2023年甘肅省酒泉市統(tǒng)招專升本數(shù)學自考真題(含答案帶解析)

2023年甘肅省酒泉市統(tǒng)招專升本數(shù)學自考

真題(含答案帶解析)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1.

當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(C)=P(AB)B.P(C)=P(A+/n

C.P(C)^P(A)+P(B>-1D.P(C)&P(A)+P(B)-1

2.

設(shè)04必＜=1，2?…)?則下列級數(shù)中絕對收斂的是()

A.B.X(—

M-1，，一1

C.XD.X(—1)""：

3.

已知函數(shù)/(1)=%,則/[/(})]=()

A.xB.；r2C.—D.-7

xJT

4.

如果級數(shù)X。)收斂?則必有()

i

Etfi

A.級數(shù)一1)”.收斂B.級數(shù)Zlu,|收斂

M-l—I

C.級數(shù)發(fā)散D.級數(shù)￡(u”+J)收斂

5.

設(shè)米欣=IN.丫+2卜?,（:?〃）,則/（-/=<

A.riB.0C.—("—IPD.("-2P

6.

下列級數(shù)發(fā)散的是()

A.SiB.S1

M—)av=irin，”

_______1_______

一#D-S

M-lN'*M-I(5〃+4)(5〃-1)

7.

曲線y=/可丁的垂直漸近線有()

X-1

A.0條B.1條C.2條D.3條

8.

函數(shù)y=y/2x-x--arcsin"y’的定義域為()

A.L—3,4]B.(-3,4)

C.[0,2]D.(0,2)

9.

卜列無窮級數(shù)中，發(fā)散的是)

818

0B.S(一1)”

??■1\/nI1N-1

10.

下列各式成立的是（）

2

A.Iinkrsin1二1B.lim=1

.<-*??廠

人1.sin.r1

C.lim——=1D.lim晅=1

11.

函數(shù)〃外在工。點連饃是義工）在工?？晌⒌模ǎ?/p>

A.充分條件而不是必要條件B.必要條件而不是充分條件

C.充分必要條件D.既非充分條件，也不是必要條件

12.

008

正項級數(shù)（DE>.、（2）W“）則下列說法正確的是（）

■=I■=1

A.若（D發(fā)散.則（2）必發(fā)散

B.若（2）收斂.則（1）必收斂

C.若（1）發(fā)散，則（2）可能發(fā)散也可能收斂

D.（1）.（2）斂散性相同

13.

已知函數(shù)八2Z一1）的定義域為［0,1】.則函數(shù)/（］）的定義域為（）

B.C-1.1]

C.[0.1]D.[-1,2]

14.

下列級數(shù)中發(fā)散的是（）

?100”2

A.V—B.y一

￡加白3"

15.

當2一0時.12是e""-e，的（）

A.高階無窮小B.低階無窮小

C.等價無窮小D.同階無窮小.但非等價無窮小

16.

sin/2dz

叫y=）

A.0B.8

D-1

17.

定積分[/sirudi=（）

A.-1B.0C.1D.2

18.

8

設(shè)4+Z（°n-41-1）=1，那么極限lima“（）

n=l

A.可能存在，也可能不存在B.不存在

C.存在，但極限值無法確定D.存在，并且極限值為1

19.

若義工）為奇函數(shù).則y=/（Jr）ln（x+Zr2+1）是）

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.不能確定

20.

若/（m）=_3.則lim44+人二八工?！?/?）=（）

1。h

A.-3B.-6C.-9D.-12

21.

過點（2,1,5）且垂直于平面31一6y+z—7=0的直線方程為（）

A*+2=y+1=「+5才-2=y-1=>-5

A'3--6-1-3--6--1

（、1+2_），+1_:+5]一2_.V-]_:-5

--3-3-6~

22.

fi1+sinx,.

-----r—dx=()

1+x2

A.--B.-C.--D.-

2244

23.

