2022年廣東省河源市中考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版）

2022年廣東省河源市中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.下列各數(shù)中，位于-1到0之間的是（）

A.-2B.-0.5C.0.5D.1

2.神舟十三號的翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員計劃在空間站工作生活約15800000

秒，將于2022年4月首次采用快速返回方案“回家”，這項技術(shù)已經(jīng)在航天大國當中處

于領(lǐng)先地位.數(shù)據(jù)15800000用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）

A.158X105B.1.58X106C.1.58X107D.0.158X108

3.下列計算正確的是（）

A.4x*x=4x2B.3x+x—3x2

C.3x2-4x2--1D.-4f2/=-屈

4.如題4圖所示的立體圖形是一個圓柱被截去四分之一后得到的幾何體，它的左視圖是

5.已知關(guān)于x的不等式組［3"+爪<°'的解集為xVO,則實數(shù)機的取值范圍是（）

（2%+7>4%-1

A.例>4B.m=4C.m>0D."2=0

6.周日，小度從家沿著一條筆直的公路步行去報亭看報，看了一段時間后，他按原路返回

家中，小度離家的距離y（單位：與他所用的時間x（單位：〃”〃）之間的函數(shù)關(guān)系如

題6圖所示，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.小度家離報亭的距離是1200w

B.小度從家去報亭的平均速度是60m/加"

C.小度在報亭看報用了\5min

D.小度從家到報亭行走的速度比報亭返回家的速度快

7.己知兩個變量x和y,它們之間的3組對應(yīng)值如下表所示:

X-101

y321

則y與x之間的關(guān)系式可能是（）

A.y=xB.y=-C.y—x2+x+iD.y--x+2

8.跳傘運動員小李在200米的空中測得地面上的著落點A的俯角為60。，那么此時小李離

著落點A的距離是（）

A.200米B.400米C.---米D.------，^米

9.如圖，OA：OC=3：2,/XOAB與△OCD的面積分別是與與S2,周

長分別是G與C2,則下列說法正確的是（）

10.已知關(guān)于x的一元二次方程or2+bx+c=0,實數(shù)“、b、c滿足4a-2〃+c=0,則下列說

法正確的是（）

A.方程有兩個實數(shù)根

B.方程有兩個不相等的實數(shù)根

C.方程沒有實數(shù)根

D.方程的根的情況無法確定

11.如圖，48是的直徑，C,。是。。上的點，K0C//BD,AD分別與8C,0c相交

于點E,F,則下列結(jié)論：

@ADLBD；②NA0C=NAEC；③BC平分N45。；@AF=DF-,⑤BD=20F；⑥△CEF

段ABED,其中一定成立的是()

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

12.兩個反比例函數(shù)y=［和y=］在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在y=1的圖象上，

PCLx軸于點C,交y=1的圖象于點A,軸于點￡>,交y=］的圖象于點8,當點

P在y=1的圖象上運動時，以下結(jié)論不正確的是()

A.△0D8與△0C4的面積相等

B.P4與PB始終相等

C.四邊形PA08的面積不會發(fā)生變化

D.當點4是PC的中點時，點8一定是P。的中點

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.

13.計算：V100—(-y(―6)2-T-V8)+V—64=.

14.因式分解：3〃?/+6〃?x+3〃?=.

15.一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，小文在袋中放入3個白

球(每個球除顏色外其余都與紅球相同).搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏

色后放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.7左右，則袋中

紅球約有個.

16.如圖，在梯形ABCQ中，己知AB〃C￡>,點E為BC的中點，設(shè)△QE4的面積為Si,

梯形ABCD的面積為S2,則Si與52的關(guān)系為.

17.如圖，把邊長為acin的等邊△ABC剪成四部分，從三角形三個頂點往下bcm處，呈30°

角下剪刀，使中間部分形成一個小的等邊△CEF.若的面積是aABC的工，則2的

9a

18.已知拋物線丁=—+3+〃經(jīng)過點(2,-1),且與x軸交于A(a,0),B(Z?,0)兩點，

若點P為該拋物線的頂點，則使面積最小時拋物線的解析式為.

