專題10 集合與常用邏輯用語（大題）-2022-2023學年北京高一上期末試題分類匯編（解析版）

專題10集合與常用邏輯用語（大題）一．解答題（共19小題）1．（2022秋?海淀區(qū)期末）已知集合，．（Ⅰ）求集合中的所有整數(shù)；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）0，1，2；（Ⅱ）或【詳解】（Ⅰ），集合中的所有整數(shù)為0，1，2；（Ⅱ），，①當，即時，，成立；②當，即時，，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或．2．（2022秋?豐臺區(qū)期末）已知關(guān)于的不等式的解集為或．（Ⅰ）求實數(shù)，的值；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，使得，求實數(shù)的取值范圍．條件①：集合；條件②：集合．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．【答案】見解析【詳解】（Ⅰ）關(guān)于的不等式的解集為或，，解得．（Ⅱ）選①集合，，，解得，實數(shù)的取值范圍是，．選②集合，當時，，解得，符合題意；當時，則，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，．3．（2022秋?石景山區(qū)期末）已知全集，若集合，．（1）若，求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），【詳解】（1），，，，，．（2），，，，，實數(shù)的取值范圍是，．4．（2022秋?密云區(qū)期末）已知集合，．（Ⅰ）當時，求，；（Ⅱ）當時，求；（Ⅲ）當時，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ），【詳解】集合，．（Ⅰ）當時，，，；（Ⅱ）當時，，或，；（Ⅲ）當時，，解得．的取值范圍為，．5．（2022秋?昌平區(qū)期末）已知集合．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若集合，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），，【詳解】（Ⅰ）因為集合或，則，（Ⅱ）因為集合，且，當時，則．符合題意，當時，則，若，則或，得或，綜上，的取值范圍為：，，．6．（2022秋?順義區(qū)期末）已知函數(shù)定義域為集合，集合．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）求，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或【詳解】（Ⅰ），，，集合．（Ⅱ），，，或．7．（2022秋?延慶區(qū)期末）已知非空集合，不等式的解集為．（Ⅰ）當時，求；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），【詳解】（Ⅰ）當時，，由，解得．所以，所以．（Ⅱ）因為，，所以由，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，．8．（2022秋?懷柔區(qū)期末）已知集合，．（Ⅰ）當時，求，，；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【詳解】（Ⅰ）因為集合，，當時，，則，，；（Ⅱ）因為，則，則的取值范圍為．9．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）設(shè)全集，集合，．（1）當時，求，；（2）若，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【詳解】（1）當時，集合，，，．（2）或，，，，的取值范圍．10．（2022秋?大興區(qū)期末）已知命題，．（1）寫出命題的否定；（2）判斷命題的真假，并說明理由，【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【詳解】（1）由命題，，可得命題的否定為；（2）命題為假命題，因為（當且僅當時取等號），故命題，為假命題．11．（2022秋?西城區(qū)校級期末）已知集合，或．（1）當時，求；（2）“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）【詳解】（1）當時，，所以或，（2）由題可知，，因為“”是“”的充分不必要條件，所以，可得，解得．12．（2022秋?海淀區(qū)校級期末）已知集合，集合．（Ⅰ）當時，求和；（Ⅱ）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【詳解】（Ⅰ）集合，整理得：或，集合．當時，．所以．（Ⅱ）若是的必要不充分條件，所以，當時，，解得．當時，或，整理得或．綜上所述：或．13．（2022秋?朝陽區(qū)期末）設(shè)全集，2，，，集合是的真子集．設(shè)正整數(shù)，若集合滿足如下三個性質(zhì)，則稱為的子集：①；②，，若，則；③，，若，則．（Ⅰ）當時，判斷，3，是否為的（3）子集，說明理由；（Ⅱ）當時，若為的（7）子集，求證：；（Ⅲ）當時，若為的（7）子集，求集合．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ），14，【詳解】（Ⅰ）當時，，2，3，4，5，，，3，，，4，，取，，則，但，不滿足性質(zhì)②，，3，不是的（3）子集；（Ⅱ）證明：當時，為的（7）子集，則，假設(shè)，設(shè)，即，取，，則，但，不滿足性質(zhì)②，，；假設(shè)，取，，，且，則，再取，，，則，再取，，，且，但與性質(zhì)①矛盾，．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，當時，若為的（7）子集，，，，當時，，2，，，若為的（7）子集，，，，若，取，，，則，，取，，，則，與矛盾，則，；若，取，，，則，與矛盾，則，；若，取，，，則，與矛盾，則，；若，取，，，則，與矛盾，則，；取，，2，3，4，5，6，，9，10，11，12，，則8，9，10，11，12，，8，9，10，11，12，；取，，，則；取，，2，3，4，5，6，，16，17，18，19，，則15，16，17，18，19，，15，16，17，18，19，；取，，，則；取，，2，，則22，，22，．