大學(xué)考研數(shù)學(xué)分析筆記

全國考研專業(yè)課高分資料大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》筆記筆記：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科生筆記或者輔導(dǎo)班筆記講義：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科教學(xué)課件期末題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科期末測試題2-3套模擬題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)考研專業(yè)課模擬測試題2套復(fù)習(xí)題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)考研專業(yè)課導(dǎo)師復(fù)習(xí)題真題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)歷年考試真題，本項(xiàng)為贈送項(xiàng)，未公布的不送！目錄第二模塊筆記3第一局部實(shí)數(shù)集與函數(shù)3第二局部數(shù)列極限8第三局部函數(shù)極限10第四局部函數(shù)連續(xù)性15第五局部導(dǎo)數(shù)與微分32第六局部微分中值定理及其應(yīng)用38第八局部不定積分53第九局部定積分56第十局部定積分的應(yīng)用62第十一局部反常積分70第十二局部數(shù)項(xiàng)級數(shù)74第十三局部函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)92第十四局部冪級數(shù)103第十五局部傅里葉級數(shù)118第十六局部多元函數(shù)的極限與連續(xù)133第十七局部多元函數(shù)微分學(xué)138第十八局部隱函數(shù)定理及其應(yīng)用150第十九局部含參量積分154第二十局部曲線積分165第二十一局部重積分168第二十二局部曲面積分177第二模塊筆記第一局部實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§1

實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)分析研究的對象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，因此先表達(dá)一下實(shí)數(shù)的有關(guān)概念一．

實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：回憶中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的定義.有理數(shù)：假設(shè)規(guī)定：那么有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)。例如：記為；0記為；記為實(shí)數(shù)大小的比擬定義1

給定兩個非負(fù)實(shí)數(shù)其中為非負(fù)整數(shù)，。假設(shè)由1〕那么稱與相等，記為2〕假設(shè)存在非負(fù)整數(shù)，使得，而，那么稱大于〔或小于〕，分別記為〔或〕。規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)；對于負(fù)實(shí)數(shù)，假設(shè)按定義1有，那么稱實(shí)數(shù)的有理數(shù)近似表示定義2設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)為實(shí)數(shù)的位缺乏近似值，而有理數(shù)稱為的位過剩近似值。對于負(fù)實(shí)數(shù)的位缺乏近似值規(guī)定為：；的位過剩近似值規(guī)定為：比方，那么1.4,1.41,1.414,1.4142,稱為的缺乏近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,稱為的過剩近似值。命題設(shè)為兩個實(shí)數(shù)，那么實(shí)數(shù)的一些主要性質(zhì)

1

四那么運(yùn)算封閉性:2

三歧性(即有序性):3

實(shí)數(shù)大小由傳遞性，即4

Achimedes性:5

稠密性:有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性.6

實(shí)數(shù)集的幾何表示───數(shù)軸:例二.絕對值與不等式絕對值定義：從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點(diǎn)的距離：絕對值的一些主要性質(zhì)性質(zhì)4〔三角不等式〕的證明：三.

幾個重要不等式:

⑴⑵對記

(算術(shù)平均值)

(幾何平均值)

(調(diào)和平均值)有均值不等式:

等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.⑶

Bernoulli不等式:

(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)對由二項(xiàng)展開式有:上式右端任何一項(xiàng).§2數(shù)集。確界§2二數(shù)集.確界原理:一區(qū)間與鄰域:鄰域二有界數(shù)集.確界原理:1.有界數(shù)集:

定義(上、下有界,有界)閉區(qū)間、為有限數(shù)〕、鄰域等都是有界數(shù)集，集合也是有界數(shù)集.無界數(shù)集:對任意，存在，那么稱S為無界集。等都是無界數(shù)集,

例證明集合是無界數(shù)集.證明：對任意,存在由無界集定義，E為無界集。確界先給出確界的直觀定義：假設(shè)數(shù)集S有上界，那么顯然它有無窮多個上界，其中最小的一個上界我們稱它為數(shù)集S的上確界；同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界。精確定義定義2

設(shè)S是R中的一個數(shù)集，假設(shè)數(shù)滿足一下兩條：〔1〕

對一切有，即是數(shù)集S的上界；〔2〕

對任何存在使得〔即是S的最小上界〕那么稱數(shù)為數(shù)集S的上確界。記作定義3

設(shè)S是R中的一個數(shù)集，假設(shè)數(shù)滿足一下兩條：〔3〕

對一切有，即是數(shù)集S的下界；〔4〕

對任何存在使得〔即是S的最大下界〕那么稱數(shù)為數(shù)集S的下確界。記作§3函數(shù)概念函數(shù)是整個高等數(shù)學(xué)中最根本的研究對象,可以說數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的.因此我們對函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應(yīng)有一個清楚的認(rèn)識.一函數(shù)的定義1.函數(shù)的幾點(diǎn)說明.函數(shù)的兩要素:定義域和對應(yīng)法那么約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.函數(shù)的表示法:解析法,列表法,圖像法.分段函數(shù)狄里克雷函數(shù)黎曼函數(shù)三函數(shù)的四那么運(yùn)算〔見課本〕四.函數(shù)的復(fù)合:六初等函數(shù):根本初等函數(shù):1常函數(shù)2冪函數(shù)冪函數(shù)§4具有某些特性的函數(shù)1.有界函數(shù)假設(shè)函數(shù)在定義域上既有上界又有下界，那么稱為上的有界函數(shù)。這個定義顯然等價(jià)于，對一切，恒有請同學(xué)們利用有界函數(shù)的定義給出無界函數(shù)的定義。例是無界函數(shù)。證明對任意的，存在，取，那么2.單調(diào)函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)〔1〕定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱周期函數(shù)1)通常我們所說的周期總是指函數(shù)的最小周期2)有的周期函數(shù)不一定有最小周期，例如常函數(shù)是周期函數(shù)，狄里克雷函數(shù)，它們顯然沒有最小周期第二局部數(shù)列極限§1數(shù)列極限概念對于數(shù)列，設(shè)A是一個常數(shù)，假設(shè)任給，都存在相應(yīng)的自然數(shù)時(shí)，，那么稱A為數(shù)列的極限。下面我們通過圖示，對數(shù)列定義作幾點(diǎn)說明：〔1〕的任意性〔2〕的相應(yīng)性三、用極限定義證明的例題2.數(shù)列極限的等價(jià)定義:對對任正整數(shù)§2

收斂數(shù)列的性質(zhì)1.

極限唯一性：〔證〕2.

收斂數(shù)列有界性——收斂的必要條件：〔證〕3.

收斂數(shù)列保號性：定理2.4

設(shè)或.那么對

(或

(或例1設(shè)證明：假設(shè)那么〔證〕定理2.5

設(shè)假設(shè)，〔注意“=〞；并注意和的情況〕.推論假設(shè)那么對4.

定理〔迫斂性〕

(證)5.

絕對值收斂性:

(注意反之不確).

(證)推論設(shè)數(shù)列{}和{}收斂,那么6.四那么運(yùn)算性質(zhì):7.

子列收斂性:

子列概念.定理

(數(shù)列收斂充要條件)

{}收斂

{}的任何子列收斂于同一極限.定理

(數(shù)列收斂充要條件){}收斂子列{}和{}收斂于同一極限.定理

(數(shù)列收斂充要條件){}收斂子列{}、{}和{都收斂.(簡證)一、利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限:兩個根本極限：1.

利用四那么運(yùn)算性質(zhì)求極限：數(shù)列的單調(diào)遞增是顯然的,有界很容易用歸納法證明,而且利用單調(diào)有界定理,設(shè)其極限為,那么有,A=2定理2.10數(shù)列{收斂，〔或數(shù)列{收斂，}第三局部函數(shù)極限§1函數(shù)極限概念一趨于時(shí)函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)定義在上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量趨于時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值能否無限地接近于某個定數(shù)。例如，對于函數(shù)從圖象上可見，當(dāng)無限增大時(shí)，函數(shù)值無限地接近于0；而對于函數(shù)，那么當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)值無限地接近于。我們稱這兩個函數(shù)當(dāng)時(shí)有極限。一般地，當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)極限的精確定義如下：定義1設(shè)定義在上的函數(shù)，為定數(shù)。假設(shè)對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí),有，那么稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或。說明:(1)、在定義1中正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中的相類似，說明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)。因此，當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)以為極限意味著：的任意小鄰域內(nèi)必含有在的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。(2)、定義1的幾何意義如以下圖所示，

