2023年高考數學一輪復習試題：第十單元立體幾何

第十單元

nUBFlfoI

§10.1空間幾何體的直觀圖、三視圖及其應用

基礎運?

1.關于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（）.

A.原圖形中平行于x軸的線段，其對應線段平行于x軸，長度不變

B.原圖形中平行于y軸的線段，其對應線段平行于y軸，長度變?yōu)樵瓉淼膅

C.在畫與直角坐標系X。/對應的坐標系X'。"時,NX'?！繁仨毷?5°

D.在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同

2.下列說法中正確的是（）.

A.棱柱的側面可以是三角形

B.正方體和長方體都是特殊的四棱柱

C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形

D.棱柱的各條棱都相等

3.若把一個高為10cm的圓柱的底面畫在平面上，則圓柱的高應畫成（）.

A.平行于z軸且長度為10cm

B.平行于z軸且長度為5cm

C.與z軸成45°且長度為10cm

D.與z軸成45°且長度為5cm

4.

如圖所示的是一個正方體，它的展開圖可能是下面四個展開圖中的（）.

|6||4

CD

5.如圖所示的三個視圖對應的幾何體是（）.

正視圖側視圖俯視圖

A.六棱臺B.六棱柱

C.六棱錐D.六邊形

6.等腰三角形48C的直觀圖可能是（）.

A

A.0②B.②③C.②④D.③⑷

7.

O'B

如圖，一個水平放置的圖形的直觀圖是一個等腰直角三角形。3旦斜邊長。夕口,則原平面圖形

的面積是（）.

A.2B."C."D.1

242

8.（2022?安徽合肥質檢）如圖,網格紙中小正方形的邊長為1,粗實線畫的是一個四棱錐的三視圖,

則該四棱錐最長棱的長度為（

A.4V2B.4V3C.8D.8V2

考能提升

9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）.

正視圖側視圖

俯視圖

A.2TTB.4TTC.6TT

10.

水平放置的的直觀圖如圖所示，已知ZI'CM3,8'C'=2,則48邊上的中線的實際長度

為.

11.高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體,它的直觀圖和三視圖中的側視圖、俯視

圖如圖所示,則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的

直觀圖側視圖

俯視圖

拓展延伸

12.一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，例/V分別是/68C的中點.請把下面幾種正確說法

的序號填在橫線上.

直觀圖正視圖側視圖

俯視圖

0例Ml平面CAE6②8&/IG③該幾何體的表面積為12M&;?該幾何體的外接球（幾何體的所

有頂點都在球面上）的體積等于46TT.

13.

已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長為2cm的正方形，則這個正四面體的正視圖的面積

為.

創(chuàng)新應用

14.

如圖，正四棱錐尸的高為12,48^6加石尸分別為以，尸C的中點，過點8,￡尸的截面交

尸。于點例截面￡8尸粉將四棱錐分成上、下兩個部分,規(guī)定而為正視圖方向，則幾何體CDAB-

隹的俯視圖為（）.

§10.2空間幾何體的表面積與體積

基礎過關

1.（2022?南昌模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為4的正方形，兩條虛線

互相垂直，則該幾何體的體積是（）.

正視圖側視圖

俯視圖

A節(jié)B與唔D.32

2.（2022?肥城調研）

C

在《九章算術》中，將兩底面為直角三角形的直棱柱，即長方體的斜截平分體，稱為塹堵.今有如圖

所示的塹堵形狀（4B=BC）容器，給其裝滿水，當水量使用了一半時，水面高度占48的（）.

A.1B.1

32

C等D停

22

3.棱長為2的正方體的內切球的體積為（）.

A.4TTB.16nc.yD等

4.已知圓柱的高為2,它的兩個底面的圓周在直徑為4的同一個球的球面上，則該圓柱的體積是

（）.

A.TTB.-C,-D.6TI

42

5.八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內，如果四邊形ABCD

是邊長為30cm的正方形,那么這個八面體的表面積為.

6.

如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體,若在其中一個面的中心位置上挖個直徑為2cm、

深為1cm的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是cm2.（rrB3.14）

考能提升

7.已知圓柱的上、下底面的中心分別為a,。,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積

為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）.

