2023電大經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(例題大全)

2023經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例題大全(考試必備)

一單項(xiàng)選擇題

x

1.函數(shù)y=的定義域是(D).

lg(x+l)

A.x>—lB.xW0C.x>0D.x>—l且x#D

2.若函數(shù)于(4的定義域是(0,〃，則函數(shù)于3)的定義域是(C).

A.(0,1]B.(—00,1)C.(-co,0]D(-oo,0)

3.及/(x)='+l,刈/(/(x))=(

A

X

X,X1,1

A.------+1B.------C.------+1D.------

1+X1+X1+x1+x

4.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(C).

x-1

A.y=x2-xB.y=QX+e~xC.y=InD.y-xsinx

x+T

5.下列結(jié)論中,(C)是正確的.

A.基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)B.偶函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

C.奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.周期函數(shù)都是有界函數(shù)

6.已知f(x)=-—--1,當(dāng)(A)時(shí),f(x)為無窮小量.

tanx

A.x—>0B.x-1C.x—>-00D.X—>+00

sinx八

,X工U

7.函數(shù)f(4=.X在X=0處連續(xù),則k=(C).

k,x=0

A.-2B.-1C.1D,2

8.曲線y=sinx在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(A).

1

A.y=xB.y=2xC.y=yxD.y=-x

若函數(shù)于「~)

9.=x,則于KQ二(B).

X

1111

A.&~~C,-D.—一

x~x2XX

10.若/(X)=XCOSX，則f"(4=CD).

A.cosx+xsinxB.cosx-xsinx

C.2sinx+xcosxD.一2sinx-xcosx

11下列函數(shù)在指定區(qū)間+哈上單調(diào)增加的是(B).

sinxB.exC.x2D.3-x

12.設(shè)需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為小6)=3—2),則需求彈性為Ep=(B).

3-277

3-277/P

。填空題

x+2,-5<x<0

1.函數(shù)于（4=\的定義域是答案:「5,2）

0<x<2

2.若函數(shù)/（X+1）=/+2X_5,則以4=答案:九2-6

10"+K)T

3.設(shè)f(x)=，，則函數(shù)的圖形關(guān)于一.對(duì)稱.答案:

x+sinx

4.____________.答案：1

X"x

einV

5.已知于(x)=\—二當(dāng)_____________時(shí),于(心為無窮小量.答案:%—>0

x

6.函數(shù)于(玲=△-的間斷點(diǎn)是___________.答案:x=0

1-e

7.曲線y=&在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率是_______________________.:y（i）=o.5

8.3知/(x)=In2x,劃"(2)]'=.答案:0

_p_

9.需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為q(p)=100xe2,則需求彈性為E0=

——

2

rs;計(jì)算題

—3x+2

7.lim

2

A->2x-4

..x2—3x+2=lim（%二2）g1）=lim--1-=1

hm---；------

2

XT2X-412（九-2）（九+2）I2（X+2）4

sin2x

2.lim—；=——

y/x+1-1

sin2xTim（J%+1+1）sin2x

lim—7=——

。Vx+1-1~^°（Vx+i-i）（Vx+i+i）

=lim（7x+l+1）limS^-^-=2x2=4

.ITOzx

V3—x-A/1+X

3.lim

XTlx1-1

..A/3—X-Jl+X（,y3—X-y/'l+x）（j3-X+Jl+x）

斛lim---------------=lim--------------T=——-----

XTIx2-i“I（%2-1）（73^%+71+%）

（3-x-（l+x））-2U-1）

lrim---------,---.=lim--------------,

—（九2-l）（V3-x+V1+X）7（，-l）（V3-x+Vl+x）

r—21

lim--------,---/=----7=

（冗+1）（V3--X+VT+x）2V2

[.tan(x-l)

4.hm------------；

x+x-2

「tan(x-1)「tan(x-1)

解lim-----------=lim--------------------

7廠+x—2e(%+2)(%-1)

..1..tan(x-1)1t1

=lim---------lim---------------=—x1=-

alx+2Ix-\33

sin2xe

5.--------十一)

Xx+1

sin2xexsin%....ev八，

解lim(--------十——)=lim-------limsinx+lim-------=0+I=

.r-?0xx+1工70X10?sOX+1

…COSXq，/、

6.己知y-2-----------，求y(x).