若f(%)=2.則極限lim幺&士人=

ioh

A.—2B.2C.—4D.4

24.

下列極限結(jié)論錯誤的是(

A.lim=oB.lim彩=1

一8T~i(e—1A

C.lim-r~7~i——=k二1

…1+tr"。?y(三

25.

函數(shù)/(幻=7^+也仁一^的定義域是()

V4-x2

A.(1,2)B.(-2,2)C.(l,+oo)D.(2,+oo)

26.

下列函數(shù)在給定區(qū)間滿足羅爾定理條件的有(

1-JC2

了=，[—1,1]

1+JT2

A.

y=jre-r，[-1,1]

、=+，[-1,1]

c.

y=Injr21，口

D.

27.

若函數(shù)3'為fCr)的一個原函數(shù),則函數(shù)/Q)=

A.x3iB.3'ln3

C.—^3/D二

X+1,In3

28.

sinax

x<0,

X

己知函數(shù)/(%)=，b,x=0,在定義域內(nèi)連續(xù)，則a+6=()

1c

xcos—+2,x>0

X

A.4B.1C.2D.0

29.

微分方程電+3=o的通解是

y①

A.x2+y=25B.3w+4yHe

C.x2+yz=CD.y-=7

30.

下列級數(shù)絕對收斂的是()

A.包(―1)"%B；￡(=1)1?

H-lVW次，IC

8CO2

C.X(T)”si咔D.X(—1產(chǎn),

n-11?-IU?

二、填空題(20題)

f(1+V7)2

djr=

-~￡的奇點為__________.

32.Z

33.

若函數(shù)/(z)在區(qū)間［1,3］上連續(xù)，并且在該區(qū)間上的平均值是6.則

J1

定積分u2sinu(1J-=

34.

limr(lnS+1)-Inn]=.

35.…

36.

設(shè)隨機變量X?N(l,4).0(0.5)=0.6915,0(1.5)=0.9332.則P(IX|>2)

曲線V在點(-i.i)處的切線方程為

?>

37.y=r

微分方程爐一2?一3=。的通解為

38.

39.

若7f0時,(1—以午一1與jrsinj,是等價無窮小，則a=

等比級數(shù)2:是收斂的,則其和S=

40."='4

41.

若幕級數(shù)3”的收斂半徑為R，則幕級數(shù)￡>,,(i—2產(chǎn)的收斂區(qū)間為

將/(X)=」展開成的幕級數(shù)，則展開式為

42.X

11?/30?

設(shè)/Q)=1則/[/(e1)]=

A-21-1，HV0.

44.

已知函數(shù)./(a)在上=3處可導?若極限=—4,則/(3)=

91.

.lima'(sin----sin—\=

45…【①2①)

46.

(sin.z,+e""-1/八

設(shè)/(.r)=v'在I=0處連續(xù)，則u=

a.x=0

47.

[皿.zro,

設(shè)/(X)=Jx在工=0處連續(xù).則k=

4+1,1=0

48.

設(shè)隨機變i!X~B(n,p),且數(shù)學期望EX=4,方差DX=2.4,則口=

若級數(shù)￡二收斂，則烏的取值范圍是_

49.Dq

limfxsin—+—sinx

50.I

三、計算題(15題)

求定積分川nidi.

Ji

51.

52.

求函數(shù))=ln(l+/)的凹凸區(qū)間及拐點.

求微分方程y—43'+4.y=(j*+1)ez的通解.

求不定積分一±=心-.

x\/JC2—1

54.

計算定積分|V2x-x2da：.

55.Jc

56.

(1)設(shè)向量組q=。,3,-1,2)。%=(120,1)7,4=(2,7,-3,5)’,試判定向量組q,

%，%的線性相關(guān)性;

x1+x2+x3-3X4=3

(2)已知線性方程組42國+%-5%4=4用導出組的基礎(chǔ)解系表示通解.

3X]+2X2+x3-8X4=7

57求微分方程-2,=e，的通解.

e2dt

求極限嗎COSX

x2

58.

