2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題（答案）

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

文科數(shù)學(xué)

一、選擇題

|2f2i3

1.)

A.1B.2C.小D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由題意首先化簡2f2i3,然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2f寄212i121,

則|2i22i3||12L|二邪.

故選：C.

集合M

UQ46,NQJ6）,則

A.B.Q1,4,6,8c.12468D.U

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得6N的值，然后計算MON

即可.

【詳解】由題意可得6N248，則"'U

u

故選：A.

3如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積（）

B.26C.28D.30

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【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體ABCDAMP"一二"

中，，

I

點H,I,J,K為所在棱上靠近點B,C,D,A的三等分點，s"''…

為所在棱的中點，

iiii

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABCDA|B|CP|去掉長方體"""j"'"i之后所得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，

其表面積為：22242321130.

故選：D.

4在ABC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別是a,hc,若acosBbcosAc,且,則B()

5

32

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角

形內(nèi)角和定理可得A的值.

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC,

即

整理可得sinBcosA0,由于BQn,

據(jù)此可得cosAQA

2

nn3n

則BnACJi——

2510

第2頁/共22頁

故選：c.

vpx

a已知f(x)是偶函數(shù)，則2()

eax1

A.2B.1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.

xxa1x

【詳解】因為fX二J為偶函數(shù)，則fxfx-______1^-X-e-0-

eleaxie1eax1

又因為x不恒為0,可得e'ea,x0，即e'ea1x,

.,1a1,miqaz.

則miXa1X,BP

故選：D.

6正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點，則ECED()

A.小B.3C.2#D.5

【答案】B

【解析】

【分析】方法「以ARAD為基底向量表示EC,ED,再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求cosDEC,進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.

【詳解】方法一：以AB,AD為基底向量，可知［ABADI2,ABAD0,

LUUTuurUJUI'?uuruuurumruuruuur>uuruuur

則ECEBBC-ABAD,EDEAAD-ABAD,

22

uuuruuriuuruuuriuturuuuriuuruuur

所以ECED-ABAD-ABAD-AB2AD2143

224

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則E1,0,C2,2,D0,2，可得ECJ2,ED\2

所以ECED143；

方法三：由題意可得：EDECJ5,CD2,

第3頁/共22頁

5543

在CDE中，由余弦定理可得cosDEC

2小疵5

所以EC

故選：B.

AEBx

7.設(shè)0為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域X2/4內(nèi)隨機取一點A,則直線0A的傾斜角不

大于d的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運算求解.

【詳解】因為區(qū)域川“/4表示以00,0圓心，外圓半徑R2,內(nèi)圓半徑r1的圓環(huán),

則直線0A的傾斜角不大于鼻部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角M0N」，

44

JI

9_

結(jié)合對稱性可得所求概率11.

2n4

故選：C.

第4頁/共22頁

&函數(shù)fXx3ax2存在3個零點，則a的取值范圍是（）

A.,2B.,3C.413。

D.

【答案】B

【解析】

【分析】寫出f⑨3x2a,并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【詳解】f（x）x3ax2,則f⑨3x2

若fx要存在3個零點，則fx要存在極大值和極小值，則a<0,

令f⑨0,解得x

且當(dāng)x時，f⑨0,

當(dāng)x

故f

若fx要存在3個零點，則,即,解得a3,

故選:B.

9.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽

同學(xué)抽到不同主題概率為（）

521

A.-B.-C.1D.

6323

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)古典概率模型求出所有情況以及滿足題意得情況，即可得到概率

【詳解】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有6636種，

若甲、乙抽到的主題不同，則共有A；30種,

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則其概率為吧

366

故選：A.

、Ji2nJT2n

10.已知函數(shù)f(x)sin(x)在區(qū)間石，至單調(diào)遞增，直線x一和X—yfX

63為函數(shù)的圖像

5n

的兩條對稱軸，則f)

12(

￡D.?

A.我B.C.y

2222

【答案】D

【解析】

上RJT即可得到答案.

