（2018-2022）五年高考數(shù)學真題匯編：不等式含答案及解析

（2018-2022）高考數(shù)學真題匯編：不等式

一、選擇題

1.（2022?全國甲（文）T12）已知9，"=10,a=10"—111=8"—9,貝lj（）

A.a>0>bB.a>b>0

C.h>a>0D.b>0>a

3111

2.（2022?A全國甲（理）T12）已知a=—,b=cos—,c=4sin—,則（）

3244

A.c>h>aB.b>a>cC.a>b>cD.

a>c>b

3.（2022?新高考I卷T7）設a=0.1e°//=g,c=—ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

4.（2022?新高考口卷T12,雙選）對任意x,y,x2+y2-xy=\,則（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

5.（2021?全國（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）

，I.?4

A.y=x2+2x+4B.sinx+?

■r|sinx\

,4

C.y=2x+22-XD.y=lnx+----

Inx

x+y>4,

6.（2021.全國（文））若工，丁滿足約束條件,x-><2,則z=3x+y的最小值為（）

J?3,

A.18B.10C.6D.4

x+l>0

7.（2021.浙江）若實數(shù)x,y滿足約束條件，則z=x-gy的最小

2x+3y-l<0—

值是（）

8.（2021.浙江）已知生尸,7是互不相同的銳角，則在

sinacos/?,sin尸cos7,sinycosa三個值中，大于J的個數(shù)的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

9.（2020?浙江）已知a,beR且4厚0,對于任意后0均有（x-aXx-/?）（x-2a-/?）K）,

則（）

A.B.a>0C.b<0D.h>0

%—3v+1<0

10.（2020淅江）若實數(shù)X,y滿足約束條件,則Z=JC+2）'的取值范

x+y-320

圍是（）

A.（-oo,4]B.[4,+oo）C.[5,+oo）D.（-oo,+oo）

].（2020?全國（文））已知集合"={*|4一3戶4<0},5={<1,3,5},則403=（）

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

x+y..6

12.（2019?全國（文））記不等式組仁八表示的平面區(qū)域為。，命題

2x-y>0

p:B（x,y）eD,2x+y..9；命題q:X/（x,y）e￡>,2x+%,12.給出了四個命題:①P-4；

②77q；③P^F；④力八―，這四個命題中，所有真命題的編號是

A.①③B.①②c.②③D.③④

13.（2019?浙江）設a/eR,數(shù)列{4}中，q=。,*,則

A.當=B.當

C.當b=—2,4。>10D.當b=-4,qo>lO

14.（2019?北京（理））若尤，y滿足且a-1,則3x+y的最大值為

A.-7B.1C.5D.7

15.（2018?北京（理））設集合4={（x,y）|x-yZl,以+y>4,x—ay<2},則

A.對任意實數(shù)a,（2,DeA

B.對任意實數(shù)a,（2,1）

C.當且僅當a<0時，（2,1）eA

3

D.當且僅當時，（2,1）gA

16.（2018?全國（理））設。=logo,20.3,b=log?0.3,則

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<Q

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

17.（2020?海南，多選）已知a〉0,b>Q,且a+b=l,貝U（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log,a+log2b>-2D.4a+\[b<41

填空題

11Q

18.（2020?天津）已知a>0,b>0,且而=1,則丁++—的最小值為

2a72bra+b

19.（2020?江蘇）已知5/丁+八1（%”??）,則的最小值是______.

\r+y>0,

20.（2020?全國（文））若x,y滿足約束條件<2x-”0,,則z=3x+2y的最大值

X<1,

為.

2x+y-2<0,

21,（2020?全國（理））若x,y滿足約束條件x-y-l>0,貝ijz=x+Jy的最大值

y+l>0,

為.

設x>0,y>0,x+2y=4,則Q+D（2）+1）的最小值

22.（2019?天津（文））

町

為.

23.（2019?天津（文））設xeR,使不等式3/+%—2<0成立的x的取值范圍為

（x+l）（2y+l）

24.39?天津（理））設x>。，,>0,川4，則的最小值為

25.（2018?江蘇）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,

NABC的平分線交AC于點。，且5。=1,則4a+c的最小值為.

26.（2018?北京（理））若x,y滿足"則2y-x的最小值是.

