人教版八上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)建議2022.12.16（市教育研究院）

人教版八年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)建議福建省福州屏東中學(xué)曾志勇2016年12月16日初中數(shù)學(xué)1.復(fù)習(xí)目標(biāo)2復(fù)習(xí)目標(biāo)基礎(chǔ)知識(shí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)思想基本技能1.復(fù)習(xí)目標(biāo)31.通過引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)化、條理化的復(fù)習(xí)，梳理各章的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，引導(dǎo)學(xué)生思考各章知識(shí)間的聯(lián)系，使學(xué)生能理清所學(xué)，查漏補(bǔ)缺，掌握基礎(chǔ)知識(shí)；2.引導(dǎo)學(xué)生的審題、計(jì)算、畫圖、動(dòng)手操作等，形成基本技能；3.滲透函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)思想；4.引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作（如數(shù)一數(shù)、畫一畫、拼一拼等）第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章軸對(duì)稱第十四章整式乘法與因式分解第十五章分式42.復(fù)習(xí)內(nèi)容幾何部分代數(shù)部分立足基礎(chǔ)，把握全局，適度變式，突破難點(diǎn)三角形三角形的有關(guān)性質(zhì)三角形的定義三角形的周長(zhǎng)、面積三條重要線段三角形的中線三角形的高線三角形的角平分線三角形的相關(guān)概念按角分類按邊分類三角形的五心七點(diǎn)三角形三邊的關(guān)系三角形邊與角的關(guān)系三角形的內(nèi)角和三角形的外角和不等邊三角形等腰三角形鈍角三角形銳角三角形直角三角形斜三角形只有兩邊相等的三角形三邊都相等的三角形重心1外心1垂心1內(nèi)心1旁心3三角形的分類2.復(fù)習(xí)內(nèi)容第十一章三角形思維導(dǎo)圖5全等三角形三角形全等的判定全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等一般三角形直角三角形角邊角ASA邊角邊SAS

角邊角AAS全等三角形的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)與判定應(yīng)用全等三角形解決實(shí)際問題SSS,SAS,ASA,AASHL只適用于直角三角形角平分線的判定邊邊邊SSS互逆定理角平分線的性質(zhì)2.復(fù)習(xí)內(nèi)容第十二章全等三角形思維導(dǎo)圖6軸對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)和識(shí)別軸對(duì)稱的定義對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角軸對(duì)稱圖形運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決幾何最值問題軸對(duì)稱的識(shí)別軸對(duì)稱的相關(guān)概念線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線的概念線段垂直平分線的判定定理畫已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)軸對(duì)稱變換軸對(duì)稱作圖線段的垂直平分線2.復(fù)習(xí)內(nèi)容第十三章軸對(duì)稱思維導(dǎo)圖7互逆定理2.復(fù)習(xí)內(nèi)容第十四章整式乘法與因式分解思維導(dǎo)圖8整式的乘法與因式分解同底數(shù)冪的乘法冪的乘方冪的運(yùn)算法則單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式積的乘法同底數(shù)冪的除法零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪(分式)正整數(shù)冪比較大小的方法因式分解平方差公式完全平方公式乘法公式平方差公式提公因式法完全平方公式整式的乘法整式的除法單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

基本性質(zhì)有意義B≠0無意義B=0

化整取值范圍加減化正符號(hào)法則通分約分運(yùn)算分式方程乘除乘方定義解題步聚（注意檢驗(yàn)）實(shí)際應(yīng)用零指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪科學(xué)計(jì)數(shù)法思想方法分類與整合化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合2.復(fù)習(xí)內(nèi)容第十五章分式思維導(dǎo)圖9第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章軸對(duì)稱第十四章整式乘法與因式分解第十五章分式103.具體建議幾何部分代數(shù)部分立足基礎(chǔ)，把握全局，適度變式，突破難點(diǎn)113.具體建議理方法熟悉基本模型掌握?qǐng)D形變換幾何部分提高推理能力三種語言互化會(huì)作圖代數(shù)部分明算法熟悉法則定律思想方法滲透掌握運(yùn)算技巧會(huì)運(yùn)用提高運(yùn)算能力

