2023人教版新教材B版高中數(shù)學(xué)必修第三冊同步練習(xí)-全書綜合測評

全書綜合測評

（全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.已知。=（1,2）力=（4,3）,則（。-與為=（）

A.-30B.-15C.-10D.5

2.若aC（0,1）,sina+cosa=4cos2a,貝！］sin2a=（）

A.竺B；2C巫DT

1681632

3.AABC中,AB=4MC=2,O為AB的中點(diǎn)，麗=2近，則而.荏=（）

A.OB.2C.-2D.-4

4.如圖，以正方形的各邊為底向外作四個(gè)腰長為1的等腰三角形，則陰影部分面積的最大值是

)

A.2+2V2B.4C.V2+2D.2

5.設(shè)函數(shù)危）=2sin（6ox+9）K￡R,其中60>0,磔<71.若人爭=2尺等）=0,且加）的最小正周期大于2兀,

則()

A2n2Un

、3=一,(p=—B&=-,0=-—

3r123*12

/1Ilirc17n

C0=，S=后D.①=”=豆

6.函數(shù)兀r)=log2因+cosx而大致圖象是)

7.已知a，B為銳角，且4sin2a+2sin2/?=1,2sin2a-sin24=0,貝ijcos(2a+2^)=()

A.-B.-iC.--D.--

4443

8.在△ABC中,4?=34c=2,N8AC=6()O,M是BC的中點(diǎn)，連接AM,作BN人AM,交AM的延長線于

點(diǎn)N,則向量BN在向量AC上的投影的數(shù)量為)

A.--B.--C.-D.-

19381938

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目

要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.若a,Z?,c均為單位向量，且。0=0,0。）0-次0,則|6!+/?-<?|的值可能為（）

A.V2-1B.lC.V2D.2

10.已知函數(shù)次x)=2sinxcos(x+§埒,則()

A.y（x）的最小正周期為2兀

B./（x）的圖象關(guān)于直線廣"對稱

C#x）在上單調(diào)遞減

D次x）的最大值為2

11.如圖所示，函數(shù)/W=8tan（2x+9）的部分圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)。，瓦尸,且4。￡尸的面積為*

下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為百

B?（—黑）是危）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間

C.對任意左￡乙點(diǎn)（一行+等,0）都是人冷圖象的對稱中心

D.將產(chǎn)百tanx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向左平移?個(gè)

單位,可得到/U）的圖象

12.設(shè)函數(shù)?r）=sin（g%+以（0>0）,若/U）在［0,無］上有且僅有5個(gè)最值點(diǎn)，則（）

A.7（x）在（0,兀）上有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)

B.兀r）在（0,兀）上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)

CQ的取值范圍是后哥

D.啟）在（0,另上單調(diào)遞增

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分.將答案填在題中橫線上）

13.若扇形的弧長是3兀cm,面積是671cmL則該扇形圓心角的弧度數(shù)0=____.

14.若函數(shù)?r）=2sin（Tix+］的圖象在閉區(qū)間［￡,TH］上是軸對稱曲線，則m的最小值

為.

］5.若‘丁\、=弓,則sin（2a+1）=________.

tan（a+-）2\6/

16.已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,P為平面A8C內(nèi)一點(diǎn)，則（麗-南）.（而+玩）的最小值

是.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知心產(chǎn)”了嗜⑹.

Jsm（2n-0）

⑴若幽W，求cos2。的值;

（2）若a-93且紅。瑞，求sin3的值.

18.(12分)已知兩個(gè)不共線的向量a,b的夾角為包|3=6,依=2.

⑴若。為鈍角，試問。+方與小5"能否垂直?若能，求出cos。的值;若不能，請說明理由;

⑵若依？，當(dāng)fc>0時(shí)，求|。-4姐|的最小值并求此時(shí)a與a-4kb的夾角.

19.(12分)在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

①函數(shù)/(x)=cos*sin(￡x4-，)-；(0〉0);

②函數(shù)於)=*0$會5歷次+：coswx(co>0);

③函數(shù)_Ax)=3in(a)x+s)(3>0,\(p\</),對任意x^R,都有一％)=。成立?

已知，函數(shù)?r)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為今

⑴求49的值；

(2)求函數(shù)/U)的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖象的對稱中心、對稱軸.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.(12分)已知函數(shù)#x)=Asin((yx+9)+8(/>0,3>0,\(p\<§的圖象在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)和

最低點(diǎn)分別為(2,1),(8,-3).