27.（2018?天津（理））已知且。-勸+6=0,則2"+4的最小值為

28.（2018?天津（文））已知aeR,函數(shù)〃x）={2c1';’若對任意

—X+2x—2。，x>0.

XG[-3,+8*恒成立，則。的取值范圍是.

x<2,

29.（2019?北京（文））若居〉滿足<^>-1,則yr的最小值為,

4x-3y+l>0,

最大值為.

x-y>0,

30.（2018?浙江）若乂丁滿足約束條件,2x+y<6,則z=x+3y的最小值是

x+y>2,

，最大值是.

答案及解析

1.【答案】A

【詳解】由9"'=10可得機=1。891°=篙>1，而

1g9

lg91gU<（lg9；lgU）=（等）<i=（]gio）2,所以黑，即〃z〉lgll,

所以。=10"'—11>10如|-11=0.

又Ig81gio<(lg8；gio)=(等)<0g9/，所以黑〉翳，即晦9>旭

所以匕=8"'—9<8嗨9一9=0.綜上，a>Q>b.

2.【答案】A

【詳解】因為：=4tan!，因為當XG(O，W］，sinx<x<tanx

b4I2J

11c

所以tan：>：,即7>1,所以c>Z?；

446

12

tx/(x)=cosx+—X-l,XG(0,4-OO),

f(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+oo)單調遞增,

則/〉/(0)=0,所以COS；—言〉0,

所以〃所以c>>>a,

3.【答案】C

1丫

【詳解】設/(x)=ln(l+x)-雙%>一1),因為/'(幻=：^--1=--^,

當xe(—1,0)時，r(x)>0,當XG(0,+OO)時r(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，

所以『(5</(0)=0,所以ln?—"<0,故ln0.9,即?！礳，

191Q-111I

所以/(一至)</(°)=°，所以皿77+；7<0,故Z<e%所以工一。<匕

10101010109

故a<人，

2A

1(r_l'je+1

f

設g(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<1),則g(x)=(jc+l)e'+——-=----——，

令〃(x)=ev(-^2-1)+1>〃'(x)=e"(f+2x-1),

當0<x<血-1時，〃'(幻<0,函數(shù)〃(x)=e*(x2—l)+l單調遞減，

當血—1<X<1時，h'(x)>o,函數(shù)/i(x)=e'(x2-l)+l單調遞增，

又伙0)=0,

所以當0<x〈夜一1時，力(幻<0,

所以當0<%<血一1時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l—x)單調遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>—ln0.9,所以

4.【答案】BC

【詳解】因為次(a,blR),由V+y2一肛=1可變形為，

z\2

(x+yj-l=3xy?3㈢，^-2<x+y<2,當且僅當x=y=T時，

、2/

x+y=-29當且僅當x=y=l口寸，x+y=2,所以A錯誤，B正確；

22

由V+丁一孫=1可變形為(/+/)_]=孫4土+匚，解得％2+卜2?2,當且僅

當X=y=±l時取等號，所以C正確；

因為V+y2-孫=1變形可得(X—2[+3y=1,設x-2=cose,且y=sin。，所

(2J422

12

以x=cos夕+耳sine,y=-j=sin<9,因此

x2+y2=cos2^+―sin2^+-^sin^cos^-1+~^=sin2^--cos20+-

3G百33

=9+聲"26-5』：2],所以當》=近，尸一立時滿足等式，但是爐+產(chǎn)之1

3316八3」3-3

不成立，所以D錯誤.

5.C

【解析】對于A,^=X2+2%+4=(%+1)2+3>3,當且僅當x=-l時取等號，所

以其最小值為3,A不符合題意;

對于B,因為0<卜由才41,=4,當且僅當卜inx|=2時取

等號，等號取不到，所以其最小值不為4,B不符合題意;

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2、〉0，y=2x+22-x=2x+^->244=4,當

且僅當2，=2,即x=l時取等號，所以其最小值為4,C符合題意;

對于D,y=lnx+—,函數(shù)定義域為（O,l）U（l，+°°），而InxeR且lnx/0,如

Inx

當lnx=-l,y=-5,D不符合題意.故選：C.