三、解答題(一)：本大題共2小題，每小題8分，共16分.

19.方程3x+4y=9,如果2y=6,求x的值.

20.某學(xué)校為了了解學(xué)生對書畫、音樂、體育、電腦四個方面的興趣愛好，選取了部分學(xué)生

進行調(diào)查(每人只能選取其中的一種)，統(tǒng)計后制成了不完整的折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計

圖，根據(jù)圖中信息，回答下列問題：

(1)在這次調(diào)查中，一共調(diào)查了名學(xué)生；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“體育”所在扇形的圓心角為度；

(3)將折線統(tǒng)計圖補充完整.

四、解答題(二)：本大題共2小題，每小題10分，共20分

21.端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，源于自然天象崇拜，由上古時代祭龍演變而

來.仲夏端午，蒼龍七宿飛升至正南中天，處于全年最“正中”之位，即如《易經(jīng)?乾卦》

第五爻的爻辭日：“飛龍在天”.扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中

國自古傳承，至今不輟.端午節(jié)來臨之際，某商店老板用600元購進一批蛋黃粽，又用

600元購進了一批肉粽，所購肉粽數(shù)量是蛋黃粽數(shù)量的75%,且肉粽進價比蛋黃粽進價

每個多0.5元.

(1)求肉粽和蛋黃粽每個的進價；

(2)端午節(jié)當天，老板分別以5元每個、4元每個的價格銷售肉粽和蛋黃粽，當肉粽售

出40%,蛋黃粽售出50%后，為了盡快售完，老板決定將肉粽的單價下降。％,蛋黃粽的

單價下降2〃％元，剛好賣完時，老板的總利潤比原計劃少195元，求。的值.

22.如圖，扇形。4B的半徑04=3,圓心角NAO8=90°,點C是砂上異于A,B的動點，

過點C作CDLOA于點D,作CEA.OB于點E,連接DE,點、G,H在線段DE上，且

DG=GH=HE.

(1)求證：四邊形OGCH是平行四邊形；

(2)當點C是布上運動時，在CD,CG,QG這三條線段中，是否存在長度不變的線段？

若存在，請指出這條線段并求該線段的長度；若不存在，請說明理由.

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

23.定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準平行四邊形”.例如：凸四邊形ABC。

中，若/A=NC,NBW/D,則稱四邊形ABC。為準平行四邊形.

(1)如圖①，半圓。的直徑為BC,04LOB,點E在過點A的切線上，且BE=BA,

點。是衣上的動點(不在點A、C上)，求證：四邊形AEB。為準平行四邊形.

(2)如圖②，準平行四邊形A8C。內(nèi)接于。0,NBWNO,若。。的半徑為5,AB=">.則：

①準平行四邊形ABCD的面積5是線段4c的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式：

如果不是，請說明理由；

②準平行四邊形ABC。的面積S有最大值嗎？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理

由.

24.已知拋物線y1=aM+bx+c(a*0,<2于(?)與》軸交于點4(1,0),頂點為8.

(1)當a=l,c=3時，求拋物線的頂點8的坐標;

(2)求拋物線y1=a/+bx+c與x軸的另一個交點的坐標(用含a,c的式子表示)；

(3)若經(jīng)過點B的直線y2—2x+m與拋物線y1=ax2+bx+c交于點C。，b+8),求直

線)2與x軸和了軸所圍成的三角形的面積.

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.下列各數(shù)中，位于-1到0之間的是（）

A.-2B.-0.5C.0.5D.1

【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則：①正數(shù)都大于0;②負數(shù)都小于0;③正數(shù)大于

一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小，即可得出答案.

解：V-2<-1<-0.5<0<0.5<1,

位于-1到0之間的是-0.5,

故選：B.