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入X

12

n2兀

【詳解】因為f(x)sin(x)在區(qū)間單調(diào)遞增'

T2況JTJI2Ji

所以——,且0,則Tn,w——2,

5T62T

」時,JI

當(dāng)XfX取得最小值，則2-2kn—,kZ,

662

5n5n

則2kn--,kZ,不妨取k0,則fxsin2x

6T

5n5n也，

則fsin

32T2

故選：1).

H.已知實數(shù)為yxy)

滿足xy4x2y40,則

的最大值是(

C.1'3y/2D.7

【答案】C

【解析】

【分析】法一：令xyk,利用判別式法即可；法二：通過整理得22yI29,利用三角換元

法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)xyk,利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.

【詳解】法一：令xyk,貝ijxky

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代入原式化簡得2y22k6yk24k40

因為存在實數(shù)y,則0,即

化簡得k22k170,解得1372k1372,4k40

Xy的最大值是3花1,

故

法二:x2y24x2y40,整理得x22yI29,

2?iQ2兀

y3sm1-qM

令X3cos2,，其中,

則Xy3cos3sin1火2cos—,

，11119nJI7

，所以~r，則v2冗，即——y取得最大值i,

44444時,

法三：由x?y24x2y40可得(x2)2(yD29,

設(shè)Xyk,則圓心到直線xyk的距離d，J，3

解得13^/2k1372

故選：c.

2

12設(shè)A,B為雙曲線x2L-1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）

A.L1B.(-1,2)C.1314

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點差法分析可得kk9,對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷;

AB

對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷

【詳解】設(shè)A'X,B出丫2，則AB的中點M

yiy2

可得k、B———L,k

XIX2XIX2XiX2

2

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x2或1

1

gv2

因為A,B在雙曲線上,則,,兩式相減得X；X2二一10,

2yl29

4-t1

9

?2J2

X2

所以kk229

ABX1至

，&A-Z*rV/4\>z

對于選項A：可得kUAB9,則，

9x8

聯(lián)立方程2y2b消去y得72x2272x730,

xV

此時2722472732880,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；

a95

對于選項B：可得k2心一，則AB:y-x—,

222

95

y—x—

22

聯(lián)立方程2，消去y得45x2245x610,

x2L1

9

此時245244561445160,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；

對于選項C：可得k3kAB3AB:y3x

,貝I

由雙曲線方程可得“A，M'則AB:y3x為雙曲線的漸近線,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；

9Q7

對于選項D：k4,kAB—,則AB:y—x—,

97

y一x一

44

聯(lián)立方程2，消去y得63x2126x193。，

x2—1

9

此時12624631930,故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確;

故選：D.

二、填空題

第8頁/共22頁

13.己知點A1石池物線C：y2Px上，則A到c的準(zhǔn)線的距離為r

9

【答案】-

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x最后利

4

用點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計算點A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

2

【詳解】由題意可得：J耳2p1,則j"，拋物線的方程為y25x,

559

準(zhǔn)線方程為x丁，點A到C的準(zhǔn)線的距離為1

444

9

故答案為：

4

ji1

14若Q1，tan?—,則________.

22

【答案】?

5

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求sin,進而可得結(jié)果

JT

【詳解】因為0,-,則j

2

又因為tan型--1，則cos2sin,

COS2

^^或sin趙（舍去）

且cos2sin24sin2sin25sin21,解得sin

55

所以sincossin2sinsin￡

5

故答案為：YL

5

X3y1

15.若x,y滿足約束條件X2y9,則z2xy

丫7的最大值為

3x

【答案】8

【解析】

第9頁/共22頁

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示：

z2xy,移項得y2xz

x3y1x5

聯(lián)立有。0,解得。，

x2y9y2

設(shè)°,顯然平移直線y2xzz

使其經(jīng)過點A,此時截距最小，則最大,

代入得z8,

故答案為：&

16.已知點S,ABC均在半徑為2的球面上，ABC是邊長為3的等邊三角形，SA平面ABC,則

SA.

【答案】2

【解析】

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.

