差商及其性質(zhì)

4.1差商（均差）及性質(zhì)1

差商（均差）已知y=函數(shù)表則在上平均變化率分別為：

即有定義：定義為f(x)的差商§4

差商與牛頓插值多項(xiàng)式定義4為函數(shù)在的一階差商（一階均差）；稱為y=在點(diǎn)的二階差商（二階均差）；（3）一般由函數(shù)y=的n－1階差商表可定義函數(shù)的n階差商。稱為函數(shù)y=在點(diǎn)的n階差商（n階均差）。，稱（1）對于的一階差商表，再作一次差商，即（2）由函數(shù)y=即n－1階差商2

基本性質(zhì)定理5（2）k階差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)是對稱的，或說均差與節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)，即例如：共6個(gè)的線性組合，即的k階差商是函數(shù)值（1）分析：當(dāng)k=1時(shí),(1)可用歸納法證明。(2)利用(1)很容易得到。只證(1)證明：（1）當(dāng)k

=1時(shí),

(0階差商)一階差商二階差商三階差商k階差商

表2.43

差商表

計(jì)算順序:同列維爾法，即每次用前一列同行的差商與前一列上一行的差商再作差商。4.2

牛頓插值多項(xiàng)式已知函數(shù)表（4.1）,

由差商定義及對稱性，得

1

牛頓插值多項(xiàng)式的推導(dǎo)將(b)式兩邊同乘以,抵消抵消抵消(d)式兩邊同乘以,把所有式子相加,得,(c)式兩邊同乘以記

---牛頓插值多項(xiàng)式---牛頓插值余項(xiàng)可以驗(yàn)證

，即滿足插值條件,因此可得以下結(jié)論。

定理6

則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式為：（牛頓插值多項(xiàng)式）其中，---牛頓插值多項(xiàng)式---牛頓插值余項(xiàng)2

n+1階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系由n次插值多項(xiàng)式的唯一性，則有,牛頓插值多項(xiàng)式與拉格朗日插值多項(xiàng)式都是次數(shù)小于或等于n的多項(xiàng)式,只是表達(dá)方式不同.?因?yàn)槎幕瘮?shù)可為:已知

函數(shù)表牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，由插值多項(xiàng)式的唯一性有余項(xiàng)公式n+1階差商函數(shù)導(dǎo)數(shù)其中且為包含區(qū)間.依賴于則n

階差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為其中n+1階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理7計(jì)算步驟:(2)用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計(jì)算.3

牛頓插值多項(xiàng)式計(jì)算次數(shù)(當(dāng)k=n時(shí))(1)計(jì)算差商表(計(jì)算的系數(shù))

(0階差商)一階差商二階差商三階差商k階差商

除法次數(shù)(k=n):(2)用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計(jì)算.乘法次數(shù):n優(yōu)點(diǎn):(1)計(jì)算量小,較L-插值法減少了3-4倍.(2)當(dāng)需要增加一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)時(shí),只需再計(jì)算一項(xiàng),即

---遞推公式(適合計(jì)算機(jī)計(jì)算).乘除法次數(shù)大約為:4

兩函數(shù)相乘的差商定理8（兩函數(shù)相乘的差商）

顯然公式成立。

事實(shí)上，

一般情況，可用歸納法證明。#設(shè)證明：階差商為5

重節(jié)點(diǎn)差商（通過差商極限定義）定義5

(重節(jié)點(diǎn)差商)

若,的節(jié)點(diǎn)xi(i=0，1，…，n)定理7中互異，有了重節(jié)點(diǎn)差商的定義，該式中的節(jié)點(diǎn)可以相同。

說明：?則定義

類似的有其中

---牛頓插值多項(xiàng)式---牛頓插值余項(xiàng)§4

差商與牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值公式5

重節(jié)點(diǎn)差商定義5

(重節(jié)點(diǎn)差商)若,?則定義

類似的有證明：(2)首先,由定義泰勒展開式本課重點(diǎn)：

1、理解