(.r=3cos/?

參數(shù)方程/當/=與時，求曲線的切線方程.

59.jS34

60.

求函數(shù)“=在點P(1,-1.1)處的梯度,并求該函數(shù)在P點處沿梯度方向的方向

導數(shù).

;rL(Z,(2)Jcr

設(shè)y=----------?求y?

61.Y1+3(.r+4)

求極限lim(l+sin.r)~.

62.LO

求極限lim'/LI

63.i"I"sinx

64.

設(shè)上為有向閉折線。480,其中0,4B依次是點。(0,0),4(1,1),5(0,1),計算

積分￡起-”?妙.

65.

計算曲線積分1(2工一,+4)如+(5，+3/一6)dy.其中L為三頂點分別為(0,0).

(3.0)和(3,2)的三角形正向邊界.

四、證明題(10題)

66.

設(shè)/(JT)在［O.a］上連續(xù)，且/(z)+/*—］)>0?試證明:

「________________1_a_

Jo~~2'

證明等式arcsino-+arccos.r=￡

67.

證明：當01時.(j■-2)ln(l—①)>2x.

68.

69.

證明方程In.r=-----J1—cos2jd.r在區(qū)間(e,eD內(nèi)僅有一個實根.

eJo

70已知/O)=r5—3i—1,求：

(1)函數(shù)f(w)的凹凸區(qū)間；

(2)證明方程/(1)=0在(1?2)內(nèi)至少有一個實根.

71.

證明不等式:1>0時，l+iln（z+，l+f）>，l+f.

72.

求函數(shù)/（X）="￡（一）的麥（馬）克勞林展開式，并由此證明￡1看=L

73.

設(shè)1，證明：汕1（。一/））

74.

設(shè)a>/）>0，〃>1,證明：汕<an-b"<na,r~｝（a-b）.

75.

設(shè)。階方陣A滿足才=。（k為正整數(shù)），證明：E-A“]■逆（E為a階中

位附）.升求（E-A）L

五、應(yīng)用題（10題）

76.

過點M（3,0）作曲線），=lnQ?—3）的切線,該切線與此曲線及2軸圍成一平面圖形D.

試求平面圖形D繞1軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

77.

求拋物線》:*將圓y+「=8分割后形成的兩部分的面機

la

78.

某公司有50套公寓要出租.當月租金定為2000元時，公寓會全部租出去，當月租金每

增加100元時?就會多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花費200元的維修

費,試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

79某產(chǎn)品的成本函數(shù)：

d）=!/2+6/+100（元/件）

銷售價格與產(chǎn)品的函數(shù)關(guān)系為：/=-32+138

（1）求總收入函數(shù)K（jr）；

（2）求總利潤函數(shù)L（.r）;

（3）為使利潤最大化,應(yīng)銷售多少產(chǎn)品？

14）最大利潤是多少？

80.

設(shè)兩拋物線y=2〃，》=3—二及1軸所圍成的平面圖形為以求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積.

81.

已知曲線_y=adT（a>0）與曲線y=InJF在點（々，刈）處有公切線,試求:

（1）常數(shù)。和切點（￡o，W）;

（2）兩曲線與工軸圍成的平面圖形的面積S.

82.

求曲線y=ln.z-在區(qū)間（2.6）內(nèi)的一點，使該點的切線與直線z=2,x-6以及

.y=ln.r所圍成的平面圖形而積最小.

83.

用G表示由曲線_y=ln.r及直線i十y=1=1圍成的平面圖形.

（1）求G的面積；

（2）求G繞）軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

84.

曲線.、，=〃(1)0).直線a+?=2以及y軸圍成一平面圖形D,試求平面圖形D繞

3,軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

85.

某公司主營業(yè)務(wù)是生產(chǎn)自行車,而且產(chǎn)銷平衡.公司的成本函數(shù)C1)=40000+200J--

0.002/.收入函數(shù)R(.r)=35O.r-0.004.M.則生產(chǎn)多少輛自行車時.公司的利潤最大？

六、綜合題(2題)

86.