【詳解】設(shè)ABC的外接圓圓心為'，半徑為‘，

2r_L2/_

貝sinACB小,可得r用，

T

設(shè)三棱錐SABC的外接球球心為0,連接wu],則OA200J-SA

2,

1i

因為200；ow，即43ISA2,解得SA2.

故答案為：2

第10頁/共22頁

c

Ot

B

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，

把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

(2)若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素“補形’成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2=a2+b?+c2求解；

(3)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；

(4)球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

(5)利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位

置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(郅求解.

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)

相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為X,yi12,10.試驗結(jié)果如下:

ii

試驗序號i12345678910

伸縮率為545533551522575544541568596548

伸縮率y.536527543530560533522550576536

記4%niL2,10，記z,z,,z的樣本平均數(shù)為2,樣本方差為s2.

1210

(1)求，,S2;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

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則不認(rèn)為有顯著提高）

【答案】（1）飛ILi61；

（2）認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計算出x,y,再得到所有的4值，最后計算出方差即可;

（2）根據(jù)公式計算出的值，和已比較大小即可.

【小問1詳解】

545533551522575544541568596548

*552.3,

10

536527543530560533522550576536

y541.3,

10

*y5523541.311,

%$的值分別為：9,6,8a15^11,19,18s20,12

(9ll)2(6ll)2(8ll)2(8ll)2(15ll)20(1911)，(18ll)2(20ll)2(12ll)2

故s?61

10

【小問2詳解】

由（1）知:彳11,,2^Ay[24A,故有了

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高

18.記S“為等差數(shù)列4na11,S40

的前項和，已知

210

（1）求4的通項公式;

（2）求數(shù)列|d"|的前n項和T“.

【答案】(Da152n

14nn2,n7

(2)T

n214n98n8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解a,d,進而可得結(jié)果;

（2）先求S.討論4的符號去絕對值，結(jié)合S”運算求解

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【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

馬ad11

1adJ11a13

由題意可得109,皿即。,8,解得

sc10a,----d402ai9ndd2,

io2

所以a0132n1152n，

【小問2詳解】

因為Snlb2,14nn2,

2

令a152n0,解得n—,且nN*,

2

2

則a00,可得1；aS14nn

當(dāng)n7時,同聞同i叫n

當(dāng)n8時,則a0,可得Ta

nhlhl也7

22

g221Sn21477214nnn14n98：

14nn2,n7

綜上所述：T

n214n9&n8

19.如圖，在三棱錐PABC中，ABBC,AB2,BC2#,PBPC邪,BP,AP,BC的

中點分別為D,E,0,點F在AC上，BFAO.

(1)求證：EF〃平面ADO；

(2)若POF120，求三棱錐PABC的體積.

【答案】(1)證明見解析

3

第13頁/共22頁

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)作出并證明PM為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積

【小問1詳解】

連接DE,OF,設(shè)AFtAC,則BFBAAF(1t)BAtBC,->

AOBA2BCBFAO

則BFAO[(1t)BAtBC](BA|BC)(t1)BA2IBC24(t1)4t0,

解得t1,則F為AC的中點，由D,E,0,F分別為PB,PA,BC,AC

2的中點，

于是DE//AB,DE；AB,OF//AB,OF1AB,BpDE//OF,DEOF,

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EF//DO,EFDO,又EF平面ADO,DO平面ADO,

所以EF//平面ADO.

【小問2詳解】

過P作PM垂直F0的延長線交于點M,

因為……"是八中點，所以poBC,

在RtaPBO中，PB而BO|BCV2,

所以P0.PB?0B29=2,

因為ABBC,OF//AB,

所以0FBC,又PO0F0,PO,OF平面POF,

所以BC平面POF,又PM平面POF,

所以BCPM,又BCFM0,BC,FM平面ABC

所以PM平面ABC,

即三棱錐P'ABC的高為PM,

因為POF120,所以POM60,

當(dāng)事,

所以PMPOsin602

2

1

又SAABC-ABBC22&2也,

22

第14頁/共22頁

20.已知函數(shù)fX-aIn1x

X

A處的切線方程.

⑴當(dāng)a1時，求曲線yfx

fx在Q

(2)若函數(shù)a

單調(diào)遞增,求的取值范圍.

