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文檔簡介
1.映射與變換設(shè)有集合S和S/,若對S中每一元素M,按照確定的法則T,在S/中總存在唯一元素M/與之對應(yīng),則稱此法則T為集合S到集合S/的映射,記為
T:S
S/.(1.1)若在T之下,元素M(
S)的對應(yīng)元素是M/(
S/),則說T將M映成M/,記為
變換群與幾何學(xué)___§1變換與變換群并稱M/為M在T之下的象,M為M/在T之下的原象.M
M/
T(M),T§1變換與變換群T(S):集合S的全體元素在T之下的象的集合.滿射:T(S)
S/;單射:S的不同元素的象元素也不同;雙射:既是單射又是滿射的映射.術(shù)語約定:兩個集合之間的雙射稱為對應(yīng);將集合到自身的雙射稱為變換.幾種常見變換例1.恒等變換若變換T,將S上每一元素變到自身,即則稱為恒等變換(或單位變換),記為I.M
T(M)
M,
M
S,TOijxyMM/a§1變換與變換群取直角標(biāo)架[O;i,j],設(shè)M(x,y),M/(x/,y/),
a
{a1,a2},則Ta的坐標(biāo)表達式為:簡稱為平移.記為Ta.Ta:x/
x
a1y/
y
a2(1.2)
例2.平移變換將平面上的點M按定向量方向a移動到點M/,使得MM/
a的變換稱為平移變換,
oijxyMM/
§1變換與變換群例3.旋轉(zhuǎn)變換對平面上固定點O和有向定角
,使原象點M與象點M/滿足的點變換稱為以O(shè)為中心的旋轉(zhuǎn)變換,簡稱旋轉(zhuǎn),記為R
.其表達式為:R
:x/
xcos
ysin
y/
xsin
ycos
(1.3)
|OM/|
|OM|,
MOM/
例4.鏡射變換對平面上的定直線
,使原象點M與象點M/之間的線段被
垂直平分的點變換稱為以
為軸的鏡射變換,簡稱鏡射.建立如圖坐標(biāo)系,則其表達式為:§1變換與變換群OijxyMM/
x/
xy/
yMox:(1.4)
ABCDEMA/E/B/C/D/M/
/
例5.平行射影二平面
、
/交于直線
,向量
與二平面都不平行.對于
上任意點M,過M作平行于
的直線,交
/于M/,則將M映成M/的點對應(yīng)稱為平面
到平面
/
的平行射影,向量
為投射方向.性質(zhì):
1.將直線變成直線;
2.保持平行性和平行線段之比;
3.對應(yīng)點連線平行,直線
上的點不變.§1變換與變換群2.映射的乘積與逆設(shè)點M先用R
作用得到M/,再用Ta作用得到M//,則由(1.3)和(1.2)可得M到M//的變換為:§1變換與變換群x//
xcos
ysin
a1y//
xsin
ycos
a2
我們稱這種從M到M//的變換為R
和Ta的乘積,記為Ta
。R
(或Ta
R
).一般地,設(shè)有映射T1:S
S/和T2:S/
S//,則乘積
T2T1:S
S//
定義為對任意M
S,
T2T1(M)
T2[T1(M)].結(jié)合律成立:T3(T2T1)
(T3T2)T1.但乘積一般不可換.對于變換T:S
S,有
TT
1
T
1T
I.易知:Ta
1
T
a,TaTb
Ta
b;
R
1
R
,R
R
R
.§1變換與變換群3.不動元素與不動子集對于變換T:S
S
,若存在元素M
S
,使T(M)
M,則稱M為此變換的不動元素;若存在S的子集F,使T(F)
F
,則稱F為此變換的不動子集.注意:
1.不動元構(gòu)成的子集是不動子集;但不動子集的元素不一定是不動元.如,與非零向量a
平行的直線都是平移Ta
的不動直線,但Ta
無不動點.
2.變換T:S
S
與T
1有相同的不動子集.§1變換與變換群§1變換與變換群解:設(shè)直線
經(jīng)此鏡射作用后的象為
/:Ax/
By/
C
0,將變換式代入,得Ax
By
C
0.