設(shè)/(x)對任意實數(shù)2恒有/(X4->)=/<T)?fCy}.且/(0)#0,/(0)=I.

(1)證明/(T)=/<x);

(2)求

設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+：)'

(1)求曲線y=/(J)的凹凸區(qū)間;

(2)證明：當丁>0時,八］)>/」一.

1-X

87.

參考答案

1.C

［答案］c

【精析】由題意知P(AB)&P(C).又有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)<1.

所以P(A>+P(B)-1<P(AB)<P(C).故應(yīng)選C.

2.D

［答案］D

【精析】0《??v』=且Z}發(fā)散.但無法判斷>>“的斂散性.

又有后V±.由X4收斂知X(一1)".絕對收斂?故應(yīng)選D.

JI1“I〃”二I

3c【精析】因為八『)=八則/(9)=J,所以///(})］=/(/)=j故應(yīng)選配

4.C

［答案JC

【精析】因為#0)收斂.所以lim”.=001油上=8,所以工-發(fā)散?故

一L8-U”fl-lUX

選C.

5.C

［答案］C

【精析】lim士=1￡0,所以X士發(fā)散.

6.C“.”+1仁〃+1

7.B

【精析】因為3,=f+里?+'=(七匕］)(三+2,

2

”'JJT-1(T+1)(X-1)

limf(H)=--^-,lim/(x)=8,所以只有h=1這一條垂直漸近線，故應(yīng)選B.

lTZL1

8.C

產(chǎn)一丁,0,僅(工(2,

【精析】聯(lián)立2z-l可解得取二者交集可得。(丁(2,

［-14安黃1,［-3WK4，

故選C.

9.D

］

【精析】lim、弋+D=1加，74下=1，因為尸級數(shù)W斗發(fā)散，則￡3—一

一1-Vn(n+l>力〃丁^^n(w-ll)

滔

發(fā)散,故應(yīng)選I).

.［答案］B

嗓一才=’.

【精析】因為lim上二-lim陋=1.故應(yīng)選B.

JT7T/-*<>t

jfijliniz^sinA：=0.lim-*tU=0,lim

,r-?>J：AiJC"—r.

ll.B

［:答案］B

【解析】八幻在工：點可微，必可導,可導.必違續(xù)，反之不定成立?例，=1工I在工=

。連續(xù),但不可導.

12.C

［答案1C

【精析】令”.=L則2-發(fā)散,￡琮=￡4收斂,故A、D不正確.同理.若

"0al"

Ou8iOO3,

3收斂,則-發(fā)散,排除B,故選C.

N-10-1n■-171

13.B

【精析】由/（2.r-l）的定義域為［0.□，可知一142.r-1<1,所以/“）的定義域

為［-1,□.故選B.

C

14c【評注】本題考查的是比值判別法及比較判別法.

「34_￡?-?

【精析】因為】im------；----=lim

工~021

故當立-*0時./是3皿一爐的低階無窮小.故選B.

sin產(chǎn)出

【精析】limJ-=lim乎#=1.故應(yīng)選D.

16.D10/L。'廣3

L答案」B

【精析】由于fCr）,r2sin.r為奇函數(shù).且積分區(qū)間關(guān)于原點對稱.則'/sirudr=0.故

一1

應(yīng)選B.

18.D

【評注】由于級數(shù)的部分和%=/+￡（%-。1）=勺7,所以由級數(shù)的和為1知，

A=1

有于是lima”=lima“T=lims“=1,故選D.

n->oon-Ho〃T8"+o

19.A

【精析】令出(d)=ln(.r+\/\-rJ'2).

則(p(—j)=ln(Q1+7—%)=In-,1------

x/14-j'2H-x

——ln(.r4-y1+a2)=—*(才)，即為奇函數(shù)，

又f(.i)為奇函數(shù)，所以》=/(.r)ln(.r+，TT7j是偶函數(shù)?應(yīng)選A.

