心，由垂直關(guān)系可分別求得邊上的高線所在直線，聯(lián)立可得垂心，由此可得所在直線方程，即為所求歐拉線方程；（2）設(shè)，由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得的值，由此確定圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離，根據(jù)垂徑定理可構(gòu)造方程求得，由此可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）由坐標(biāo)可得：重心，即；，，邊的高線所在直線為；邊的高線所在直線為，即；由得：，即的垂心；，則歐拉線方程為：，即.（2）設(shè)，圓的半徑為，，，，解得：或；當(dāng)時(shí)，，圓心到直線的距離，，解得：，圓的方程為：；當(dāng)時(shí)，，圓心到直線的距離，，解得：，圓的方程為：；綜上所述：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.40．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的“將軍飲馬”問(wèn)題，這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即為回到軍營(yíng).（1）若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋海蟆皩④婏嬹R”的最短總路程；（2）若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)闉椋?，求“將軍飲馬”的最短總路程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）作出圖形，先算出點(diǎn)A關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而連接交已知直線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為飲馬點(diǎn)，然后求出最短總路程；（2）作出圖形，進(jìn)而選取區(qū)域內(nèi)離最近的點(diǎn)，最后求出最短總路程.【詳解】（1)若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，圓：的圓心為原點(diǎn)，半徑為，作圖1如下：設(shè)將軍飲馬點(diǎn)為，到達(dá)營(yíng)區(qū)點(diǎn)為，設(shè)為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)為，則，又，聯(lián)立解得：，即.所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離，即為.（2）軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，?duì)于，在，時(shí)為令，得，令，則，圖形為連接點(diǎn)和的線段，根據(jù)對(duì)稱性得到的圖形為圖2中所示的菱形，容易知道：為這個(gè)菱形的內(nèi)部(包括邊界).由圖2可知，最短路徑為線段，連接交直線于點(diǎn)，則飲馬最佳點(diǎn)為點(diǎn)Q，所以點(diǎn)到區(qū)域最短距離．即“將軍飲馬”最短總路程為.五、雙空題41．（2022秋·湖北武漢·高三?？茧A段練習(xí)）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.現(xiàn)已知直線與雙曲線及其漸近線圍成的平面圖形如圖所示.若將圖形被直線所截得的兩條線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)面的面積______；若將圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積______.【答案】

【分析】由直線，其中，分別聯(lián)立方程組和，求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓環(huán)的面積，再結(jié)合題意得到該幾何體的體積與底面面積為，高為4的圓柱的體積相同，利用圓柱的體積公式，即可求解【詳解】如圖所示，雙曲線，其中一條漸近線方程為，由直線，其中，聯(lián)立方程組，解得，聯(lián)立方程組，解得，所以截面圓環(huán)的面積為，即旋轉(zhuǎn)面的面積為，根據(jù)“冪勢(shì)既同，則積不容異”，可得該幾何體的體積與底面面積為，高為4的圓柱的體積相同，所以該幾何體的體積為.故答案為：，.專題10解析幾何專題（新定義）一、單選題1．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），把到定點(diǎn)和距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，記為Γ，已知為雙紐線Γ上任意一點(diǎn)，有下列命題：①雙紐線Γ的方程為；②面積最大值為；③；④的最大值為．其中所有正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④2．（2023春·四川達(dá)州·高二四川省宣漢中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）定義：橢圓中長(zhǎng)度為整數(shù)的焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)為“好弦”．則橢圓中所有“好弦”的長(zhǎng)度之和為（

）A．162 B．166 C．312 D．3643．（2023秋·湖南郴州·高二?？计谀┏鞘械脑S多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)兩點(diǎn)，定義兩點(diǎn)間“距離”為，則平面內(nèi)與軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)的“距離”之和等于定值（大于）的點(diǎn)的軌跡可以是（

）A． B．C． D．4．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓：的蒙日?qǐng)A方程為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．則橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑為（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2021秋·四川成都·高二樹(shù)德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若將一個(gè)橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，這樣的橢圓稱為“對(duì)偶橢圓”.下列橢圓中是“對(duì)偶橢圓”的是（

）A． B． C． D．7．（2021春·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谀┤羟€上存在兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A． B．C． D．8．（2021·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義稱為點(diǎn)的“和”，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于下列結(jié)論：（1）“和”為1的點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為2；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的“和”的最小值為2；（3）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，則使得“和”最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)”的充要條件是；（4）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則“和”的最大值為.其中正確的結(jié)論序號(hào)為（

）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）9．（2022秋·四川成都·高二成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤魴E圓或雙曲線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為，且存在，則稱此橢圓或雙曲線存在“點(diǎn)”，下列曲線中存在“點(diǎn)”的是（

）A． B． C． D．10．（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)為、，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱點(diǎn)為“★”點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓上的所有點(diǎn)都是“★”點(diǎn)B．橢圓上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“★”點(diǎn)C．橢圓上的所有點(diǎn)都不是“★”點(diǎn)D．橢圓上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“★”點(diǎn)11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中學(xué)?？计谥校┮阎獌啥c(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)，使，則該直線為“型直線”，給出下列直線，其中是“型直線”的是（