不動(即
與
/重合)的充要條件為
A/A
B/(
B)
C/C,此式等價于2AB
2BC
0,即A
0,B
0,C
0或A
0,B
0,故不動直線的方程為
y
0和Ax
C
0(A
0).例求鏡射變換的不動直線.x/
xy/
y
4.變換群若集合S上的某些變換構(gòu)成的集合G滿足條件:
1.G中任二變換的乘積仍屬于G
;
2.G中每一變換T的逆T
1也屬于G
,則稱G為集合S上的一個變換群.由定義知:任何變換群一定包含恒等變換.可以證明:平面上繞定點O的旋轉(zhuǎn)變換的集合G是一個變換群,稱為旋轉(zhuǎn)群.記為G1.只含恒等變換的集合{I}也是變換群.若二變換群G*、G滿足G*
G
,則稱G*為G的子(變換)群.§1變換與變換群如:變換群G是其自身的子群,{I}是任意變換群的子群.可以證明:G*
{R0
I,R
/2,R
,R3
/2}是旋轉(zhuǎn)群G1的非平凡子群(即真子群).§1變換與變換群§2仿射坐標(biāo)與仿射平面1.仿射坐標(biāo)與仿射坐標(biāo)變換平面上一定點O及二不共線向量e1、e2構(gòu)成一個仿射標(biāo)架,記為
[O;e1,e2].任意點M的向徑的分解式為:OxyMEyExe2e1a則有序數(shù)對(x,y)稱為點M關(guān)于標(biāo)架
的仿射坐標(biāo).OM
xe1
ye2(1)
{x,y}也稱為向量OM的坐標(biāo)(或分量).
顯然,原點O的坐標(biāo)是(0,0);x軸上的單位點為Ex(1,0);y軸上的單位點為Ey(0,1).若在平面上給定仿射標(biāo)架,則平面上全體點的集合與全體有序數(shù)對的集合有一一對應(yīng)關(guān)系,故也說在平面上建立了一個仿射坐標(biāo)系Oxy.因此常直接稱標(biāo)架
[O;e1,e2]為仿射坐標(biāo)系,O稱為坐標(biāo)原點,e1和e2稱為基本向量.習(xí)慣上,將建立了仿射坐標(biāo)系的平面稱為仿射平面.§2仿射坐標(biāo)與仿射平面仿射坐標(biāo)變換§2仿射坐標(biāo)與仿射平面OO/yxMe1e2e1/e2/考察M在
下的坐標(biāo)(x,y)與在
/下的坐標(biāo)(x/,y/)之間的關(guān)系,即求仿射坐標(biāo)變換式.仿射平面上給定二仿射坐標(biāo)系
[O;e1,e2]和
/
[O/;e1/,e2/].設(shè)在
下,新原點及新基本向量的坐標(biāo)分別為O/(a1,a2),e1/
{a11,a21},e2/
{a12,a22},則仿射坐標(biāo)變換式為:寫成矩陣形式,為§2仿射坐標(biāo)與仿射平面x
a11x/
a12y/
a1y
a21x/
a22y/
a2,det(aij)
0(2)
x
a11a12x/
a1y
a21
a22y/a2
,det(aij)
0(2)/
由(2)可得,向量在
下的坐標(biāo){u,v}與在
/下的坐標(biāo){u/,v/}之間的關(guān)系為:故有定理1
點的仿射坐標(biāo)變換是滿秩線性變換.定理2
向量的仿射坐標(biāo)變換是滿秩齊次線性變換.特例:直角坐標(biāo)變換§2仿射坐標(biāo)與仿射平面u=a11u/
a12v/v=a21u/
a22v/
,det(aij)≠0(3)
OO/xyM
y/x/e1/e2/e1e2記有向角
e1,e1/
,則e1/
{a11,a21}
{cos
,sin
},e2/
{a12,a22}
{
sin
,cos
},§2仿射坐標(biāo)與仿射平面代入(2)式即得平面解析幾何中的直角坐標(biāo)變換式:x
x/cos
y/sin
a1y
x/sin
y/cos
a2.
§2仿射坐標(biāo)與仿射平面仿射平面上的幾個常用結(jié)論過點M0(x0,y0),平行于向量
{u,v}的直線
的方程為:
(x
x0)/u
(y
y0)/v,(1)
稱為直線
的點向式方程.u
0時,可變形為:y
kx
b;其中,k
v/u稱為直線的方向數(shù);
u
0時,成為:x
x0,約定其方向數(shù)為
.上述分析表明,直線方程總形如:Ax
By
C
0(A,B不同時為0),稱為直線的一般式方程.OxyMM0
e1e2仿射平面上關(guān)于點與直線的幾個結(jié)論:1.
二直線
(i):Aix
Biy
Ci
0(i
1,2)
相交
A1/A2
B1/B2;平行
A1/A2
B1/B2
C1/C2;重合
A1/A2
B1/B2
C1/C2.§2仿射坐標(biāo)與仿射平面直線的參數(shù)方程:x
x0
uty
y0
vt(
t
)
且若P3分線段P1P2成定比
,則
x3
(x1
x2)/(1
),y3
(y1
y2)/(1
).2.
三點Pi(xi,yi)(i
1,2,3)共線
x1
y11x2
y21=0,x3
y31
§2仿射坐標(biāo)與仿射平面3.