2.神舟十三號的翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員計劃在空間站工作生活約15800000

秒，將于2022年4月首次采用快速返回方案“回家”，這項技術(shù)已經(jīng)在航天大國當中處

于領(lǐng)先地位.數(shù)據(jù)15800000用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）

A.158X105B.1.58X106c.I.58X107D.0.158X108

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為“X10",其中〃為整數(shù)，

且〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

解：15800000=1.58XI07.

故選：C.

3.下列計算正確的是（）

A.4x?x=4NB.3x+x=3N

C.3/-4x2=-1D.-4f2x2=-2%3

【分析】根據(jù)單項式乘單項式法則，合并同類項法則，單項式除單項式法則逐項判斷.

解：A、4x*x—4x2,故A正確，符合題意；

B、3x+x=4x,故B錯誤，不符合題意；

C、3/-4x2=-/,故c錯誤，不符合題意；

D、-4f+2%2=-牙，故。錯誤，不符合題意；

故選：A.

4.如題4圖所示的立體圖形是一個圓柱被截去四分之一后得到的幾何體，它的左視圖是

【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的楂都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中.

解：從左面看，是一個矩形，矩形的中間有一條縱向的虛線.

故選：C.

5.已知關(guān)于x的不等式組+“<0'的解集為xVO,則實數(shù)，〃的取值范圍是（）

（2久+7>4%—1

A.772>4B.m=4C.m>0D.7n=0

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同小取小結(jié)合不等式組的解集可得

m的值.

解：由3x+,〃<0,得:xV一號,

由2x+7>4x-1,得：x<4,

?.?不等式組的解集為xVO,

.?.一岑=0,

解得m=0,

故選：D.

6.周日，小度從家沿著一條筆直的公路步行去報亭看報，看了一段時間后，他按原路返回

家中，小度離家的距離y（單位：m）與他所用的時間x（單位：機加）之間的函數(shù)關(guān)系如

題6圖所示，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.小度家離報亭的距離是1200，*

B.小度從家去報亭的平均速度是60加疝〃

C.小度在報亭看報用了\5min

D.小度從家到報亭行走的速度比報亭返回家的速度快

【分析】根據(jù)特殊點的實際意義即可求出答案.

解：A、由縱坐標看出小度家離報亭的距離是1200m,故4說法正確，不符合題意；

B、由縱坐標看出小度家離報亭的距離是1200"，由橫坐標看出小度去報亭用了15分鐘，

小度從家去報亭的平均速度是：1200+15=80（機/〃”〃），故B說法錯誤，符合題意；

C、由橫坐標看出小度在報亭看報用了30-15=15（/n/n）,故C說法正確，不符合題意；

。、小度從家到報亭行走的時間比報亭返回家所用時間小，所用小度從家到報亭行走的速

度比報亭返回家的速度快，故。說法正確，不符合題意；

故選：B.

7.已知兩個變量x和y,它們之間的3組對應(yīng)值如下表所示:

X-101

y321

則y與x之間的關(guān)系式可能是（）

A.y=xB.y=-C.y=x2+x+lD.y=-x+2

【分析】根據(jù)變化規(guī)律，自變量加1,因變量就減少1,自變量增加a個1,因變量就從

3到少a個1,求解即可.

解：由題意知，有兩個變量，x和y,其中x為自變量，y為因變量，

當自變量x增加1時，因變量），減少1,

所以當自變量為x時，即增加了口-（-1）］個1,則因變量應(yīng)減少了比-（-1）J,即3

-［x-（-1）］=-x+2,

即y=-x+2,

故選：D.

8.跳傘運動員小李在200米的空中測得地面上的著落點A的俯角為60。，那么此時小李離

著落點A的距離是（）

A.200米B.400米C.等、6米D.等、行米

【分析】已知直角三角形的一個銳角和直角邊求斜邊，運用三角函數(shù)定義解答.

解：根據(jù)題意，此時小李離著落點A的距離是=竺逋

sin6Q3

故選：D.