1-x

cosx—(l-x)sinx-(-l)cosx

yay—)f=2'ln2-

1—x(If

cosx-(l-x)sinx

=2Xln2-

(IT)?

7.=Incosx2,求y＜后);

解因?yàn)?，?/p>

V=(lncosx2)=y(-sinx2)2x=-2xtanx2

cosx

，端）后（后7t）2

所以=-2tan=—x1=—y[71

2

8.已知y-Vl+lnx，求dy.

1,2

解因?yàn)閥z=-(l+ln2x)3(l+ln2x)r

1八i22Inx2.2i

=—(1+lnx)3------------=—(l+lnx)3Inx

3x3x

29~

所以dy=—(1+In2x)3Inxdx

3x

x2

9.i&y=cos—+e_2x求dy.

222

解:因?yàn)閥=-sin—(—)r-2e_2x=-xsin---2e-2x

222

無2

所以dy=(-xsin--2e-2t)dx

10.由方程s.vny+xey=0確定y是x的隱函數(shù),求y'（x）.

解對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo),得

y'cosy+e'+xe'y'=0

(cosy+xev)y，=-ey

一e)’

y'(x)=--------------?

cosy+尤e，

11.設(shè)函數(shù)y=由方程y=\+xe、確定,求-

解:方程兩邊對(duì)X求導(dǎo),得y'=e，+xeW

y=--------

1-xev

當(dāng)x=0時(shí),y=\

所以,寸=—^―-=e

小戶01-Oxe1

12.由方程cas(x+y)+ev=x確定y是x的隱函數(shù),求dy.

解在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo),得

[cos(x+y)]'+(e))'=(x)'

-sin(x+y)[l+y']+e'y'=1

[ev-sin(x+y)]y'=l+sin(x+y)

,l+sin(x+y)

y-

ev-sin(x+y)

,,.l+sin(x+y),

故dy=--------------dx

e?-sin(x+y)

(四)應(yīng)用題

I.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品,其固定成本為2000元,每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元,對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為

q=1000-10/7(q為需求量,p為價(jià)格).試求:

(1)成本函數(shù),收入函數(shù);(2)產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大?

解(1)成本函數(shù)C@=60q+2000.

因?yàn)閊^1000-10/2,即“=100—市，

所以收入函數(shù)R(q)=pxq—=100<7-.

1.

(2)因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)L(q)=R(q)-C{q)=100q-—-(60q+2000)

12

=40q~—q2-2000

1,

JELL'(c/)=(40q--q2-2000Y=40-0.2q

令L，(q)=0,即40-0.2q=0,^q=200,它是L(G在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).

所以,q=200是利潤(rùn)函數(shù)L(q)的最大值點(diǎn),即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大.

2.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時(shí)的總成本函數(shù)為C(q)=20+4q+0.0lq2(元),單位銷售價(jià)格為p=14-0.01q(元/件),

問產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大?最大利潤(rùn)是多少.

解由已知H=qp=4(14—0.01q)=]4q_0.01/

破函教乙=7?_0=144—0.0坷2_20_44_0.0坷2=]04_20_0.0242

圾，=10—0.04“，令L'=10—0.04q=0,解出唯一駐點(diǎn)q=25金

因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)存在著最大值,所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大,

且最大利潤(rùn)為

A(250)=10x250-20-0.02x2502=2500-20-1250=1230(元)

3.已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的成本為C(q)=250+24q+3(萬元).問:要使平均成本最少,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)

品?