三直線
(i):Aix
Biy
Ci
0(i
1,2,3)共點或平行的充要條件是:A1
B1
C1A2
B2
C2
0.A3
B3
C3
注:以上結(jié)論與直角坐標(biāo)系下相應(yīng)結(jié)論一致;但特殊的直角坐標(biāo)系下成立的結(jié)論不能完全照搬到一般仿射坐標(biāo)系下.§3仿射變換1.透視仿射變換uv
*MNM/N/M*N*
設(shè)平面
與
*
交于直線
,取分別具有投射方向u,v的兩個平行射影T1:
*和T2:
*
,則乘積
T
T2T1:
稱為
上的透視仿射變換.§3仿射變換幾何性質(zhì):
I.
將點變成點,將直線變成直線;
II.
保持平行性和平行線段之比;
III.
對應(yīng)點連線平行;
IV.
交線
上的點均為不動點.對應(yīng)點連線所具有的固定方向稱為透視方向;平面
與
*交線
稱為透視仿射軸(簡稱軸).可以證明:一對對應(yīng)直線與軸這三條直線或者三線共點,或者三線平行.定理1軸和一對對應(yīng)點決定唯一透視仿射變換.(存在性易得.唯一性見后圖)§3仿射變換A/M/M//AMB
C2.仿射變換的定義及性質(zhì)平面
上的點變換T:
,若將直線變成直線,且保持平行性和平行線段之比,則稱為仿射變換.基本性質(zhì):
1.同素性;
2.結(jié)合性;
3.將向量變成向量且保持向量的線性關(guān)系.§3仿射變換若A、B、C是共線三點,則AC
BC.
稱系數(shù)
為A、B、C的簡單比,記為
(ABC);稱A、B為基點,C為分點.
4.仿射變換保持共線三點的簡單比.設(shè)在給定仿射坐標(biāo)系下,A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),則
(ABC)
(xC
xA)/(xC
xB)(yC
yA)/(yC
yB).又(xC
xA)/(xC
xB)(yC
yA)/(yC
yB)
AC/BC.故簡單比也可定義為:(ABC)
AC/BC.§3仿射變換例求證:若仿射變換有兩個不動點M
和N,則直線MN上每一點都是此變換的不動點.證明:設(shè)P
是直線MN
上任一點,其在仿射變換下的象為P/,則
(PMN)
(P/MN),即PN/MN
P/N/MN.故P
P/,即直線MN
上的點都是不動點.§3仿射變換3.仿射變換的表達式如圖,設(shè)Oe1e2e/1e/2ExMxEyMyE/xM/xE/yM/yO/x/y/xyM/MM(x,y)
M/(x/,y/)TMx
Mx/TT
O
O/(a1,a2)My
My/Te1
OEx
T
O/Ex/
e1/
{a11,a21}
e2
OEy
T
O/Ey/
e2/
{a12,a22}
§3仿射變換故得仿射變換的表達式為:x/
a11x
a12y
a1y/
a21x
a22y
a2,det(aij)
0.(2)
T則OMx
xOEx
O/Mx/
xO/Ex/
TOMy
yOEy
O/My/
yO/Ey/
但OM/
OO/
O/Mx/
O/My/,
即OM/
OO/
xO/Ex/
yO/Ey/,(1)
其矩陣形式為:于是有定理2
在給定的仿射坐標(biāo)系下,平面上的仿射變換是滿秩線性變換.反之,可證明滿秩線性變換是仿射變換.推論1
在仿射坐標(biāo)系
=[O;e1,e2]下,對仿射變換(2)而言,{a11,a21}=e1/,{a12,a22}=e2/分別是e1,e2的仿射象,O/(a1,a2)是原點O的仿射象.§3仿射變換
x/
a11a12x
a1y/
a21
a22ya2,det(aij)
0(2)/
推論2
仿射變換將仿射坐標(biāo)系變成仿射坐標(biāo)系,且象點在象坐標(biāo)系下的坐標(biāo)等于原象點在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo).推論3
代數(shù)曲線的次數(shù)在仿射變換下不變.注意:將仿射點變換(2)與§2的仿射坐標(biāo)變換(2)比較,可見二者在形式上均為滿秩線性變換.意味著,對滿秩線性變換可作兩種不同解釋:一、可理解為在同一坐標(biāo)系下,點的坐標(biāo)與其仿射象點的坐標(biāo)之間的關(guān)系;二、可看成在二不同坐標(biāo)系下,同一點的不同坐標(biāo)之間的關(guān)系.按照上述思想,從向量的坐標(biāo)變換式立即得到§3仿射變換定理3
在仿射變換(2)下,若向量
{u,v}的象為
/
{u/,v/},則例1
位似變換§3仿射變換Oxye1e21.不動點:原點;2.不動直線:過原點的直線;3.不是透視仿射變換.u/
a11u
a12vv/
a21u
a22v,det(aij)
0(3)
x/
axy/
ay,a
0
例2伸縮變換不動點:x軸上的所有點;不動直線:平行于y軸的所有直線以及x軸.在直角坐標(biāo)系下,圓x2
y2
1經(jīng)其作用后變成橢圓x/2
y/2/a2
1.問:伸縮變換是透視仿射變換嗎?§3仿射變換OxyPP/e1e2x/
xy/
ay,a
0
Oyxe1e2PP/MM/y=y0例3推移變換不動點:
x軸上的所有點;不動直線:平行于x軸的所有直線.問:伸縮變換是透視仿射變換嗎?§3仿射變換x/
x
ayy/
y,a
0
4.重要定理定理4
設(shè)Pi(xi,yi)和Pi/(xi/,yi/)(i
1,2,3)分別是平面上不共線三點,則存在唯一仿射變換將Pi映成Pi/.§3仿射變換證明:設(shè)仿射變換為將
(xi,yi)
(xi/,yi/)代入,得在上式的第一式中,令i
1,2,3,得xi/
a11xi
a12yi
a1yi/
a21xi
a22yi
a2,(1)
x/
a11x
a12y
a1y/
a21x
a22y
a2,det(aij)
0.