20.D

［精析］limU+八)一/(*)+/5)-/(*-3/1)_向］U+-)―/(*)+

A-0hA-0h

3lim./(他一叱—./也)=4/'Cr0)=-12.故應(yīng)選D.

A-0-0/2

21.D

［答案：］D

【精析】由題意可知平面的法向量為{3.-6.1}.又直線垂直于平面.故直線的方向向

量為<3.-6.1},又直線過點(2.1,5),于是可知所求直線方程為上>=匯"=

虧爐.故應(yīng)選D.

22.C

【評注】本題考查積分上限函數(shù)的求導：￡^/(/)df=/sa)m'(x)-〃，(x)w'a).

^￡/(x)dx=O,￡/(x)dx=-=-Ax)1^￡/(^)dx=/(/),

—j/(x)dx=f(t),￡°SX/(Z)d/=/(cosx)-(-sinx)>所以只能選C.

23.D

［精析］lim八0-二阻1/(.&.2)=2lim.N。+二?/(、心=2f5)=4.

10hA—。Lh

24.C

［答案］C

2o?—14”?

■妗y,1sinm/1?2八】?2(1—COSJT)21

【精析】hm----；-=hrm—?sinj^r=0；lim——----—^―=lVim----=——=1?

j-gn"LBJC*l。(e-1)*J-*OJC*

Ln/Jr1(產(chǎn)-》于7

lim聞=1Jim/Y~~-\=lim/I---；----\J=5=1.故選??

-1+kj：工—1/-1x—1/

A

25A【評注】由題意：4-，>0及x—l>0,解得l<x<2,所以，選A.

26.A

【精析】B選項中3-(-1)#,(1);('選項中.)，(一1)不存在且y(l)D;D選項

中函數(shù)在『=0處不連續(xù);A選項中.函數(shù)在L—1.1］上連續(xù).在(1,D內(nèi)可導沙(D=

Ml),符合羅爾定理條件,故應(yīng)選A.

27.B

【精析】由題知］/(r)d.r=3，+C.則f(x)=(j/(j-)d.r)z=(3X+C)'=3，ln3.故本

題選B.

28.A

A

【評注】陋絲=.，lim/(x)=lim(xcosL+2］=2,/(0)=b，a=2=b.

x"?<r*->o-x'.句'xJ

29.C

【精析】由生十受=0,得在=一曲,分離變量得一￡r=?dy,

yxyx

兩邊積分.得J/+G==C為原微分方程的通解，故應(yīng)選C.

30.B

對于B項，公=(-I)-1島，

O

■+1

lim|包|=lim=lim與匚=5<1,

r>f8|UH|77rr-*co3723

31

故XII收斂，原級數(shù)絕對收斂.

79=1

31.

］（1+石尸+C

O

(1+4)d7=2(H-/r)2d(l+7^)=1-(1+7r)3+C.

A/TtJ

32.0

【精析】顯然3在二=0處不解析.故三」的奇點為Q.

ZZ

33.12

?3

【精析】由積分中值定理可得，存在SG［1,3］,使得=/（包（3—1）,又

J1

/⑷=6,所以f（1）cLr=12.

Ji

34.0

［答案］o

【精析】由于/⑺=Vsiu為奇函數(shù),且積分區(qū)間關(guān)于原點對稱.故「,T2siruclr=0.

35.1

［答案］0.3753

【精析】尸（X|>2）=P（X>2）十尸（X<—2）

=1-P（x<2）+P（.r<-2）

36.0=1⑦（0.5）+中（1.5）

=］一6（0.5）+1一①（】.5）

=2—0.6915—0.9332

=0.3753.

37.

」答案［J'=-2H—1

【精析】點(T.D處對應(yīng)的/=一1.

y=y-rr=2/，切線斜率k=y=-2,

y=-2J--1所以切線方程為y—1=—2(z+1),即jy=-2i—1.