9.如圖，△OABsaoc。，OA：OC=3：2,△0A8與△OCZ）的面積分別是Si與S2,周

長分別是G與C2,則下列說法正確的是（）

3r043

C.—D.—=一

CD2OD2

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可.

解：VAOAB^AOCD,OA：OC=3：2,

Ci3.,

=~iA正確；

2

???善=3B錯誤；

S24

：.—=。錯誤；

OD2

：.OA：OC=3：2,。錯誤；

故選：A.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程公2+云+。=0,實數(shù)。、b、c滿足4〃-2〃+c=0,則下列說

法正確的是（）

A.方程有兩個實數(shù)根

B.方程有兩個不相等的實數(shù)根

C.方程沒有實數(shù)根

D.方程的根的情況無法確定

【分析】把4。-2Z?+c=0變形為。=2Q+*C,代入A=按-4oc即可得出A=（2a—^c）2

NO,從而得出方程有兩個實數(shù)根.

解：?.?4。-2b+c=0,

b—2。+，

1?△=/-4〃c=（2。+g）2-4ac=（2tz—i（?）2^0,

???關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c=O有兩個實數(shù)根，

故選：A.

11.如圖，AB是的直徑，C,。是。0上的點，且OC〃B￡>,AO分別與BC,0c相交

于點E,F,則下列結(jié)論：

?ADLBD；?ZA0C=ZAEC；③BC平分NA8O；④AF=DF；?BD=20F-,?/\CEF

段ABED,其中一定成立的是()

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

【分析】①由直徑所對圓周角是直角，

②由于NA0C是。。的圓心角，/AEC是。0的圓內(nèi)部的角，

③由平行線得到/0C8=NZ)2C,再由圓的性質(zhì)得到結(jié)論判斷出/08C=NZ)BC；

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位線得到結(jié)論；

⑥得不到aCEF和△BE。中對應(yīng)相等的邊，所以不一定全等.

解：①、是。。的直徑，

ZADB=90°,

:.ADLBD,

②假設(shè)/AOC=NAEC,

...NA=NC,

ZABC=ZC,

：.ZA=ZABC,

：.AC=BD,

'：OC//BD

：.ZC=ZCBD,

：.ZABC=ZDBC,

即：AC=CD

：.c,。是半圓的三等分點，

而與“C,。是。。上的點”矛盾，

NAOCW/AEC,

③、,JOC//BD,

:.NOCB=NDBC,

\'OC=OB,

:.NOCB=NOBC,

：.ZOBC=ZDBC,

平分NAB。，

④、；AB是。。的直徑，

:.NADB=90°,

：.AD1BD,

'：OC//BD,

：.ZAFO=90°,

?.?點。為圓心，

：.AF^DF,

⑤、由④有，AF=DF,

:點。為4B中點，

.?.0尸是448。的中位線，

:.BD=20F,

⑥?.?△CEF和△BEQ中，沒有相等的邊，

△CEF與△BE。不全等，

故選：D.

12.兩個反比例函數(shù)y=［和y=：在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在y=1的圖象上，

PCLx軸于點C,交y=1的圖象于點A,PDLy軸于點D,交y=1的圖象于點B,當點

P在y=1的圖象上運動時，以下結(jié)論不正確的是（）

A.△ODB與△。。的面積相等

B.PA與P8始終相等

C.四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化

D.當點A是PC的中點時，點8一定是的中點

【分析】利用反比例函數(shù)中k的幾何意義，無論如何變化，只要知道過雙曲線上任意一

點引x軸、），軸垂線，所得矩形面積為|川，是個恒等值即易解題.