§3仿射變換因P1、P2
、P3不共線,故因此方程組(2)有唯一解a11,a12,a1,同理可求唯一確定的a21,a22,a2.再由(2)可得x1/
a11x1
a12y1
a1x2/
a11x2
a12y2
a1x3/
a11x3
a12y3
a1,(2)
x1
y11x2
y21
0,x3
y31
x2/
x1/y2/
y1/x3/
x1/y3/
y1/x2
x1
y2
y1x3
x1
y3
y1a11
a21a12
a22
,
§3仿射變換因P1/、P2/、P3/不共線,故
故定理成立.推論1
仿射變換是透視仿射變換
該仿射變換有一條由不動點構(gòu)成的直線.推論2
仿射變換是恒等變換
該仿射變換有不共線三不動點.x2/
x1/y2/
y1/x3/
x1/y3/
y1/0.
從而,0.a(chǎn)11
a21a12
a22
定理5
非透視的仿射變換可通過至多三次透視仿射變換來實現(xiàn).
定理5的證明思路:設(shè)A、B、C
是仿射變換T
的三不共線的非不動點,其對應(yīng)點依次為A/、B/、C/.§3仿射變換A/B/C2
A/B1C1ABCA/B/C/
定理6
平面上全體仿射變換的集合構(gòu)成一個變換群,稱為仿射群.記為G6.T1
T2
T3§4歐氏平面和保距變換1.保距變換的定義及表達式建立了直角坐標(biāo)系的平面稱為歐氏平面.歐式平面上,保持距離不變的仿射變換稱為保距變換(或正交變換).x/
a11a12x
a1y/
a21
a22ya2,det(aij)
0T:是保距變換
A(aij)是正交矩陣.
定理1
直角坐標(biāo)系下,仿射變換:
證明:設(shè)在仿射變換T作用下
v
{v1,v2}變成v/
{v1/,v2/}.由于(v1/v2/)
(v1
v2)AT,從而對任意向量v,v/2
v2的充要條件是ATA
E,等價于A
1
AT.注:正交條件A1
AT
用矩陣元素表示為:
a112
a212
a122+a2221,a11a12
a21a220.也等價于:
a112
a122
a212
a2221,a11a21
a12a220.正交條件也可描述為:矩陣的兩個行向量單位正交,或二列向量單位正交.利用上述代數(shù)條件不難得出下面的結(jié)論:§4歐氏平面和保距變換
(v1
v2)ATA
v1v2故v/2
(v1/v2/)v1/v2/
例將點(0,1),(2,0)分別變成(
1,0),(0,2)的保距變換是否存在?若存在,寫出變換式.
解:假定保距變換存在,設(shè)為§4歐氏平面和保距變換x/cos
sin
x
a1y/sin
cos
ya2定理2
直角坐標(biāo)系下,保距變換可表示為:其中,定角
(
,
].
x/
a11a12x
a1y/
a21a22
ya2.
1
a11a120
a10a21a22
1a2則,
§4歐氏平面和保距變換且0
a11a122
a12a21a22
0a2,
由此得a12
a1
1(1)a22
a2
0(2)2a11
a1
0(3)2a21
a2
2(4)a112
a1221(5)a212
a2221(6)a11a21
a12a220(7)
由(1)、(3)、(5)解得a1
0a11
0a121a1
8/5a11
4/5a123/5或
§4歐氏平面和保距變換故所求保距變換存在,為由(2)、(4)、(6)解得a2
0a22
0a211a2
4/5a22
4/5a213/5或
a1
0a11
0a121a2
0a22
0a211a1
8/5a11
4/5a123/5a2
4/5a22
4/5a213/5由(7)得或
x/4/5
3/5
x
8/5y/3/5
4/5
y4/5x/0
1
xy/10
y
或
.
§4歐氏平面和保距變換2.保距變換的實現(xiàn)定理3行列式為
1的非恒等保距變換是旋轉(zhuǎn)與平移的乘積.