本部分屬于《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，復(fù)習(xí)的核心知識(shí)是：《整式的乘除運(yùn)算和因式分解》、《分式》.這些知識(shí)是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算、列代數(shù)式、整式加減和解一元一次方程及不等式的基礎(chǔ)上引入的,也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)根式運(yùn)算、一元二次方程以及函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)又是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科及其他科學(xué)技術(shù)不可缺少的數(shù)學(xué)工具，因此，本章在初中學(xué)段占有重要地位.八年級(jí)上冊(cè)代數(shù)部分的整體認(rèn)識(shí)

3.1代數(shù)部分3.具體建議12

整式的乘除法的各個(gè)運(yùn)算之間存在內(nèi)在的聯(lián)系，是可以相互轉(zhuǎn)化的.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘可以通過轉(zhuǎn)化變?yōu)閱雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，再通過轉(zhuǎn)化變?yōu)閱雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，最后化為同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行運(yùn)算；類似的，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，最后可化為同底數(shù)冪的除法進(jìn)行運(yùn)算.因此，如果說本章“整式的乘除法”是重點(diǎn)，則“單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”就是關(guān)鍵“冪的運(yùn)算性質(zhì)”則是基礎(chǔ).133.1代數(shù)部分

如，分式除法、分式乘法；分式加減運(yùn)算的基本思想：異分母的分式加減法、同分母的分式加減法；解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而得到分式方程的解等．

1．轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用非常廣泛，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想能把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，本章很多地方都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想143.1代數(shù)部分2．建模思想本章常用的數(shù)學(xué)方法有：分解因式、通分、約分、去分母等，在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，首先要構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題.

經(jīng)歷“實(shí)際問題———分式方程模型———求解———解釋解的合理性”的數(shù)學(xué)化過程，體會(huì)分式方程的模型思想，對(duì)培養(yǎng)通過數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問題具有重要意義．153.1代數(shù)部分3．類比法本章突出了類比的方法，從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、約分、通分及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類比引出了分式的基本性質(zhì)、約分、通分及分式的運(yùn)算法則，從分?jǐn)?shù)的一些運(yùn)算技巧類比引出了分式的一些運(yùn)算技巧，無一不體現(xiàn)了類比思想的重要性，分式方程解法及應(yīng)用也可以類比一元一次方程．163.1代數(shù)部分單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式關(guān)鍵重點(diǎn)重點(diǎn)現(xiàn)實(shí)世界、其他學(xué)科、數(shù)學(xué)中的問題情境整式乘除運(yùn)算因式分解冪：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方整式乘法分配律分配律分配律多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式乘法公式完全平方公式平方差公式冪：同底數(shù)冪的除法、零指數(shù)……整式除法多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式基礎(chǔ)因式分解的意義因式分解的方法提公因式法公式法173.1代數(shù)部分3.逆向應(yīng)用型（1）計(jì)算：18

逆用積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)較高要求---知識(shí)的靈活應(yīng)用：能夠逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算.3.1代數(shù)部分3.逆向應(yīng)用型例3.（2）計(jì)算（書P164第7題）：若2m=a,2n=b，則23m+10n=

.（用a、b的代數(shù)式表示）較高要求---知識(shí)的靈活應(yīng)用：能夠逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算.（3）書：P171第9題：若4y2+my+9是一完全平方式，求m值.會(huì)逆用乘法公式解決問題.再如：已知x-y=-10，求

的值.3.1代數(shù)部分較高要求---知識(shí)的靈活應(yīng)用能夠綜合應(yīng)用本章的知識(shí)適當(dāng)進(jìn)行等式的恒等變形4.綜合應(yīng)用型

例4.（2）書：P157第7題：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值.再如：已知x+5y=6,求x2+5xy+30y

的值.在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的積中，x3項(xiàng)的系數(shù)是-5，x2項(xiàng)的

系數(shù)是-6，求a，b的值.3.1代數(shù)部分4、綜合應(yīng)用型

例4.已知a、b、c是⊿ABC的三邊，

問⊿ABC是什么三角形？說明你的理由.聯(lián)想到非負(fù)數(shù)性質(zhì)

聯(lián)想到完全平方公式

較高要求---知識(shí)的靈活應(yīng)用3.1代數(shù)部分5.實(shí)際應(yīng)用型例5.一種被污染的液體每升含有2．4×1013個(gè)有害細(xì)菌,為了試驗(yàn)?zāi)撤N殺菌劑的效果,科學(xué)家們進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死4×1010個(gè)此種細(xì)菌,要將1升液體中的有害細(xì)菌全部殺死,需要這種殺菌劑多少毫升?(注:15滴=1毫升)