對任給的，在坐標(biāo)平面上平行于軸的兩條直線與，圍成以直線為中心線、寬為的帶形區(qū)域；定義中的“當(dāng)時(shí)有〞表示：在直線的右方，曲線全部落在這個帶形區(qū)域之內(nèi)。如果正數(shù)給的小一點(diǎn)，即當(dāng)帶形區(qū)域更窄一點(diǎn)，那么直線一般要往右平移；但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數(shù)，使得曲線在直線的右邊局部全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi)。定義1的否認(rèn)表達(dá):定義1’設(shè)定義在上的函數(shù)，為定數(shù)。假設(shè)存在某個，對任意充分大的正數(shù)，總存在某個,使得:，那么稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)不以為極限.(3)、現(xiàn)設(shè)為定義在或上的函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，假設(shè)函數(shù)值能無限地接近某定數(shù)，那么稱當(dāng)或時(shí)以為極限，分別記作:或;或這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“〞分別改為“〞或“〞即可。問題:(4)、顯然,假設(shè)為定義在上的函數(shù)，那么〔1〕HYPERLINK(返回)二趨于時(shí)函數(shù)的極限設(shè)為定義在某個空心鄰域內(nèi)的函數(shù)。現(xiàn)在討論當(dāng)趨于時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個定數(shù)。這類函數(shù)極限的精確定義如下：定義2〔函數(shù)極限的定義〕設(shè)函數(shù)在某個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)。假設(shè)對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，那么稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或。下面我們舉例說明如何應(yīng)用定義來驗(yàn)證這種類型的函數(shù)極限。請讀者特別注意以下各例中的值是怎樣確定的。通過以上各個例子，讀者對函數(shù)極限的定義應(yīng)能體會到下面幾點(diǎn)：1.定義2中的正數(shù)，相當(dāng)于數(shù)列極限定義中的，它依賴于，但也不是由所唯一確定，一般來說，愈小，也相應(yīng)地要小一些，而且把取得更小些也無妨。如在例3中可取或等等。2.定義中只要求函數(shù)在某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考慮在點(diǎn)處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值。這是因?yàn)?，對于函?shù)極限我們所研究的是當(dāng)趨于過程中函數(shù)值的變化趨勢。如在定理3.9設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心右鄰域有定義。的充要條件是：對任何以為極限的遞減數(shù)列，有。這個定理的證明可仿照定理3.8進(jìn)行，但在運(yùn)用反證法證明充分性時(shí)，對的取法要作適當(dāng)?shù)男薷模员ＷC所找到的數(shù)列能遞減地趨于。證明的細(xì)節(jié)留給讀者作為練習(xí)。相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理?，F(xiàn)以這種類型為例表達(dá)如下：定理3.10設(shè)是定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，那么右極限存在。證不妨設(shè)在上遞增。因在上有界，由確界原理，存在，記為。下證。事實(shí)上，任給，按下確界定義，存在，使得。取，那么由的遞增性，對一切=，有另一方面，由，更有。從而對一切有這就證得。最后，我們表達(dá)并證明關(guān)于函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)那么。定理3.11〔柯西準(zhǔn)那么〕設(shè)在內(nèi)有定義。存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何，，有．證必要性設(shè)，那么對任給的，存在正數(shù)，使得對任何有。于是對任何，有。充分性設(shè)數(shù)列且。按假設(shè)，對任給的，存在正數(shù)，使得對任何，有。由于〔〕，對上述的，存在，使得當(dāng)時(shí)有，,從而有.于是,按數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)那么,數(shù)列的極限存在,記為,即.設(shè)另一數(shù)列且,那么如上所證,存在,記為.現(xiàn)證.為此,考慮數(shù)列:,,,,．．．,,,．．．易見且故仍如上所證,也收斂.于是，作為的兩個子列，與必有相同的極限。所以由歸結(jié)原那么推得按照函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)那么，我們能寫出極限不存在的充要條件：存在，對任何〔無論多么小〕，總可找到，，使得．如在例１中我們可取，對任何設(shè)正整數(shù)，令，，那么有，，而于是，按柯西準(zhǔn)那么極限不存在．解當(dāng)時(shí)有。故所求極限等于。第四局部函數(shù)連續(xù)性§1連續(xù)性的概念一函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)在的某個空心鄰域內(nèi)有定義，是一個確定的數(shù)，假設(shè)對，當(dāng)時(shí)，都有，那么稱在時(shí)，以為極限。這里可以有三種情況：1〕無定義，比方上局部講過的特殊極限2〕，比方，

2〕的情形

1〕的情形

3〕3〕的情形對1〕、2〕兩種情況，曲線在處都出現(xiàn)了間斷;第3〕種情況與前兩種情況不同，曲線在處連綿不斷，我們稱這種情況即：時(shí)，在處連續(xù)。為此給出函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義定義1設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)：那么稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。2、函數(shù)在一點(diǎn)的左、右連續(xù)的定義相應(yīng)于在的左、右極限的概念，我們給出左右連續(xù)的定義如下：定義2設(shè)函數(shù)在的某左〔右〕鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)：〔〕那么稱在點(diǎn)左〔右〕連續(xù)。由極限與單側(cè)極限的關(guān)系不難得出：3、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)與函數(shù)在該點(diǎn)左、右連續(xù)的關(guān)系：定理4.1函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件為：在點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)?！彩聦?shí)上：〕定理4.1的等價(jià)的否認(rèn)表達(dá)：函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)的充分必要條件為：在點(diǎn)或不左連續(xù)或不右連續(xù)。前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)在一點(diǎn)上連續(xù)的有關(guān)定義，下面我們來學(xué)習(xí)二函數(shù)的間斷點(diǎn)〔不連續(xù)點(diǎn)〕及其分類1、函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的定義定義3設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，假設(shè)在點(diǎn)無定義，或在點(diǎn)有定義但不連續(xù)，那么稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。由連續(xù)的定義知，函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)必出現(xiàn)如下3種情形:1〕，而在點(diǎn)無定義，或有定義但2〕左、右極限都存在，但不相等,稱：為HYPERLINK跳躍度或躍度。3〕左、右極限至少一個不存在據(jù)此，函數(shù)的間斷點(diǎn)可作如下分類：2、間斷點(diǎn)及其分類1〕、可去間斷點(diǎn)對于情況1〕，即假設(shè)：〔存在〕，而在點(diǎn)無定義，或有定義但，那么稱：為可去間斷點(diǎn)〔或可去不連續(xù)點(diǎn)〕；三區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義假設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱為I上的連續(xù)函數(shù),對于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性那么按左、右連續(xù)來確定。定義如果在區(qū)間上僅有有限個第一類不連續(xù)點(diǎn)，那么稱函數(shù)在區(qū)間上按段連續(xù)。例如是按段連續(xù)函數(shù)。小結(jié)：1〕函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個等價(jià)定義；2〕函數(shù)的左右連續(xù)性；3〕不連續(xù)的分類：可去不連續(xù)點(diǎn)；跳躍不連續(xù)；第二類不連續(xù)點(diǎn)；4〕區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義?！?連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)內(nèi)容：1連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)2區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì)3反函數(shù)的連續(xù)性4一致連續(xù)性重點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì)難點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的保號性；一致連續(xù)性.一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的在點(diǎn)連續(xù)性，即可推斷出函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的性態(tài)。定理4.2〔局部連續(xù)性〕假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，那么在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有界。定理4.3〔局部保號性〕假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且，那么對任意存在某鄰域時(shí)，定理4.4〔四那么運(yùn)算性質(zhì)〕假設(shè)函數(shù)那么在區(qū)間I上有定義，且都在連續(xù)，那么〔〕在點(diǎn)連續(xù)。例因連續(xù)，可推出多項(xiàng)式函數(shù)和有理函數(shù)為多項(xiàng)式〕在定義域的每一點(diǎn)連續(xù)。同樣,由上的連續(xù)性，可推出與在定義域的每一點(diǎn)連續(xù)。定理4.5〔復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性〕假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。證明由于在連續(xù)，對任給的，存在，使時(shí)有〔1〕又由及在連續(xù)，故對上述，存在，使得當(dāng)時(shí)，有.聯(lián)系〔1〕得:對任給的，存在，當(dāng)時(shí)有.這就證明了在點(diǎn)連續(xù).注：根據(jù)連續(xù)性的定義，上述定理的結(jié)論可表示為(2)二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì)前面我們研究了函數(shù)的局部性質(zhì)，下面通過局部性質(zhì)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的整體性質(zhì)。定義1設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，假設(shè)存在，使得對一切有，那么稱f在D上有最大〔最小值〕值，并稱為f在D上的最大〔最小值〕值.例如在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定義域D上不一定有最大值或最小值〔即使f在D上有界〕。如在上既無最大值又無最小值，又如(4)在閉區(qū)間上也無最大、最小值。定理4.6(最大最小值定理)假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上有最大值與最小值。該定理及以后的定理4.7和定理4.9將在第七局部§2給出證明.推論：〔有界性〕假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上有界。定理4.7(介值性定理)假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，假設(shè)為介于之間的任何實(shí)數(shù)〔或〕,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得:推論〔根的存在定理〕假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且異號，那么至少存在一點(diǎn)使得.即在內(nèi)至少有一個實(shí)根.