38.

y=-e'+Ce'

［答案］j=-e'+Ce:J-

【精析】原方程可整理為7-2?=e',

這是一階線性微分方程.其中PE)=-2.QQ)=e1.

所以原方程的通解為

>-=e網(wǎng)曲(［Q(+C)

=J如(卜一卜-C)

=e2re"d.r+C)

=e2z(-e-,十C)

=-e'+(VJ.

39.-4

,1八工i5?(一’)

【精析】lim------------=lim-----------=—^=1,所以a=一，

J—。jsin.r?一。4

［答案］1

【精析】［尹2(：；")=］一.,

1-2

故2J=1叫1-=L

40.11/'

41.

(2--/R.2+/R)

［答案1(2-衣.2+依)

【精析】因為￡品工’的收斂半徑為R.令/=(“一2)：.則?，的收斂半徑為R,即

?r-0n-<?

一R</VR.則(了一2尸VR.即2—底<x<2+限.

42.

￡(T)"QT)",其中…<2

n=Q

11?1

【評注】因/(X)=—-=Z(T)"(X-D",從而將/(x)=一展開成X-1的幕級

X1-(1-X)gx

數(shù)，當”耳<1時級數(shù)收斂，解得0<x<2.

［答案11

1

43［【精析】因為e，>0.所以/婕')=l./DXe)］=/(I)=1.

44.

—4函數(shù)在彳=3處可導.則/(3)—lim/(x)=-4.

45.

2

2

9io11a

lim.r(sin——sin—\=lim.rsin——lim.rsin—=2——=—.

-r-oo\Xix}Z,?82122

46.-1

【精析】/(%)在」=0處連續(xù)，則lim■+em-1=/(()),即］im■+凸“一［=

.1-0JCL0X

lim迎^+lim---------=1+2〃=〃,a=-1.

j-*0X,r-?0X

47.2

【精析】由于/(z)在工=0處連續(xù)，所以/(0)=lim/(x),即lim型也=^+1=3,

Jf0L0X

故/=2.

48.10

49.

當awO時，@>1；當4=0時，q可取任意非零實數(shù).

【評注】當awO時，等比級數(shù)的公比|丐<1時收斂，即時>1時級數(shù)收斂；當。=0

時，夕取任意非零實數(shù)級數(shù)都收斂，和為0.

50.2

51.

【精析】原式=-yIrud/=”廠hrr—1jt-2d(lnj)

11xz…111「。1J

=—e-21Ine---XIXIni----1-?一d不

cLzJijr

12c1「1e21e

=7e_0_引心=2-針2；

52.

【精析】函數(shù)的定義域為（一°°,+00）,j/=丁片,y〃=；+:）”

令，'=o,可得I=±1,當了e（一0°,一1）時o,函數(shù)為凸的;當Ic（一i,i）

時/>0,函數(shù)為凹的;當（1，+s）時/<0,函數(shù)為凸的，

且當x=-1時,y=ln2；當1=1時,y=ln2,

故函數(shù)的凸區(qū)間為（一8,—1）和（1，+8）,函數(shù)的凹區(qū)間為（一1」）,拐點為（一1,

ln2)和(l,ln2).

53.

【精析】對應(yīng)齊次方程的特征方程為/―4「+4=(),

求解得特征根為片=2,々=2,

2

所以對應(yīng)齊次方程的通解為Y=<G+C2jr)e\

設(shè)原方程特解形式為y*=(g?+，))e，，

代入原方程得a=1.〃=3,

所以可得原方程的一個特解為.y*=(i+3)eL

2j

故原方程的通解為3=(G+C2^)e+(T+3)e",

其中a，a為任意常數(shù).

54.

【精析】當工〉1時.令丁=sec/.—子</<%/arccos—.

LLx

ij.i1?secZlan/.?1.