）①；②；③；④A．①③ B．①② C．③④ D．①④12．（2017春·吉林·高一統(tǒng)考期末）已知平面上一點(diǎn)M(5,0)，若直線上存在點(diǎn)P使|PM|≤4，則稱該直線為“切割型直線”,下列直線中是“切割型直線”的是(

)①;②;③;④.A．①③ B．①② C．②③ D．③④二、多選題13．（2022秋·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年3月30日，小米正式開(kāi)始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo.設(shè)計(jì)師的靈感來(lái)源于曲線C：.其中星形線E：常用于超輕材料的設(shè)計(jì).則下列關(guān)于星形線說(shuō)法正確的是（

）A．E關(guān)于y軸對(duì)稱B．E上的點(diǎn)到x軸、y軸的距離之積不超過(guò)C．E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為D．曲線E所圍成圖形的面積小于214．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為，集合，若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線C為Σ曲線.下列方程所表示的曲線中，是Σ曲線的有（

）A． B． C． D．15．（2021秋·河北保定·高二順平縣中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面內(nèi)，若曲線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為10，則稱曲線為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（

）A． B．C． D．16．（2021秋·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校╇p紐線也稱伯努利雙紐線，是指定線段長(zhǎng)度為，動(dòng)點(diǎn)滿足，那么的軌跡稱為雙紐線.已知曲線為雙紐線，下列選項(xiàng)判斷正確的是（

）A．曲線過(guò)點(diǎn)B．曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是C．曲線關(guān)于軸對(duì)稱D．為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，的坐標(biāo)為和，則面積的最大值為17．（2021秋·江蘇南通·高二江蘇省包場(chǎng)高級(jí)中學(xué)校考期中）黃金分割比例具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性，和諧性，蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)價(jià)值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例．我們把離心率的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓是“黃金橢圓”B．若橢圓的右焦點(diǎn)為，且滿足，則該橢圓為“黃金橢圓”C．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，右頂點(diǎn)為A，若，則該橢圓為“黃金橢圓”D．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是，，若，則該橢圓為“黃金橢圓”三、填空題18．（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）卵圓是常見(jiàn)的一類曲線，已知一個(gè)卵圓的方程為：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為卵圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是________.①卵圓關(guān)于軸對(duì)稱②卵圓上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱③線段長(zhǎng)度的取值范圍是④的面積最大值為19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，若在曲線C上存在一點(diǎn)P，使得∠APB為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點(diǎn)”，下列曲線中，有“鈍點(diǎn)”的曲線為_(kāi)_____．（填序號(hào)）①；②；③；④；⑤．20．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：雙曲線的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A.若某雙曲線對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，則___________.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一條拋物線把平面劃分為二個(gè)區(qū)域，如果一個(gè)平面圖形完全落在拋物線含有焦點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，我們就稱此平面圖形被該拋物線覆蓋.那么下列命題中，正確的是___________.(填寫序號(hào))（1）任意一個(gè)多邊形所圍區(qū)域總能被某一條拋物線覆蓋；（2）與拋物線對(duì)稱軸不平行?不共線的射線不能被該拋物線覆蓋；（3）射線繞其端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)銳角所掃過(guò)的角形區(qū)域可以被某二條拋物線覆蓋；（4）任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個(gè)平面.22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義：點(diǎn)為曲線外的一點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則取最大值時(shí)，叫點(diǎn)對(duì)曲線的張角.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)對(duì)圓的張角為，則的最小值為_(kāi)__________.23．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M不與原點(diǎn)О重合，稱射線OM與的交點(diǎn)N為點(diǎn)M的“中心投影點(diǎn)”，曲線上所有點(diǎn)的“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線長(zhǎng)度是_______24．（2020·浙江·高二期末）把橢圓的短軸和焦點(diǎn)連線段中較長(zhǎng)者?較短者分別作為橢圓的長(zhǎng)軸?短軸，使橢圓變換成橢圓，稱之為橢圓的一次“壓縮”.按上述定義把橢圓“壓縮”成橢圓，得到一系列橢圓，…當(dāng)短軸長(zhǎng)與焦距相等時(shí)終止“壓縮”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，某個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)次“壓縮”后能終止，則橢圓的離心率可能是①，②，③，④中的______.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）25．（2018·北京·高二統(tǒng)考期末）已知兩定點(diǎn),若直線上存在點(diǎn),使得,則該直線為“型直線”.給出下列直線,其中是“型直線”的是___________.①

②

③

④26．（2017·河南漯河·漯河高中?？既＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，，，若曲線上存在一點(diǎn)，使，則稱曲線為“合作曲線”，有下列曲線①；②；③；④；⑤，其中“合作曲線”是__________．（填寫所有滿足條件的序號(hào)）27．（2016·河北衡水·統(tǒng)考一模）如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的縱軸繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)平面.在此斜坐標(biāo)平面中，點(diǎn)的坐標(biāo)定義如下：過(guò)點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平分線，分別交兩軸于兩點(diǎn)，則在軸上表示的數(shù)為，在軸上表示的數(shù)為.那么以原點(diǎn)為圓心的單位圓在此斜坐標(biāo)系下的方程為_(kāi)__________.28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）稱離心率為的雙曲線為黃金雙曲線.如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個(gè)說(shuō)法：①雙曲線是黃金雙曲線；②若，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若F1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)，A1，A2為左右頂點(diǎn)，B1(0,b)，B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則