解：按單項(xiàng)式除法法則進(jìn)行計(jì)算：（2．4×1013）÷（4×1010）

=0．6×103=600（滴）∵15滴=1毫升，∴600÷15=40（毫升）223.1代數(shù)部分6.規(guī)律探索型例6.在公式中，當(dāng)a分別取1，2，3，……，n時(shí)，可得下列n個(gè)等式：23

將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加，可推導(dǎo)出求和公式：1+2+3……+n=__________（用含n的代數(shù)式表示）

較高要求---知識(shí)的靈活應(yīng)用3.1代數(shù)部分14.2乘法公式（一）平方差公式平方差公式：14.2乘法公式（一）平方差公式常見的變式3.1代數(shù)部分（二）完全平方公式1.完全平方公式：3.1代數(shù)部分（二）完全平方公式①公式中的a,b可以是常數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.②完全平方公式與平方差公式的綜合應(yīng)用.如計(jì)算：③冪的運(yùn)算性質(zhì)與公式的綜合應(yīng)用.如計(jì)算：3.1代數(shù)部分（二）完全平方公式幾個(gè)常用的公式變形：

3.1代數(shù)部分（二）完全平方公式易錯(cuò)3.1代數(shù)部分例7.閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些等式也可以用這種形式表示，例如：就可以用圖1或圖2等圖表示.30（1）請(qǐng)寫出圖3中所表示的代數(shù)恒等式_________；略高要求---會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決相關(guān)問題3.1代數(shù)部分（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示：31答案：

解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形理解代數(shù)式的幾何意義3.1代數(shù)部分（3）請(qǐng)仿照上述方法另寫一個(gè)含有a，b的代數(shù)恒等式，并畫出與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形.

此問開放性很強(qiáng)，答案不唯一.32

體會(huì)代數(shù)與幾何圖形之間的聯(lián)系，能用幾何圖形解釋代數(shù)恒等式，從中體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.3.1代數(shù)部分（一）因式分解的意義因式分解是多項(xiàng)式的一種變形，與整式的乘法是正好相反，兩者是互逆的關(guān)系。以下問題需要注意：（1）因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，

這與整式的乘法正好相反。（2）因式分解要到不能再分解為止。（3）并不是所有的多項(xiàng)式都可以進(jìn)行因式分解。

不能進(jìn)行因式分解（4）分解因式是恒等變形。3.1代數(shù)部分33（三）運(yùn)用公式法1．平方差公式：2．完全平方公式：3．用配方法對(duì)多項(xiàng)式變形，如：在學(xué)習(xí)了多種方法之后，應(yīng)當(dāng)注意因式分解的步驟：

（1）先看是否可以用提取公因式法分解因式；（2）觀察是否可以使用公式；*（3）嘗試十字相乘法；*（4）嘗試分組分解法；（5）觀察是否可以繼續(xù)分解。3.1代數(shù)部分34（二）提取公因式法注意的問題：（1）提公因式式時(shí)要提“全”提“凈”。（2）注意避免分解因式的漏項(xiàng)問題。如（3）在把含有字母的式子作為公因式提出來時(shí)要注意統(tǒng)一字母的排列順序。如：（4）如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)先提出“－”，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，然后再對(duì)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式提取公因數(shù)。如：

3.1代數(shù)部分35例2.若y2+ay+36是完全平方式，求a的值.36運(yùn)用完全平方公式時(shí)易漏解例3.分解因式

x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止3.1代數(shù)部分例4.分解因式：x2-4x+4

變式1：x2+4-4x

變式2：2x2y-8xy+8y

變式3：x(x-4)+4

變式4：(a+b)2-4(a+b)+4

變式5：x4-8x2+16

變式6：x2-4x+3注重變式復(fù)習(xí)3.1代數(shù)部分37373.1代數(shù)部分38速度×?xí)r間=路程；密度×體積=質(zhì)量；單價(jià)×總數(shù)=總價(jià)；效率×工時(shí)=工作量;線段之比

分式方程的應(yīng)用:3.1代數(shù)部分393.2幾何部分403.具體建議

八年級(jí)上冊(cè)幾何部分的整體認(rèn)識(shí)初中幾何包括幾何圖形和幾何變換兩大部分，幾何圖形我們已經(jīng)學(xué)過：“圖形認(rèn)識(shí)初步”中的直線、射線、線段、角，還有相交線與平行線、三角形、全等三角形，還將要學(xué)習(xí)四邊形、相似形、圓等，幾何變換已經(jīng)學(xué)過平移、軸對(duì)稱，初三還要學(xué)旋轉(zhuǎn).