A.12V2TTB.12n

C.8V2TTD.10n

阿基米德（Archimedes,公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的數學家、物理學家和天文

學家，其墓碑上刻著一個“圓柱容球”的幾何圖形，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現,

在該圖中,圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等,則球的體積與圓柱的體積的

比值和球的表面積與圓柱的表面積的比值分別為（）.

A.|和1B.|和1

C.|和犯郛|

9.一個正方體挖去一個多面體后，剩余幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖、側視圖和俯視圖

均為邊長等于2的正方形，則挖去的多面體的體積為（）.

10.設48,GO是半徑為4的球的球面上四點,A/GC為等邊三角形且其面積為9百,則三棱錐D-

48C體積的最大值為（）.

A.12V3B.18V3

C.24V3D.54V3

11.在三棱錐尸乂8c中,〃_L底面ABC,BC\PCFA=AC=&,BC=a，動點。從點8出發(fā)，沿外表面

經過棱尸C上一點到達點A的最短距離為國，則該棱錐的外接球的表面積為（）.

A.5TTB.8TT

C.10TTD.20TT

12.已知四棱錐的底面是邊長為魚的正方形，側棱長均為近,若圓柱的一個底面的圓周經過四棱

錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.

拓展延伸

13.已知三棱錐尸的四個頂點在球。的球面上,以二尸8=尸。,4/8。是邊長為2的正三角

形,E尸分別是四,48的中點,/C￡Q90°,則球。的體積為（）.

A.8V6nB.4V6n

C.2V6TTD.V6TT

14.現有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長分別為9和15,高是5,則該直四棱柱的表

面積為.

創(chuàng)新應用

15.（2022?江蘇摸底考）如圖所示,用一邊長為弓的正方形硬紙，沿各邊中點垂直折起四個小三角形,

做成一個蛋巢，將體積為今的鳥蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則鳥蛋（球體）離蛋巢底

面的最短距離為（）.

A孚B.孚

44

C竽口.竽

44

16.在一個棱長為3+2企的正方體內有一個大球和小球，大球與正方體的六個面都相切，小球可以

在正方體和大球之間的空隙自由滑動，則小球表面積的最大值是

17.（2022?陜西西安一模）農歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習慣，粽子，古稱“角黍”“裹蒸”“包

米”“簡粽”等，早在春秋時期就已出現，到了晉代,成為了端午節(jié)慶食物.如圖，將寬為1,長為3的矩

形紙片沿虛線折起來，可以得到粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為;若該六面體內

有一球，則當該球體積最大時,球的表面積是.

§10.3空間中點、線、面的位置關系

基礎過關

1.下列命題是真命題的是（）.

A.空間中的不同三點確定一個平面

B.空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面

C.一條直線和一個點能確定一個平面

D.梯形一定是平面圖形

2.已知是異面直線，直線c平行于直線a,則c與a）.

A.一定是異面直線

B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線

D.不可能是相交直線

3.在四面體ABCD中,BC=BD=CD2ABNa,N是棱4。的中點,CA/=\四，則異面直線AB與CN

所成的角為（）.

4Di

4.已知直線a,。分別在兩個不同的平面a￡內,則“直線a和直線。相交”是“平面a和平面?相交'

的（）.

A.充分不必要條件

B,必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.已知空間四邊形28C。中，例/V分別是48,8的中點，且為貝J（）.

A.1<W<5

C.1<M/V<5D.2<MA/<5

6.在空間四邊形中,力。=8c=2,￡尸分別是28,CD的中點，上尸"5,則異面直線AD,BC所

成的角為（）.

A.45°B.1200

C.60°D.60°或120°

7.（2022?寧夏一模）在正方體中，。是的中點，直線4C交平面于點

例則下列結論正確的是（）.

①G,①。三點共線；

②G,例。。四點共面；

③C,0,8,8四點共面;

④a,。,。例四點共面.

A.①②B.①②③⑷

C.①②③D.①③⑷

考能提升

8.

如圖，在三棱柱Z8C-48iG中,/W"G/!8L4Ci,/C=/l4,8C=/IGj^aG則異面直線84與

/C所成的角等于（）.