解(1)因?yàn)樨?4)=^@=空+20+2

qq10

250“q,2501

c⑷=(z——+20+^---+—

q10q10

令C'(q)=0,EP-^-+—={),得q[=50,q2=-50(舍去),

q-10

%=50題(q)在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).

所以,、=50欣:(q)的最小值點(diǎn),即要使平均成本最少,應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品.

1.函數(shù)y)(答案:B)

A.[-2,4-00)B.[—2,2)LJ(2,4-oo)C.(―oo,—2)D(―2,+8)D.(—oo,2)kJ(2,+oo)

2、若函數(shù)f(x)=cos三,"lim/。+泡=/⑴=()。(答案:A)

4-。Ax

V2.7C.71

A.0B.----C.-sin—D.sin—

244

3.下列函數(shù)中,()是*$抽t的原函數(shù)。(答案:D)

A.—cosx2B.2cosx2C.—2cosx2D.--cosx2

22

4.設(shè)A為mxn矩陣,B為sxt矩陣且ACB有意義,則C是()矩陣。(答案:D)

A.mxtB.t^mC.D,sx〃

%1+2X2—4犬3=1

5.用消元法解線性方程組、x2+x3=O得到的解為（（答案:C）

X

、~3~2

M=1王二—7

A.<x2=0冗2=2

、冗3=-2當(dāng)=-2

X1=—11

x]=-11

V

C.<X2=2D.x2=-2

x3=-2=-2

二、填空題:(3x5分)

6.已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C（q）=80+2q,則當(dāng)產(chǎn)量q=50單位時(shí),該產(chǎn)品的平均成本為。（答案:

3.6）

7.函數(shù)于（4=[^~-----的間斷點(diǎn)________________。（答案:xi=l,X2-2）

x—3x+2

i

8.J（xcosx+l）t/x=。2）

-i

-1-11一

9.矩陣20-1的秩為。（答案:2）

1-34

10.若線性方程組、“一：2=°有非。解,則入=______________。1答索=.1）

x{+Zx2=0

三微積分計(jì)算題（10X2分）

三(j)+[l+Inf]g)

11.設(shè)yJh'LR，求y'(0)。解:y(1-x)2-(1-x)2

1-X

y'(0)=0

In2

72.J(1+cx\dxo

o

In2ln2iiQ

解:J，(l+e*)2公=J(1+/)2或1+/)=一(1+")3=——

003n3

四、代數(shù)計(jì)算題（15X2分）

-113

13.設(shè)矩陣A=1-15，求(1+A)L

1-2-1

013

解:I+A=105

1-20

0I3105010

(I+AI)105013100

I-2000-50-11

1050106-5

0131003-3

0012-11002-11

-106-5

；.(/+A)T-53-3

2-11

%-3%+2X3-0

14.設(shè)齊次線性方程組乂

-5X2+3*3=0問取何值時(shí)方程組有非0解,并求一般解。

—8%2+幾占0

210-I

解:-101-1

2-600%—5

故當(dāng)入=5時(shí)方程組有非0解,一般解為卜陽=&(其中當(dāng)是自由未知量)

五、應(yīng)用題(8分)

75.已知某產(chǎn)品的邊際成本為CKG=21元/件),固定成本為0,邊際收益R(q)=12—G.02q,求:

(1);產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大?

(2)在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件,利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變更?

解:(1)邊際利潤(rùn)E(q)=R'(q)—C'(g)=10-O.02q

今L'(q)=0,得唯一駐點(diǎn)q=500(件)，故當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)利潤(rùn)最大。

(2)當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時(shí)，利潤(rùn)變更量為

550

.550,

△L=L0G(1o-0.02q)dg=(10g—0.0)=—25

500

即利潤(rùn)將削減25元。

線性代數(shù)綜合練習(xí)及參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)A為3x2矩陣,B為2x3矩陣,則下列運(yùn)算中(\)可以進(jìn)行.

