第二課時(shí)組合的綜合應(yīng)用

第二課時(shí)組合的綜合應(yīng)用題型一有限制條件的組合問題

[學(xué)透用活][典例1]課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．解決有限制條件的組合應(yīng)用題的策略(1)“含”與“不含”問題：這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，尋找問題的突破口，即采用排除法．解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)幾何中的計(jì)算問題：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)先明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決．

[對(duì)點(diǎn)練清]1．[變?cè)O(shè)問]在本例條件下，至多有1名隊(duì)長(zhǎng)被選上的方法有多少種？2．有男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名．選派5人外出比賽，按下列要求求各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員．題型二分組、分配問題

[學(xué)透用活][典例2]

6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法？(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．1．“分組”與“分配”問題的解法(1)本例中的每一個(gè)小題都提出了一種類型的問題，搞清楚類型的歸屬對(duì)解題大有裨益．要分清是分組問題還是分配問題，這個(gè)是很關(guān)鍵的．(2)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等，最后必須除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(3)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配．2．相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”．每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．[對(duì)點(diǎn)練清]1．按下列要求把12個(gè)人分成3個(gè)小組，各有多少種不同的分法？(1)各組人數(shù)分別為2,4,6人；(2)平均分成3個(gè)小組；(3)平均分成3個(gè)小組，進(jìn)入3個(gè)不同車間．2．6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2，3,4的盒子，求下列方法的種數(shù)．(1)每個(gè)盒子都不空；(2)恰有一個(gè)空盒子；(3)恰有兩個(gè)空盒子．題型三幾何中的組合問題

[學(xué)透用活][典例3]如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4.(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．(2)把一個(gè)與幾何相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為組合問題，此題目的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．平面內(nèi)有兩組平行線，一組有3條，另一組有4條，且這兩組平行線相交，可以構(gòu)成不同的平行四邊形個(gè)數(shù)為

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)A．10 B．12C．16 D．18題型四排列、組合的綜合問題

[學(xué)透用活][典例4]有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文科代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．解決排列、組合綜合問題要遵循的原則及途徑(1)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步；(2)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類．解決時(shí)通常從三個(gè)途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù)．

[對(duì)點(diǎn)練清]1．(2020·全國(guó)卷Ⅱ)4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有________種．2．有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．(多選)我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作中，《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《孫丘建算經(jīng)》《海島算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《綴術(shù)》和《緝古算經(jīng)》，稱為“算經(jīng)十書”．某老師將其中的《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《綴術(shù)》和《緝古算經(jīng)》6本書分給5名數(shù)學(xué)愛好者，其中每人至少一本，則不同的分配方法的種數(shù)為(

)二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．某地安排7名干部(3男4女)到三個(gè)村調(diào)研走訪，每個(gè)村安排男、女干部各1名，剩下1名干部負(fù)責(zé)統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，則不同的安排方案有

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)A．72種

B．108種C．144種

D．210種三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維