引導(dǎo)學(xué)生畫圖、識(shí)圖、觀圖,進(jìn)而培養(yǎng)空間想象能力和思維能力.41七年級(jí)上冊(cè)以實(shí)驗(yàn)幾何為主邏輯推理證明的滲透和準(zhǔn)備階段七年級(jí)下冊(cè)八年級(jí)實(shí)驗(yàn)幾何過渡到論證幾何的關(guān)鍵階段發(fā)展學(xué)生的畫圖、識(shí)圖能力八年級(jí)上冊(cè)幾何部分的整體認(rèn)識(shí)三角形是推理證明的起始內(nèi)容，四邊形是推理證明的鞏固和提高內(nèi)容，是論證幾何的精華，本學(xué)期要讓學(xué)生掌握綜合法的格式并學(xué)會(huì)描述.3.2幾何部分3.2幾何部分3.2.1基本圖形及變換3.2.2畫圖與尺規(guī)作圖3.2.3三種語言的互化423.具體建議3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本圖形及變換

角平分線模型433.2幾何部分3.具體建議

角平分線模型44抓住特征：對(duì)稱性（1）過一點(diǎn)向角兩邊作垂線；（2）沿角平分線將角對(duì)折；3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議

角平分線模型453.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議

角平分線模型【模型一】夾角模型例1.P17第9題例2.P29第11題463.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議

角平分線模型47【模型一】夾角模型3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議48

角平分線模型3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議49

角平分線模型3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議50

角平分線模型3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議51

角平分線模型3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議52

角平分線模型【模型二】角平分線+垂線3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議53

角平分線模型【模型三】角平分線+平行線3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議54

角平分線模型【模型三】角平分線+平行線3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議55

角平分線模型變式1：求證：BD:CD=AB:AC.三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與該角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例.（早期人教版內(nèi)容）面積法相似

過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議56

角平分線模型【模型四】對(duì)稱性方法一：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線．方法二：圖中有角平分線，可以將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議57

角平分線模型【模型四】對(duì)稱性3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議58

角平分線模型【模型四】對(duì)稱性3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議59

角平分線模型【模型四】對(duì)稱性3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議60

角平分線模型【模型四】對(duì)稱性方法：過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等即可求解.3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議61

角平分線模型【模型四】對(duì)稱性方法一：過點(diǎn)E作EF⊥BC于F.（模型四：對(duì)稱性）方法二：延長(zhǎng)DE交線段AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.（模型三：角平分線+平行線）方法三：過點(diǎn)E作EN∥AB交AD于點(diǎn)N.

（模型三：角平分線+平行線）3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議62

角平分線模型【模型四】對(duì)稱性3.2.1基本圖形及變換怎么講？SSS,SAS,ASA全等三角形的判定畫圖、測(cè)量、實(shí)驗(yàn)、

分析、歸納、應(yīng)用AAS證明、應(yīng)用HL畫圖、證明、應(yīng)用綜合應(yīng)用3.2幾何部分3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議64

全等三角形1.基本變換(1)平移變換(2)對(duì)稱變換(3)旋轉(zhuǎn)變換(4)復(fù)合變換圖形變式3.2.1基本圖形及變換

全等三角形中的基本圖形，也是四邊形中非常重要的基本圖形，若對(duì)此圖實(shí)施基本變換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)），便得到一串基本圖形和常見問題。圖形變式3.2幾何部分3.具體建議653.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議66