A.ABB.ABTC.A+BD.BAT

2.設(shè)A,B為同階可逆矩陣,則下列等式成立的是(B)

A.(A5)T=AT5TB.(AB)T=5TAT

C.(AB7)-'=A-'(BTY'D.(ABTyl

3.設(shè)A,B為同階可逆方陣，則下列說法正確的是(D).

A.若AB=1,則必有A=I或B=/B.(AB)T=A'Br

C.秩(A+B)=株(A)+秩(B)D.(ABY'=B'A''

4.設(shè)A,B均為n階方陣,在下列狀況下能推出A是單位矩陣的是(D).

A.AB^BB.AB=BAC.AA—ID.A-1

5.設(shè)A是可逆矩陣,^A+AB^I,則A-'=(C).

A.BB.\+BC.I+BD.(/—y45)1

6.設(shè)A=(12),6=(—13),I是單位矩陣,則NB-I=(D).

--131P-l-21[-2-21r-22

A.B.C.D.

-26jL36JL35J]_2f

7.設(shè)下面矩陣A,B,C能進(jìn)行乘法運(yùn)算,那么(B)成立.

A.AB=AC,AHO,則B=CB.AB=AC,4可逆,則B=C

C.A可逆,則AB=BAD.AB=0,則有A=0,或B=0

8.設(shè)A是n階可逆矩陣,k是不為。的常數(shù),圾(以)-=(C).

A.kA-'B.—A''C.-kA~'D.-A-1

knk

'120-3'

9.該A=00-13,則KA)=(D).

24-1-3

A.4B.3C.2D.1

-13126-

0-1314

JO.設(shè)線性方程組AX=b的增)'.矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般

0002-1

00000

解中自由未知量的個(gè)數(shù)為(A).

A.1B.2C.3D.4

M+x,=1

11.線性方程組412解的狀況是(A).

%+%2=0

A.無解B.只有。解C.有唯一解D.有無窮多解

-1A2

12.若線性方程組的增廣矩陣為A=，則當(dāng)入=<A；時(shí)線性方程組無解.

_210

A.-B.0C.ID.2

2

13.線性方程組AX=0只有零解,則AX=6(bw0)(B).

A.有唯一解B.可能無解C.有無窮多解D.無解

14.設(shè)線性方程組AX=b中,若r(A,b)=4,r(A)=3,則該線性方程組(B).

A.有唯一解B.無解C.有非零解D.有無窮多解

15.設(shè)線性方程組AX=b有唯一解,則相應(yīng)的齊次方程組AX=O(C

A.無解B.有非零解C.只有零解D.解不能確定

二、填空題

1.兩個(gè)矩陣A,B既可相加又可相乘的充分必要條件是A與B是同階矩陣.

rr2

r-300

2.計(jì)算矩陣乘砒20:[4]

I」-1

-23-1

3.若矩陣A=[-12],B=[2—31],則NB=

4-62

4.設(shè)A為mxn矩陣,B為sxt矩陣，若AB與BA都可進(jìn)行運(yùn)算，則m,n,s,t有關(guān)系式答：m=t,n=s

-102-

5.紇A二a03,當(dāng)a=0時(shí)，A是對(duì)稱矩陣.

23-1

3

6.當(dāng)a。—3時(shí),矩陣A可逆.

a

7.設(shè)A、B為兩個(gè)已知矩陣,且I—B可逆,則方程A+BX=X的解X=—(I-By'A

8.設(shè)A為n階可逆矩陣,U!ijr(A)=n

-2-12

9.若矩陣A=402，則r(A)=2

0-33

10.^r(A,b)=4,r(A)=3,則線性方程組AX=b無解

%-x,=0

11.若線性方程組\'J有非零解,則入=-1.

X]+AX2=0

12.設(shè)齊次線性方程組AmxnX“*i=0,且株⑷<n,則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于

1-123

13.齊次線性方程組AX=D的系數(shù)矩陣為A=010-2則此方程組的一般解為.