應(yīng)用介值性定理，還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì)：假設(shè)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且不是常量函數(shù),那么值域也是一個區(qū)間；特別假設(shè)為區(qū)間[a,b],在[a,b]上的最大值為,最小值為，那么；又假設(shè)為[a,b]上的增〔減〕連續(xù)函數(shù)且不為常數(shù)，那么例3證明：假設(shè)為正整數(shù)，那么存在唯一正數(shù)，使得.證明先證存在性。由于當(dāng)時(shí)有，故存在正數(shù)，使得.因在上連續(xù)，并有，故有介值性定理，至少存在一點(diǎn)使得.再證唯一性。設(shè)正數(shù)使得由于第二個括號內(nèi)的數(shù)為正所以只能，即.例4設(shè)在[a,b]連續(xù)，滿足〔5〕證明：存在，使得〔6〕證條件〔5〕意味著：對任何有，特別有以及.假設(shè)或，那么取，從而〔6〕式成立。現(xiàn)設(shè)與。。令，那么，.由根的存在性定理，存在，使得即.三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8〔反函數(shù)的連續(xù)性〕假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間嚴(yán)格遞增〔遞減〕且連續(xù)，那么其反函數(shù)在相應(yīng)的定義域〔〕上遞增〔遞減〕且連續(xù)。證明〔只證明f(x)嚴(yán)格遞增情況〕由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性，反函數(shù)存在，而且其定義域?yàn)椤ＴO(shè)，且那么，對任給的可在的兩側(cè)各取異于的兩點(diǎn)〔〕，使它們與的距離小于〔參見上圖〕.設(shè)，由函數(shù)的嚴(yán)格遞增性，必分別落在的兩側(cè)，即當(dāng)時(shí)，令，那么當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的的值必落在之間，從而.應(yīng)用單側(cè)極限的定義，同樣可證在區(qū)間端點(diǎn)也是連續(xù)的。四一致連續(xù)性前面介紹的函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，是指它在區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)。這只反映函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，就是說連續(xù)定義中的不僅與有關(guān)，而且與有關(guān)。下面介紹的一致連續(xù)性，那么是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，其定義中的只與有關(guān)，而與無關(guān)。定義2〔一致連續(xù)性〕設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，假設(shè)只要，，都有，那么稱在區(qū)間I上一致連續(xù)。這里要特別注意逐點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別。直觀的說在區(qū)間I一致連續(xù)意味著：不管兩點(diǎn)在I中處于什么位置只要它們的距離小于，就可使.顯然I必然在I上每一點(diǎn)連續(xù)，反之，結(jié)論不一定成立〔參見例9〕。定理4.9〔一致連續(xù)性〕假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在上一致連續(xù)。§3初等函數(shù)連續(xù)性從前面兩節(jié)知道根本初等函數(shù)中：常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，以及有理指數(shù)冪函數(shù)，都是定義域上的連續(xù)函數(shù).本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)冪函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性。一指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一局部中，我們已定義了實(shí)指數(shù)的乘冪，并證明了指數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)的.下面先把關(guān)于有理指數(shù)冪的一個重要性質(zhì)推廣到一般指數(shù)冪,然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。定理4.10設(shè)為任意實(shí)數(shù),那么有.證明不妨設(shè)，那么由第一局部§3〔6〕式所定義，即.任給，設(shè)為兩個有理數(shù)，且，使得.由的嚴(yán)格增遞性，得.又有，故得.由任意性推出.為證相反的不等式,設(shè)為有理數(shù)，且，使得.再取有理數(shù)使,那么有故得到.由任意性推出,所以有.(后一等式的證明留給讀者.)定理4.11指數(shù)函數(shù)在R上是連續(xù)的.證明先設(shè).有第三局部§2例4知這說明在連續(xù).現(xiàn)任取.由定理4.10得.令那么當(dāng)時(shí)有,從而有.這證明了在任一點(diǎn)處連續(xù).當(dāng)時(shí),令,那么有,而可看作函數(shù)與的復(fù)合，所以此時(shí)亦在上連續(xù)。利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，以及第三局部§5例4中已證明的可知的值域?yàn)椤病?時(shí)也是如此).于是的反函數(shù)—對數(shù)函數(shù)在其定義域()內(nèi)也連續(xù)..二初等函數(shù)的連續(xù)性由于冪函數(shù)〔為實(shí)數(shù)〕可表為，它是函數(shù)與的復(fù)合，故有指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，推得冪函數(shù)在其定義域〔〕上連續(xù)。前面已經(jīng)指出，常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù).因此我們有下述定理：定理4.12一切根本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).由于任何初等函數(shù)都是由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到,所以有：定理4.13任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).第五局部導(dǎo)數(shù)與微分§1導(dǎo)數(shù)概念速度和切線的例子雖然各有其特殊內(nèi)容，但如果撇開它們具體的物理意義，單從數(shù)量關(guān)系上看它們有共同的本質(zhì)，兩者都表示函數(shù)因變量隨自變量變化的快慢程度，即都反映了函數(shù)的變化率〔3〕定義1、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)極限存在，那么稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，等.假設(shè)上述極限不存在，那么稱在點(diǎn)不可導(dǎo)。注：令，，那么〔3〕式可改寫為〔4〕所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量△y與自變量增量△x之比的極限，這個增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率〔又稱差商〕，而導(dǎo)數(shù)那么為在χ0處關(guān)于的變化率，它能夠近似描繪函數(shù)在點(diǎn)附近的變化性態(tài)。注：此公式對△χ=0仍舊成立。利用有限增量公式，可得下面結(jié)論：定理1假設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，那么函數(shù)在處連續(xù)。但是可導(dǎo)僅是連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，比方：函數(shù)在處連續(xù)，但不可導(dǎo)?！捕澈瘮?shù)在一點(diǎn)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似于函數(shù)在一點(diǎn)有左、右極限,對于定義在某個閉區(qū)間或半開區(qū)間上的函數(shù)，如果要討論改函數(shù)在端點(diǎn)處的變化率時(shí)，就要對導(dǎo)數(shù)概念加以補(bǔ)充，引出單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域上有定義，假設(shè)右極限(0＜＜或(存在，那么稱該極限值為在點(diǎn)0的右導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，可定義左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是：定理5.2假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，那么存在的充分必要條件是：都存在，且=。說明：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處討論導(dǎo)數(shù)便是依據(jù)這一結(jié)論，通過左、右導(dǎo)數(shù)來判斷該點(diǎn)是否存在導(dǎo)數(shù)及假設(shè)存在應(yīng)等于什么。由定理2，連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例函數(shù)，處是焦點(diǎn)，不可導(dǎo)。在處振蕩，左右導(dǎo)數(shù)都不存在。〔三〕導(dǎo)函數(shù)假設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都可導(dǎo)〔對區(qū)間端點(diǎn)，僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)〕，那么稱為I上的可導(dǎo)函數(shù)。此時(shí)對每一個χ∈I，都有的一個導(dǎo)數(shù)〔或單側(cè)導(dǎo)數(shù)〕與之對應(yīng)，這樣就定義了一個在I上的函數(shù)，稱為在I上的導(dǎo)函數(shù)，也簡稱為導(dǎo)數(shù)，記作等.即.說明：1°區(qū)間上的可導(dǎo)概念與連續(xù)一樣，也是逐點(diǎn)定義的局部概念。2°在物理學(xué)中導(dǎo)數(shù)yˊ也常用牛頓記號y`表示，而記號是萊布尼茨首先引用的。目前我們把看作為一個整體，也可把它理解為施加于y的求導(dǎo)運(yùn)算，待到學(xué)過“微分〞之后，將說明這個記號實(shí)際上是一個“商〞，相應(yīng)于上述各種表示導(dǎo)數(shù)的形式，三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們已經(jīng)知道由導(dǎo)數(shù)的定義，，所以曲線在點(diǎn)的切線方程是〔7〕這就是說：函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)〔x0，y0〕處的切線斜率，假設(shè)α表示這條切線與x軸正向的夾角，那么=tanα從而＞0意味著切線與x軸正向的夾角為銳角；=0表示切線與x軸平行。四、小結(jié)〔可以師生共同總結(jié)，或教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，然后教師再條理一下〕本節(jié)課重點(diǎn)在于“導(dǎo)數(shù)〞的定義，而函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)=是一個構(gòu)造性的定義，是利用繼用極限為工具，研究函數(shù)連續(xù)性以后，又一次用極限為工具研究函數(shù)性質(zhì)的典型范例，為此1．深刻理解導(dǎo)數(shù)，左〔右〕導(dǎo)數(shù)的概念〔三個階段〕取差對整個運(yùn)動作分割〔第一次否認(rèn)〕求平均以“勻代不勻〞；再回到時(shí)刻〔第二次否認(rèn)〕2．明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相互聯(lián)系與區(qū)別。3．能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4．能利用導(dǎo)數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實(shí)際應(yīng)用問題。導(dǎo)數(shù)概念的建立是高等數(shù)學(xué)常用的方法，下面我們總結(jié)一下這個過程，這對我們認(rèn)識、掌握高等數(shù)學(xué)的思維方法，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)是很有幫助的。為了考察運(yùn)動物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，我們不能只停留在這個時(shí)刻，因?yàn)槟菢游覀兂酥牢矬w的位置外，就什么也得不到。我們必須用運(yùn)動的觀點(diǎn)看待這個問題，使t動起來，讓t變到，產(chǎn)生對位置的第一次否認(rèn)，得到差和。這就把一點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)和周圍的運(yùn)動狀態(tài)聯(lián)系了起來，就能在運(yùn)動中把握運(yùn)動；取差其實(shí)就是對整個運(yùn)動作了分割，一分割就使勻〞和“不勻〞這對矛盾的兩個方面發(fā)生了轉(zhuǎn)化：整體上的“不勻〞，轉(zhuǎn)化為局部的“勻〞，然后“以勻代替不勻〞求出平均速度。為得到瞬時(shí)速度，就必須使再回到，即令，對狀態(tài)第一次否認(rèn)的否認(rèn)。當(dāng)回到時(shí)，和都消失了，結(jié)果變成，仿佛什么也的不到，其實(shí)不然，因?yàn)榈南б蕾囉诘南?，雖然兩個相互制約的差都消失了，但他們的“比〞卻保持著，這個比就是瞬時(shí)速度，或?qū)?dǎo)數(shù)，它反映了兩個量之間的“質(zhì)〞的聯(lián)系。正是這第二次否認(rèn)，我們又回到了整體上的“不勻〞。求瞬時(shí)速度或函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)歷了一個否認(rèn)之否認(rèn)的過程，但第二次否認(rèn)我們不是又回到出發(fā)點(diǎn)，而是解決了初等數(shù)學(xué)解決不了的課題?！?高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的概念：加速度高階導(dǎo)數(shù)定義:注意區(qū)分符號和以函數(shù)為例介紹高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法.高階導(dǎo)數(shù)的記法:函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)記為相應(yīng)的階導(dǎo)數(shù)記為二.幾個特殊函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù):1.多項(xiàng)式:多項(xiàng)式的高階導(dǎo)數(shù).例1求和.2.正弦和余弦函數(shù):計(jì)算、、、的公式.3．和的高階導(dǎo)數(shù)：4．的高階導(dǎo)數(shù)：5．的高階導(dǎo)數(shù)：6．分段函數(shù)在分段點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：以函數(shù)為例，求.三.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):設(shè)函數(shù)和均階可導(dǎo).那么1．2．3．乘積高階導(dǎo)數(shù)的Leibniz公式：第六局部微分中值定理及其應(yīng)用§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性一．極值概念：1．回憶極值的概念和可微極值點(diǎn)的必要條件:定理(Fermat)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)，假設(shè)點(diǎn)為的極值點(diǎn)，那么必有1、羅爾中值定理：假設(shè)函數(shù)滿足如下條件：〔i〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；〔ii〕在開區(qū)間〔a，b〕內(nèi)可導(dǎo)；〔iii〕，那么在〔a，b〕內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得〔ξ〕=0〔分析〕由條件〔i〕知在[a，b]上有最大值和最小值，再由條件〔ii〕及〔iii〕，應(yīng)用費(fèi)馬定理便可得到結(jié)論。證明：因?yàn)樵冢踑,b］上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論：(i)假設(shè)M=m,那么在［a,b］上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。(ii)假設(shè)m＜M，那么因(a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從而ξ是的極值點(diǎn)，由條件(ii)在點(diǎn)ξ處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知=0.注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，那么至少存在一條水平切線。注2：習(xí)慣上把結(jié)論中的ξ稱為中值，羅爾定理的三個條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個條件，定理的結(jié)論將不一定成立，見以下圖：中值定理：?〔a〕=?(b)時(shí)的特殊情況，應(yīng)用羅爾定理證明此定理要構(gòu)造輔助函數(shù)，使得滿足羅爾定理的條件〔i〕-(iii)且，從而推得證明：作輔助函數(shù)顯然，F(xiàn)〔a〕=F(b)〔=0〕，且F在[a，b]上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在點(diǎn)ξ(a，b)，使得即注1°羅爾定理是拉格朗日中值定理時(shí)的特例注2°幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線AB，我們在證明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線與直線AB之差，事實(shí)上，這個輔助函數(shù)的引入相當(dāng)于坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標(biāo)系下，線段AB平行于新х軸〔F〔a〕=F〔b〕〕。注3°此定理的證明提供了一個用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范；同時(shí)通過巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般化為特殊，將復(fù)雜問題化為簡單問題的論證思想，也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的表達(dá)。注4°拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價(jià)形式，可根據(jù)不同問題的特點(diǎn)，在不同場合靈活采用：注5°拉格朗日中值定理的兩個條件彼此有關(guān)，并不彼此獨(dú)立，因?yàn)椋涸凇瞐,b〕可導(dǎo)可以推出?在〔a，b〕連續(xù)，但反之不成立。把這兩個條件的“重疊〞局部去掉，改成“函數(shù)在〔a，b〕可導(dǎo)且在a右連續(xù)在b左連續(xù)〞這樣，兩個條件互相獨(dú)立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣表達(dá)。中值定理的簡單應(yīng)用:(講1時(shí))3、拉格朗日中值定理的幾個重要推論推論1函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù).證明：任取兩點(diǎn)〔設(shè)〕，在區(qū)間[]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在

