必修5知識(shí)點(diǎn)梳理

必修五知識(shí)點(diǎn)歸納梳理

一、解三角形

正弦定理、余弦定理

1.正弦定理、余弦定理

在△A3C中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為AABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

+/-2Z?CCOS_A；

q=—=q=2R

內(nèi)容Z72=c2+白2—2cacos_5；

sinAsinBsinC

c2=-2+=2-2abcos_C

(l)a=2RsinA,

b=2RsinB,

222

c=22sin_C；h+c—a

cosA-2bc；

abc

(2)sinA=礪，sinB=不，sinC=標(biāo)；c1+c^—b1

變形cos8-2ac；

⑶“：b:c=sin_A:sin_8:sin_C；

?2+Z?2-c*2

(4)6rsinB=hs\nA,cosC-2ab

AsinC=csinB,

asinC=csinA

1.St,ABC=\abf,mC=:bcsinA=；acsinB=^=：（a+b+c>r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑），并可由此計(jì)算R、r.

3.在△4BC中，已知a、Z?和A時(shí)，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

cc

&

圖形

AZLBAB'-B'

AB

關(guān)系式a=bsinAZ?sinA<a<ba2ba>b

解的個(gè)

一解兩解一解一解

數(shù)

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二、數(shù)列

1.數(shù)列的定義

按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)―

2.數(shù)列的分類

分類原則類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

按項(xiàng)數(shù)分類

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限

按項(xiàng)與項(xiàng)間遞增數(shù)列

_>_an

的大小關(guān)系遞減數(shù)列〃〃+1,工其中〃GN*

分類常數(shù)列01+1

有界數(shù)列存在正數(shù)M,使

按其他標(biāo)準(zhǔn)

從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一

分類擺動(dòng)數(shù)列

項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

3.數(shù)列的表示法

數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛如｝的第n項(xiàng)與莊號(hào)2之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

5.數(shù)列通項(xiàng)求法

一\觀察法

觀察法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本的方法，其實(shí)質(zhì)就是通過(guò)觀察數(shù)列的特征，找出各項(xiàng)共

同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，從而確定出數(shù)列

的通項(xiàng)

二、公式法求通項(xiàng)

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目.

（已知數(shù)列｛的｝為等差數(shù)列）

=bi*q"T（已知數(shù)列｛仇｝為等比數(shù)列）

三、由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)（應(yīng)用S，，與《，的關(guān)系求通項(xiàng)）

有些數(shù)列給出｛4｝的前n項(xiàng)和S“與的關(guān)系式S“=/（4）,利用該式寫(xiě)出S,1+1=/（a,l+1）,兩式做差,

再利用an+l=S?+l-Sn導(dǎo)出aw與an的遞推式，從而求出an.

5...........n=1

利用公式%=二.求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫(xiě)時(shí)一定要合并.

15,-.....n>2

四、由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有

時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列.

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類型1：遞推公式為4用=??+/（?）

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為4,用一%=/（〃），利用累加法（逐差相加法）求解。

類型2：遞推公式為4向=f（n）aH

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為4d=/（〃），利用累乘法（逐商相乘法）求解。

a?

類型3：遞推式：an+i=Aan+B

類型4：遞推公式為用=pa?+qn

（其中P，q均為常數(shù)，3（口一1）（"1）*0））。（或a“+i=M”+均常其中P，q,r均為常數(shù)）

,a,..,pa1

解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以/川，得：聲=j?/n+/

引入輔助數(shù)列也,｝（其中a=2）,得："用="2+L再應(yīng)用類型3的方法解決。

qqq

man

類型5：遞推公式為??+1=~~（其中p,q均為常數(shù)）

7十q

解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊分子分母同時(shí)倒過(guò)來(lái)，得：

=〃許+q="」+史引入輔助數(shù)列也,｝，其中A=±得：2+|=幺，+'再應(yīng)用類型3的

m

,1ma“manm方法??加

解決。

類型6：遞推公式為凡+2=P*+qa“（其中p,q均為常數(shù)）。

s+t=p

先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為4+2-跖"+1=t（a”+i-5。"）其中S,t滿足《"，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。

3=一q

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等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的定義：an+]-an=d(d為常數(shù))

等差數(shù)列的四個(gè)判定方法

(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)囪都有斯+1—斯等于同一個(gè)常數(shù).

(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)〃都有2。"+1=如+如+2后，可遞推得出。"+2—斯+1=4"+1—斯=斯-斯-1=

4-1—4-2=…=42—,根據(jù)定義得出數(shù)列｛念｝為等差數(shù)列.

(3)通項(xiàng)公式法：得出后，得知+i一斯=p對(duì)任意正整數(shù)"恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列｛m｝為等差數(shù)

列.

(4)前〃項(xiàng)和公式法：得出S“=A/+B〃后，根據(jù)S“，斯的關(guān)系，得出小，再使用定義法證明數(shù)列｛%｝為等差

數(shù)列

2、等差中項(xiàng)：A為4、〃的等差中項(xiàng)，則人=竺2

2

3、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an=a]+Cn-Dd

4^等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式：S”=■+許幾=〃〃]+/(〃Dd

22

5、等差數(shù)列性質(zhì)：

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n—ni)d(n,m￡N*).

(2)若｛〃〃｝為等差數(shù)列，且左+/=m+〃(億/,tn,〃￡N"),則以+0=。"1+。〃.