0000

答“X,=一2七一%(其中X3是自由未知量)

=2匕

14.線性方程組AX=b的增廣矩陣K化成階梯形矩陣后為

-12010

A.一042-11

0000C1+1

則當(dāng)d-/時(shí),方程組AX=b有無窮多解.

15.若線性方程組AX=b(b^0)有唯一解,則AX=0_只有。解

三，計(jì)算題

-102-2r

1.設(shè)矩陣A=-124,B=—13，，求Q1-AT)B

_311[03_

r「212—6r

「10：

2.設(shè)矩陣A=",8=010,C=22f計(jì)算BN+c.

1-2(

」L°°2-42

--13-6-3一

3.設(shè)矩陣A=-4-2-1,求A，

211

-012

4.設(shè)矩陣A=114，求逆矩陣K'

_2-10

1-63-

fl0-2

5.設(shè)矩陣A=,8=12十算(AB)1

1-2C

」|_41

-11

17-3

6.設(shè)矩陣A=0-2B=，計(jì)算(BA)L

0-12

20

-2-3-1

7.解矩陣方程X=

_34__2_

「12-1-1-

8.解矩陣方程X

_35一'_20

X]十%=2

9.設(shè)線性方程組\x\+2X2—X3=0探討當(dāng)。，b為何值時(shí),方程組無解,有唯一解,有無窮多解.

2%]+%2-ax3=b

X]+2%3=-1

10.設(shè)線性方程組一事+%—3七=2,求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩,并推斷其解的狀況.

2xt-x2+5^3=0

II.求下列線性方程組的一般解:

$+2X3-x4=0

<-X|+—+2*40

2x(-x2+5X3-3X4=0

12.求下列線性方程組的一般解:

2,x^~5%2+2xj—3

<x,+2X2-x3=3

2%1+14X7—6Xj=12

xt-3x2+2七=0

13.設(shè)齊次線性方程組<2』-5X2+3X3=0

3X]-8X2+AX3=0

問入取何值時(shí)方程組有非零解,并求一般解.

玉+々+七=1

14.當(dāng)入取何值時(shí),線性方程組VX”—Ax：=入有解？并求一般解.

-xy+5X3-1

15.已知線性方程組AX=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為

-1-16-31

A->???-?01-330

0000Z-3_

問大取何值時(shí),方程組AX=b有解？當(dāng)方程組有解時(shí),求方程組AX=b的一般解.

四、證明題

1.試證:設(shè)A,B,AB均為ri階對(duì)稱矩陣,則AB=BA.

2.試證:設(shè)A是n階矩陣,若43=0,=I+A+A2.

1,,

3.已知矩陣A=-(B+I),且R=A,試證B是可逆矩陣,并求B-：

2

4.設(shè)n階矩陣A滿意U=I,A4T=/,證明A是對(duì)稱矩陣.

5.設(shè)A,B均為n階對(duì)稱矩陣,則AB+BA也是對(duì)稱矩陣.

三，計(jì)算題

T

-10o--102

1.解因?yàn)?7-AT=2010—-124

001311

-20O--I-13-11-3'

=020—C21=0J-1

002_241-2-41

11-31Pr■]—5-

所以(2/-A/=00-1-13=0-3

-2-41J3_0-11

一212-1「--6r

2.解;BA'+C=0100-2+22

.002_-20_-42

-60'--6r-0「

0-2+22=20

40-4202

-13-6-3100114107

3.解因?yàn)?A1)=-4-2-1010001012

211001211001

1141071T1101-4

-001012-001012

0-1-7-20-130-10-271

100-130100-130

30-10-271-0102-7-1

00102J1001012

-130

所以箱=2-7-1

012

012100114010

4.解因?yàn)椋ˋ114010f02100

200010-3-80-21

102-1101002-11

T0121000104-21

00-23-2100-23-21

1002-11

0104-21

00I-3/2I-1/2

21

所以A'=4-21

_-3/21-1/2

63

0-2-21

5.解因?yàn)锳B二12

1-204

41

10-21()