A.30°B,60°

C.90°D.12O0

9.（2022?寧夏中衛(wèi)聯考）

O.ct

如圖,在正四棱柱力8CD-48iG0i中,48=近44,￡尸分別為48,8C的中點，異面直線4自與

G廠所成的角的余弦值為。，則（）.

A.直線4￡與直線G片異面，且m號

B.直線4E與直線G尸共面，且?？?/p>

C.直線4E與直線G尸異面，且m號

D.直線與直線G廠共面，且m當

10.（2022?吉林長春二模）在正方體ABCDABQDi中，例/V尸分別為BC,DDi和B&的中點,

則下列說法正確的是.（填序號）

①“尸￡加四點共面;②力。山平面NMP,③AICLPM,④PN與BCy所成的角為60°.

11.（2022?寧夏銀川二模）下列命題中正確的個數為.

①若A/8C在平面a外，它的三條邊所在的直線分別交a于RQ,R則尸,Q,/?三點共線；

②若三條直線a,Z>,c互相平行且分別交直線/于48。三點廁這四條直線共面；

③若直線a,匕異面，直線b,c異面,則直線a,c異面；

⑷若aj_c,dc,則司匕

拓展延伸

12.（2022?海南聯考）直四棱柱的所有棱長均相等,/47C=

120°,例是83上一動點，當4例+例C取得最小值時，直線4例與仔。所成角的余弦值為（

A半B.g

Cl口筆

13.已知￡EG,〃為空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點,若若安丹笑冬三，則四邊

ADADLCDCD3

形￡FG“的形狀為.

創(chuàng)新應用

14.（2022?甘肅蘭州一模）如圖,正方體力88-43Goi的棱長為1,點例在棱4。

上,4例=2例過點例的平面a與平面48G平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該

截面多邊形的周長為.

15.

如圖，若正四棱柱28C248GR的底面邊長為2,高為4,則異面直線與4由所成角的正

弦值為，異面直線8R與力。所成角的正弦值是

§10.4直線、平面平行的判定與性質

基礎過關

1.在三棱錐48。。中,￡尸分別是48和8C上的點，若力￡口=?！?詛則直線4C與平面DEF

的位置關系是（）.

A.平行

B.相交

C.直線/IC在平面DEF內

D.不能確定

2.若直線/不平行于平面a且加。,則（）.

A.a內的所有直線與/異面

B.a內不存在與/平行的直線

C.a內存在唯一的直線與/平行

D.a內的直線與/都相交

3.

如圖，在正方體ABCD-AiBiGDi中，已知￡￡G是線段4G上的點，且4巧=三尸=&?=3。1,則下

列直線與平面48。平行的是（）.

KCEB.CFC.CGD.CCi

4.給出下列三個說法:①若直線a在平面a外，則創(chuàng)。

②若直線司。,直線Ra,加a,則a||a

③若司。,斤＜7,則a與a內任意直線平行.

其中所有正確說法的序號為.

5.

B

在直三棱柱ZI8C-481cl中，。為44的中點，點尸在側面BCGBi上運動，當點P

時,4引平面8c。（答案不唯一,填一個滿足題意的條件即可）

考能提升

6.（2022?四川仁壽模擬）正方體的棱長為2,￡f；G分別為BC,CCi,BBi的中點.

則下列說法錯誤的是（）.

A,直線4G與平面ZIE廠平行

B.直線。。與直線力尸垂直

C.異面直線4G與￡尸所成角的余弦值為噂

D.平面力守截正方體所得的截面面積為?

7.已知在長方體488-486。中,48=8?；?，點￡在線段CG上，器=/（04膽1）,平面a過線

LCC1

段的中點以及點仔,￡若平面a截長方體所得截面為平行四邊形,則實數/I的取值范圍是

().

A.[0(l]B.t,1]

2f32，

8.

如圖,四棱錐尸-ZI8C。的底面是平行四邊形,尸4=尸8必8=2,6廠分別是48,。。的中點,E?。與2尸

相交于點〃平面ZGQI平面PECP6平面4GQG，且尸G=/IG。,則A=,GH=.

9.已知正方形48C2如圖1.￡尸分別是48,。的中點,將人力?！暄刈笳燮?，如圖2所示，求

證:防|平面ADE.