解：由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義判斷各結(jié)論：

A.△008與△0C4的面積相等；正確，由于A、B在同一反比例函數(shù)圖象上，則兩三

1

角形面積相等，都為:不符合題意；

2

B.PA與PB始終相等；錯誤，不一定，只有當四邊形OCPO為正方形時滿足P4=P8,

符合題意；

C.四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；正確，由于矩形OCPZ）是鼠而三角形。

三角形。CA為定值，則四邊形P40B的面積只與人有關(guān)，不符合題意；

D.連接0P,點A是PC的中點，

則△OAP和△OAC的面積相等，

'：/\ODP的面積=Z\OCP的面積=換，/XODB與的面積相等，

△OBP與△OAP的面積相等，

二△OBD和△OBP面積相等，

點8一定是的中點，不符合題；

故選：B.

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.

13.計算：V100-(J(-6)2+遮)+V^64=3.

【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可.

解：V100-(V(-6)2-V8)+7=64

=10-(6+2)+(-4)

=10-3-4

=3,

故答案為：3.

14.因式分解：3，謁+6蛆+3〃2=3”？(x+1)2.

【分析】先提公因式3〃?，再根據(jù)完全平方公式計算即可.

解：原式=3相(X2+2/1)

—3m(x+1)2,

故答案為：3m(x+1)2.

15.一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，小文在袋中放入3個白

球(每個球除顏色外其余都與紅球相同).搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏

色后放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.7左右，則袋中

紅球約有7個.

【分析】根據(jù)口袋中有3個白球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應(yīng)該相等

求出即可.

解:通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.7左右，口袋中有3個白球，

：假設(shè)有x個紅球，

x

---=0.7,

x+3

解得：x=7,

口袋中有紅球約有7個.

故答案為：7.

16.如圖，在梯形ABC。中，已知AB〃C￡>,點E為BC的中點，設(shè)△QE4的面積為Si,

梯形ABCD的面積為S2,則S與S2的關(guān)系為Sz=2S\

【分析】取AO中點扛連接EF,過。作。于M,交EF于N,根據(jù)梯形的中位

線定理得到EF//AB//CD,EF=^(AB+CD),DMLEF,根據(jù)三角形的面積和梯形的

面積計算即可.

解：取4。中點尸，連接EF,過。作于M,

■：DC//AB,E為BC中點,尸為AO中點，

J.EF//AB//CD,(AB+CQ),

'：DMLAB,

J.DMLEF,

：.S\=^EFXDM,

Si=1(CD+AB)XDM=EFXDM,

?'?Si—ISi,

故答案為：S2=2SI.

17.如圖，把邊長為acm的等邊aABC剪成四部分，從三角形三個頂點往下bcm處，呈30°

角下剪刀，使中間部分形成一個小的等邊△。后凡若的面積是△ABC的土則2的

9a

值為—工.

9

bcm

acm

Qz

BC

【分析】延長ED交AB于”，設(shè)A8與尸。的交點為G,AC與OF的交點為P,解直角

三角形得到A，=a(a-b),PH=^1(a-b),HG=AH-AG=^a-^b,DH=

,DG=2DH=浮i-ab,求得DE=PH-DH-PE=PH-DH-DG=6b,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：延長交A8于H,設(shè)AB與尸。的交點為G,AC與OE的交點為P,

：ZHGD=30°,

\AH=1(a-b),PH="(a-b),

Z2

\HG=AH-AG=^a-^b,

DG=2DH=爭一四b,

\DE=PH-DH-PE=PH-DH-DG=例,

//\ABC與ADEF是等邊三角形,

AABCS^DEF,

(￡￡)2」,

S"BCAB9

.V3Z?1

?---=一，

a3

”的值為座，

aQ

故答案為:

bcm

5c

18.已知拋物線經(jīng)過點(2,-1),且與x軸交于A(a,0),B(/),0)兩點，

若點P為該拋物線的頂點，則使△P4B面積最小時拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

【分析】A、B兩點在x軸上，用=表示線段A8的長，由兩根關(guān)系轉(zhuǎn)化為，小〃

的表達式，根據(jù)頂點坐標公式得尸(一竽處理)，故有&"8=如即3二空|,將點

(2,-1)代入解析式得4+2〃?+〃=-1,即I=-2m-5轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的二次函數(shù)，求

面積最小時機、〃的值.