ξ〔〕I，使得推論2函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且推論3〔導(dǎo)數(shù)極限定理〕設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域U〔〕內(nèi)連續(xù)，在U°〔〕內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，那么在點(diǎn)可導(dǎo)，且證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來證明上式成立〔1〕任取，在[]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，那么存在ξ，使得由于＜ξ＜，因此當(dāng)時(shí)隨之有ξ→，對上式兩邊取極限，使得〔2〕同理可得因?yàn)?存在，所以==，從而即注1°由推論3可知：在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)在I上的每一點(diǎn)，要么是連續(xù)點(diǎn)，要么是第二類間斷點(diǎn)，不可能出現(xiàn)第一類間斷點(diǎn)。注2°導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。推論4(導(dǎo)函數(shù)的介值性)假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo),且(證)定理(Darboux)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且.假設(shè)為介于與之間的任一實(shí)數(shù),那么這就證得在區(qū)間I上任何兩點(diǎn)之值相等。可微函數(shù)單調(diào)性判別法：1．單調(diào)性判法：定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).那么在內(nèi)↗(或↘)在內(nèi)(或).證明：必要性充分性在I上遞增。定理2設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).那么在內(nèi)嚴(yán)格↗(或嚴(yán)格↘)ⅰ〕對有(或;ⅱ〕在內(nèi)任子區(qū)間上例證明不等式證明：設(shè)時(shí)§2柯西中值定理和不等式極限一柯西中值定理定理(6.5)設(shè)、滿足(i)在區(qū)間上連續(xù)，(ii)在內(nèi)可導(dǎo)(iii)不同時(shí)為零;(iv)那么至少存在一點(diǎn)使得

柯西中值定理的幾何意義

曲線由參數(shù)方程給出，除端點(diǎn)外處處有不垂直于軸的切線，那么上存在一點(diǎn)P處的切線平行于割線.。注意曲線AB在點(diǎn)處的切線的斜率為，而弦的斜率為.受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下：由于，類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù)容易驗(yàn)證滿足羅爾定理的條件且根據(jù)羅爾定理，至少有一點(diǎn)使得，即由此得注2：在柯西中值定理中，取，那么公式〔3〕可寫成這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，那么.這恰恰是羅爾定理.注3:設(shè)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上為常數(shù)，.三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點(diǎn)：由拉格朗日中值定理知：滿足定理?xiàng)l件的曲線上任意兩點(diǎn)的弦，必與兩點(diǎn)間某點(diǎn)的切線平行。可以用這種幾何解釋進(jìn)行思考解題：3、作為函數(shù)的變形要點(diǎn)：假設(shè)在[a，b]上連續(xù)，〔a，b〕內(nèi)可微，那么在[a，b]上〔介于與之間〕此可視為函數(shù)的一種變形，它給出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系，我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)。例3設(shè)在上可導(dǎo)，，并設(shè)有實(shí)數(shù)A＞0，使得≤在上成立，試證證明：在[0，]上連續(xù)，故存在]使得==M于是M=≤A≤≤。故M=0，在[0，]上恒為0。用數(shù)學(xué)歸納法，可證在一切[]〔i=1,2,…〕上恒有=0,所以=0,。利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性1.證明中值點(diǎn)的存在性:例1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),那么,使得.證在Cauchy中值定理中取..2.證明恒等式:四、小結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點(diǎn)是用輔助函數(shù)解決問題的方法。1°

拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來我們要學(xué)習(xí)的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)分析的重要定理之一。2°