證明:容易看到,保距變換的乘積.即T
TaR
.
x/cos
sin
x
a1y/sin
cos
ya2
T:
R
:x//
xcos
ysin
y//
xsin
ycos
是旋轉(zhuǎn)
與平移Ta:x/
x//
a1y/
y//
a2
§4歐氏平面和保距變換定理4行列式為
1的非恒等保距變換是旋轉(zhuǎn)、鏡射和平移的乘積.
證明:保距變換的乘積.即T
TaRoxR(
).x/cos
sin
x
a1y/sin
cos
ya2
T:
x//
xcos(
)
ysin(
)y//
xsin(
)
ycos(
)是旋轉(zhuǎn)R(
):
鏡射Mox:x///
x//
y///
y//
與平移Ta:x/
x///
a1y/
y///
a2
§4歐氏平面和保距變換行列式為
1的保距變換稱為正運動;行列式為
1的保距變換稱為反運動.3.保距變換的性質(zhì)定理5保距變換保持向量內(nèi)積不變.
證明:設(shè)在保距變換下,
{u1,u2}
{u1/,u2/},{v1,v2}
{v1/,v2/},則
(u1
u2)ATA
v1v2
u1v1
u2v2.v1v2
(u1,u2)
u1/v1/
u2/v2/
(u1/,u2/)v1/v2/
§4歐氏平面和保距變換定理6保距變換保持向量夾角不變.推論保距變換保持面積不變.定理7仿射變換是保距變換
它將直角坐標(biāo)系變成直角坐標(biāo)系.定理8平面上全體保距變換的集合構(gòu)成一個變換群,稱為歐氏群(或運動群).記為G3.易證:全體正運動的集合構(gòu)成群,稱為正運動群.顯然,正運動群是歐氏群的子群,而歐氏群是仿射群的子群.§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系1.Klein觀點介紹若給定集合S和S上的一個變換群G,則稱配對(S,G)為空間.若對S中的圖形F
和F/,存在G
的變換T,使F變成F/,則稱F
和F/
有關(guān)系,記為F/
F.利用近世代數(shù)知識不難證明引理上述圖形間的關(guān)系“
”是等價關(guān)系.由此可按照等價關(guān)系“
”對S的圖形進行分類:等價圖形屬于同一類,不等價圖形屬于不同類.每一等價類中各圖形所共有的性質(zhì)和量為在群G的變換下的不變性質(zhì)和不變量.§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系對于空間(S,G)而言,研究圖形關(guān)于群G
下的不變性質(zhì)、不變量和圖形分類的所有命題的集合,稱為集合S上群G附屬的幾何學(xué).若集合S上的群G*
是G的子群,則稱G*
附屬的幾何是G附屬的幾何的子幾何.顯然,群所含變換越少,不變性質(zhì)和不變量就越多,從而其所附屬的幾何學(xué)包含的內(nèi)容就多.2.變換群與幾何學(xué)平面上歐氏群附屬的幾何學(xué)稱為歐氏平面幾何.平面上仿射群附屬的幾何學(xué)稱為仿射幾何.§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系按照Klein觀點,變換群與幾何學(xué)的關(guān)系如下:對于給定的空間,不同的變換群附屬不同的幾何學(xué),它研究圖形在此變換群下的不變性質(zhì)、不變量和圖形分類.如仿射幾何研究的平行性、同素性、結(jié)合性是仿射不變性質(zhì),簡單比是其不變量.而歐氏群附屬的歐氏幾何研究的長度、角度、面積是其不變性質(zhì),簡單比、距離是其不變量.由于歐氏群是仿射群的子群,故歐氏幾何是仿射幾何的子幾何.而后面將學(xué)習(xí)的射影幾何則是比仿射幾何更大的幾何.例1
下列圖形在仿射變換下的對應(yīng)圖形是什么?平行四邊形;梯形;等腰三角形;二全等的矩形例2
下列幾何量和性質(zhì)是哪種(最大的)幾何學(xué)討論的對象?線段的長度;兩直線所成的角;離心率;平行線段之比;三角形面積;平行;垂直;平行四邊形對角線互相平分.例3
仿射變換下,正方形有哪些性質(zhì)不變?其仿射象是什么圖形?
例4“三角形重心”與“二互相垂直直線”的仿射象各是什么?§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系
二次曲線的射影理論
§1.配極與二次曲線1.二階曲線與二級曲線給定配極射影平面上,配極的自共軛直線的軌跡稱為二級曲線.射影平面上,配極的自共軛點的軌跡稱為二階曲線.其中,aij
aji,Aij是(aij)中aij的代數(shù)余子式.其對應(yīng)的二階曲線和二級曲線方程為:
(
1,
2,
3)(x1,x2,x3)(aij)
(x1,x2,x3)(
1,
2,
3)(Aij).
