北師大版2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第4章《三角形》競(jìng)賽題（解析版）

2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版下冊(cè)第4章《三角形》競(jìng)

賽題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題）

1.如圖，AD.CE是AABC的角平分線，AD.CE相交于點(diǎn)F,已知NB=60。，則下列說(shuō)法

中正確的個(gè)數(shù)是（）

①AE=FC；?^AEF^CDF；?AE+CD^AC；④ZAFC=120°.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

當(dāng)AF=FC、AAEFgZkCDF時(shí)，需要滿足條件NBAC=NBCA,據(jù)此可判斷①②；在AC上

取AG=AE,連接FG,即可證得^AEG^AAGF,得NAFE=NAFG；再證得NCFG=NCFD,

則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證AGFCg2\DFC,可得DC=GC,即可得結(jié)論，據(jù)

此可判斷③④.

【詳解】

解：①假設(shè)AF=FC.則N1=N4.

「AD、CE是△ABC的角平分線，

，NBAC=2N1,NBCA=2N4,

.,.ZBAC=ZBCA.

.?.當(dāng)NBACr/BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；

故①不一定正確；

②假設(shè)AAEFg2\CDF,貝（］N2=N3.

同①，當(dāng)NBAC=NBCA時(shí)，該結(jié)論成立，

...當(dāng)NBACrNBCA時(shí)，該結(jié)論不成立；

故②不一定正確；

③如圖，在AC上取AG=AE,連接FG,

VAD平分NBAC,

.,.Z1=Z2,

在AAEF.^AAGF中

AE=AG

<N2=N1,

AF=AF

AAAEF^AAGF(SAS),

，NAFE=NAFG；

VAD>CE分別平分NBAC、ZACB,

AZ4+Z1=^-ZACB+^ZBAC=^(ZACB+ZBAC)=』(180°-ZB)=60°,

2222

則NAFC=180°-(Z4+Z1)=120°；

:.ZAFC=ZDFE=120°,ZAFE=ZCFD=ZAFG=60°,

則NCFG=60。，

.,.ZCFD=ZCFG,

在小GFC^ADFC中，

ACFD=ZCFG

<CF=CF,

Z4=Z3

AAGFC^ADFC(ASA),

.,.DC=GC,

VAC=AG+GC,

.\AC=AE+CD.

試卷第2頁(yè)，總27頁(yè)

故③正確；

④由③知，ZAFC=180°-ZECA-ZDAC=120°,即NAFC=120°；

故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共

邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

2.如圖在小ABC中,5D、6E分別是△ABC的高和角平分線,點(diǎn)b在CA的延長(zhǎng)線上,

交BD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H.下列結(jié)論：①NDBE=NF,②2N5Eb=N5AF+NC,③NF

=ZBAC-ZC,@ZBED=ZABE+ZC,其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.@@D.①②④

【答案】D

【分析】

①根據(jù)BD_LFD,FH_LBE和NFGD=NBGH,證明結(jié)論正確；

②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；

③證明NDBE=NBAC-NC,根據(jù)①的結(jié)論，判斷出錯(cuò)誤；

④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確.

【詳解】

解：?'：BDVFD,

：.ZFGD+ZF=90°,

YFH上BE,

：.NBGH+NDBE=90。,

,:NFGD=NBGH,

；.NDBE=NF,故①正確；

②平分NA5C,

:.NABE=NCBE,

■:NBEF=NCBE+NC,

：.2ZBEF=ZABC+2ZC,

NBAF=NABC+NC,

：.2ZBEF=ZBAF+ZC,故②正確；

③,.?NA8D=90。-ZBAC,

:.NDBE=ZABE-ZABD=/ABE-90°+ZBAC=ZCBD-NDBE-90°+ZBAC,

VZCBD=90°-ZC,

AZDBE=ZBAC-ZC-NDBE,

由①得，ZDBE=ZF,

:.NF=NBAC-NC-NDBE,故③錯(cuò)誤；

@VZBED=ZEBC+ZC,

,:NABE=NEBC,

；.NBED=NABE+NC,故④正確，

正確的有①②④，共三個(gè)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)求解

是解題關(guān)鍵.

