八上數(shù)學培優(yōu)專題四

閩侯縣實驗中學八年級數(shù)學第二課堂綜合實踐活動備課組八上數(shù)學培優(yōu)專題四路徑最短問題如圖點E為等邊△ABC中AC邊的中點，AD⊥BC，P為AD上的動點，（1）在圖1中求作一點P,使得PE+PC的值最小，并求當AB=10，△ABC面積為25時，PE+PC的最小值=

；（2）如圖2，以CP為邊作等邊三角形PCQ,求DQ的最小值；（3）如圖3，動點M在AC上，以3m/s的速度由A向C移動，動點N在CD上，以2m/s的速度由C向D移動,若AD=10cm①當t為何值時，△MCN為等邊三角形？②當t為何值時，△MCN為直角三角形？范例分析：如圖點E為等邊△ABC中AC邊的中點，AD⊥BC，P為AD上的動點，（1）在圖1中求作一點P,使得PE+PC的值最小，并求當AB=10，△ABC面積為25時，PE+PC的最小值=

；范例分析：PE+PC最小值=BE=5PE+PC最小值=BE=5如圖點E為等邊△ABC中AC邊的中點，AD⊥BC，P為AD上的動點，（2）如圖2，以CP為邊作等邊三角形PCQ,求DQ的最小值；范例分析：先證：△EPC≌△DQC當EP⊥AD時，DQ最小=EP=2.5如圖點E為等邊△ABC中AC邊的中點，AD⊥BC，P為AD上的動點，（3）如圖3，動點M在AC上，以3m/s的速度由A向C移動，動點N在CD上，以2m/s的速度由C向D移動,若AB=10cm①當t為何值時，△MCN為等邊三角形？范例分析：∵∠C=600，∴當CM=CN時，△MCN為等邊三角形即：10-3t=2t，解得：t=210-3t2t如圖點E為等邊△ABC中AC邊的中點，AD⊥BC，P為AD上的動點，（3）如圖3，動點M在AC上，以3m/s的速度由A向C移動，動點N在CD上，以2m/s的速度由C向D移動,若AD=10cm②當t為何值時，△MCN為直角三角形？范例分析：當∠MNC=900時，∠CMN=300∴CM=2CN,即：10-3t=2×2t當∠NMC=900時，∠CNM=300∴CN=2CM,即：2t=2×(10-3t)某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為

；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；拓展延伸：某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為

；拓展延伸：PB+PE最小值=B’E=某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請利用上述模型解決下列問題：（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；拓展延伸：