(3)若｛%｝為等差數(shù)列，且k+/=2p(k,/,p￡N)貝U該+q=2即

(4)若｛斯｝是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S”,則S“、S2n$、S3〃-S2〃也是等差數(shù)列

(5)若｛”“｝是等差數(shù)列，公差為“，則｛2｝是等差數(shù)列，公差為

n2

(6)若｛斯｝是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S”則S2“_|=(2〃—1)冊(cè)

(7)若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為4貝U｛政〃｝也是等差數(shù)列，公差為空.

(8)若｛%｝,｛兒｝是等差數(shù)列，則｛p斯+L“｝也是等差數(shù)列.

2、等比數(shù)列

1、等比數(shù)列的定義：皿=q(4為常數(shù))

冊(cè)

判斷數(shù)列為等比數(shù)列的方法

(1)定義法：誓=虱勺是不等于0的常數(shù)，"GN")=數(shù)列｛〃,,｝是等比數(shù)列；也可用巫=虱4是不等于。的

如(In-1

常數(shù)，〃￡N*,〃22)=數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列.二者的本質(zhì)是相同的，其區(qū)別只是〃的初始值不同.

(2)等比中項(xiàng)法:一+1=?！ㄋ?2(斯%+g+2#0,〃@N")=數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列.

2、等比中項(xiàng)：A為Q、匕的等比中項(xiàng)，則力

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3、等比數(shù)列通項(xiàng)公式：冊(cè)=%*，1T

4、等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式：S”=-".(，—-~-(qwl)

If

S?-na｛(q=D

5、等比數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：斯=即"？(〃，

(2)若｛斯｝為等比數(shù)列，且A+/=〃?+"(晨I,m,〃CN*),則您4/=4””".

(3)若｛%｝為等比數(shù)列，且％+/=2p(A,I,pWN*),則以0="

(4)公比不為一1的等比數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S.,則S”S2n-Sn,S3“一S2〃仍成等比數(shù)列，其公比為

⑸若｛3｝,｛小｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛〃“｝—()),[1｝,｛雇｝,｛%?兒｝，悔｝仍是等比數(shù)列.

求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法

(1)公式法

①等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式Sn=2=十2

②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

/；、業(yè)一，Hc-/；.、業(yè)II口?°0(1一心41一4應(yīng)

(1)當(dāng)q—1時(shí)，Sn—;(11)當(dāng)q#1時(shí)，Sn—]_q—)_.

(2)分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.

(3)裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).

常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式

①理〃+1)=丁幣;②(2〃_1)(2”+1)=^2〃一].2〃+1)；③3f.

(4)倒序相加法

把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.

(5)錯(cuò)位相減法

主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推

廣.

(6)并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如m=(—1)%")類型，可采用兩項(xiàng)合并求

解.

例如，5?=1002-992+982-972+-+22-12=(100+99)+(98+97)+-+(2+1)=5050.

三、基本不等式

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1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

Tb>l<=>tz--->----b

a-b>O^a>b

作商法〈

(1)作差法，a-h=O<^ah(mZ?eR)；(2)%=l=a.b(Q￡R,/?>0).

a-b<O^>a<b

7<15<-b------

2.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對(duì)稱性a>b<^b<ao

傳遞性a>b,b>c=^a>c=>

可加性a>b<^a+c>b+c

a>b]

,(=>ac>bc

OOJ

可乘性注意C的符號(hào)

a>h\

(=>ac<bc

c<0\

a>h]

同向可加性\=>a-\-c>h+d=>

C>d]

6F>/?>01

同向同正可乘性}=>ac>bd

C>dt>Q)=>

可乘方性a>h>0=>an>bn(n￡N,1)

a,人同為正數(shù)

可開(kāi)方性

Q>6>0=y[a>y[b(n￡N,拉22)

3.不等式的一些常用性質(zhì)

(1)倒數(shù)的性質(zhì)

?a>b,QZ?>0=*".②a<0<b=：f.

③a>b>0,0<c<d=3§.@0<a<x<b或a<x</?<0=>^<~<^.

(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

若a>b>0,m>Q,則

…bb+mbb-m-aa~\-maa~m,

?-<?；f------(b-m>0).②^而？m(一心°)?

aa-vmaa—nV

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1.“三個(gè)二次”的關(guān)系

判別式A=b2-4acA>0A=0A<0

上

二次函數(shù)A

y=ax2+bx+c(a>0)的圖象3

一元二次方程有兩相異實(shí)根XI,

有兩相等實(shí)根X1=X2=—J；沒(méi)有實(shí)數(shù)根

2的根

ax+bx+c=0(a>0)X2(X1<X2)

ax2+bx+c>0(a>0)的解集{xIxVXl或X>X2)IxlxW吉{x|x￡R}

or2+hx+c<0(6f>0)的解集00

2.常用結(jié)論

(X—a)(x—Z>)>0或(x—a)(x一份<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ba=ba>b

(九一。>(1一[x\x<a或或

b)>0x>h}

(x-a)?(x-

0{x\h<x<a}

h)<0

口訣：大于取兩邊，小于取中間.

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

(1)~?般地，二元一次不等式Ax+B)，+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=O某一側(cè)所有點(diǎn)組成的

平面區(qū)域.我們把直線畫(huà)成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫(huà)不等式Ax+By+C^O所

表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫(huà)成實(shí)線.

⑵由于對(duì)直線Ar+8y+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ar+B.y+C,所得的符號(hào)都相同,

所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(次，泗)作為測(cè)試點(diǎn)，由Aro+Byc+C的符號(hào)即可判斷Ax+By+OO

表示的直線是Ax+By+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域.

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2.線性規(guī)劃相關(guān)概念

名稱意義

約束條件由變量X,y組成的一次不等式

線性約束條件由x,y的二次不等式(或方程)組成的不等式組