構(gòu)造輔助函數(shù)法是應(yīng)用微分中值定理的根本方法。實(shí)際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問題的一種重要手段，通過巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般問題化為特殊問題，將復(fù)雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的表達(dá)。關(guān)于如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造和選用輔助函數(shù)問題，請同學(xué)們結(jié)合第三局部的題目仔細(xì)體會總結(jié)。二不定式的極限一.型:定理6.6(Hospital法那么)假設(shè)函數(shù)和滿足：(i)(ii)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo)，且；(iii)可為實(shí)數(shù)，也可為〕那么(證)注意:假設(shè)將定理中的x換成，只要相應(yīng)地求證條件(ii)中的鄰域，也可以得到同樣的結(jié)論。二.型不定式極限:定理6.7(Hospital法那么)假設(shè)函數(shù)和滿足：(i)(ii)在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo)，且；(iii)可為實(shí)數(shù)，也可為〕那么注意1不存在，并不能說明不存在〔為什么？〕注意2不能對任何比式極限都按洛必達(dá)法那么來求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達(dá)法那么條件例求極限.(Hospital法那么失效的例)三.其他待定型:.前四個是冪指型的.§3泰勒公式一.問題和任務(wù):泰勒定理的引入和根本思想容易驗(yàn)證多項(xiàng)式函數(shù)一般函數(shù)上面的結(jié)果能否成立或近似成立呢？假設(shè)一個函數(shù)能用多項(xiàng)式近似，對函數(shù)的計(jì)算、性質(zhì)的研究就會大大簡化。用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的可能性;對的函數(shù),希望找一個多項(xiàng)式逼近到要求的精度.三Taylor(1685—1731)多項(xiàng)式:分析前述任務(wù)，引出用來逼近的多項(xiàng)式應(yīng)具有的形式定義Taylor多項(xiàng)式及Maclaurin多項(xiàng)式四Taylor公式和誤差估計(jì):稱為余項(xiàng).稱給出的定量或定性描述的式為函數(shù)的Taylor公式.1.誤差的定量刻畫(整體性質(zhì))——Taylor中值定理:定理6.9設(shè)函數(shù)滿足條件:ⅰ)在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù);ⅱ)在開區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù).那么對使.證稱這種形式的余項(xiàng)為Lagrange型余項(xiàng).并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式.Lagrange型余項(xiàng)還可寫為.時(shí),稱上述Taylor公式為Maclaurin公式,此時(shí)余項(xiàng)常寫為.關(guān)于Taylor公式中Lagrange型余項(xiàng)的進(jìn)一步討論可參閱:Alfono,G.Azpeitia,OntheLagrangeremeinderoftheTaylorformula.Amer.Math.Monthly,89(1982).2.誤差的定性描述(局部性質(zhì))——Peano型余項(xiàng):定理2假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),且存在,那么證設(shè),.應(yīng)用Hospital法那么次,并注意到存在,就有.稱為Taylor公式的Peano型余項(xiàng),相應(yīng)的Maclaurin公式的Peano型余項(xiàng)為.并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Peano型余項(xiàng)的Taylor公式(或Maclaurin公式).四.函數(shù)的Taylor公式(或Maclaurin公式)展開:例驗(yàn)證以下函數(shù)的Maclaurin公式§4函數(shù)的極值與最大(小)值一可微極值點(diǎn)判別法:極值問題:極值點(diǎn),極大值還是極小值,極值是多少.1.可微極值點(diǎn)的必要條件:Fermat定理.函數(shù)的駐點(diǎn)和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為穩(wěn)定點(diǎn),穩(wěn)定點(diǎn)的求法.2.極值點(diǎn)的充分條件:對每個穩(wěn)定點(diǎn),用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn).定理4(充分條件Ⅰ)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),在鄰域和內(nèi)可導(dǎo).那么ⅰ〕在內(nèi)在內(nèi)時(shí),為的一個極小值點(diǎn);ⅱ〕在內(nèi)在內(nèi)時(shí),為的一個極大值點(diǎn);?！臣僭O(shè)在上述兩個區(qū)間內(nèi)同號,那么不是極值點(diǎn).定理5(充分條件Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)且存在，那么ⅰ〕當(dāng)時(shí),為的一個極大值點(diǎn);ⅱ〕當(dāng)時(shí),為的一個極小值點(diǎn).證法一當(dāng)時(shí),在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)與異號,……證法二用Taylor公式展開到二階,帶Peano型余項(xiàng).二最大值最小值先看三個函數(shù)的圖象(c61)由上面圖像看出，函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點(diǎn)處，不可導(dǎo)點(diǎn)處，也可能發(fā)生在區(qū)間的端點(diǎn)。因此,函數(shù)的最大最小值點(diǎn)應(yīng)從：穩(wěn)定點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn),端點(diǎn)中去尋找，這三種點(diǎn)中，函數(shù)取最大者為函數(shù)的最大點(diǎn)，取最小者為函數(shù)的最小值點(diǎn)，因此求解最大最小點(diǎn)的步驟應(yīng)為:第一步求出穩(wěn)定點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)第二步算出這些點(diǎn)處的函數(shù)值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值§5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)一．凸性的定義及判定：1．凸性的定義：由直觀引入.強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù).假設(shè)對I和恒有那么稱曲線在區(qū)間I的凸函數(shù),反之,如果總有那么稱曲線在區(qū)間I的凹函數(shù).假設(shè)在上式中,當(dāng)時(shí),有嚴(yán)格不等號成立,那么稱曲線在區(qū)間上是嚴(yán)格凸(或嚴(yán)格凹)的.凸性的幾何意義:倘有切線，考慮與切線的位置關(guān)系;與弦的位置關(guān)系;曲線的彎曲方向.引理為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是:對I上任意三點(diǎn):,總有證明:必要性充分性定理6.13設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo),那么下面條件等價(jià):(i)為I上凸函數(shù)(ii)為I上的增函數(shù)(iii)對I上的任意兩點(diǎn)有證明2．利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向:定理6.14設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),那么在內(nèi)⑴

在內(nèi)嚴(yán)格上凸;

⑵

在內(nèi)嚴(yán)格下凸.證法一(用Taylor公式)對設(shè),把在點(diǎn)展開成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式,有.其中和在與之間.注意到,就有,于是,假設(shè)有上式中,即嚴(yán)格上凸.假設(shè)有上式中,即嚴(yán)格下凸.證法二(利用Lagrange中值定理.)假設(shè)那么有↗↗.不妨設(shè),并設(shè),分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理,有.有又由，<,，即，嚴(yán)格下凸.可類證的情況.3．凸區(qū)間的別離:的正、負(fù)值區(qū)間分別對應(yīng)函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間.二.曲線的拐點(diǎn):拐點(diǎn)的定義.§6函數(shù)圖象的討論我們要認(rèn)識一個函數(shù)，搞清它的性質(zhì)，往往要從研究它的圖象入手，借助對函數(shù)圖象的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)其隱含的規(guī)律性東西。比方我們在第二局部研究特殊極限時(shí)，首先用中學(xué)時(shí)講過的從中學(xué)求點(diǎn)描跡作圖知道，作圖象的一般步驟應(yīng)是1確定函數(shù)定義域，以安排適宜大小的坐標(biāo)系；2確定函數(shù)的奇偶性、周期性，以減少作圖工作量；3給出反映函數(shù)特性的某些關(guān)鍵點(diǎn)，比方與軸的交點(diǎn)；4函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，凸凹性、拐點(diǎn)。例1作函數(shù)圖象1函數(shù)定義域2該函數(shù)不是奇偶函數(shù)，也不是周期函數(shù)3與軸的交點(diǎn)與4單調(diào)區(qū)間和極值y='1/4*(x-3)^2/(x-1)';y1=diff(y);dydx=simplify(y1)dydx=1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)^2時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在，導(dǎo)數(shù)的符號由決定：時(shí),函數(shù)嚴(yán)格遞增,時(shí),遞減，為極大點(diǎn)，為極小點(diǎn)。x－13y

極大極小凸凹性d2ydx2=simplify(diff(y1))d2ydx2=2/(x-1)^3x<1上凸,x>1下凸x<-1x=-11<x<1x=11<x<3x=3x>3增

極大減

減

極小增

漸近線垂直漸近線:顯然x=1為垂直漸近線斜漸近線:=k再計(jì)算s='1/4*x';s1=symsub(y,s);simplify(s1)ans=-1/4*(5*x-9)/(x-1)有斜漸近線我們把找到的特殊點(diǎn),漸近線先畫出來第八局部不定積分§1不定積分概念與根本積分公式一原函數(shù)與不定積分前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與微分，由函數(shù)利用根本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法那么可以求出它的導(dǎo)數(shù)，那自然會想到：求導(dǎo)運(yùn)算能否和數(shù)的四那么運(yùn)算那樣，知道了導(dǎo)數(shù)反過來就能求出，比方知道了物體的運(yùn)動速度，求路程，知道了加速度求速度？定義〔原函數(shù)〕如果在區(qū)間I上，那么稱為在區(qū)間I上的原函數(shù)。例如例1中的是的原函數(shù)；是的原函數(shù)，等等因?yàn)槌?shù)導(dǎo)數(shù)為零，所以如果的原函數(shù)存在，那么對任意常數(shù)C，都是的原函數(shù)。這就是說，原函數(shù)存在的話，它有無限多個。而且容易證明，的任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)。換句話說>的原函數(shù)的全體為，C為任意常數(shù)。定義〔不定積分〕>在區(qū)間I上原函數(shù)的全體稱為在I上的不定積分。記作。其中為積分號，為積分函數(shù)，為積分變量。不定積分的幾何意義一個函數(shù)的原函數(shù)盡管有無限多個,但它們的幾何圖形是一模一樣的,最多是在坐標(biāo)系中的上下位置不一樣,相差一個上下平移關(guān)系。二根本積分公式怎樣求不定積分呢？我們先按照不定積分的定義給出一些常見函數(shù)的不定積分：這些積分公式是我們后面計(jì)算不定積分的根底，一定要把它記住。不定積分的根本性質(zhì):以下設(shè)和有原函數(shù).