三角形全等2.幾種典型形式典型圖13.2.1基本圖形及變換典型圖23.2幾何部分67

三角形全等2.幾種典型形式3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分68

三角形全等2.幾種典型形式3.具體建議典型圖33.2.1基本圖形及變換P52第7題圖活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們用手中的彩色直角三角形紙片，擺圖形，并把擺好的圖形貼在白紙上，標(biāo)上圖形序號(hào)，寫上制作者的姓名。要求：（1）每個(gè)圖形中必須用且只用一對(duì)全等的直角三角形（不等邊）(最好色彩不同）；（2）擺出的圖形中，兩個(gè)直角三角形必須有一條公共邊。學(xué)生：按研究小組合作探究（六人一組，分工合作）69擺放圖形探究問題3.2幾何部分3.2.1基本圖形及變換703.2幾何部分3.2.1基本圖形及變換擺畫圖形：制作一對(duì)全等的直角三角形紙片，用這對(duì)全等的直角三角形按下列位置擺一擺，并畫出圖形。713.2幾何部分3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分723.2.1基本圖形及變換中線高角平分線733.2幾何部分3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議74

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換△ABC和△AEF都是等腰三角形，且∠EAF=∠BAC，則△AEB≌△AFC.例14.（八上P55第3題）如圖，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC.求證：AB=DE.3.2.1基本圖形及變換3.2幾何部分3.具體建議75

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換△ABC和△AEF都是等腰三角形，且∠EAF=∠BAC，則△AEB≌△AFC.△ABC是等邊三角形，D是AB中點(diǎn)，E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，以AE為邊作等邊三角形AEF，求DF的最小值.3.2.1基本圖形及變換

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.2幾何部分例15.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD3.2.1基本圖形及變換76例15.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD

變式1：以上條件不變，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度（大于零度而小于六十度），以上的結(jié)論還成立嗎？

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.2幾何部分從運(yùn)動(dòng)的角度看問題，由靜態(tài)提升到動(dòng)態(tài)3.2.1基本圖形及變換773.具體建議783.具體建議79多題歸一3.2幾何部分3.2.1基本圖形及變換圖形變式等邊變等腰等邊變正方形兩個(gè)變?nèi)齻€(gè)等邊變正方形課本P33,第5題3.2幾何部分3.具體建議803.2.1基本圖形及變換若把基本圖形變成平行四邊形3.2幾何部分3.具體建議813.2.1基本圖形及變換圖形變式3.具體建議823.具體建議83

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換(2)如圖（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—7），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a≠b，k>

0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖6為例簡(jiǎn)要說明理由圖4圖5圖63.2幾何部分3.2.1基本模型3.具體建議84

全等三角形3.2幾何部分3.2.1基本模型例18.（2016?龍巖24）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時(shí)，有DB=EC.(填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0?＜α＜180?）到圖2位置，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展運(yùn)用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．(PE2+AE2=AP2，∠BPC=∠CEA=135°)3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.具體建議85

全等三角形3.2幾何部分3.2.1基本模型3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換例18.（2106?龍巖24）3.具體建議863.2幾何部分3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.具體建議873.2幾何部分3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換例19.（2106?南平25）3.具體建議883.2幾何部分3.2.1基本模型例20.（2016?泉州20）如圖，△ABC、△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)E在AB上．求證：△CDA≌△CEB．

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.具體建議893.2幾何部分3.2.1基本模型例21.（2016?三明25）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn).（1）求證：BD=CE；（4分）

(△ADB≌△AEC)（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)；

(△PEB∽△AEC)②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長(zhǎng)的最小值與最大值.（4分）

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.具體建議903.2幾何部分圖形與例5類似3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.具體建議913.2幾何部分3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型92

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換例23.（2014?寧德25）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90

，AB=AC，在BC的同側(cè)作任意Rt△DBC，∠BDC=90

．（1）若CD=2BD，M是CD中點(diǎn)（如圖1），求證：△ADB≌△AMC；（2）若CD＜BD（如圖2），在BD上是否存在一點(diǎn)N，使得△ADN是以ＤN為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)?jiān)趫D2中確定點(diǎn)N的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)CD≠BD時(shí)，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出．3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型93

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換例23.（2014?寧德25）圖1ABCDMO

圖2ABCDON

3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型94

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換例24.（2014?龍巖）如圖，△ABC中，∠B=70°，則∠BAC=30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△EDC．當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AC上時(shí)，∠CAE=

50°．例25.（2016?北京海淀九上）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．

3.2幾何部分3.具體建議95例27.（2011?山東臨沂）如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.（1）求證：EF=EG；（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若AB=a,BC=b，求

的值.3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換3.具體建議96例27.（2011?山東臨沂）3.2幾何部分3.2.1基本模型