則---(!./-------(1/—t(narccos—(n；

ryr2_jsec/tan/.r

當.r<—1時,令.r=一〃,〃>1.利用I.述結(jié)論可得---1-dr

.r\/r2-1

----1(1(一〃)=---1arccos-IC=arccos—^―?(\

-u\/ii2—1u\/u2-111~r

綜卜.可得---d.r=arccos—1C.

.,'■一i./

55.

［精析］I<2工-3dr=［\/1—(x—l)2d(jr-1)-令工j-dde

J0J01"J-1

令t=3\nh

,J*cos/i?cos/id/i

=-yje(1+cos2/2)dA

二寺小嚴十斗:二必出⑵):

56.

線性相關(guān).

11-33)p0-1-21、

12-127012-12,

0000J(00000,

x,=X+2X+1,

同解方程組為34

X2=-2X3+X4+2,

對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為4=，通解為

(人,&為任意常數(shù)).

57.

【精析】方程對應(yīng)二階常系數(shù)齊次微分方程的特征方程為產(chǎn)一廠2=0.

解得廠1=2,r2――1,

則對應(yīng)齊次方程/J23，=0的通解為1=&/，一。203

f(x)=eSA=1不是特征方程的根.故設(shè)原方程特解為/=Ae"

貝！)'=Ae"(y*)”=Aez.

代入原方程可得Ae，-Ae"-2Ae，=1.解得八=一十，

故原方程的通解為)=Ge2，+ae"

58.

解：這是一個9型的不定式，可利用洛必達法則來計算，并注意到分子是一個變上限

0

的函數(shù),其導數(shù)為：2Le-%=-[re&YfSx)=e

*sinx,

-C05.X1

因此limlim-

XTOxf02x

59.

C),d.7rj-

【精析】由題可知半=Zcos/----——3SU1/.

d/山

(IV

則半山2cos/?

f,

171

drTd.rT—3sin/

717

3點

當，二千時.-；―?

2*

2??

故曲線的切線方程為.V?即.V=--Fr.r2死

60.

?Xr2.J"2J〃o3〃2

【精析】而=丁''不=2gz,關(guān)=0.

grad?(1,—1,1)=(1.—2,1),

du=\/l2+(—2)2+I2=\/6.

萬i>

61.

【精析】兩邊同取自然對數(shù)，得

Iny=21n(/+1)十31n(z+2)---ln(x十3)—ln(x+4),

乙

兩邊分別對Z求導.得

1311

脩+工+22(H+3)才+4'

(■r+l)"z+2?「2上31I_-

d工+3(1+4),x'1工+22(彳+3)77

62.

]shurl1?im—dni

原式=limCl+sin.r)s:"~e，xe.

?ffu

63.

1、siru?-xsiruJC

【精析】吧!弓--)=hm——---=lim

sinxx-oj-sin.7'x-*O

1

X

COST-1~2

=lim=lim1

LOx-*0

64.

x=xXx=0,

解：OA>，1->仇8。:<y:lf0.

gx,1片L

;-x：d(-x2)=一步［o=g(l-b).

65.

【精析】因為

P=2x-y+4,Q=5?—3z—6,

絲-手=3-(一1)=4.

分

所以由格林公式得

原式=「dvfdj*=I4dadv

節(jié)

=4*--*3*2—12.

66.

令￡=a—%,貝I1%=a—/■且d#=—dz.

/(.r)

于是I=?(-1)dz

of(x)+f(a—JC)af(a—t)+f(f)

f(a—7)

T：fj-ao+fmdt=dx?

于是21=di十

o/(x)十/(a—x)Jo/(a—z)十J(J?)

人才）a

故/=

of(x)+/(a—x)2.

67.

【證明】令/(X)=arcsine+arccosx?貝I］/'(/)=—,1——,1=0.

所以f(j)=(\

當1=1時?/(1)=arcsinl+arccosl=與.

故arcsinu4-arccos.r=y恒成立.

68.

【證明】令/(^)=(x2)ln(1①)21./'(工)=ln(lx)1—

/'(工)=