………ln2xyln20

【答案】(1)

(2)a|a

2

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后

求解切線方程即可;

2

(2)原問題即fx0在區(qū)間上恒成立，整理變形可得gxaxxxllnxlO在

M然后分類討論aQa10aL三種情況即可求得實數(shù)a的取值范圍

區(qū)間上恒成立,

22

【小問1詳解】

1

當(dāng)a1時,fx1Inx1x1,

x

1JJ1A1

則fx11

X2xxf

據(jù)此可得f1Qf1ln2，

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11匕AyL匕V

所以函數(shù)在If1嫡切線方程為y0ln2x1,即

【小問2詳解】

由函數(shù)的解析式可得fX=InX1-a」一A,

xxx1

滿足題意時fx0在區(qū)間“上恒成立

I,11U2

令—7Inx1—a----，則x1Inx1xax0

XXX1,

令gx=ax?xx1Inx1gx0在區(qū)間M

,原問題等價于上恒成立，

則gx2axInx1,

比八,一上千乙v,inX1uBAVu

當(dāng)a。時，由于，故，gx幽間

上單調(diào)遞減,

此時gxg00,不合題意；

令hxgx2axInx1,則hx2a——,

x1

當(dāng)a2a1時，由于二一1,所以"A"""在區(qū)間”上單調(diào)遞增，

2x1

即gX越間"上單調(diào)遞增，

所以8人7V:8人在區(qū)間QgXg00

上單調(diào)遞增，，滿足題意

當(dāng)0a上時，由hx2a—0可得x=°-1,

2x12a

當(dāng)x時，hxQhx在區(qū)間0,-J-1上單調(diào)遞減，即gx

2a2a單調(diào)遞減，

注意到g00,故當(dāng)x時，gxgOOgx單調(diào)遞減，

2a,

由于8故當(dāng)XQ7T-1gxg00

2a時，，不合題意.

1

綜上可知:實數(shù)a得取值范圍是aa—

2,

【點睛】方法點睛:

（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的

和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元

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(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上fx0(或fx0)恒成立.

②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是■A1或AV)在該區(qū)間上存在解集.

21.已知橢圓C:4與Kab0)的離心率是近，點”‘在。

a2卜3上.

(1)求C的方程；

(2)過點23的直線交。于P,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的

中點為定點.

X2

【答案】(1)二

----1

94

(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解a,he,進而可得結(jié)果;

(2)設(shè)直線PQ的方程，進而可求點M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達定理驗證''2',為定值即可.

【小問1詳解】

b2a3

由題意可得a2b2c2,解得b

cc

e近

a3

x2

所以橢圓方程為二—1

94

【小問2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ:ykx23Px,y,Q

x,y2

12

ykx23

2

聯(lián)立方程V2X2，消去y得：9x2k3x16k次0

——1

94

則△64k22<32&14k29K次1728k0,解得k0,

2

8k2k316k3k

可得看4--------,xx

4k29----4k29

第17頁/共22頁

因為A20，則直線AP：yx2

Xi2

令X解得y—即M0,

xi2

2

同理可得N,

2

2yi2y2

則xi2T"k*23k豆23

2xi2x22

四助次不％

43<323*22kxjX24<342k3

*2￥2xx2xx4

12I2

32kq3k8k4k3爾3

4k294k2942k3IQ8

16k23k16k2k336

-----------------------------------4

4k-94k29

切以紙取rHTJ十KTE/hAA

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟

(1)由特例得出一個值，此值一般就是定值;

(2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān);

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也可令系數(shù)等于零，得出定值;

(3)得出結(jié)論.

【選修4-4】(10分)

22在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點-—xC,

為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程

,曲線cx2cos

為2sin—為參數(shù)，一

2

42'y2sin2).

(1)寫出G的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線yxmCm

既與G沒有公共點，也與沒有公共點,求的取值范圍.

2

【答案】(1)X

2

產(chǎn)12lxQI,y12

⑵，024

【解析】

【分析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化運算求解，注意％y的取值范圍;