(1)求函數(shù)/(%)的表達(dá)式；

(2)求函數(shù)7U)在區(qū)間［0,6］上的最大值和最小值；

(3)將產(chǎn)/㈤圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(>0),縱坐標(biāo)不變，再向上平移1個(gè)單位得到

產(chǎn)g(x)的圖象若函數(shù)產(chǎn)g(x)在［0川內(nèi)恰有4個(gè)零點(diǎn)，求/的取值范圍.

21.(12分)設(shè)有三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，分別位于一個(gè)矩形MNPQ的兩個(gè)頂點(diǎn)M,N及的中點(diǎn)S

處,MN=10akm,7VP=5V3km,現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域內(nèi)(含邊界)，且與等距離的一點(diǎn)0處設(shè)

一個(gè)宣講站，記0點(diǎn)到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和為Lkm.

(1)設(shè)/OMN=x(rad),試將L表示為x的函數(shù)并寫出其定義域；

(2)試?yán)?1)中的函數(shù)關(guān)系式確定宣講站。的位置，使宣講站。到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和最小.

22.(12分)若存在a力eR使得函數(shù)次處和g(x)滿足g(x)=/(x+a)+"則稱函數(shù)g(x)為兀r)的(a力)型

“同形”函數(shù).

(1)若/(x)=sinJC-COSx,g(x)=sinx+cosx+1,是否存在aW(0,兀)，bWR使得函數(shù)g(x)為/(x)的(。力)型

“同形”函數(shù)?若存在，求出a,b的值并證明;若不存在,請說明理由；

(2)在(1)的條件下，函數(shù)/2(x)=|/a>[g(x)-l]-m[/(x)+g(x)],若對任意的xG糖身，不等式/Ga2〃《恒

成立,求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

答案與解析

全書綜合測評

1.B因?yàn)椤?(1,2)力=(4,3),所以。/=(-3,-1),所以乃=-3x4+(-l)x3=-15.故選B.

2.A因?yàn)閍?(O,1),sina+cosa=4cos2a=4(cos2a-sin2々),所以cosa-sina=*兩邊平方，得cos2a-

2sinacosa+sin2a=—,B[J1-sin2a=三，所以sin2a=—.

161616

3.A由題意得荏=荏+露=荏+三瓦5」前,南+2元,麗=與/彳瓦所以麗?荏=(乙南-

3333212

ACy^AB+|前)二海2_|前2=沁怖x22=o故選A.

4.A設(shè)等腰三角形的底角為。(0＜。＜5),則等腰三角形的底邊長為2cos。，高為sin。，所以陰

影部分的面積為4x1x2cos仇:sin8+(2cos0)2=2sin20+

2cos28+2=2或sin(2。+9+2,故當(dāng)外；時(shí),陰影部分的面積最大，為2+2版

5.A由兀r)的最小正周期大于2冗,得:當(dāng)；.由/(m)=2,詈)=0,得：=等號

=拳.\r=37i,即^=3兀,.,.0=|..,./(x)=2sin(|%+9).由/孰=2sin(|x奈+@)=2,得sin(g+

工)=1....夕$=]+2E,%GZ,即夕=看+2左兀,攵ez.又|夕|＜兀,；.夕=已故選A.

6.C因?yàn)?*-x)=log2&x|+cos(-x)=log2|x|+cos枳/(X),且以)的定義域?yàn)?小邦｝,關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以

?r)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除B,D.

當(dāng)x趨近于0時(shí),y=log2kl趨近于負(fù)無窮,y=cosx趨近于1,所以?r)趨近于負(fù)無窮，排除A.故選C.

7.B由4sin2a+2sin力=1,得4x1^^+2x2詈生=1,即2cos2a+cos2夕=2①.

由題知2sin2?-sin24=0②，

①、②左右兩邊分別平方并相加，得4cos22a+4cos2acos2^+cos22^+4sin22a-4sin2asin

2/7+sin22/7=4,所以4cos2acos2/Msin2asin2/7=-l,即4cos(2a+2￡)=-1,所以cos(2a+2￡)=-：.故選B.

8.D以A為原點(diǎn)4c所在直線為x軸力。的垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.4

作CO,AN交AN于點(diǎn)。，因?yàn)镸是3c的中點(diǎn),N在直線AM上，且BN_LAM,所以BN〃0c.由

三角形全等可知DC=NB,所以前=DC.

因?yàn)锳B=3MC=2,N8AC=60。,所以B(1,^),C(2,0),

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為[，乎L

44

373

設(shè)NNAC=a，則tana=^=—.

-7

4

因?yàn)閟irPa+cos2a=1,所以sina二薪,cosct=^=,

所以I前|二|尻|=ACsin所毀,所以向量前在向量而上的投影的數(shù)量為I前|cos(9(T-a)=|前|sin

776

6x/3373274、4r

。=瑞帚罰故7r選D-

9.AB因?yàn)?a-c＞(b-c)W0,所以。6。(。+6)+衣0.