3.如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、5、7,△DEF的三邊長(zhǎng)分別為3,3x-2,2x-L若這兩個(gè)

三角形全等，則x的值為（）

7

A.-B.4C.3D.5

3

【答案】C

【分析】

根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等分類討論，分別求出x值判斷即可.

【詳解】

此題需要分類討論.

7

①若女-2=5,貝!）尢=葭

試卷第4頁(yè)，總27頁(yè)

所以2X-1=￡W7

所以此種情況不符合題意；

②若3%-2=7,則x=3,

所以2x—1=5.

所以此種情況符合題意.

綜上所述：x=3

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求字母的值，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解決此題

的關(guān)鍵.

4.若a,b,c是AA5C的三邊，貝!］化簡(jiǎn)卜-8一一心-的結(jié)果是（）

A.2a-2bB.2b-2a

C.2cD.0

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”,得到a-b-c<0,

b-a-c<0,再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.

【詳解】

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

a-b-c<0,b-a-c<0

原-（a-b-c）-（b-a-c）］=—ci+Z?+c+b-a-c=2j7—2a

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形三邊關(guān)系和絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形三邊關(guān)系.

5.如圖，AABZ）與AAEC都是等邊三角形，AB^AC,下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）①

BE=CD；②NBOO=60°;③NBDO=/CEO；④若N5AC=90°,旦DA"BC,貝！jBCLCE.

E

D

BC

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

利用全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】

解：:與AAEC都是等邊三角形

AAD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60°

:.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC

即NDAC=NEAB

￡,DAC=^BAE

:.BE=CD,①正確；

^DAC=^BAE

ZADO=ZABO

.,.ZBOD=ZDAB=60°,②正確

VZBDA=ZCEA=60°,ZADC^ZAEB

:.ZBDA-ZADC^ZCEA-ZAEB

:.NBDOHNCEO,③錯(cuò)誤

,/DAHBC

.,.ZDAC+ZBCA=180°

VZDAB=60°,ZBAC=90"

:.ZBCA=1800-ZDAB-ZBAC=30°

VZACE=60°

:.ZBCE=ZACE+ZBCA=60°+30°=90°

，8C_LCE④正確

故由①②④三個(gè)正確，

試卷第6頁(yè)，總27頁(yè)

故選c

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

6.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,點(diǎn)A,B,C,。都在格點(diǎn)上，

連接AC,8D相交于P,那么Z4PB的大小是（）

AB

A.80°B.60°C.45°D.30°

【答案】C

【分析】

取格點(diǎn)E,F,連接MD,MB,先證明ADRWMAMEB,得出=ZDMF=NMBE,

再證明AC7/3M得出ZAPB=ZPBM,最后證明ADA仍是等腰直角三角形，得出NDBM=45°,

從而得出NAPB=45。即可.

【詳解】

解：取格點(diǎn)￡，F(xiàn),M,連接MDMB,

由已知條件可知：MF=BE,DF=EM,ZDFM=ZMEB=90°,

:.\DFM^AMEB,

：.MD=MB,ZDMF=ZMBE,

同理可得：故CB三MME,

：.ZCAB=ZMBE,

：.AC//BM,

/.ZAPB=ZPBM,

'：ABME+ZMBE=90°,

:.NBME+ADMF=90°,

ZDMB=90°,

，ADM3是等腰直角三角形,

工ZDBM=45。,

即ZAPB=45°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，

所求角轉(zhuǎn)換成容易求出度數(shù)的角，合理的添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖所示，設(shè)甲、乙、丙、丁分別表示△45C,△ACD,△EFG,△EGH.已知NACB=

ZCAD=ZEFG=ZEGH=1Q°,ZBAC=ZACD=ZEGF=ZE//G=50°,則敘述正確的是

()

A.甲、乙全等，丙、丁全等B.甲、乙全等，丙、丁不全等

C.甲、乙不全等，丙、丁全等D.甲、乙不全等，丙、丁不全等

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意即是判斷甲、乙是否全等，丙丁是否全等.運(yùn)用判定定理解答.

