2024屆四川省德陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆四川省德陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)方程是（）．A． B． C． D．2．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且與的等差中項(xiàng)為4，則的公比是()A．1 B．2 C． D．3．連接雙曲線(xiàn)及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為，連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．4．已知F為拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．45．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．6．設(shè)是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．7．設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，則（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．89．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－210．已知非零向量，滿(mǎn)足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:11．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i12．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，與準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，且，則（）A． B．2 C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則__________，________.14．已知向量，，，若，則______.15．已知，橢圓的方程為，雙曲線(xiàn)方程為，與的離心率之積為，則的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______.16．已知△ABC得三邊長(zhǎng)成公比為2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_(kāi)____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓：和拋物線(xiàn)：，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）已知直線(xiàn)和圓相切，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)作兩直線(xiàn)和圓相切，且分別交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（12分）已知在平面四邊形中，的面積為.（1）求的長(zhǎng)；（2）已知，為銳角，求.19．（12分）(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)證明：()；(Ⅲ)證明：.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線(xiàn)的普通方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)(在軸上方)，求的值.21．（12分）在如圖所示的多面體中，四邊形是矩形，梯形為直角梯形，平面平面，且，，.（1）求證：平面.（2）求二面角的大小.22．（10分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線(xiàn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求AD的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】過(guò)圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線(xiàn)，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，故選．2、D【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公比q．【詳解】由題意，正項(xiàng)等比數(shù)列中，，可得，即，與的等差中項(xiàng)為4，即，設(shè)公比為q，則，則負(fù)的舍去，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項(xiàng)公式，合理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形，求出菱形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線(xiàn)與互為共軛雙曲線(xiàn)，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)連線(xiàn)形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時(shí)有，，離心率，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線(xiàn)的離心率的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線(xiàn)的離心率，屬于簡(jiǎn)單題目.4、C【解析】

將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線(xiàn)的定義即可得出的值．【詳解】F（1，0），故直線(xiàn)AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線(xiàn)的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．5、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，0).不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.6、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

取，計(jì)算知錯(cuò)誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計(jì)算知錯(cuò)誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.8、D【解析】

畫(huà)出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

求出，對(duì)分類(lèi)討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調(diào)遞增，且，在不存在零點(diǎn)；若，，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】，，∴等價(jià)于，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類(lèi)，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由和拋物線(xiàn)的定義可求得，利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由拋物線(xiàn)解析式知：，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.，，，，由拋物線(xiàn)定義知：，，，.由拋物線(xiàn)性質(zhì)得：，解得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線(xiàn)的定義和焦半徑所滿(mǎn)足的等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中，，，可得因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.14、-1【解析】

由向量垂直得向量的數(shù)量積為0，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)論．【詳解】由已知，∵，∴，．故答案為：－1．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．15、【解析】

求出橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率，根據(jù)離心率之積的關(guān)系，然后推出關(guān)系，即可求解雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】，橢圓的方程為，的離心率為：，雙曲線(xiàn)方程為，的離心率：，與的離心率之積為，，，的漸近線(xiàn)方程為：，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，掌握橢圓、雙曲線(xiàn)的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.16、-【解析】試題分析：根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別設(shè)為為a,2a,2a，∵2a>2a>a,∴2a所對(duì)的角為最大角，設(shè)為θ，則根據(jù)余弦定理得考點(diǎn)：余弦定理及等比數(shù)列的定義.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）;（2）或．【解析】試題分析:直線(xiàn)與圓相切只需圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，只需數(shù)量積為0，要聯(lián)立方程組設(shè)而不求，利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步利用直線(xiàn)的斜率找出坐標(biāo)滿(mǎn)足的要求，再利用兩直線(xiàn)與圓相切，求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析：（1）解：設(shè)，，，由和圓相切，得．∴．由消去，并整理得，∴，．由，得，即．∴．∴，∴，∴．∴．∴或（舍）．當(dāng)時(shí)，，故直線(xiàn)的方程為．（2）設(shè)，，，則．∴．設(shè)，由直線(xiàn)和圓相切，得，即．設(shè)，同理可得：．故是方程的兩根，故．由得，故．同理，則，即．∴，解或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故或．18、（1）；（2）4.【解析】

（1）利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得.（2）利用余弦定理求得，由此求得，進(jìn)而求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】（1）在中，由面積公式：在中，由余弦定理可得：（2）在中，由余弦定理可得：在中，由正弦定理可得:，為銳角.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.19、(Ⅰ)見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）見(jiàn)解析【解析】

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果化簡(jiǎn)，運(yùn)用累加法得出結(jié)果運(yùn)用放縮法和累加法進(jìn)行求證【詳解】（Ⅰ）數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，①當(dāng)時(shí)，成立；②當(dāng)時(shí)，假設(shè)成立，則時(shí)所以時(shí)，成立綜上①②可知，時(shí)，（Ⅱ）由得所以；；故，又所以(Ⅲ)由累加法得：所以故【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的成立，結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)求出化簡(jiǎn)后的結(jié)果，利用放縮法求出不等式，然后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)再進(jìn)行證明，本題較為困難。20、（1），；（2）【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線(xiàn)的普通方程，利用公式可得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得，根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得則直線(xiàn)的普通方程為.由得，即.故曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得．設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，對(duì)應(yīng)參數(shù)為．則，，且.．【點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過(guò)代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過(guò)選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類(lèi)問(wèn)題一般我們可以先把曲線(xiàn)方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問(wèn)題．21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線(xiàn)面垂直性質(zhì)，可證明；由所給線(xiàn)段關(guān)系，結(jié)合勾股定理逆定理，可證明，進(jìn)而由線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，由空間向量法求得兩個(gè)平面夾角的余弦值，結(jié)合圖形即可求得二面角的大小.【詳解】（1）證明：∵平面平面ABEG，且，∴平面，∴，由題意可得，∴，∵，且，∴平面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量是，則，令，，由（1）可知平面的法向量是，∴，由圖可知，二面角為鈍二面角，所以二面角