6.C

【解析】

由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，

x+v=4

由，=3可得點A（L3），轉換目標函數(shù)z=3x+y為y=-3x+z,

上下平移直線y=-3x+z,數(shù)形結合可得當直線過點A時,z取最小值,

止匕時Zmin=3'1+3=6.

故選：C.

7.B

x+l>0

【解析】畫出滿足約束條件卜-ywo的可行域，如下圖所示:

2x+3y-l<0

八y

21

尸產(chǎn)5、

目標函數(shù)Z=x化為y=2x-2z,

x=-1,[x=-1

由cO,c，解得.設4-1,1),

2x+3y-\=0[y=1

13

當直線y=2x-2z過A點時，z=取得最小值為-天

8.C

【解析】

sin26Z+cos2P

法1：由基本不等式有sinacosl<

.sin2y+cos2a

同理Si“cos”尤等亞,sinycosa<------------

故sinacos/?+sin/?cosy+sinycosa,

故sinacos/?,sinf3cosy,sinycosa不可能:均大于g.

口7C門兀兀

取々=二，p=—,7=—,

634

V61

貝(Jsinacos[=：<；,sin/cosy=>g,sin/cosa=-^->—，

故三式中大于;的個數(shù)的最大值為2,

法2：不妨設a<B<y,則cosa>cos/?>cossina<sin/?<sin/,

由排列不等式可得:

sinacos尸+sin(3cosy+sinycosa<sinacos/+sincos/74-sin/cosa,

i3

而sinacos/+sin/cos/?+sin/cosa=sin(7+a)+]Sin2夕41

故sinacosAsin#cosy,sinycosa不可能均大于—.

n71c冗K

取a=%'//=]

則sinacosZ7=—<—,sin(3cosy=^->—,sinycosa=^->—,

424242

故三式中大于g的個數(shù)的最大值為2,

故選：C.

9.C

【解析】因為。。。()，所以且。W0，設/(x)=(x-a)(x-〃)(x-2a-，)，則/(%)

的零點為玉=a,x2=b,x3=2a+b

當a>0時，則％2<￡，%>。，要使/(無)》。，必有2a+)=a,且6<0,

即占=-“，且〃<0,所以3<0；

當。<0時，則々>&，芭<°，要使/(x)20，必有A<0.

綜上一定有人<0.

10.B

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,

目標函數(shù)即：y=-gx+gz,

其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,

z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在>'軸上的截距最小，

據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最小值，

聯(lián)立直線方程：JX—，3y+”l=0可得點A的坐標為：A/M、，

據(jù)此可知目標函數(shù)的最小值為：zmin=2+2xl=4

且目標函數(shù)沒有最大值.故目標函數(shù)的取值范圍是［4,”).

11.D

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得AQB,得

到結果.

【解析】

由f―3x—4<0解得T<x<4,

所以A={x|-l<x<4},

又因為3={-4,1,3,5},所以4口3={1,3},

12.A

【分析】

根據(jù)題意可畫出平面區(qū)域再結合命題可判斷出真命題.

【解析】

y=2x,\x=2

如圖，平面區(qū)域D為陰影部分，由，N，得.

x+y=61y=4

即A(2,4),直線2x+y=9與直線2x+y=12均過區(qū)域D,

則p真q假，有假F真，所以①③真②④假.故選A.

【分析】

若數(shù)列為常數(shù)列，al0=at=a,則只需使a<10,選項的結論就會不成立.將

每個選項的b的取值代入方程f7+8=0,看其是否有小于等于10的解.選項B、

C、D均有小于10的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應的方程沒有解，

又根據(jù)不等式性質，以及基本不等式，可證得A選項正確.

【解析】

若數(shù)列｛4,｝為常數(shù)列，則4=6="，由4M=。；+8，

可設方程工2一%+〃=0

選項A：b=g時，〃〃+i=a；+g,-x+^=0,

A=l—2=—1<0,

故此時｛a,J不為常數(shù)列，

:4+1=4：+；="；+(￥)2-6%，

口21、1

且。2=4+2~2,

%>g7al>4^/2,則為>a；?16>1(),

故選項A正確；

選項B：b時，a"+i=a；+；,%2-8+；=0,

則該方程的解為x=(,

即當時，數(shù)列｛凡｝為常數(shù)列，4=；,

則4。=；<10,故選項B錯誤；

2

選項C：6=-2時，an+l-a;-2,%-x-2=0

該方程的解為x=-l或2,

即當。=一1或2時，數(shù)列｛可｝為常數(shù)列，或2,

同樣不滿足4?！?0,則選項C也錯誤；

選項D：。=-4時，?！?1=。：一4,x2-%-4=0

該方程的解為x=上姮，

2

同理可知，此時的常數(shù)列｛〃,,｝也不能使4。>1。，

則選項D錯誤.