:
§1.配極與二次曲線由于配極有兩種類型,故曲線也如此.若配極為雙曲型,則其對應(yīng)二級曲線有無窮多實直線,故也稱為二次線束.(如下圖)若配極為雙曲型,則其對應(yīng)二階曲線有無窮多實點,故也稱為二次點列.(如下圖)配極對應(yīng)的二級曲線方程為:配極對應(yīng)的二階曲線方程為:(x1,
x2,x3)(aij)0.(1)x1x2x3(
1,
2,
3)(Aij)0.(1)/
1
2
3即
aijxixj
0,aij
aji.即
Aij
i
j
0,Aij
Aji.
§1.配極與二次曲線若配極是橢圓型的,則其對應(yīng)二級曲線不存在,或說對應(yīng)虛二級曲線.若配極是橢圓型的,則其對應(yīng)二階曲線不存在,或說對應(yīng)虛二階曲線.由于配極與曲線的對應(yīng),故可將配極的相關(guān)概念移植到曲線.下面就雙曲型配極對應(yīng)的曲線討論點、直線與曲線的關(guān)系.§1.配極與二次曲線1.
切線:
的自共軛直線.切點為該直線上的自共軛點;(其等價定義:切線是有唯一屬于二階曲線的點的點列)1.
切點:
的自共軛點.切線為過該點的自共軛直線;(其等價定義:切點是有唯一屬于二級曲線的直線的線束)2.
二切點線(割線):過二自共軛點的直線;2.
二切線點:有二自共軛直線通過的點;3.
無切點線(離線):不過自共軛點的直線.3.
無切線點:無自共軛直線通過的點.
abc§1.配極與二次曲線2.極點與極線二次曲線配極的極點和極線,稱為其對應(yīng)二階曲線和二級曲線的極點和極線.定理1/
對于二級曲線定理1
對于二階曲線直線
的極點方程為點y
的極線方程為(x1,
x2,x3)(aij)0.(2)x1x2x3(
1,
2,
3)(Aij)0.(2)/
1
2
3
(y1,
y2,y3)(aij)0.(3)x1x2x3(
1,
2,
3)(Aij)0.(3)/
1
2
3
§1.配極與二次曲線下述定理表明,二階曲線與二級曲線就其本質(zhì)而言是一樣的.推論1/
點y關(guān)于二級曲線(2)/的極線坐標(biāo)為(
1,
2,
3)
(y1,y2,y3)(aij).推論1直線
關(guān)于二階曲線(2)的極點坐標(biāo)為(x1,x2,x3)
(
1,
2,
3)(Aij).推論2/
屬于二級曲線(2)/的任意直線
的切點方程為推論2在二階曲線(2)上的任意點y的切線方程為(y1,
y2,y3)(aij)0.x1x2x3(
1,
2,
3)(Aij)0.
1
2
3
§1.配極與二次曲線定理2/
二級曲線定理2
二階曲線的切點集合為二階曲線的切線集合為二級曲線其中,
Aij是(aij)中aij的代數(shù)余子式.其中,
Bij是(bij)中bij的代數(shù)余子式.(x1,
x2,x3)(aij)0.(2)x1x2x3(
1,
2,
3)(bij)0.
1
2
3
(x1,
x2,x3)(Bij)0.x1x2x3(
1,
2,
3)(Aij)0.(2)/
1
2
3
xyz
定理3
不在二次曲線上的點為二切線點
其極線是二切點線,且極線與曲線的兩交點與此二切線點所連直線是切線.因上述二相互對偶的定理,二階曲線與二級曲線統(tǒng)一了起來,將二者統(tǒng)稱為二次曲線.方程(2)和(2)/
分別是二次曲線的點坐標(biāo)方程和線坐標(biāo)方程.由此可知:二級曲線是配極變換的自共軛直線的集合,它與二階曲線是對偶的.§1.配極與二次曲線xyz
證明:設(shè)過二切線點x的兩條切線
、
的切點分別為y、z.從而x的極線
與曲線交于y、z兩點.即
是二切點線.反之,設(shè)點x的極線
與曲線交于y、z兩點.因點x的極線
過y、z兩點,故y、z的極線
、
過x.這即是說
、
就是過x的兩條切線.因y、z的極線
、
過x,故x的極線過y、z.§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線推論不在曲線上的點是無切線點
其極線是無切點線.例1
已知二次曲線:x123x22
x322x1x24x1x30和點a(1,0,1),試判定點a是二次曲線
的哪一類點.解法1:
方程可改寫為:由此可得a關(guān)于
的極線
:x1
x2
x3
0,解得
x3
x1
x2,代入
方程得x1x2x3(x1,x2,x3)1121302010.(*)
3x122x1x22x22
0.因
22
4
3
2
20<0,故
為
的無切點線,從而a是
的無切線點.解法2:由(*)式可得,
與a的線坐標(biāo)方程分別為:
:3
123
222
322
1
212
1
34
2
30,
a:
1
30,將a的線坐標(biāo)方程代入
的線坐標(biāo)方程,得
7
122
1
22
22
0,其判別式
22
4
7
2
52<0,故線束a中無
的切線,即a是
