學(xué)生浙教版第二章特殊三角形知識點、考點及練習(xí)

《特殊三角形》復(fù)習(xí)一、知識結(jié)構(gòu)本章主要學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理、HL定理等知識，這些知識點之間的結(jié)構(gòu)如以下圖所示：二、重點回憶1．等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形兩腰_______；等腰三角形兩底角______(即在同一個三角形中，等邊對_____)；等腰三角形三線合一，這三線是指________________、________________、________________，也就是說一條線段充當(dāng)三種身份；等腰三角形是________圖形，它的對稱軸有_________條。2．等腰三角形的判定：有____邊相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形〔即在同一個三角形中，等角對_____〕。注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對嗎？3．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形各條邊______，各內(nèi)角_______，且都等于_____；等邊三角形是______圖形，它有____條對稱軸。4．等邊三角形的判定：有____邊相等的三角形是等邊三角形；有三個角都是______的三角形是等邊三角形；有兩個角都是______的三角形是等邊三角形；有一個角是______的______三角形是等邊三角形。5．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角_______；直角三角形斜邊上的中線等于_______；直角三角形兩直角邊的平方和等于________〔即勾股定理〕。30°角所對的直角邊等于斜邊的________6．直角三角形的判定：有一個角是______的三角形是直角三角形；有兩個角_______的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于_______的三角形是直角三角形。一條邊上的中線等于該邊長度的一半，那么該三角形是直角三角形，但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形，但有助于解題。7．直角三角形全等的判定：斜邊和___________對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。8．角平分線的性質(zhì)：在角內(nèi)部到角兩邊___________在這個角的平分線上。三、重點解讀1．學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點分清性質(zhì)與判定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關(guān)系判斷一個圖形形狀通常用的是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系那就是性質(zhì)；2．等腰三角形的腰是在一個三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個三角形是等腰三角形時千萬不能將理由說成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形〞；3．直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關(guān)系，而且它也是今后研究直角三角形問題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來不少方便；4．勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關(guān)系，解題時應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“〞就認(rèn)定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長為3和4，就認(rèn)為另一邊一定是5；5．“HL〞是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在兩個三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當(dāng)然，以前學(xué)過的“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞等判定一般三角形全等的方法對于直角三角形全等的判定同樣有效。切記!!!兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒有邊邊角定理。因此在證明全等時千萬不要這樣做。本章解題時用到的主要數(shù)學(xué)思想方法：⑴分類討論思想〔特別是在語言模糊的等腰三角形中〕〔留意后面的例題〕⑵方程思想：主要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時，運用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長〔留意后面的例題〕⑶等面積法四、典型例題〔一〕、角平分線+平行線1、在△ABC中，三內(nèi)角互不相等，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。過O點作EF,使EF∥BC?！?〕圖中有幾個等腰三角形？〔2〕猜測線段BE、CF、EF有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由。2、在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB,過O點作EF，使EF∥BC，且∠EBO=30°。假設(shè)BE=5，△ABC的周長為_________。〔二〕、角平分線+垂線3、如圖：AB=AC，∠1=∠2，AE⊥CD于F交BC于點E，求證：AB=CE。4、如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE⊥BD交BD的延長線于點E，求證：BD=2CE(三)、直角三角形的一個銳角平分線+斜邊上的高線F5、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB于D，它們交于點F，△CFE是等腰三角形嗎？試說明理由.F〔四〕、等邊三角形的幾個根本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=CE，連接AD、BE交于點F?！螦FE=_________。7、如圖點A、C、E在同一直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形，M、N分別是AD、BE的中點。說明：△CMN是等邊三角形。8、等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，假設(shè)點P在一邊BC上〔圖1〕，此時h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h，請你探索以下問題：當(dāng)點P在△ABC內(nèi)〔圖2〕和點P在△ABC外〔圖3〕這兩種情況時，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關(guān)系，請寫出你的猜測，并簡要說明理由．〔五〕、等腰直角三角形的幾個根本應(yīng)用9、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥M于E。(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時，說明△ADC≌△CEB的理由；(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，說明DE=AD－BE的理由；ABCDEMN圖2ABCDMN圖3ABCDEMN圖2ABCDMN圖3AABCDEMN圖110、如圖，在直角△ABC中，∠C=90，AC=BC，D，E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點。求證：△MDE是等腰直角三角形?！擦?、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程11、觀察下面表格中所給出的三個數(shù)a，b，c，其中a，b，c為正整數(shù)，且a<b<c〔1〕：試找出他們的共同點，并證明你的結(jié)論〔2〕：當(dāng)a=21時，求b，c的值,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41……..……21,b,c21+b=c12、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ?！?〕觀察并猜測AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．〔2〕假設(shè)PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．AABCD13、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求這個三角形的面積分析：對于沒有圖形的大題〔指需要過程的題目〕，最好自己畫圖，與人方便，與己方便。解：設(shè)這個等腰三角形為ABC，高為AD，設(shè)BD為x，那么AB為〔16-x〕，由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2∴x=6∴S?ABC=BC?AD/2=2?6?8/2=4814、矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在DC邊上的點G處，求BE的長。EEGCDBA〔七〕、需要分類討論的〔主要是由語言的模糊造成要討論〕有一個角等于50°，另一個角等于__________的三角形是等腰三角形。有一個直角三角形的兩條直角邊為3，4，那么第三條邊長為__________如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩局部，求這個三角形的腰長及底邊長?！舶恕匙鲌D題如圖，求作一點P，使PC=PD,并且使點P到∠AOB兩邊的距離相等，并說明你的理由．作圖題的根本要求：結(jié)論不能丟。格式：什么什么即為所求?！究键c精練】一、根底訓(xùn)練1．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD為∠ABC的平分線，那么∠BDC=_____°．〔1〕〔2〕〔3〕2．如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，假設(shè)中間的小等邊三角形的邊長是a，那么六邊形的周長是_______．3．如圖3，一個頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形，那么∠1+∠2=________度．4．如圖4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，將△ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△AB′C′，那么∠BAC′等于________．〔4〕〔5〕5．如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時施工．從AC上的一點B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點E離D的距離約為_______米〔精確到1米〕．6．等腰△ABC的底邊BC=8cm，腰長AB=5cm，一動點P在底邊上從點B開始向點C以0.25cm/秒的速度運動，當(dāng)點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間應(yīng)為________．7．如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，那么∠CDE=________．〔7〕〔8〕〔9〕8．如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，那么∠DCB等于〔〕A．44°B．68°C．46°D．22°9．如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，假設(shè)考慮既要符合設(shè)計要求，又要節(jié)省材料，那么在庫存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用〔〕A．L1B．L2C．L3D．L10．如圖10，在△ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點，且BD=BC=AD．那么∠A等于〔〕A．30°B．36°C．45°D．72°〔10〕〔11〕11．同學(xué)們都玩過蹺蹺板的游戲．如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB．當(dāng)蹺蹺板的一頭A著地時，∠OAC=25°，那么當(dāng)蹺蹺板的另一頭B著地時，∠AOA′等于〔〕A．25°B．50°C．60°D．130°12、直角三角形的兩條直角邊長為a,b,斜邊上的高為h,那么以下各式中總能成立的是()A.ab=h2B.a+b=2hC.+=D.+=13如下圖，在△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于點D，M為AD上任一點，那么MC2-MB2等于二、能力提升14．如圖，等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩局部，求它的底邊長．15．〔計算型說理題〕如圖△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E使CE=CD．試判斷DB與DE之間的大小關(guān)系，并說明理由。16．如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上