因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，且。?0,所以c-{a+b）>\,

所以1〃+。-

c\=yj（a+b—c）2=y/dz+b2+c2+2a-b—2a-c—2b-c=y/3—2c?（a4-/7）<V3—2=1,結(jié)合選

項(xiàng)可知,A、B正確.

10.BCy（x）=2sinxQcosx—?sinx）+?二sinxcosx+1-2sin2x）=|sin2x+

*os2Asin（2%+§,所以函數(shù)段）的最小正周期為號=兀,最大值為1,故A,D錯(cuò)誤；

令2/行+也伙eZ）,得戶導(dǎo)陽小Z）,即於）的圖象的對稱軸為直線

（ZGZ）,當(dāng)D時(shí),x=*，故B正確；

當(dāng)上0時(shí),函數(shù)段）的單調(diào)遞減區(qū)間為玲，胃因?yàn)榍?胃所以於）在片外上單調(diào)遞減，故

C正確.故選BC.‘''

11.BC易得函數(shù)於）的最小正周期為..△。所的面積為/xbxtan吟

...tans=g,.,.點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為百tanp=l,故A錯(cuò)誤；

由tan3=?及題圖，得s=￡,.\Ax）=V^tan（2x+J當(dāng)龍Gf時(shí),2尤4微

6（一三（），此時(shí)函數(shù)人X）單調(diào)遞增，故（一，9是火X）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，故B正確；

當(dāng)戶手哈，%ez時(shí),2x+,考次GZ,此時(shí)段）=0或段）不存在，故對任意七乙點(diǎn)（一卷+2,0）都是

.*x）圖象的對稱中心，故C正確；

將y=V3tanx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=V3tan2x的圖象，再把

所得圖象向左平移2個(gè)單位，得到產(chǎn)V5tan（2%+9的圖象，故D錯(cuò)誤.

故選BC.

12.ACD?.”￡[0,7t],co>0,-<cox+7<7ico+-.

555

令貝哈0二兀①+*

作產(chǎn)sin的部分圖象如圖所示.

由題意及圖可知府）在（0,兀）上有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)，故A正確;當(dāng)與兀。牛5無,即季①<g時(shí)段:）

在（0,兀）上有且僅有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)5無3值0+^<手，即時(shí)次r）在（0,兀）上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，故B

錯(cuò)誤;,?7U）在[0,兀]上有且僅有5個(gè)最值點(diǎn),.?今加（嗎<等,...亭0令故C正

確;??”e（0,茄）,￡0>0,0<tyx<n（y,二^^⑦乂+^^■，由C選項(xiàng)可

知，鼠端;翳琮叫啜:‘黑調(diào)。4）上單調(diào)遞增，故口正確?故選ACD.

13.答案千

4

解析設(shè)扇形的半徑為rem,則扇形的面積5=沁兀尸6兀,解得『4,所以0=-=^.

2r4

14.答案y|

解析當(dāng)於）的定義域?yàn)镽時(shí)，圖象的對稱軸滿足7Lr+m=E+?（ZeZ）,即x=k+\

623

(%ez).

因?yàn)楹瘮?shù)_/U）在閉區(qū)間[曰,m]上是軸對稱曲線，

，、21

IXtl>一,

所以《/4正乙所以心鼻ZWZ,所以女的最小值為5.

"0+3=A21科12

易知女取最小值時(shí)〃?也取得最小值，所以m的最小值為患.

15.答案\

6

解析—7—iK=-tana.=tan\=_；,整理，得2>/3tan2a-9tana-V3=O,BPtan2a

tang/巴空駕空上更2

l-tanatana”孚「ana

=-tana+；所以sin（2a+-）=sin2acos-+cos2asin-=-sin2a+-cos2a

22\6/6622

V3sinacosa+|cos2a-^sin2ax/3tana+|-|tan2a

=V3sinacosa+-1cos7a-ls.inoa=

22cos2a+sin2al+tan2a

(

4屈ana+2_2taMa_48tana+2_2苧atna+斗_4V3tana+2-3\/3tana-lV3tana+1_1

4+4tan2a-4+4(^tana+|)4+6V3tana+26(V3tana+l)6

16.答案-6

解析取BC的中點(diǎn)0,連接A。,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則

A(0,2V3),B(-2,0),C(2,0).