的無切線點.§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線若一對點是配極
的共軛點對,則稱它們是
對應(yīng)的二次曲線的共軛點對.定理4
若過點對x、x/的直線
交二次曲線
于u、v兩點,則x與x/是
的共軛點對
(uv;xx/)
1.xx/vu
證明:設(shè)
:(x)(aij)(x)T
0.因x、x/、u、v共線,故可設(shè)
(x)
(u)
(v),
(x/)
(u)+(v).又(x)(aij)(x/)T
[
(u)+(v)](aij)[
(u)+(v)]T
(u)(aij)(u)T+[
+
](u)(aij)(v)T+(v)(aij)(v)T.因u、v為
上二點,故(u)(aij)(v)T
0且
(x)(aij)(x/)T
[
+
](u)(aij)(v)T.所以,x與x/是
的共軛點對
(x)(aij)(x/)T
0
[
+
](u)(aij)(v)T0
+
0
(uv;xx/)
1.§1.配極與二次曲線注意:此定理將共軛與調(diào)和共軛聯(lián)系了起來.a(chǎn)/b/c/ab//c//sbca//qpr§1.配極與二次曲線證明:因三點形abc與三點形a//b//c//對應(yīng)頂點連線共點,故對應(yīng)邊交點
(a
b)
(a//
b//)
p,
(b
c)
(b//
c//)
q,
(c
a)
(c//
a//)
r共線.例2由二次曲線的內(nèi)接三點形abc的各頂點作此曲線的切線,構(gòu)成外切三點形a/b/c/,從不在上述各直線上任一點s與a、b、c分別連直線交對邊于a//、b//、c//.求證:
a/
a//、b/
b//、c/
c//共點.a(chǎn)/b/c/ab//c//sbca//qpr在完全四點形sa//cb//的對角線a
b上,有
(ba;pc//)
1,因a、b在曲線上,故p
與
c//是一對共軛點.又p
在
c/的極線a
b上,故p
與
c/共軛.因此,p
的極線是c/
c//.§1.配極與二次曲線同理,q
的極線是a/
a//,
r
的極線是b/
b//.從而,因p、q、r
共線,故a/
a//、b/
b//、c/
c//共點.uwabcdxyv二次曲線
對應(yīng)的配極的自極三點形稱為二次曲線
的自極三點形.定理5
二次曲線的內(nèi)接完全四點形的對角三點形是曲線的自極三點形.證明:設(shè)
的內(nèi)接完全四點形abcd的對角三點形為uvw,并設(shè)x
(u
v)
(a
d),
y
(u
v)
(b
c),則(ad;xw)
1,故由定理4知x與w共軛,即w的極線過x;§1.配極與二次曲線同理,w的極線過y.因此,w的極線為x
y
u
v.同理,u的極線為w
v;v的極線為u
w.所以三點形uvw是自極三點形.§1.配極與二次曲線利用定理5可以解決一些作圖問題.例3作不在曲線
上的已知點v關(guān)于
的極線.a(chǎn)bcduwv
uΓxy例4過不在曲線
上的已知點u,作
的切線.作法:
1)由例3作出u的極線,與曲線交得二點;
2)分別與u連線,則得切線.§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線例5
直線關(guān)于二次曲線Γ的極點.作法:直線上任取二不在曲線上的點,作出各自的極線,則二線交點為直線的極點.例6任意點x
關(guān)于二次曲線的極線.作法:過x任取兩條直線,由例5作法作二直線的極點,連接二點所得直線即為x
的極線.§1.配極與二次曲線3.二次曲線方程的簡化形式因以自極三點形為坐標(biāo)三點形時,配極可化為標(biāo)準(zhǔn)形式,故二次曲線的點坐標(biāo)方程可簡化為:
b1x12
b2x22
b3x32
0.下面是另一種簡化形式:定理6
以二次曲線的一個二切線點和由此點作出的二切線的切點構(gòu)成的三點形為坐標(biāo)三點形,則曲線方程可寫為:
x12
kx2x3
0(k
0).注:也可寫為:x22
kx1x3
0或x32
kx1x2
0.o(1)o(2)o(3)
a22
a33
0.又點(1,0,0)的極線為(1,0,0),故a12
a13
0.再令k
2a23/a11即得證.§1.配極與二次曲線證明:取該二切線點為o(1),由其所引切線而得二切點分別為o(2)
、o(3),以o(1)o(2)o(3)為坐標(biāo)三點形.設(shè)曲線為
:(x)(aij)(x)T
0,aij
aji.因點(0,1,0)和(0,0,1)在
上,故代入方程可得§1.配極與二次曲線推論若在定理6中,選單位點在二次曲線上,則曲線方程為:x12
x2x3
0.下面證明此處定義的切線與通常的切線定義一致.例7證明:直線為二次曲線的切線
此直線與二次曲線交于二重點.證明:選取如推論中的坐標(biāo)系,則
的點坐標(biāo)方程為:x12
x2x3
0,其對應(yīng)矩陣為200(aij)001.