解：由題意知4+2zn+〃=-1,即〃=-2m-5,

VA(a,0)、B(b,0)兩點在拋物線y=/+g+〃上，

:?a+b=~m,ab=n,

又=-例=/+妙+〃經(jīng)過(2,-1),代入得，n=-2m-5,

/.\AB\=Vm2+8m4-20?P點縱坐標為一3層-2m-5,

S八PAB=芝AB?|yp|=^Vm2+8m4-20?I—4機？-2m-5|=^/(m2+8m4-20)3=

.，(m+4)2+4]3,

所以，當"?=-4時，S"4B最小，

此時，該拋物線解析式為y=N-4x+3.

故答案是：y—x2-4x+3.

三、解答題(一)：本大題共2小題，每小題8分，共16分.

19.方程3x+4y=9,如果2y=6,求x的值.

【分析】利用代入消元法解方程組9①可得到x的值.

解：產(chǎn)+4二9①，

12y=6(2)

解②得y=3,

把y=3代入①得3x+4X3=9,

X=-1

所以方程組的解為

y=3

即x的值為-1.

20.某學(xué)校為了了解學(xué)生對書畫、音樂、體育、電腦四個方面的興趣愛好，選取了部分學(xué)生

進行調(diào)查（每人只能選取其中的一種），統(tǒng)計后制成了不完整的折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計

圖，根據(jù)圖中信息，回答下列問題：

0電腦體育音樂書畫項目

（1）在這次調(diào)查中，一共調(diào)查了100名學(xué)生:

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“體育”所在扇形的圓心角為126度;

（3）將折線統(tǒng)計圖補充完整.

【分析】（1）根據(jù)電腦的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)；

（2）用360。乘以“體育”所占的百分比即可；

（3）用總?cè)藬?shù)乘以音樂所占的百分比求出音樂的人數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去其它項目的人數(shù)

求出書畫的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖.

解：（1）在這次調(diào)查中，調(diào)查的總學(xué)生數(shù)是：304-30%=100（人）；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“體育”所在扇形的圓心角為：360°x蓋=126°；

故答案為：126；

（3）音樂的人數(shù)：100X20%=20（人），

書畫的人數(shù)：100-30-35-20=15（人），

補圖如下：

四、解答題（二）：本大題共2小題，每小題10分，共20分

21.端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，源于自然天象崇拜，由上古時代祭龍演變而

來.仲夏端午，蒼龍七宿飛升至正南中天，處于全年最“正中”之位，即如《易經(jīng)?乾卦》

第五爻的爻辭日：“飛龍在天”.扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中

國自古傳承，至今不輟.端午節(jié)來臨之際，某商店老板用600元購進一批蛋黃粽，又用

600元購進了一批肉粽，所購肉粽數(shù)量是蛋黃粽數(shù)量的75%,且肉粽進價比蛋黃粽進價

每個多0.5元.

（1）求肉粽和蛋黃粽每個的進價；

（2）端午節(jié)當天，老板分別以5元每個、4元每個的價格銷售肉粽和蛋黃粽，當肉粽售

出40%,蛋黃粽售出50%后，為了盡快售完，老板決定將肉粽的單價下降。％,蛋黃粽的

單價下降2a%元，剛好賣完時，老板的總利潤比原計劃少195元，求a的值.

【分析】（1）設(shè)每個蛋黃粽的進價為x元，則每個肉粽的進價為（x+0.5）元，利用數(shù)量

=總價+單價，結(jié)合用600元所購肉粽數(shù)量是用600元所購蛋黃粽數(shù)量的75%,即可得

出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后可得出每個蛋黃粽的進價，再將其代入（x+0.5）中

即可求出每個肉粽的進價；

（2）利用數(shù)量=總價+單價，可求出購進肉粽和蛋黃粽的數(shù)量，利用少賺的總利潤=每

個少賺的利潤義銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可求出a的值.