全等三角形3.三角形全等常見模型【模型一】“手拉手”模型——旋轉(zhuǎn)變換97圖1

圖2

98圖1

圖2

3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型99

全等三角形3.全等模型【模型三】“一線三等角”模型——復(fù)合變換例29.（2016?漳州25）現(xiàn)有正方形ABCD和一個(gè)以O(shè)為直角頂點(diǎn)的三角板，移動(dòng)三角板，使三角板兩直角邊所在直線分別與直線BC,CD交于點(diǎn)M,N.（1）如圖1，若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是

；（2）如圖2，若點(diǎn)O在正方形的中心（即兩對(duì)角線交點(diǎn)），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部（含邊界），當(dāng)OM=ON時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)O在移動(dòng)過程中可形成什么圖形？（4）如圖4是點(diǎn)O在正方形外部的一種情況.當(dāng)OM=ON時(shí)，請(qǐng)你就“點(diǎn)O的位置在各種情況下（含外部）移動(dòng)所形成的圖形”提出一個(gè)正確的結(jié)論.（不必說理）3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型100

全等三角形3.全等模型【模型三】“一線三等角”模型——復(fù)合變換3.1幾何部分3.具體建議3.1.1基本模型101

全等三角形3.全等模型【模型二】“半角”模型——旋轉(zhuǎn)變換

3.1幾何部分3.具體建議3.1.1基本模型102

全等三角形3.全等模型【模型二】“半角”模型——旋轉(zhuǎn)變換

3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型103

全等三角形3.全等模型【模型三】“一線三等角”模型——復(fù)合變換3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型104

全等三角形3.全等模型【模型三】“一線三等角”模型——復(fù)合變換例31.（2014?龍巖期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90?，AC=BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，求證：EF=AE+BF．

（2）如圖2，將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D，請(qǐng)你探究直線l在如下三種可能的位置時(shí)，EF、AE、BF三者之間的數(shù)量關(guān)系．（直接填空）

①當(dāng)AD＞BD時(shí)，關(guān)系是：______．

②當(dāng)AD=BD時(shí)，關(guān)系是：______．

③當(dāng)AD＜BD時(shí)，關(guān)系是：______．

3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型105

全等三角形3.全等模型【模型三】“一線三等角”模型——復(fù)合變換3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型106

全等三角形3.全等模型【模型三】“一線三等角”模型——復(fù)合變換例32.如圖所示，點(diǎn)E，D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，DB交AE于P點(diǎn).

（1）求圖①中，∠APD的度數(shù)；

（2）圖②中，∠APD的度數(shù)為_______;

圖③中，

∠APD的度數(shù)為_______；

（3）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況，若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說明理由。3.2幾何部分3.具體建議3.2.1基本模型107

全等三角形3.全等模型【模型三】“一線三等角”模型——復(fù)合變換例33.如圖所示，點(diǎn)E，D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的一邊延長(zhǎng)線和另一邊反向延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE=CD，DB的延長(zhǎng)線交AE于P點(diǎn).

（1）求圖①中，∠APD的度數(shù)；

（2）圖②中，∠APD的度數(shù)為_______;

圖③中，

∠APD的度數(shù)為_______；

（3）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況，若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說明理由。動(dòng)態(tài)幾何問題：以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題,研究幾何圖形的位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”.1.動(dòng)態(tài)幾何問題的解題關(guān)鍵是：在運(yùn)動(dòng)過程中找出變化的量與不變的量