010
§1.配極與二次曲線故
的線坐標(biāo)方程為:
124
2
30.設(shè)直線
:
1x1
2x2
3x30.因直線x1=0為二切點線,故不妨
30.由此解出x3,代入點方程得
3x12
1x1x2
2x22
0.故
與
交于二重點
12
4
2
30
的坐標(biāo)滿足
的線坐標(biāo)方程
是
的切線.此矩陣的伴隨矩陣為:(Aij)100002020,
§2.一維射影對應(yīng)與二次曲線本節(jié)將用一維射影對應(yīng)研究二次曲線,并證明Pascal定理和Brianchon定理.1.二次曲線的射影定義定理1/
設(shè)
和
/是二級曲線
/的二不同定直線,
是
/的動直線,則由
/
定義的點列
到點列
/的映射是非透視的射影對應(yīng).定理1(Steiner)設(shè)z和z/是二階曲線
的二不同定點,x是
的動點,則由z
x
z/
x定義的線束z到線束z/的映射是非透視的射影對應(yīng).定理1證明思路:建立如圖坐標(biāo)系,則曲線方程為:x22
x1x3
0,故可設(shè)x坐標(biāo)為x(
2,
,
2).由此可計算對應(yīng)直線坐標(biāo)o(2)exz/
o(3)z
o(1)
/
/
z
z/
(0,0,1)
(0,1,0)
(0,1,0)
(1,0,0)
(0,1,1)
/(1,1,0)
(0,
,
)
/(
,
,0)進而可驗證(
;
)(
;
/
/).由此證得定理.上述二對偶定理實際上給出了二階曲線與一維射影對應(yīng)的關(guān)系.上述定理的逆定理也成立:§2.一維射影對應(yīng)與二次曲線o(2)o(1)o(3)ex
/
/§2.一維射影對應(yīng)與二次曲線定理2/設(shè)二不同底的點列成非透視的射影對應(yīng),則對應(yīng)點的連線集合(或包絡(luò))為包含二點列底的二級曲線.定理2
設(shè)二不同心的線束成非透視的射影對應(yīng),則對應(yīng)直線的交點軌跡為通過二線束中心的二階曲線.證明定理2:以此二線束的中心為o(1)、o(3),記
o(1)
o(3).設(shè)在此射影對應(yīng)T
下,
,
.TT1令o(2)
.以o(1)o(2)o(3)為坐標(biāo)三點形,并以一對對應(yīng)直線
和
/的交點為單位點e.§2.一維射影對應(yīng)與二次曲線設(shè)在此射影對應(yīng)T
下,一對動對應(yīng)直線
和
/的交點為x.由于
o(1)
e,
/
o(3)
e,故其坐標(biāo)分別為
(0,1,1),
/(1,1,0).從而(
)(
)(
)(
/
)(
)(
).T設(shè)(
)
(
)
(
),則由(
;
)=(
;
/
/)得(
)
(
)
(
)(
/)
(
)+
(
).T故
和
/的坐標(biāo)分別為
(0,
,
),
/(
,
,0).所以,x
/的坐標(biāo)為
(x1,x2,x3)
(
2,
,
2).可見,x
/的坐標(biāo)滿足方程x22
x1x3
0.顯然,o(1)、o(3)的坐標(biāo)也滿足此方程.得證.§2.一維射影對應(yīng)與二次曲線成射影對應(yīng)的二線束(點列)稱為射影線束(點列).利用上述成對偶的互逆定理,可給出二階曲線和二級曲線的射影定義.二不同底的非透視射影點列的對應(yīng)點連線的集合稱為二級曲線.二不同中心的非透視射影線束的對應(yīng)直線交點的軌跡稱為二階曲線.若二點列
和
/成透視,則將過二點列公共點y及透視中心x的所有直線的集合稱為退化二級曲線.(見后圖)若二線束z和z/成透視,則將二線束公共直線
及透視軸
的所有點作成的集合稱為退化二階曲線.(見后圖)§2.一維射影對應(yīng)與二次曲線zz/
yx
/
退化二次曲線將在§3討論,現(xiàn)仍討論非退化的情形.證明定理3:定理3/
給定每三線不共點的五線,恰有一條二級曲線包含這五線.定理3
給定每三點不共線的五點,恰有一條二階曲線通過這五點.§2.一維射影對應(yīng)與二次曲線aa/b(1)b(2)b(3)如圖,a、a/、b(1)、b(2)、b(3)是每三點不共線的五點,則對應(yīng)關(guān)系
a
b(i)
a/
b(i)(i
1,2,3)確定了線束a到線束a/
的唯一射影對應(yīng)
T:a{b(1),b(2),b(3)
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