10.如圖所示，已知尸是所在平面外一點，例/V分別是43,尸C的中點，平面Q4a平面

PBC=L

求證:(1"18G

(2)例M平面PAD.

拓展延伸

11.（2022?江蘇高三開學考試）在棱長為2的正方體力8c248GR中,/V為8C的中點.當點例

在平面DCGDi內運動時平面48。,則線段例/V的最小值為（）.

A.1B.乎C.V2D.V3

創(chuàng)新應用

12.（2022?寧夏石嘴山模擬）已知正方體的棱長為2,點例/V分別是棱BC8

的中點，則異面直線AN與8C所成角的余弦值為;若動點尸在正方形8CG8i（包括邊

界）內運動，且以11|平面4用/V,則線段PAy的長度范圍是________.

§10.5直線、平面垂直的判定與性質

基礎反空—

1.下列說法正確的是（）.

A.垂直于同一條直線的兩條直線平行

B.垂直于同一條直線的兩條直線垂直

C.垂直于同一個平面的兩條直線平行

D.垂直于同一條直線的一條直線和平面平行

2.（2022?浙江高三聯考）設平面or平面￡,on￡=/點住a且2/則下列命題是真命題的是（）.

A.過點尸且垂直于a的直線平行于/

B.過點尸且垂直于a的直線平行于0

C.過點尸且垂直于a的平面平行于/

D.過點尸且垂直于a的平面平行于0

3.正方體Z8C248GO1中與垂直的平面是（）.

A.平面DDCCB,平面AyDB

C.平面D.平面

4.

如圖,點點火￡,且8/Ua,8cL￡則直線/與直線4C的關系是（）.

A.異面B.平行

C.垂直D.不確定

5.已知Z77,"是兩條不同的直線。尸是兩個不同的平面.

①若周|a,/77_L〃廁根在

②若〃7_1。,用。,貝|]mirr,

③若ga,n^。,且司|￡,則周|〃；

④若川,〃不平行，則m與〃不可能垂直于同一平面.

其中所有真命題的序號是.

至能提升

6.如圖1,已知四邊形以8c是直角梯形,48||尸C,/I8L8G。在線段尸。上，力Ai尸C將△以。沿

4?折起,使平面以AL平面力連接PB,PC,設尸8的中點為，如圖2.對于圖2,下列選項錯

誤的是（）.

DC

AB

圖2

A.平面平面PBC

B.8CL平面PDC

C.PDLAC

D.PB=2AN

7.（2022?福建廈門摸底）

如圖，在棱長為1的正方體力8。-43Goi中產為線段48上的動點,則下列4個結論中正確

的有()個.

(V)DCgP,

(2)平面平面4/R

(3)NA尸R的最大值為90°;

(4)AP+Pd的最小值為+0.

A.1B.2C.3D.4

8.如圖，設平面00月=尸。,曰以平面0,日平面a垂足分別為G,H為使尸QLGH則需增加的一個

條件是().

A.￡￡L平面a

B.￡￡L平面?

C.PQLGE

D.PQ±FH

9.（2022?百師聯盟聯考）

AL

如圖所示,在矩形ABCD中尸為邊48的中點，現將△尸繞直線。尸翻轉至△勿戶

處,使得平面力叨JL平面尸。C8,則三棱錐力'-。尸8的外接球的體積是.

10.（2021?浙江高三模擬）

在三棱錐尸X8C中,〃=1,/18與ICM泛兩兩垂直，例為尸C的中點,/V為8c的中點，

則異面直線尸8與Z1例所成角的余弦值是;二面角用MMC的大小是.

苑屣媽伸

11.（2022?河北秦皇島摸底）已知正方體ABCD-A,仔G。的棱長為1,例/V,尸分別為棱

444所,4。上的動點，且滿足黑辭表,則直線4c與平面例/V尸所成角的正弦值

為;若以△用A/尸為一底面的正三棱柱（底面為正三角形且側棱垂直于底面的棱柱）的另一

底面的三個頂點也在正方體力8CZ?-48iGR的表面上，則此正三棱柱體積的最大值

為.

12.（2022信陽開學考）如圖，在直三棱柱ABC-AyByCy中,48=8044=1/OVI,點。上分別為

力。和的中點.