(ABI)=

4-1002

11

o-o--

-O222

2o21

一1

-

歷以2

2

一

11

2-3-5-3-

6.解因?yàn)锽A=0-2

0-1242

20

-5-310-1-111

(BA1)=—>

4204201

所以

-2-310111

7.解因?yàn)?/p>

34013401

11043

01-3-201-3-2

-2-343

即

34-3-2

43-12

所以,X

-3-22-1

2102100-52

8.解:因?yàn)?/p>

35010-1013-1

12-52

BP

353-1

1-1121-1-52-83

所以,X=

2035203-I-104

10121012

9.解因?yàn)?2-1002-2-2

21b01—47-2-4

1012

01-1-I

00h-3

所以當(dāng)a=—\且b手3時(shí),

當(dāng)a手一一時(shí),方程組有唯一解;

當(dāng)。=一\且b=3時(shí),方程組有無窮多解.

10.解因?yàn)?/p>

102-1102-1102-1

A-1I-320I101-11

2-1500-1I20003

所以r(A)=2,r(A)=3.

又因?yàn)镵A-MX),所以方程組無解.

11.解因?yàn)橄禂?shù)矩陣

02-1102-1102-1

A-11-3201-11—>01-11

2-15-30-11-10000

xt--2X+x

所以一般解為《34（其中％,是自由未知量）

x4

［無2=七一Z

12.解因?yàn)樵鰪V矩陣

2-52-1

A12-14

-214-6-8

1

/+1

所以一般解為（其中％是自由未知量）

4,

X2=~X3+1

13.

-3210-1

1-101-I

I2-600A—5

所以當(dāng)入=5時(shí),方程組有非零解.且一般解為

（其中％是自由未知量）

、“2

14.解因?yàn)樵鰪V矩陣

II11111-1

2I-4A0-1-622

-1050162

所以當(dāng)入=0時(shí),線性方程組有無窮多解,且一般解為:

'/1X、是自由未知量)

x2=-6X3+2

15.解:當(dāng)入=3時(shí),r(A)=r(A)=2,方程組有解.

1-16-311F10301

當(dāng)入=3時(shí)，h金1-330-01-330

0000oj[00000

X[=1-3*3

一般解為、其中X*XA為自由未知量.

x2-3X3—3X4

四、證明題

1.證因?yàn)镹=A,BT=B,(AB)T=AB

所以AB=(AB)T=BTAT=BA

2.證因?yàn)?7-A)(/+A+A2)

=1+A+A2-A-A2-Ai=1-A3=I

所以(/一A)T=/+A+A2

3.ijE=-(B+I)2=-(B2+2B+I),且6=A,SP

44

11

—(B?7+2B+I)=—(B+I),

42

得B,=1,所以B是可逆矩陣,且Bi=B.

4.證因?yàn)?/p>

A=AI=AAA'=IAr=Ar

所以A是對(duì)稱矩陣.

5.證因?yàn)閄1"=ABT=B，且

(AB+BA)T=(AB)T+(SA)T=BTAT+ATBT

=BA+AB—AB+BA

所以A8+&4是對(duì)稱矩陣.

積分學(xué)部分綜合練習(xí)及參考答案

—■,、單項(xiàng)選擇題

7.在切線斜率為2x的積分曲線族中,通過點(diǎn)(1,4)的曲線為(A).

A.y=x2+3B.y=x2+4c.y=2x+2D.y-4x

2.^Jo(2x+Qdx=2,則k=(A).

1

A.IB.-1C.0D.-

2

3.下列等式不成立的是(D).

1

A.erdx=d(ev)B.-sinxdx=d(cosc)C.-7=dr=dVxD.Inxdr==d(-)

2vxX

X

4.若J/(x)dr=-e5+c,則f\x)=(D).

X[X