綜上所述，集合，14，．14．（2022秋?東城區(qū)期末）對于非空數(shù)集，若其最大元素為，最小元素為，則稱集合的幅值為，若集合中只有一個元素，則．（Ⅰ）若，3，4，，求；（Ⅱ）若，2，3，，，，，，，，2，3，，，求的最大值，并寫出取最大值時的一組，，；（Ⅲ）若集合的非空真子集，，，，兩兩元素個數(shù)均不相同，且，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值為18；，4，，，5，，，6，；（答案不唯一）（Ⅲ）11【詳解】（Ⅰ）由，3，4，，得；（Ⅱ），，，不妨設(shè)，由于要求的最大值，且，，2，3，，所以只需，，，8，，，，，2，，因此的最大值為，可取，4，，，5，，，6，；（答案不唯一）（Ⅲ）設(shè)集合的元素個數(shù)為，2，，因為，，，，兩兩元素個數(shù)均不相同，不妨設(shè)，因為為集合的非空真子集，則有，所以，2，，，于是，，，又，2，3，，，，2，3，，11符合題意，所以的最大值為11．15．（2022秋?豐臺區(qū)期末）已知集合．若集合是的含有個元素的子集，且中的所有元素之和為0，則稱為的“元零子集”．將的所有“元零子集”的個數(shù)記為．（Ⅰ）寫出的所有“2元零子集”；（Ⅱ）求證：當，且時，；（Ⅲ）求（1）（2）（9）的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）51【詳解】（Ⅰ）根據(jù)題意，的“2元零子集”有，，，，，，，；（Ⅱ）證明：根據(jù)題意，當，且時，設(shè)是的任意一個“元零子集”，即集合中所有元素之和為0，而集合，其中所有元素之和也為0，則中所有元素之和也為0，即是的“元零子集”，則有，（Ⅲ）根據(jù)題意，的“1元零子集”只有，即（1），的“2元零子集”有，，，，，，，，即（2），的“3元零子集”有，0，，，0，，，0，，，0，，，1，，，，，，1，，，，，即（3），的“4元零子集”有，，1，，，，2，，，，1，，，2，，，，1，，，，2，，，，1，，，，2，，，1，，，，0，1，，，0，1，，，0，，，，0，，，則（4），由（Ⅱ）的結(jié)論，（5）（4），（6）（3），（8）（1），的“9元零子集”即，即（9），故（1）（2）（9）．16．（2022秋?密云區(qū)期末）已知集合，規(guī)定：集合中元素的個數(shù)為，且．若，，，，則稱集合是集合的衍生和集．（Ⅰ）當，2，3，，，2，4，時，分別寫出集合，的衍生和集；（Ⅱ）當時，求集合的衍生和集的元素個數(shù)的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）集合的衍生和集，4，5，6，；集合的衍生和集，5，6，8，9，；（Ⅱ）最大值為15，最小值為9【詳解】（Ⅰ）由衍生和集的定義知：集合的衍生和集，4，5，6，；集合的衍生和集，5，6，8，9，；（Ⅱ）當時，設(shè)集合且，，集合的衍生和集的元素個數(shù)的最小值為9；若集合中任意兩個元素的和不相等，則衍生和集的元素個數(shù)取得最大值，最大值為15；最大值為15，最小值為9．17．（2022秋?昌平區(qū)期末）設(shè)有限集合，2，3，，，對于集合，，，，，，給出兩個性質(zhì)：①對于集合中任意一個元素，當時，在集合中存在元素，，使得，則稱為的封閉子集；②對于集合中任意兩個元素，，都有，則稱為的開放子集．（Ⅰ）若，集合，2，4，6，8，，，，，判斷集合，為的封閉子集還是開放子集；（直接寫出結(jié)論）（Ⅱ）若，，，且集合為的封閉子集，求的最小值；（Ⅲ）若，且為奇數(shù)，集合為的開放子集，求的最大值．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）9；（Ⅲ）【詳解】（Ⅰ）對于，，，，，，且，則為的封閉子集．對于，由題可得，7，10，13，16，，其中任意兩個元素相加之和都不在集合中，任意元素也不是其他兩元素之和，且，是的開放子集．（Ⅱ）由題意，，，，，，，設(shè)，集合中任意一個元素中任意一個元素，當時，在集合中存在元素，，使得，則，其中，，，，得，，，，，，，則，若，則，則在中存在元素，，使它們的和為100，又，則當時，，得，解得，在中存在元素，，使它們的和為50，又當時，，不存在元素，，使，這與集合為的封閉子集矛盾，故，當，取，2，4，8，16，32，64，96，，其符合的封閉子集的定義，的最小值為9．（Ⅲ），且為奇數(shù)，當時，得，當時，將，2，3，，里面的奇數(shù)組成集合，則，3，5，7，，，中每個元素都是奇數(shù)，而任意兩個奇數(shù)之和為偶數(shù)，且，則為開放子集，此時集合元素個數(shù)為，下面說明為最大值，，成立；當時，若，則中至少有一個屬于，2，3，，的偶數(shù)，設(shè)為，則，得為屬于集合，3，5，7，，，中的奇數(shù)，這與開放子集的定義矛盾，故，綜上，的最大值為．18．（2022秋?順義區(qū)期末）已知是非空數(shù)集，如果對任意，，都有，，則稱是封閉集．（Ⅰ）判斷集合，，0，是否為封閉集，并說明理由；（Ⅱ）判斷以下兩個命題的真假，并說明理由；命題：若非空集合，是封閉集，則也是封閉集；命題：若非空集合，是封閉集，且，則也是封閉集；（Ⅲ）若非空集合是封閉集合，且，為全體實數(shù)集，求證：不是封閉集．【答案】見解析【詳解】（Ⅰ）解：對于集合，因為，，所以是封閉集；對于集合，0，，因為，，不屬于，所以集合，0，不是封閉集；（Ⅱ）解：對命題：令，，，，則集合，是封閉集，但不是封閉集，故錯誤；對于命題：設(shè)，，則有，，又因為集合是封閉集，所以，，同理可得，，所以，，所以是封閉集，故正確；（Ⅲ）證明：假設(shè)結(jié)論成立，設(shè)且，否則，所以有，設(shè)且，否則，所以有，矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，證畢．19．（2022秋?延慶區(qū)期末）已知集合是集合的子集，對于，定義．任取的兩個不同子集，，對任意．（Ⅰ）判斷（A）（B）是否正確？并說明理由；（Ⅱ）證明：（A）（B）．【答案】見解析【