（1）在棱A4i上是否存在點只使得平面尸8a平面若存在，寫出PA的長度并證明你的結論;

若不存在,請說明理由.

（2）求點/到平面8DE的距離.

B

創(chuàng)新應用

13.

《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉脯,在鱉臊48C。中,/以平面8CZ?,

且BDLCD,AB=BD=CD,點尸在棱4c上運動，設C尸的長度為X,△尸8。的面積為4M，貝ij《用的圖

象大致為（）.

單元檢測十

一、選擇題

1.（2022?廣東月考）

水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖所示的是

一個正方體的表面展開圖,若圖中“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是（）.

A.OB.9C.快D.樂

2.（2022?四川成都模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，已知網格紙上的小正方形的邊長為1,則該

幾何體的表面積為（）.

A.（20*8V2）nB.（20^4V2）n

C.（24用夜）TTD.（24*4V2）TT

3.（2022?寶山模擬）已知平面a,￡,y兩兩垂直，直線a,O,c滿足環(huán)=。,〃=6,<?=匕則直線a,O,c不可能

滿足以下哪種關系（）.

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D.兩兩異面

4.（2022?廣西南寧適應性考試）已知直線/,兩個不同的平面a和因下列說法正確的是（）.

A.若/1_G,。1￡則M

B.若則耶

C.若招則可￡

D.若/=a，ai￡,則加

5.（2022?吉林月考）

H\

如圖，在正方體力6C。-481Goi中分別為所在棱的中點，則下列各直線中，不與平面

ZCOi平行的是（）.

A.直線EFB.直線GH

C.直線￡”D.直線48

6.如圖所示的是一個多面體的三視圖,這個多面體的某條棱的一個端點在正視圖中對應的點為例

在俯視圖中對應的點為N則該端點在側視圖中對應的點為（）.

正視圖俯視圖

惻視圖

A.EB.FC.GD.H

7.（2022?沈陽模擬）如圖,在以下四個正方體中，使得直線48與平面垂直的個數是（）.

BD

A.1B.2C.3D.4

8.（2022?寶班月考）

C

我國古代數學名著《九章算術》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數學用語可見，譬如

“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱,“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直

于底面的四棱錐.現有一個如圖所示的“塹堵”，即三棱柱/8G481cl，其中力Cl8G若AAy=AB^\,

當“陽馬”即四棱錐B-A.ACQ的體積最大時，“塹堵”即三棱柱ABC-A.B.C,的表面積為（）.

A.V2+1B.V3+1

c2V2+3卜V3+3

0，2D'2

9.（2022?河南鄭州質檢）如圖，在正方體力8。-481Goi中，下面結論錯誤的是（）.

A.8iR||平面48。

平面AyBD

C.異面直線DAy與ByDy所成的角為T

D.直線AC,與平面ADDyAy所成的角為；

10.（2022?安徽合肥質檢）在三棱錐S-49C中,NS4C=NS8C1,NZIC8§,aC=8C=1,若三棱錐S-

48。的體積為1,則該三棱錐外接球的表面積為（）.

A.13TTB.等C.49TTD.52TT

11.（2022?安徽模擬）

B,NC,

如圖，在棱長為1的正方體48C24SG。中尸為線段的中點，例/V分別為線段4G和棱

81G上任意一點，則2尸例，伙V的最小值為（）.

A.yB.V2C.V3D.2

12.（2022?四川成都二診）已知四面體488的所有棱長均為或，例/V分別為棱47,8c的中點，尸

為棱Z8上異于2,8的動點.有下列結論：

磔戔段/VW的長度為1；

②存在點片滿足血平面FMN

③/例廠/V的余弦值的取值范圍為-0,y）;

?△fW周長的最小值為魚+1.

其中正確結論的序號為（）.

A.①③B.①⑷

C.①②④D.②③@

二、填空題

13.（2022?揚州期中）下列說法中正確的有個.

①空間中三條直線交于一點，則這三條直線共面；

②一個平行四邊形確定一^1k平面；

③若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等；

⑷已知兩個不同的平面a和￡,若且an/?=/則點A在直線/上.

14.（2022?青浦期末）已知正四棱柱的底面邊長為2加,體積為32,則此四棱柱的表面積

為.

15.（2022?西安模擬）

如圖，