解：（1）設(shè)每個蛋黃粽的進價為x元，則每個肉粽的進價為（x+0.5）元，

依題意得：父~=75%x駟，

x+0.5x

解得：x=1.5,

經(jīng)檢驗，x=1.5是原方程的解，且符合題意，

x+0.5=1.5+0.5=2.

答：每個肉粽的進價為2元，每個蛋黃粽的進價為1.5元.

（2）購進蛋黃粽的數(shù)量為600+1.5=400（個），

購進肉粽的數(shù)量為600+2=300（個）.

依題意得：5Xa%X300X(1-40%)+2?%X400X(1-50%)=195,

解得：a=15.

答：a的值為15.

22.如圖，扇形04B的半徑。4=3,圓心角/4。8=90°,點C是而上異于A,8的動點，

過點C作CDLOA于點D,作CELOB于點E,連接DE,點、G,H在線段OE上，且

DG=GH=HE.

(1)求證：四邊形OGC"是平行四邊形；

(2)當點C是而上運動時，在CD,CG,QG這三條線段中，是否存在長度不變的線段？

若存在，請指出這條線段并求該線段的長度；若不存在，請說明理由.

B

【分析】(1)連接OC交。E于歷，證四邊形OECZ)是矩形，推出MC=MO,MG=MH

即可；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DE=OC=3,由題知，8和CG隨C點的變化而變化，而

CG=|DE,求出CG的長度即可.

【解答】(1)證明：連接。。交。E于M,

VCE±OB,CDLOA,ZBOA=90°,

???四邊形CE。。是矩形，

：.OM=CM,EM=MD,

?：EH=DG,

:?EM-EH=MD-DG,

即HM=MG,

：.四邊形OGCH是平行四邊形；

(2)解：DG不變，

在矩形OQCE中，DE=0C=3,

:DG=GH=HE,

.*.DG=|DE=1x3=1.

由題知，CD和CG隨著點C的移動而發(fā)生變化，

故在CQ,CG,QG這三條線段中，QG長度不變且長度為1.

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

23.定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準平行四邊形”.例如：凸四邊形ABC。

中，若/A=NC,/BWND,則稱四邊形ABC。為準平行四邊形.

(1)如圖①，半圓。的直徑為BC,OALOB,點E在過點A的切線上，且BE=8A,

點。是死上的動點(不在點A、C上)，求證：四邊形為準平行四邊形.

(2)如圖②，準平行四邊形4BC。內(nèi)接于。0,NBWNO,若。。的半徑為5,AB=AD.則：

①準平行四邊形ABCD的面積5是線段4C的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；

如果不是，請說明理由；

②準平行四邊形ABCC的面積S有最大值嗎？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理

由.

如圖i

【分析】(1)可說明△OAB,AABE是等腰直角三角形，得/E=45°,再利用圓周角

定理得NO=4/4OB=45°,則NE=N￡>,再說明NE4。，從而證明結(jié)論；

⑵①將△AC。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得△A8E,則ZABE+ZABC=180°,知點E,

B,C三點共線，可得AACE是等腰直角三角形，從而得出S=SAACD+SMBC=S“B戶SAABC

=SAACE=1X2;

②當AC最大時，S最大，此時AC為直徑，則ZABC=ZADC=90°,此時四邊形ABCD

不是準平行四邊形，與題意矛盾.

【解答】(1)證明：；0A_L03且。4=。8,

是等腰直角三角形，則NO48=NABO=45°,

?；AE是圓。的切線，

：.OALAE,則NBAE=45°,

又,：BE=BA,

.*.ZE=45O,

；.NEBA=90°,

VZD=1ZAOB=45°,

；.NE=ND,

VZABD<ZABO=45°,ZOAD>ZOAC=45°,

ZABD<ZOAD,

則NA8￡>+90°<ZOAD+90°,

即NEBOCNEAO,

；?四邊形AEBD為準平行四邊形；

(2)解：①準平行四邊形ABC。的面積S是線段AC的長