【詳解】

解：VZACB=CAD=70°,ZBAC=ZACD=50°,AC為公共邊，

試卷第8頁(yè)，總27頁(yè)

Z.AABC^AACD,即甲、乙全等；

△EHG中，ZEGH=70°^ZEHG=50°,即EH#EG,

雖NEFG=NEGH=70。，ZEGF=ZEHG=50°,

...△EFG不全等于AEGH,即丙、丁不全等.

綜上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正確，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空間想象能力.判定兩個(gè)三角形全等的一般

方法有：SSS、SAS、AAS、HL.找著NEGH=70￥NEHG=50。，即EHREG是正確解決本題

的關(guān)鍵.

8.如圖，已知P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，AB=12,BC=10,AC=6,貝PA+PB+PC的值一定

大于()

A.14B.15C.16D.28

【答案】A

【分析】

在三個(gè)三角形中分別利用三邊關(guān)系列出三個(gè)不等式，相加后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到正確

的結(jié)論.

【詳解】

解：如圖所示，在AABP中，AP+BP>AB,

同理：BP+PC>BC,AP+PC>AC,

以上三式左右兩邊分別相加得到：

2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,

即PA+PB+PC>y(AB+BC+AC),

APA+PB+PC>^-x(12+10+6)=14,

2

即PA+PB+PC>14

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是三角形的三邊關(guān)系，在三個(gè)三角形中分別利用三邊關(guān)系列出三個(gè)不等式，

相加后即可得到正確的結(jié)論；

二、填空題（本大題共6小題）

9.如圖，AA5C的N5AC和NBCA的外角角平分線交于點(diǎn)。，^AB=OC-AC,ZOCA=

x,其中60。<“<90。，則NO4c的度數(shù)是（用含x的式子表示）

【答案】（180-y）

【分析】

延長(zhǎng)CA至E,使AE=AB,連接BO,EO,由等腰三角形的性質(zhì)可得NE=（（180?-尤）=90。

-gx,由“SAS”可證AEAOgZ^BAO,可得NE=NABO=90。-gx,由角平分線的性質(zhì)和

外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：如圖，延長(zhǎng)CA至E,使AE=AB,連接BO,EO,

試卷第10頁(yè)，總27頁(yè)

.,.AB+AC=OC=AE+AC,

/.EC=OC,

.*.ZE=ZEOC,

.,.ZE=1(180?-%)=90°-gx,

VAO平分NNAC,

.,.ZNAO=ZOAC,

VZBAC=ZEAN,

.,.ZEAO=ZBAO,

在小EAO^flABAO中，

'AE=BA

<ZEAO=NBAO,

AO=AO

/.AEAO^ABAO(SAS),

/.ZE=ZABO=90°--x,

2

VAABC的NBAC和NBCA的外角角平分線交于點(diǎn)O,

.*.OB平分NABC,

AZABC=2ZABO=180°-x°,

VZNAC=ZABC+ZACB,

:.ZNAC=180°-x+180°-2x=360°-3x,

3-x

.,.ZOAC=180°-2

3-X

故答案為：(180-2

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰

當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知AABC中，NC=90。，AC=BC=2血,將△MC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。

到VAFC的位置，連接C8,則C8的長(zhǎng)為.

【答案】273-2

【分析】

根據(jù)題意連接BB，，延長(zhǎng)BC交AB，于點(diǎn)M,先證明△ABC絲△B，BC,得到

ZMBB,=ZMBA=30°；進(jìn)而求出BM、CM的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：如圖，連接BB，，延長(zhǎng)BC交AB，于點(diǎn)M,

B'

...△ABB，為等邊三角形，

，NABB，=60。，AB=BB

在4ABC與AB，BC中，

AC'=B'C

<AB=B'B,

BC'=BC

/.AABC^AB,BC,(SSS),

.，.ZMBB,=ZMBA=30°,

/.BMXABS且AM=B，M；

由題意得：AC=BC=2g，AB2=AC2+BC2=16,

.?.AB'=AB=4,AM=2,

試卷第12頁(yè)，總27頁(yè)

，CM=；AB，=2；由勾股定理可求：BM=2百,

.?.CB=2石-2.

故答案為：2百-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理,

熟練掌握并作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=50°,AD、BE交于點(diǎn)H,連接CH,則J

ZCHE=?