⑴

.(先積后導(dǎo),形式不變).

⑵

.(先導(dǎo)后積,多個常數(shù))

⑶

>時(shí)，

⑷

由⑶、⑷可見,不定積分是線性運(yùn)算,即對,有(當(dāng)時(shí),上式右端應(yīng)理解為任意常數(shù).)三．利用不定積分根本公式計(jì)算不定積分§2不定積分的計(jì)算不定積分的計(jì)算一般由三種方法：1〕湊公式法2〕部積分法2〕第二變量替換法今天講前兩種方法：一第一類換元法——湊公式法引出湊公式法:定理假設(shè)連續(xù)可導(dǎo),那么該定理可表達(dá)為：假設(shè)函數(shù)能分解為那么有.湊公式法：外表看不符合根本積分公式，但作變換，令后，而符合根本積分公式。二分部積分我們講導(dǎo)數(shù)時(shí)，知道從而有移項(xiàng)得或我們稱這個公式為分部積分公式。當(dāng)不容易積分，但容易積分時(shí)，我們就可以用分部積分把不容易積分的計(jì)算出來分析分部積分公式，我們可總結(jié)出下面一個原那么：一般應(yīng)把〔相比之下〕容易積分，積分后比擬簡單的函數(shù)作為，積分較難或積分后比擬復(fù)雜的函數(shù)作為。二使用分部積分公式的一般原那么.1.冪X型函數(shù)的積分:分部積分追求的目標(biāo)之一是:對被積函數(shù)兩因子之一爭取求導(dǎo),以使該因子有較大簡化,特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù).代價(jià)是另一因子用其原函數(shù)代替(一般會變繁),但總體上應(yīng)使積分簡化或能直接積出.對“冪〞型的積分,使用分部積分法可使“冪〞降次,或?qū)Α皑暻髮?dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).2建立所求積分的方程求積分:分部積分追求的另一個目標(biāo)是:對被積函兩因子之一求導(dǎo),進(jìn)行分部積分假設(shè)干次后,使原積分重新出現(xiàn),且積分前的符號不為1.于是得到關(guān)于原積分的一個方程.從該方程中解出原積分來.二.第二類換元法——拆微法：從積分出發(fā)，從兩個方向用湊微法計(jì)算，即===引出拆微原理.定理設(shè)是單調(diào)的可微函數(shù),并且又具有原函數(shù).那么有換元公式(證)常用代換有所謂無理代換,三角代換,雙曲代換,倒代換,萬能代換,Euler代換等.我們著重介紹三角代換和無理代換.1.三角代換:⑴

正弦代換:正弦代換簡稱為“弦換〞是針對型如的根式施行的,目的是去掉根號.方法是:令,那么例1解法一直接積分;解法二用弦換.3.倒代換:當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù),且分子分母均為“因式〞時(shí),可試用倒代換第九局部定積分§1

定積分的概念．理解定積分定義要注意以下三點(diǎn)：1〕定積分定義與我們前面講的函數(shù)極限的“〞定義形式上非常相似，但是兩者之間還是有很大差異的。對于定積分來說，給定了細(xì)度以后，積分和并不唯一確定，同一細(xì)度分割由無窮多種，即使分割確定，介點(diǎn)仍可以任意選取，所以積分和的極限比前面講的函數(shù)極限要復(fù)雜的多。2〕定積分是積分和的極限，積分值與積分變量的符號無關(guān)3)表示分割越來越細(xì)的過程，分點(diǎn)個數(shù)，但反過來并不能保證，所以不能寫成小結(jié)：學(xué)習(xí)定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學(xué)習(xí)建立定積分概念的根本思想，我們以后的學(xué)習(xí)中還會遇到其它類型的積分，比方勒貝格積分、斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了。現(xiàn)在我們再來總結(jié)一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實(shí)例和概念中看到定積分的根本思想是：首先作分割然后用“直〞的長方形去近似代替小曲邊梯形，以“直〞代“曲〞；然后把所有長方形加起來，近似求和，得到曲邊梯形面積的一個近似值；當(dāng)分割無限加細(xì)時(shí)，就得到曲邊梯形的準(zhǔn)確值，即，這時(shí)又從“直〞回到了“曲〞。“分割、近似求和、取極限〞是定積分的核心思想。§2可積條件必要條件:定理1在區(qū)間上有界.充要條件:1.思路與方案:思路:鑒于積分和與分法和介點(diǎn)有關(guān),先簡化積分和.用相應(yīng)于分法的“最大〞和“最小〞的兩個“積分和〞去雙逼一般的積分和,即用極限的雙逼原理考查積分和有極限,且與分法及介點(diǎn)無關(guān)的條件.方案:定義上和和下和.研究它們的性質(zhì)和當(dāng)時(shí)有相同極限的充要條件.2.Darboux和:以下總設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界.并設(shè),其中和分別是函數(shù)在區(qū)間上的下確界和上確界.定義Darboux和,指出Darboux和未必是積分和.但Darboux和由分法唯一確定.分別用、和記相應(yīng)于分法的上〔大〕和、下〔小〕和與積分和.積分和是數(shù)集(多值).但總有,因此有.和的幾何意義.3.Darboux和的性質(zhì):本段研究Darboux和的性質(zhì),目的是建立Darboux定理.先用分點(diǎn)集定義分法和精細(xì)分法:表示是的加細(xì).性質(zhì)1假設(shè),那么,.即:分法加細(xì),大和不增,小和不減.(證)性質(zhì)2對任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.(證)性質(zhì)3對任何和,總有.即:小和不會超過大和.證.性質(zhì)4設(shè)是添加個新分點(diǎn)的加細(xì).那么有+,.證設(shè)是只在中第個區(qū)間內(nèi)加上一個新分點(diǎn)所成的分法,分別設(shè),,.顯然有和.于是.添加個新分點(diǎn)可視為依次添加一個分點(diǎn)進(jìn)行次.即證得第二式.可類證第一式.系設(shè)分法有個分點(diǎn)，那么對任何分法，有，.證..4.上積分和下積分:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界.由以上性質(zhì)2，有上界，有下界.因此它們分別有上確界和下確界.定義記,.分別稱和為函數(shù)在區(qū)間上的上積分和下積分.對區(qū)間上的有界函數(shù),和存在且有限,.并且對任何分法,有.上、下積分的幾何意義.5.Darboux定理:定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界,是區(qū)間的分法.那么有=,=.證(只證第一式.要證:對使當(dāng)時(shí)有.是顯然的.因此只證.),對,使<設(shè)有個分點(diǎn),對任何分法,由性質(zhì)4的系,有,由*式,得<即<亦即<.于是取,(可設(shè),否那么為常值函數(shù),=對任何分法成立.)對任何分法,只要,就有.此即=.6.可積的充要條件:定理2〔充要條件1〕設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界.=.證設(shè)=,那么有=.即對使當(dāng)時(shí)有||<對成立.在每個上取,使,于是,||=<.因此,時(shí)有||||+||<+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可證=.=.對任何分法,有,而===.令和的共值為,由雙逼原理=.定理3有界.對.證()=0.即對時(shí),.,由,–

