第4章 習(xí)題課7 函數(shù)的綜合應(yīng)用 練習(xí) 高中數(shù)學(xué)新湘教版必修第一冊（2023~2024學(xué)年）

習(xí)題課7函數(shù)的綜合應(yīng)用【課后精練】基礎(chǔ)訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)=x-3x的零點所在的區(qū)間為().A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】C【解析】函數(shù)f(x)=x-3x的定義域為(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增而f(2)=2-32<0,f(3)=3-1>0,所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3).故選C2.函數(shù)f(x)=2x|log12x|-1的零點個數(shù)為(A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由f(x)=0,得|log12x|=12x,在同一平面直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)y1=|log12x|和y2=12x的圖象,如圖所示,可知兩圖象有兩個交點,所以函數(shù)f(x)有兩個零點3.若函數(shù)f(x)=x-ax沒有零點,則a的取值范圍是()A.(-∞,0) B.(-∞,0]C.(0,+∞) D.[0,+∞)【答案】B【解析】f(x)=x-ax=x2-ax,其定義域為{x|x∈R且x≠0},4.漁民出海打魚,為了保證獲得的魚新鮮,魚被打上船后,要在最短的時間內(nèi)將其分揀、冷藏,若不及時處理,打上來的魚會很快失去新鮮度.已知某種魚失去的新鮮度h與其出水后時間t(單位:分鐘)滿足的函數(shù)關(guān)系式為h=m·at.如果出水后10分鐘,這種魚失去的新鮮度為10%;出水后20分鐘,這種魚失去的新鮮度為20%.那么若不及時處理,打上來的這種魚在()后失去全部新鮮度.(已知lg2≈0.3,結(jié)果取整數(shù))A.33分鐘 B.43分鐘C.50分鐘 D.56分鐘【答案】B【解析】由題意可得m·a10所以h=120×2令h=120×2t10=1,可得所以t=10log220=10lg20lg2=10(lg10+lg2)lg2=10(1+lg2)lg2≈10×1.30.3所以打上來的這種魚在43分鐘后失去全部新鮮度.5.(多選題)在以下函數(shù)中,恰有一個零點的函數(shù)是().A.y=log12(x+B.y=|3x-1|C.y=2x+1-D.y=2x-x2【答案】AB【解析】對于A,y=log12(x+1)=0?x=0,所以該函數(shù)只有一個零點,故A對于B,y=|3x-1|=0?x=0,所以該函數(shù)只有一個零點,故B符合題意;對于C,y=2x+1-12=0?x=-14或x=-34,所以該函數(shù)有兩個零點,故對于D,當(dāng)x>0時,y=2x-x2=0?x=2或x=4,所以該函數(shù)當(dāng)x>0時有兩個零點,故D不符合題意.6.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖后,數(shù)量為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律符合曲線y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間(單位:小時),y表示病毒個數(shù)),則k=,經(jīng)過5小時后,1個病毒能繁殖為個.

【答案】2ln21024【解析】當(dāng)t=0.5時,y=2,∴2=e12k,∴k=2ln2,∴y=e2當(dāng)t=5時,y=e10ln2=210=1024.7.已知函數(shù)f(x)=(lgx)2-lgx-1.(1)求f(x)的最小值,并求此時x的值;(2)若a,b分別是f(x)的兩個零點,求logab+logba的值.【解析】(1)令t=lgx,t∈R,則g(t)=t-122-54,∴當(dāng)t=12時,g(t)min=-54,即當(dāng)x=10時,f(x)min=-(2)依題意得lga,lgb是方程t2-t-1=0的兩個實數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系得lga+lgb=1,lgalgb=-1,∴原式=lgblga+lgalgb=(lga+lgb)2-2能力拔高8.某種溶液含有雜質(zhì),為達到實驗要求,雜質(zhì)含量不能超過0.1%,而這種溶液最初雜質(zhì)含量為2%,若每過濾一次雜質(zhì)含量減少13,則為使溶液達到實驗要求,最少需要過濾的次數(shù)為().(可能用到的數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.A.7 B.8C.9 D.10【答案】B【解析】若有100個單位的溶液,則初始的雜質(zhì)的量為2個單位,開始過濾后,溶液中雜質(zhì)的量如下:1次后,2×23個單位;2次后,2×232個單位;…;n次后,2×23n個單位.根據(jù)題意,2×23n<0.1,可得n>1+lg2lg3-lg2≈7.4,所以為使溶液達到實驗要求,最少需要過濾的次數(shù)為8.9.(多選題)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù),且其圖象在(0,+∞)上連續(xù)不斷.若f12>0>f(3),則方程f(x)=0的根的個數(shù)不可能是().A.2 B.0C.3 D.4【答案】BD【解析】因為f12>0>f(3),所以f12·f(3)<0,又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減且圖象連續(xù)不斷,故f(x)=0在12,3內(nèi)必有一個根.又f(x)是R上的偶函數(shù),則其在-3,-12內(nèi)也必有一根.若f(x)的圖象在R上連續(xù),則f(x)=0有兩個根;若f(x)的圖象在R上不連續(xù),因為f(x)為偶函數(shù),所以不連續(xù)點有可能在原點,則f(x)=0可能有3個根.綜上可知,方程f(x)=0的根的個數(shù)是2或3.故選BD.10.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx+c,x≥0,1,x<0,若f(4)=f(0),f(2)=2,則函數(shù)g(x)=f(x【答案】2【解析】因為f(4)=f(0),所以b2=-2,所以b=-又f(2)=4-8+c=2,解得c=6,所以f(x)=x令g(x)=f(x)-x=0,即f(x)=x,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=f(x),y=x的圖象,如圖所示.由圖象知,函數(shù)y=f(x),y=x的圖象的交點有兩個,所以g(x)=f(x)-x的零點的個數(shù)為2.11.已知函數(shù)f(x)=-x2-2x,g(x)=x(1)求g(f(1))的值.(2)若方程g(f(x))-a=0有4個不同的實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t(t<1),則原方程化為g(t)=a有4個不同的實數(shù)根,易知方程f(x)=t在(-∞,1)內(nèi)有2個不同的實數(shù)根,則原方程有4個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)y=g(t)(t<1)與y=a的圖象有2個不同的交點,如圖,畫出函數(shù)g(t)的圖象,結(jié)合圖象可知1≤a<54.故實數(shù)a的取值范圍是1,54.思維拓展12.中國“一帶一路”倡議提出后,某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的機遇,決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備,生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元,每生產(chǎn)x臺需要另投入成本C(x)萬元;當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺時,C(x)=12x2+40x萬元;當(dāng)年產(chǎn)量不小于80臺時,C(x)=101x+8100x-2180萬元.若每臺設(shè)備售價為100萬元,通過市場分析,(1)求年利潤y(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:臺)的函數(shù)關(guān)系式.(2)年產(chǎn)量為多少臺時,該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大?并求出這個最大利潤.【解析】(1)當(dāng)0<x<80時,y=100x-12x2+40x-500=-12x2+60x-500;當(dāng)x≥80時,y=100x-101x+8100x-2180-500=1680-x+8100x.于是y=-(2)由(1)可知,當(dāng)0<x<80時,y=-12(x-