【答案】65°

【分析】

先判斷出AACD=A?CE,再判斷出AACA/MA5CN即可得到C”平分ZAWE,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，-.■ZACB=ZDCE,

:.NACD=/BCE,

CA=CB

在AACD和\BCE中，,NACZ)=ZBCE

CD=CE

.?.AACD=A5CE(SA5)；

過(guò)點(diǎn)C作CM_LAD于"，CN上BE于N,

?/MCD^ABCE,

:.ZCAM=ZCBN,

ZCAM=NCBN

在WCM和\BCN中，＜ZAMC=4BNC=90°

AC=BC

:.^ACM=^BCN,

:.CM=CN,

CM=CN

在RtACMH與RtACNH中\(zhòng)

CH-CH

RtACMH=RtACNH(HL),

ZMCH=ZNCH,

.,.CH平分ZA/立；

?.?AACDMABCE,

：.ZCAD=ZCBE,

-.■ZAFC=ZBFH,

.-.ZA//B=ZACB=50°,

/.ZAHE=180°-50°=130°,

ACHE=-ZAHE=L130。=65。,

22

故答案為：65°.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義.此題難度適中，注意掌握輔助線

的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

12.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB,BC為直角邊向△ABC外作等腰

直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中/ABM=NBC=N90。，連接MN,已知MN

=4,貝!]BD=.

試卷第14頁(yè)，總27頁(yè)

【答案】2

【分析】

延長(zhǎng)BD至1]E,使DE=BD,連接AE,證明△ADE^ACDB(SAS),可得AE=CB,ZEAD=ZBCD,

再根據(jù)△ABM和ABCN是等腰直角三角形，證明AMBNg/kBAE,可得MN=BE,進(jìn)而可

得BD與MN的數(shù)量關(guān)系即可求解.

【詳解】

解：如圖，延長(zhǎng)BD到E,使DE=BD,連接AE,

?點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，.\AD=CD,

ED=BD

在AADE和ACDB中，<NADE=NCDB,.-.AADE^ACDB(SAS),

AD=CD

.?.AE=CB,ZEAD=ZBCD,

:△ABM和4BCN是等腰直角三角形，

.*.AB=BM,CB=NB,ZABM=ZCBN=90°,

，BN=AE,

又ZMBN+ZABC=3600-90o-90°=l80。，

,ZZBCA+ZBAC+ZABC=180°,

.?.ZMBN=ZBCA+ZBAC=ZEAD+ZBAC=ZBAE,

在4MBN和△BAE中，

MB=AB

<NMBN=NBAE,AAMBN^ABAE(SAS),/.MN=BE,

BN=AE

VBE=2BD,.*.MN=2BD.

又MN=4,.\BD=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形

的判定與性質(zhì).

13.三角形的周長(zhǎng)小于13,且各邊長(zhǎng)為互不相等的整數(shù)，則這樣的三角形共有個(gè).

【答案】3

【分析】

根據(jù)周長(zhǎng)小于13,三角形三邊為互不相等的整數(shù)，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小

于第三邊可確定三邊可選的數(shù)字為2、3、4、5,由此可得這樣的三角形以及個(gè)數(shù).

【詳解】

解：根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長(zhǎng)小于13,則其中的任何一邊不能超

過(guò)6.5；

根據(jù)三角形各邊為整數(shù)，所以任何一邊都大于1,且小于6,故三邊可選的數(shù)字為2、3、4、5；

根據(jù)各邊不相等可得，三邊可以為：2、3、4；2、4、5；3、4、5；

故這樣的三角形共有3個(gè)，

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形三邊關(guān)系，涉及分類討論的思想.解答的關(guān)鍵是找到三邊的取值范圍及對(duì)三

角形三邊的理解把握.

14.如圖，RtAABC中，AB=AC=3,AO=1.若將AD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連

接OE,則在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段為OE的最小值為.

【答案】0

【分析】

在AB上截取AQ=AO=L連接DQ,先證得△AQD烏△AOE,得出QD=OE,根據(jù)點(diǎn)到直線

的距離可知當(dāng)QD_LBC時(shí)，QD最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得QD_LBC時(shí)的

QD的值，即可求得線段OE的最小值.