,=.定義稱為函數(shù)在區(qū)間上的振幅或幅度.易見有0.可證=定理3’(充要條件2)有界.對.定理3’的幾何意義及應(yīng)用Th3’的一般方法:為應(yīng)用Th3’當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上含某些點(diǎn)的小區(qū)間上作不到任意小時(shí),可試用在區(qū)間上的振幅作的估計(jì),有.此時(shí),倘能用總長小于,否那么為常值函數(shù))的有限個小區(qū)間復(fù)蓋這些點(diǎn)，以這有限個小區(qū)間的端點(diǎn)作為分法的一局部分點(diǎn)，在區(qū)間的其余局部作分割，使在每個小區(qū)間上有<,對如此構(gòu)造的分法,有<.定理((R)可積函數(shù)的特征)設(shè)在區(qū)間上有界.對和,使對任何分法,只要,對應(yīng)于的那些小區(qū)間的長度之和.證在區(qū)間上可積,對和,使對任何分法,只要,就有.對的區(qū)間總長小于此時(shí)有=例討論Dirichlet函數(shù)在區(qū)間上的可積性.三．可積函數(shù)類：1．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積：定理5〔證〕2．閉區(qū)間上有界且僅有有限個間斷點(diǎn)的函數(shù)可積.定理6〔證〕系1閉區(qū)間上按段連續(xù)函數(shù)必可積.系2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界且其間斷點(diǎn)僅有有限個聚點(diǎn),那么函數(shù)在區(qū)間上可積.例2判斷題:閉區(qū)間上僅有一個間斷點(diǎn)的函數(shù)必可積.()閉區(qū)間上有無窮多個間斷點(diǎn)的函數(shù)必不可積.()閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積〔〕定理7〔證〕例3證明在上可積.關(guān)于可積性的更一般的充分條件為:Th閉區(qū)間上的正規(guī)函數(shù)(regulatedfunction)是可積的.參閱:S.K.Berberian,Regulatedfunction:Bourbaki’salternativetotheRiemannintegral,TheAmericanMathematicalMonthly,Vol.86,No.3.1979,P208—211.第十局部定積分的應(yīng)用

§1平面圖形的面積教學(xué)內(nèi)容：平面圖形面積的計(jì)算教學(xué)目的：理解定積分的意義；學(xué)會、掌握微元法處理問題的根本思想熟記平面圖形面積的計(jì)算公式。一．直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積：由定積分的幾何意義，連續(xù)曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形的面積為假設(shè)在上不都是非負(fù)的，那么所圍成的面積為一般的，有兩條連續(xù)曲線及直線所圍成的平面圖形的面積為1．簡單圖形：型和型平面圖形.2．簡單圖形的面積:給出型和型平面圖形的面積公式.對由曲線和圍成的所謂“兩線型〞圖形,介紹面積計(jì)算步驟.注意利用圖形的幾何特征簡化計(jì)算.例1求拋物線與直線所圍的平面圖形的面積.所給的區(qū)域不是一個標(biāo)準(zhǔn)的x-區(qū)域,如圖需將其切成兩塊,即可化成x-形區(qū)域的面積問題第一塊的面積等于int('2*sqrt(x)','x',0,1)ans=4/3第二塊的面積等于int('sqrt(x)-(x-3)/2','x',1,9)ans=28/328/3+4/3ans=10.6667總面積我們也可以把圖形看成y-形區(qū)域計(jì)算其面積int('-y^2+2*y+3','y',-1,3)ans=32/3例2求由曲線圍成的平面圖形的面積.例3求由拋物線與直線所圍平面圖形的面積.3．參數(shù)方程下曲邊梯形的面積公式：設(shè)區(qū)間上的曲邊梯形的曲邊由方程由參量方程表示且在上連續(xù)，，〔對于或的情況類似討論〕。計(jì)算中，主要的困難是上下限確實(shí)定。上下限確實(shí)定通常有兩種方法：1〕具體計(jì)算時(shí)常利用圖形的幾何特征.2〕從參數(shù)方程定義域的分析確定例2求擺線的一拱與x軸所圍的平面圖形的面積由圖看出,對應(yīng)原點(diǎn)(0,0),對應(yīng)一拱的終點(diǎn)所以其面積為int('a^2*(1-cos(t))^2',0,2*pi)ans=3*pi*a^2例2求由曲線所圍圖形的面積.(cd3)由圖看出,積分的上下限應(yīng)為t從–1到1,其面積為:極坐標(biāo)下平面圖形的面積:假設(shè)曲線是極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程一樣，極坐標(biāo)情況面積的計(jì)算主要困難是積分上下限確實(shí)定。確定上下限方法通常也是1〕利用圖象；2〕分析定義域

例3求雙扭線所圍成的平面圖形的面積解先看一下雙紐線的圖象，t=0:pi/50:2*pi;r=sqrt(cos(2*t));r1=real(r);polar(t,r1,'r')它由兩支，因，所以雙扭線所圍成的平面圖形的面積為int('a^2*cos(2*x)',-pi/4,pi/4)ans=a^2例