；2.動(dòng)態(tài)問題的基本解題方法：

(1)動(dòng)中覓靜：在圖形的運(yùn)動(dòng)變化中探求問題中的不變量；(2)動(dòng)靜互化：有些問題是求最值或者形成的特殊幾何圖形，其實(shí)就是在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，從在某些特殊位置形成的特殊圖形或特殊的數(shù)量關(guān)系入手，進(jìn)而探索出一般的結(jié)論.動(dòng)靜互化就是抓住靜的瞬間，把一般問題轉(zhuǎn)成為特殊情況，從而找到“動(dòng)”(變）和“靜”（不變）的辯證關(guān)系.1083.具體建議109動(dòng)態(tài)幾何特殊化拓展探究一般化類比聯(lián)系從特殊到一般從形內(nèi)到形外從線段到直線從條件到結(jié)論3.2幾何部分1.能用尺規(guī)完成以下基本作圖：(1)作一條線段等于已知線段；(2)作一個(gè)角等于已知角；(3)作已知角的平分線；(4)作一條線段的垂直平分線；(5)過一點(diǎn)作已知直線的垂線.2.會(huì)利用基本作圖作三角形：(1)已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；(2)已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；(3)已知一直角邊和斜邊作直角三角形.1103.幾何專題3.具體建議3.2.2畫圖與作圖尺規(guī)作圖1.第36頁已知三邊作三角形2.第36頁作一個(gè)角等于已知角3.第37頁已知兩邊及其夾角作三角形4.第39頁已知兩角及其夾邊作三角形5.第42頁已知一條直角邊和斜邊作直角三角形6.第48頁作已知角的平分線7.第62頁過已知點(diǎn)作已知直線的垂線8.第63頁作一條線段的垂直平分線9.第78頁已知底邊和底邊上的高作等腰三角形按序說理作圖結(jié)果作圖語言呈現(xiàn)問題作圖方法尺規(guī)作圖呈現(xiàn)位置1113.2幾何部分3.2.2畫圖與作圖112例1.畫三角形的高3.2幾何部分畫圖，僅用無刻度的直尺過點(diǎn)O畫△BCO的高.3.2.2畫圖與作圖113例2.（2016?江西九年級(jí)）如圖，等邊△ABC和等邊△ECD的邊長(zhǎng)相等，BC與CD兩邊在同一直線上，請(qǐng)根據(jù)如下要求，使用無刻度的直尺，通過連線的方式畫圖．（1）在圖1中畫出一個(gè)直角三角形．（2）在圖2中過點(diǎn)C畫BD的垂線．3.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分利用對(duì)稱性114例2.（2016?廣西貴港）如圖，在?ABCD中，AC為對(duì)角線，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中線．（1）用無刻度的直尺畫出△ABC的高CH（保留畫圖痕跡）；（2）求△ACE的面積．3.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分

利用對(duì)稱性115三角形的高交于一點(diǎn)3.2幾何部分3.2.2畫圖與作圖1163.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分例3.（2013?江西）如圖AB是半圓的直徑，圖1中，點(diǎn)C在半圓外；圖2中，點(diǎn)C在半圓內(nèi)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求畫圖．（1）在圖1中，畫出△ABC的三條高的交點(diǎn)；（2）在圖2中，畫出△ABC中AB邊上的高．117三角形的高例4.（2016?漳州8）

下列尺規(guī)作圖，能判斷AD是△ABC邊上的高是ABCD3.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分118三角形的角平分線3.2幾何部分3.2.2畫圖與作圖1193.具體建議1.人教版八上P51第1題三角形的角平分線3.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分120三角形的角平分線例5.設(shè)計(jì)用刻度尺作角平分線的方法（畫出圖形，寫出畫圖步驟，不予證明）．3.2幾何部分3.2.2畫圖與作圖121例6.

（2012?北京昌平八年級(jí)）作圖題（要求：畫出圖形，保留作圖痕跡，并簡(jiǎn)要說明畫法，不要求證明）．已知∠AOB及其內(nèi)部一點(diǎn)P.（1）如圖1，若點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，請(qǐng)你在圖1中過點(diǎn)P作直線，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，使△OCD為等腰三角形，且CD是底邊；（2）若點(diǎn)P不在∠AOB的角平分線上（如圖2），請(qǐng)你在圖2中過點(diǎn)P作直線，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，使△OCD為等腰三角形，且CD是底邊.33.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分1223.具體建議例6.

（2012?北京昌平八年級(jí)）3.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分1233.具體建議例7.

（2015?福州市8）如圖，C、D分別是線段AB、AC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)C、D為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，測(cè)量∠AMB的度數(shù)，結(jié)果為（）A.80°B.90°C.100°D.105°3.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分1243.具體建議例8.

（2016?泉州26）3.2.2畫圖與作圖3.2幾何部分3.2幾何部分1251253.具體建議P76性質(zhì)13.2幾何部分1261263.具體建議1.等腰三角形兩底角相等2.等角對(duì)等邊；3.等腰三角形兩腰上的高相等；4.等腰三角形兩腰上的中線相等；5.等腰三角形兩底角平分線