試卷第16頁(yè)，總27頁(yè)

【詳解】

如圖，在AB上截取AQ=AO=L連接DQ,

VZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即NBAD=NCAE,

在△AQD和4AOE中，

AQ=AO

<ZQAD=ZOAE,

AD=AE

AAAQD^AAOE(SAS),

；.QD=OE,

?.?點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，

.,.當(dāng)QDJ_BC時(shí)，QD最小，

VAABC是等腰直角三角形，

，NB=45°,

VQDXBC,

...△QBD是等腰直角三角形，

VAB=AC=3,AQ=AO=L

；.BQ=2,

QD=%QB=O,

.?.線段OE的最小值是為血.

故答案為應(yīng).

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，作出輔

助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共4小題)

15.在等腰RtA45C中N45C=90。，BA^BC,在等腰RtACDE中NCDE=90。，DE=DC,

連接4。，點(diǎn)F是線段AO的中點(diǎn).

(1)如圖1,連接5F,當(dāng)點(diǎn)。和點(diǎn)E分別在5c邊和AC邊上時(shí)，若A5=3,CE=2及,

求BF的長(zhǎng).

(2)如圖2,連接BE、BD.EF,當(dāng)NDBE=45。時(shí)，求證：EF=ED.

【答案】(1)叵;(2)見詳解；

2

【分析】

(1)利用等腰直角三角形DEC,求解CD,然后勾股定理求解AD,最后直角三角形斜邊中

線等于斜邊一半，即可；

(2)如圖,延長(zhǎng)EF到N,使得FN=EF,連接BN,延長(zhǎng)DE交AB于M；利用△AFN^ADEF,

可求DM〃AN；進(jìn)而可得NOMB=NBAN,ZOMB=ZOCD；可得△BANgZkBCD,可知

NB=BD,再證明△BENgZkBED,可得DE=EN=2EF；故=

【詳解】

(1)由題可知：在等腰RtADEC中，ZCDE=90°,DE=DC,CE=2近；

ED=CD=2；又AB=BC=3；ABD=1；

在RSABD中，AD7AB'BO1=歷；

試卷第18頁(yè)，總27頁(yè)

又點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn),

?R口1麗

??BF=-AD=-----;

22

(2)如圖，延長(zhǎng)EF至!!N,使得FN=EF,連接BN,延長(zhǎng)DE交AB于M；

在^AFN^flADEF中，

AF=DF；ZAFN=ZDFE；FN=EF；

AAAFN^ADEF

:.AN=DE=CD,ZFAN=ZFDE

DM#AN

.*.ZOMB=ZBAN；又NMOB+NOMB=90。；ZDOC+ZOCD=90°；

ZMOB=ZDOC；

ZBAN=ZBCD；

在小BAN^nABCD中，

AB=BC；ZBAN=ZBCD；AN=CD；

AABAN^ABCD

:.ZABN=ZCBD；BN=BD；

:.ZDBN=ZCBA=90°；

又NDBE=45。:.NEBN=NEBD；又BE=BE；BN=BD；

.,.△BEN^ABED

，DE=EN=2EF；

，EF=—DE.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形綜合問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半；難點(diǎn)在于輔助線的添加和三角形全等的構(gòu)造.

16.在AABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°,且AB=AC,AD=AE.

(1)如圖1,如果點(diǎn)D在BC上，且BD=5,CD=3,求DE的長(zhǎng).

(2)如圖2,AD與BC相交于點(diǎn)N,點(diǎn)D在BC下方，連接BD,且AD垂直BD,連接CE

并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,點(diǎn)M是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CM=AF,求證:CF=AN+MN.

【答案】(1)??；(2)見解析

【分析】

(1)連接CE,iiEAABD^AACE,利用全等三角形的性質(zhì)可得CE_LCD,在直角△CED中

用勾股定理可求得DE的長(zhǎng).

(2)過(guò)A作AG〃BC交CF于點(diǎn)G,證明四邊形ANCG為平行四邊形，貝ljCG=AN,這樣

證CF=MN+AN=CG+GF,轉(zhuǎn)化為證GF=MN,為此證△AGF^ACNM問(wèn)題即解決.