14.C

【分析】

首先畫出可行域，然后結合目標函數(shù)的幾何意義確定其最值即可.

【解析】

-1<V

由題意1?八，作出可行域如圖陰影部分所示.

設z=3x+y,y=z-3x,

當直線k-y=z-3x經(jīng)過點（2,-1）時,z取最大值5.故選C.

15.D

33

【解析】若（2」）eA,則4〉=且即若（2,l）wA,則“〉=,

22

3

此命題的逆否命題為：若a],則有（2,1）任A,故選D.

小結：此題主要結合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應用，集合法是判斷充

分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)〃國成立時對應的集合之間

的包含關系進行判斷.設4=｛刈〃（幻｝,3=｛刈4（》）｝,若A=則P=q；

若4=3,則P=4,當一個問題從正面思考很難入手時，可以考慮其逆否命

題形式.

16.B

[解析].；a=logO.203,b=log2°3

.?.-=log0.3°2,-=/^0.32.-.1+1=/^^0.4.-.0<-+-<l,gp0<-^<l

abahabab

Xa>0,b<0ab<0BPab<a+b<0故選B.

17.ABD

【解析】對于A,a2+b2=a2+（1-a]2=2a2-2a+l^2（a-^\

'，I2）22

當且僅當a=0=g時，等號成立，故A正確；

對于B,a-h^2a-\>-\,所以>2一|=’，故B正確;

2

(a+bX,1c

對于C,loga+log,b=logab<log=log?7=-2，

222I2)

當且僅當。=匕=（時，等號成立，故C不正確；

對于D,因為（石+折了=1+2而41+a+8=2,

所以&+揚當且僅當”=b=g時，等號成立，故D正確；故選：ABD

18.4

,i118abab8

【解析】a>0,Z?>0,.*.6z+Z?>0,ab=\.一+一+---=一+一+----

2a2ba+b2a2ba-\-b

等+*22萬百=4,當且僅當j=4時取等號,

結合而=1,解得a=2-G,b=2+G,或。=2+百/=2-6時，等號成立.

故答案為：4

【解析】V5o2+/=1：.y^O^.x2

5y2

?22;當且僅當今，即八QW

??x+yi-yLL.￡9=

5y25y25

時取等號..?.fi+y。2的最小值為￡4故答案為：14.

20.7

【解析】不等式組所表示的可行域如圖

Z

因為z=3x+2y,所以y3-X-

22,易知截距］越大，貝”越大，

Z

3-X

平移直線）=-奇，當y22-經(jīng)過A點時截距最大，此時z最大,

y=2x\x=l

由，，得c，A(l,2),所以Za=3xl+2x2=7.故答案為:7.

x=\[y=2

21.1

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,

其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,

據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，

2x+y-2=0,、

聯(lián)立直線方程：一?八，可得點A的坐標為：A(l,0),

x-y-i=0

據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為：Z3=1+7XO=1.故答案為：1.

9

22.

2

【解析】由x+2y=4,^x+2y=4>2y/2^,得知42

(x+l)(2y+l)2町+x+2y+l2町+5559

----------=-----------=-----=2-1--->2d--=—,

xyxyxyxy22

9

等號當且僅當x=2y,即x=2,y=l時成立.故所求的最小值為;.

23.

2

【解析】3X2+X-2＜0,即(X+1)(3X—2)VO,即一1＜工＜:,故x的取值范圍是

24.4G

(x+l)(2y+1)_2町+x+2y+l

【解析】；歷而

%>0,y>0,x+2y=5,Jty>0,;.2工:622=46,

yjxyg

當且僅當孫=3,即x=3,y=l時成立，故所求的最小值為4百.

25.9

【解析】由題意可知，S28c=S*Bo+S9e,由角平分線性質和三角形面積公式

—acsin120°=—ax1xsin60°+—ex1