設(shè)P（x,y）,則方=（-x,2g-y）,而=（-2-x,-y）,麗=（2-x,-y）,所以（而-荏）?（而+

電=同.（而+無）=-M-2x）+（2存y）.（-2y）=2f-4何+2/=2[f+0-8）2-3],所以當(dāng)x=0,y=V3

時(shí),（而-荏）.（而+正）取得最小值-6.

「到士「八、。。、cos（n+9>cos（D-cosSsine?八人、

17.解析⑴幽=嬴（2篇（3分）

因?yàn)?（O）=cos所以cos2^=2COS2^-1=-^.（5分）

（2）由題意可得陽―勻二cos（6—

因?yàn)閷W(xué)所以0<紜書,所以sin（?！?分）

所以sin生sin（6—￡+：）=sin（6—^cos：+cos（8—：）sin，二手乂手+如,」？；（10分）

18.解析（1）由題意得〃"=6x2cos9=12cos。，所以（。+/?）?（。-5/?）=|。|2-4。

〃-5|例2=36-48COS仇20=16-48COS0.(2分)

因?yàn)?。為鈍角，所以cos。<0,所以(〃+A)?3?5A)=16?48cos0>0,

所以與a-5b不可能垂直.(4分)

(2)當(dāng)?工時(shí),a-Z?=6x2xcos烏=6,所以|。-4%加2=同2-8版0+16M|Z?F=36-48Z+64F=64(/c--)+27,(6

33\8/

分)

所以當(dāng)成時(shí),|a-4煙3n=27,所以|a-4的min=38,此時(shí)a-4kb=a1b.(8分)

82

因?yàn)閍-[a—18）=|〃|2-|〃乃=36-9=27,

所以cos<a,a-|<>=：卜京（10分）

2|af||a--￡b|6X3V32

又〈的-沙>￡[0,用，所以a與a-lb的夾角為也（12分）

19.解析選擇條件①於）=cos4sin（2x+-）--=cos—JC?—sin^+^cos—I-

2\26/422222

1y/3.o）31oO）1V3.11.（,TT\"八、

-=Tsin-xcosTx+icos--x--=Tsin①x+yscox-sin^x+（2分）

因?yàn)?（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為今所以最小正周期丁=兀,所以。=2,所以

/（x）=|sin（2x+J）.（4分）

選擇條件②於）=*嗚n0$會+；coscox=曰sincox+^coscox=^sin^a）x+胃（2分）

因?yàn)開/W圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為今所以最小正周期丁=兀,所以/=2,所以

Xx）=1sin（2x+胃（4分）

選擇條件③:因?yàn)殪?）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為會所以最小正周期丁=兀,所以。=2.

（1分）

因?yàn)閷θ我鈞GR,都有於升/（朝-x）=0成立,所以段）的圖象關(guān)于信,0）對稱，

（2分）

所以2x1^+s=E,AWZ,即8=丹+71法￡乙又|研<4,所以所以危）=：sin（2x+三）.（4分）

12626Z\6/

（1陪月sin（2xg+%*（6分）

⑵令2也空21拳2E+#eZ,解得也奉/也十例WZ,所以危）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kn-p/cir+

手,ZdZ.（8分）

令2代=E,AGZ,得戶M.GZ,所以上）圖象的對稱中心的坐標(biāo)為管-卷,0）,ZGZ.（10

分）

令2x+JW+E,4ez,得廣；弓ZWZ,所以於）圖象的對稱軸方程為尸生打GZ.（12分）

622626

20.解析（1）由題意可得A+8=l,-A+B=-3jx空=8-2,，A=2,3=-l,0=E.（2分）

2（i）6

根據(jù)"五點(diǎn)法”可得Wx2+9=/,；.°吟."（x）=2sin（9+*1.（4分）

（2）當(dāng)xW[0,6]時(shí),％+衿仁,汽（5分）

66L66J

故當(dāng)》+汽時(shí)府）取得最大值，為2-1=1;當(dāng)3+J用時(shí)次x）取得最小值，為2x（-l）-l=-2.（7

分）

（3）易知y=g（x）=2sin（tx+].（9分）

當(dāng)XG[0,TI]時(shí),戊+^6植311+,.（10分）

若函數(shù)y=g（x）在[0,兀]內(nèi)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則4兀3兀+^<5兀,解得之￡<§.（12分）

666

21.解析⑴過點(diǎn)。作OT_LMN,交MN于點(diǎn)、T（圖略），則T為MN的中點(diǎn),T,O,S三點(diǎn)共

線,/.MT=^MN=5V3,（2分）

OM=ON=^OT=5y[3tanx,（95=5V3-（97^5V3-5V3tanx,（4分）

L=OM+O^+OS=-+5V3-5V3tanx（0<%<-）.（6分）