【詳解】

(1)如圖，連結(jié)CE

試卷第20頁(yè)，總27頁(yè)

E

BDC

,:ZBAC=ZDAE=90°

:.ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE=90°

:.NBAD=NCAE

在乙BAD^DACAE中

AB=AC

<ZBAD=NCAE

AD^AE

ABAD^ACAE(SAS)

.\CE=BD=5,ZACE=ZB

■:ZBAC=90°

:.ZB+ZACB=90°

.,.ZACE+ZACB=90°

即CE±CD

在R3ECD中，CD=3,CE=5,由勾股定理得：￡)E=y]CD2+CE2=,9+25=

所以DE的長(zhǎng)為后.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG〃BC交CF于點(diǎn)G

M

D

則NFAG=NABC,ZAGE+ZBCF=180°

VAD±BD,AD±AE

/.AE/7BD

:.NFAE=NABD

/.ZFAE-ZFAG=ZABD-ZABC

即NGAE=NNBD

VZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE=90°

/.ZBAD=ZCAE

在小BAD和4CAE中

AB^AC

<ABAD=NCAE

AD=AE

ABAD^ACAE(SAS)

:.ZCEA=ZBDA=90°

ZAEC=90°

.,.ZANC=ZBND=90°-ZNBD=90°-ZGAE=ZAGE

.?.ZANC+ZBCF=180°

.?.AN〃CF

:.四邊形ANCG是平行四邊形

.*.CG=AN,AG=CN

VAB=AC

.,.ZABC=ZCAN

試卷第22頁(yè)，總27頁(yè)

:.ZFAG=ZACN

在^FAG和^MCN中

AF=CM

<Z.FAG=NACN

AG=CN

：.AFAG^AMCN(SAS)

.\MN=GF

VCF=CG+GF

.\CF=AN+MN

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及輔助線的作法.難點(diǎn)在輔助線的作法，特別

是第二問(wèn)的輔助線如何作許多學(xué)生無(wú)從下手.本題第二問(wèn)是證兩條線段的和等于另一條線段,

此類典型問(wèn)題的解決方法有兩種：一是在長(zhǎng)線段上截取一線段等于兩較短線段中的一條，再

證余下線段等于另一線段即可，稱之為截長(zhǎng)法；二是把其中一條較短線段補(bǔ)長(zhǎng)，再證線段相

等，稱之為補(bǔ)短法.

17.如圖，在△A5C中，AO是高，E、尸分另()是45、AC的中點(diǎn)，AB=8,AC=6.

(1)求四邊形AEDF的周長(zhǎng)；

(2)若N3AC=90。，求四邊形AEDF的面積.

【分析】

(1)延長(zhǎng)DE到G,使GE=DE,連接BG,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AE=4,AF=3,并

利用SAS證明△AED^ABEG,由全等三角形的性質(zhì)并再次利用全等三角形的判定得出

△GBD^AABD,可證得DE=《AB=4,同理DF=^AC=3,即可計(jì)算出四邊形的周長(zhǎng);

(2)利用SSS可證△AEF^ADEF,根據(jù)直角三角形的面積計(jì)算方法求出4AEF的面積，則

四邊形的面積即可求解.

【詳解】

解：（1）延長(zhǎng)DE到G,使GE=DE,連接BG,

VE.F分另IJ是AB、AC的中點(diǎn)，AB=8,AC=6,

.,.AE=BE=-AB=4,AF=CF=-AC=3.

22

在AAED^DABEG中，

AE=BE

<NAED=ZBEG,

DE=GE

AAAED^ABEG(SAS).

.,.AD=BG,NDAE=NGBE.

VAD±BC,

.,.ZDAE+ZABD=90°.

.\ZGBE+ZABD=90o.

即NGBD=NADB=90°.

在AGBD和△ABD中，

'BG=DA

<NGBD=ZADB,

BD=DB

.,.△GBD^AABD(SAS).

.*.GD=AB.

VDE=-GD,

2

/.DE=-AB=4.

2

同理可證：DF=AC=3.

試卷第24頁(yè)，總27頁(yè)

工四邊形AEDF的周長(zhǎng)=AE+ED+DF+FA=14.

(2)由(1)得AE