第七章布萊克舒爾斯期權定價公式的擴展

第七章布萊克-舒爾斯期權定價公式的擴展Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity主要內容布萊克-舒爾斯期權定價模型的缺陷買賣本錢動搖率淺笑和動搖率期限構造隨機動搖率不確定的參數騰躍分散過程Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityB-S模型的缺陷買賣本錢的假設動搖率為常數的假設不確定的參數資產價錢的延續(xù)變動Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity買賣本錢的影響規(guī)模效應和買賣本錢差別化。即使是同一個投資者，在調整過程中，持有同一個合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價值也不同。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W買賣本錢模型根本假設：投資者投資于歐式期權的組合而不僅僅是單個期權；整個投資組合的調整存在買賣本錢；投資者的組合調整戰(zhàn)略事先確定；股票價錢的隨機過程以離散的方式給出；保值組合的預期收益率等于無風險銀行存款利率Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W模型推導構造無風險組合之后,整個組合價值的變化相應減少：要求買賣本錢項,關鍵要獲得n值，顯然：〔7-1〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityH-W-W模型推導〔續(xù)〕由Ito引理：根據無風險假設，有:將公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：〔7-3〕〔7-2〕〔7-4〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity對H-W-W方程的了解項在實踐中具有深化的金融含義的存在使得H-W-W方程大部分時候是一個非線性方程期權多頭和空頭價值的不一致性對于單個期權多頭，H-W-W方程實踐上是一個以為動搖率的BS公式Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity買賣本錢的其他模型期權組合中的值不是同一個符號的情形買賣本錢不是前述的簡單構造，而是資產價錢和調整數量的函數的情況W-W模型Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動搖率淺笑和動搖率期限構造人們經過研討發(fā)現，運用期權的市場價錢和BS公式推算出來的隱含動搖率具有以下兩個方向的變動規(guī)律：“動搖率淺笑〞〔VolatilitySmiles〕：隱含動搖率會隨著期權執(zhí)行價錢不同而不同；動搖率期限構造〔VolatilityTermStructure〕：隱含動搖率會隨期權到期時間不同而變化。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動搖率淺笑對于貨幣期權而言，隱含動搖率經常呈現近似U形。平價期權的動搖率最低，而實值和虛值期權的動搖率會隨著實值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對稱。股票期權的動搖率淺笑那么呈現另一種不同的外形，即向右下方偏斜。當執(zhí)行價錢上升的時候，動搖率下降，而一個較低的執(zhí)行價錢所隱含的動搖率那么大大高于執(zhí)行價錢較高的期權。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity貨幣期權的動搖率淺笑與分布Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity股票期權的動搖率淺笑與分布Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動搖率期限構造從長期來看，動搖率大多表現出均值回歸，即到期日接近時，隱含動搖率的變化較猛烈，隨著到期時間的延伸，隱含動搖率將逐漸向歷史動搖率的平均值接近。動搖率淺笑的外形也遭到期權到期時間的影響。大多時候，期權到期日越近，動搖率“淺笑〞就越顯著，到期日越長，不同價錢的隱含動搖率差別越小，接近于常數Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity動搖率矩陣執(zhí)行價格剩余有效期0.900.951.001.051.10一個月14.213.012.013.114.5三個月14.013.012.013.114.2六個月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity意義和運用動搖率淺笑和動搖率期限構造的存在，證明了BS公式關于動搖率為常數的根本假設是不成立的，至少期權市場不是這樣預期的。因此放松動搖率為常數的假設，成為期權實際開展的一個重要方向。目前主要有兩種不同的戰(zhàn)略：從期權市場出發(fā)的改良戰(zhàn)略創(chuàng)新戰(zhàn)略Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機動搖率模型普通模型股票風險中性的隨機動搖率模型〔Hull等〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity隨機動搖率對定價的影響當動搖率是隨機的，且與股票價錢不相關時，歐式期權的價錢是BS價錢在期權有效期內平均方差率分布上的積分值：在股票價錢和動搖率相關的情況下，這個隨機動搖率模型沒有解析解，只能運用數值方法得到期權價錢動搖率隨機性質的影響，也會因到期時間的不同而不同Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityGARCH模型GARCH模型可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型：采用的方式，用最大似然估計法估計三個參數、和，可以進一步得到和的值，并可計算出特定時辰動搖率的大小〔7-5〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不同時期的權重分布對公式7-5的右邊右邊反復的迭代過程，可以得到：經過適當的變換，我們可以將式〔7-6〕寫作由于，可得未來動搖率的預期值為：〔7-6〕Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的參數問題：現實生活當中存在著這樣的問題：當參數價值是不確定的時候，如何為期權定價？處理方法：假設我們知道的這些參數位于某個特定的區(qū)間之內，之后思索最悲觀的情況下我們的期權至少值多少。用這樣的假設和思緒，我們不會計算出期權的某一特定價值，而會發(fā)現期權的價值也將位于某個區(qū)間之內Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的動搖率依然構造無風險組合，組合價值：假設與思索最糟糕的情況，可以確定期權的最低值，用公式表示：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權價值的下限期權價值下限滿足其中，且。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity期權價值的上限期權價值上限滿足：其中，。Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的利率調查組合，假設：，那么：此時，我們選擇的利率將依賴于的符號，相應的方程為：其中：，Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity不確定的紅利收益率在延續(xù)支付紅利的情況下，其推導過程很類似，在的假定下，只需解出：其中：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity騰躍分散過程所謂的騰躍分散過程是普通的〔途徑延續(xù)的〕分散過程和一個在隨機時辰發(fā)生騰躍的〔騰躍幅度也是隨機的〕騰躍過程的結合，顯然這種變化過程更能反映現實價錢途徑，對應的模型那么可以以為是思索資產價錢有不延續(xù)的騰躍時對BS公式的推行Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity資產價錢所遵照的騰躍分散過程運用延續(xù)布朗運動來反映延續(xù)分散過程，同時引入泊松過程來描畫資產價錢的騰躍為泊松過程，定義為：根據Ito引理，可得：Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity騰躍分散過程的保值組合和期權定價依然調查組合，運用Ito引理，包含了騰躍的組合價值變化為假設時辰沒有騰躍發(fā)生，那么，那么我們就會選擇來降低風險。假設有騰躍，那么，我們依然可以選擇Copyright@ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity包含了騰躍的期權定價公式Merton于1976年提出了一個重要的思想：假設資產價錢變化過程中的騰躍成分與整個市場無關的話，就屬于可分散風險，可分散風險不