求曲線與所圍局部的面積[例題演示]2．三葉形曲線雙扭線所圍成的平面圖形的面積(cd4(n))t=0:pi/50:2*pi;r=sin(3*t);r1=real(r);polar(t,r1,'r')§2由平行截面面積求體積上節(jié)我們學(xué)習(xí)了平面圖形面積的計(jì)算，還利用分割、求和的分析方法，導(dǎo)出了極坐標(biāo)下平面圖形的面積公式：現(xiàn)在我們看下面一個空間立體，假設(shè)我們知道它在x處截面面積為S(x)，可否利用類似于上節(jié)極坐標(biāo)下推導(dǎo)面積公式的思想求出它的體積？如果像切紅薯片一樣，把它切成薄片，那么每個薄片可近似看作直柱體，其體積等于底面積乘高，所有薄片體積加在一起就近似等于該立體的體積。即由此可得這里，體積的計(jì)算的關(guān)鍵是求截面面積S(x),常用的方法先畫出草圖，分析圖象求出S(x)例1求兩圓柱所圍的立體體積先畫出兩圓柱的圖象，圖中看到的是所求立體的八分之一的圖像,該立體被平面〔因?yàn)閮蓤A柱半徑相同〕所截的截面,是一個邊長為的正方形,所以截面面積,考慮到是8個卦限，所以有int('8*(a^2-x^2)',0,'a')ans=16/3*a^3第十一局部反常積分教學(xué)目的：1.深刻理解反常積分的概念及其斂散性的含義；2.熟練掌握無窮積分和瑕積分的性質(zhì)與斂散性的判別。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本局部的重點(diǎn)是反常積分的含義與性質(zhì)；難點(diǎn)是反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e。教學(xué)時(shí)數(shù)：8學(xué)時(shí)§1反常積分概念〔2學(xué)時(shí)〕教學(xué)目的：深刻理解反常積分的概念。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：反常積分的含義與性質(zhì)一問題的提出:例〔P264〕.二兩類反常積分的定義定義1.設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積，如果存在極限〔1〕那么稱此極限J為函數(shù)在上的無窮限反常積分〔簡稱無窮積分〕，記作,并稱收斂.如果極限〔1〕不存在，為方便起見，亦稱發(fā)散.定義2.設(shè)函數(shù)定義在上，在點(diǎn)的任一右鄰域內(nèi)無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積，如果存在極那么稱此極限為無界函數(shù)在上的反常積分，記作并稱反常積分收斂，如果極限不存在，這時(shí)也說反常積分發(fā)散.例1⑴討論積分,,的斂散性.⑵計(jì)算積分.例2討論以下積分的斂散性:⑴;⑵.例3討論積分的斂散性.例4判斷積分的斂散性.例5討論瑕積分的斂散性,并討論積分的斂散性.三瑕積分與無窮積分的關(guān)系:設(shè)函數(shù)連續(xù),為瑕點(diǎn).有,把瑕積分化成了無窮積分;設(shè),有，把無窮積分化成了瑕積分.可見,瑕積分與無窮積分可以互化.因此,它們有平行的理論和結(jié)果.§2.無窮積分的性質(zhì)與收斂判定〔2學(xué)時(shí)〕教學(xué)目的：深刻理解反常積分?jǐn)可⑿缘暮x。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e。一無窮積分的性質(zhì)⑴在區(qū)間上可積,—Const,那么函數(shù)在區(qū)間上可積 ,且.⑵和在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積,且.⑶無窮積分收斂的Cauchy準(zhǔn)那么:Th積分收斂.⑷絕對收斂與條件收斂:定義概念.絕對收斂收斂,(證)但反之不確.絕對型積分與非絕對型積分.二比擬判別法非負(fù)函數(shù)無窮積分判斂法:對非負(fù)函數(shù),有↗.非負(fù)函數(shù)無窮積分?jǐn)可⑿杂浄?⑴比擬判斂法:設(shè)在區(qū)間上函數(shù)和非負(fù)且，又對任何>,和在區(qū)間上可積.那么<,<；,.例6判斷積分的斂散性.推論1〔比擬原那么的極限形式〕:設(shè)在區(qū)間上函數(shù),.那么ⅰ><<,與共斂散:ⅱ>,<時(shí),<；ⅲ>,時(shí),.(證)推論2〔Cauchy判斂法〕:(以為比擬對象,即取.以下>0)設(shè)對任何>,,且,<；假設(shè)且,.Cauchy判斂法的極限形式:設(shè)是在任何有限區(qū)間可積的正值函數(shù).且.那么ⅰ><；ⅱ>.(證)例7討論以下無窮積分的斂散性:ⅰ>ⅱ>三狄利克雷判別法與阿貝爾判別法:1.Abel判斂法:假設(shè)在區(qū)間上可積,單調(diào)有界,那么積分收斂.2.Dirichlet判斂法:設(shè)在區(qū)間上有界，在上單調(diào)，且當(dāng)時(shí)，.那么積分收斂.例8討論無窮積分與的斂散性.例9證明以下無窮積分收斂,且為條件收斂:,,.例10(乘積不可積的例)設(shè),。由例6的結(jié)果,積分收斂.但積分卻發(fā)散.§3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別〔2學(xué)時(shí)〕教學(xué)目的：熟練掌握無窮積分和瑕積分的性質(zhì)與斂散性的判別。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：無窮積分和瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e。類似于無窮積分的柯西收斂準(zhǔn)那么以及其后的三個性質(zhì)，瑕積分同樣可由函數(shù)極限的原意寫出相應(yīng)的命題.Th(比擬原那么)P277Th11.6.系1(Cauchy判別法)P277推論2.系2(Cauchy判別法的極限形式)P277推論3.例11判別以下瑕積分的斂散性:⑴(注意被積函數(shù)非正).⑵.例12討論非正常積分的斂散性.注記.C—R積分與R積分的差異:1.R,在上;但在區(qū)間上可積,在區(qū)間上有界.例如函數(shù)2.R,||R,但反之不正確.R積分是絕對型積分.||在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積,但反之不正確.C—R積分是非絕對型積分.3.,R,R;但和在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積.可見,在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積.第十二局部數(shù)項(xiàng)級數(shù)教學(xué)目的：1.明確認(rèn)識級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具；2.明確認(rèn)識無窮級數(shù)的收斂問題是如何化歸為局部和數(shù)列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級數(shù)收斂判別法及斂散性。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本局部的重點(diǎn)是級數(shù)斂散性的概念和正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別；難點(diǎn)是一般級數(shù)斂散性的判別法。教學(xué)時(shí)數(shù)：18學(xué)時(shí)§1級數(shù)的收斂性一．概念：1．級數(shù)：級數(shù)，無窮級數(shù);通項(xiàng)(一般項(xiàng),第項(xiàng)),前項(xiàng)局部和等概念(與中學(xué)的有關(guān)概念聯(lián)系).級數(shù)常簡記為.2.級數(shù)的斂散性與和:介紹從有限和入手,引出無限和的極限思想.以在中學(xué)學(xué)過的無窮等比級數(shù)為藍(lán)本,定義斂散性、級數(shù)的和、余和以及求和等概念.例1討論幾何級數(shù)的斂散性.〔這是一個重要例題！〕解時(shí),.級數(shù)收斂;時(shí),級數(shù)發(fā)散;時(shí),,,級數(shù)發(fā)散;時(shí),,,級數(shù)發(fā)散.綜上,幾何級數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)收斂,且和為(注意從0開始).例2討論級數(shù)的斂散性.解〔利用拆項(xiàng)求和的方法〕例3討論級數(shù)的斂散性.解設(shè),,=,.,.因此,該級數(shù)收斂.例4討論級數(shù)的斂散性.解,.級數(shù)發(fā)散.3.級數(shù)與數(shù)列的關(guān)系:對應(yīng)局部和數(shù)列{},收斂{}收斂;對每個數(shù)列{},對應(yīng)級數(shù),對該級數(shù),有=.于是,數(shù)列{}收斂級數(shù)收斂.可見,級數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式.4.級數(shù)與無窮積分的關(guān)系:,其中.無窮積分可化為級數(shù);對每個級數(shù),定義函數(shù),易見有=.即級數(shù)可化為無窮積分.綜上所述,級數(shù)和無窮積分可以互化,它們有平行的理論和結(jié)果.可以用其中的一個研究另一個.二.級數(shù)收斂的充要條件——Cauchy準(zhǔn)那么：把局部和數(shù)列{}收斂的Cauchy準(zhǔn)那么翻譯成級數(shù)的語言，就得到級數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)那么.Th(Cauchy準(zhǔn)那么)收斂和N,.由該定理可見,去掉或添加上或改變(包括交換次序)級數(shù)的有限項(xiàng),不會影響級數(shù)的斂散性.但在收斂時(shí),級數(shù)的和將改變.去掉前項(xiàng)的級數(shù)表為或.系(級數(shù)收斂的必要條件)收斂.例5證明級數(shù)收斂.證顯然滿足收斂的必要條件.令,那么當(dāng)時(shí)有應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)那么時(shí)，應(yīng)設(shè)法把式||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，確定.例6判斷級數(shù)的斂散性.(驗(yàn)證.級數(shù)判斂時(shí)應(yīng)首先驗(yàn)證是否滿足收斂的必要條件)例7(但級數(shù)發(fā)散的例)證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.證法一(用Cauchy準(zhǔn)那么的否認(rèn)進(jìn)行驗(yàn)證)證法二證明{}發(fā)散.利用已證明的不等式.即得，.三．收斂級數(shù)的根本性質(zhì)：〔均給出證明〕性質(zhì)1收斂，—Const收斂且有=(收斂級數(shù)滿足分配律)性質(zhì)2和收斂，收斂,且有=.問題:、、三者之間斂散性的關(guān)系.性質(zhì)3假設(shè)級數(shù)收斂,那么任意加括號后所得級數(shù)也收斂,且和不變.(收斂數(shù)列滿足結(jié)合律)例8考查級數(shù)從開頭每兩項(xiàng)加括號后所得級數(shù)的斂散性.該例的結(jié)果說明什么問題?§2正項(xiàng)級數(shù)一.正項(xiàng)級數(shù)判斂的一般原那么:1.正項(xiàng)級數(shù):↗;任意加括號不影響斂散性.2.根本定理:Th1設(shè).那么級數(shù)收斂.且當(dāng)發(fā)散時(shí),有,.(證)正項(xiàng)級數(shù)斂散性的記法.3.正項(xiàng)級數(shù)判斂的比擬原那么:Th2設(shè)和是兩個正項(xiàng)級數(shù),且時(shí)有,那么ⅰ><,<;ⅱ>=,=.(ⅱ>是ⅰ>的逆否命題)例1考查級數(shù)的斂散性.解有例2設(shè).判斷級數(shù)的斂散性.推論1(比擬原那么的極限形式)設(shè)和是兩個正項(xiàng)級數(shù)且,那么ⅰ>時(shí),和共斂散;ⅱ>時(shí),<,<;ⅲ>時(shí),=,=.(證)推論2設(shè)和是兩個正項(xiàng)級數(shù),假設(shè)=，特別地，假設(shè)～,，那么<=.例3判斷以下級數(shù)的斂散性:⑴;(～);⑵;⑶.二.正項(xiàng)級數(shù)判斂法:1．檢比法：亦稱為D’alembert判別法.用幾何級數(shù)作為比擬對象,有以下所謂檢比法.Th3設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且及時(shí)ⅰ>假設(shè),<;ⅱ>假設(shè),=.證ⅰ>不妨設(shè)時(shí)就有成立,有依次相乘,,即.由,得,<.ⅱ>可見往后遞增,.推論(檢比法的極限形式)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且.那么ⅰ><,<;ⅱ>>或=,=.(證)註倘用檢比法判得=,那么有.檢比法適用于和有相同因子的級數(shù),特別是中含有因子者.例4判斷級數(shù)的斂散性.解,.例5討論級數(shù)的斂散性.解.因此,當(dāng)時(shí),;時(shí),;時(shí),級數(shù)成為,發(fā)散.例6判斷級數(shù)的斂散性.注意對正項(xiàng)級數(shù)，假設(shè)僅有，其斂散性不能確定.例如對級數(shù)和,均有，但前者發(fā)散,后者收斂.2.檢根法(Cauchy判別法):也是以幾何級數(shù)作為比擬的對象建立的判別法.Th4設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且及,當(dāng)時(shí),ⅰ>假設(shè),<;ⅱ>假設(shè),=.(此時(shí)有.)(證)推論(檢根法的極限形式)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且.那么,<;,=.(證)檢根法適用于通項(xiàng)中含有與有關(guān)的指數(shù)者.檢根法優(yōu)于檢比法.例7研究級數(shù)的斂散性.解,.例8判斷級數(shù)和的斂散性.解前者通項(xiàng)不趨于零,后者用檢根法判得其收斂.3．積分判別法：Th5設(shè)在區(qū)間上函數(shù)且↘.那么正項(xiàng)級數(shù)與積分共斂散.證對且.例9討論級數(shù)的斂散性.解考慮函數(shù)0時(shí)在區(qū)間上非負(fù)遞減.積分當(dāng)時(shí)收斂,時(shí)發(fā)散.級數(shù)當(dāng)時(shí)收斂,時(shí)發(fā)散.時(shí),,級數(shù)發(fā)散.綜上,級數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)收斂.例10討論以下級數(shù)的斂散性:⑴;⑵.習(xí)題課一．直接比擬判斂：對正項(xiàng)級數(shù)，用直接比擬法判斂時(shí),常用以下不等式:⑴.⑵對,有.⑶;特別地,有,.⑷時(shí),有.⑸.⑹充分大時(shí),有.例1判斷級數(shù)的斂散性.解時(shí),,(或).……例2判斷級數(shù)的斂散性,其中.解時(shí),有;時(shí),.例3設(shè)數(shù)列有界.證明.證