新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第1章預備知識3不等式3.2基本不等式第2課時基本不等式與最大(小)值課后訓練北師大版必修第一冊

第2課時基本不等式與最大(小)值課后訓練鞏固提升一、A組1.若x>0,y>0,且2x+8y=1,則xy有A.最大值64 B.最小值1C.最小值12 D.最小值解析:由題意得xy=2x+8yxy=2y+8x≥22y·8x=8xy,∴xy≥8,即xy答案:D2.(多選題)下列說法正確的有().A.y=x+1x(x<0)的最大值是-B.y=x2+3C.y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-4D.y=2-3x-4x(x>0)的最小值是2-4解析:當x<0時,y=x+1x=-(-x+1-x)≤-2,當且僅當x=-1時,等號成立,所以y=x2+3x2+2=x2+2+當x>0時,y=2-3x-4x=2-(3x+4x)≤2-43,當且僅當3x=4x,即x=233時,等號成立,所以答案:AC3.函數(shù)y=xx+1的最大值為(A.25 B.12 C.22解析:令t=x(t≥0),則x=t2,∴y=xx當t=0時,y=0;當t>0時,y=1t∵t+1t≥2,∴0<1t+1t≤12,當且僅當t=1時取等號,∴y的最大值為答案:B4.如果一個直角三角形的斜邊長等于5,那么這個直角三角形面積的最大值等于().A.254 B.252 C.25 D解析:設直角三角形的斜邊長為c,直角邊長分別為a,b,由題意知c=5,且a2+b2=25,則直角三角形的面積S=12ab因為25=a2+b2≥2ab,所以ab≤252則直角三角形的面積S=12ab≤12×252=254,答案:A5.若函數(shù)y=x+1x-2(x>2)在x=a處取得最小值,則a=(A.1+2 B.1+3 C.3 D.4解析:y=x+1x-2=x-2+1∵x>2,∴x-2>0,∴y=x-2+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=又由題知,函數(shù)在x=a處取得最小值,∴a=3.答案:C6.某校要建造一個容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池,池底和池壁的造價分別為240元/m2和160元/m2,那么水池的最低總造價為元.

解析:設池底的長為xm,寬為ym,水池總造價為z元,根據(jù)題意,有2xy=8,則xy=4,于是z=240×4+160(2×2x+2×2y)=960+640(x+y)≥960+1280xy=960+1280×2=3520,當且僅當x=y=2時,等號成立.答案:35207.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.解:因為x+3y=5xy,所以1y+所以3x+4y=151y+3x(3x+4y)=1當且僅當3xy=12yx,由x所以當x=1,y=12時,3x+4y取得最小值5二、B組1.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是().A.[6,+∞) B.[9,+∞) C.(0,9] D.(0,6]解析:∵a,b是正數(shù),∴ab=a+b+3≥2ab+3(當且僅當a=b時取“=”),即ab-2ab-3≥0,∴ab≥3,或ab≤-1(舍去),∴ab≥9.答案:B2.已知點A(m,n)在一次函數(shù)y=12-12x的圖象上,其中mn>0,則2mA.42 B.8 C.9 D.12解析:因為點A(m,n)在函數(shù)y=12-12x的圖象上,所以m+2n=1.又mn>0,所以2m+1n=(m+2n)(2m+1n)=2+mn+4n答案:B3.(多選題)設a+b=2(a>0,b>0),則12a+ab取最小值時,A.a=23 B.ab=C.12a+解析:因為a+b=2,a>0,b>0,所以12a+ab=24a+ab=a+b4a+ab=a4a+b4a+ab≥14+2b4答案:AC4.設a>0,b>0,a+b=5,則a+1+b+3解析:因為a>0,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.由不等式x+y2≤x2+y22可知,a+1+b+32答案:325.已知兩個正數(shù)x,y滿足x+y=4,則使不等式1x+4y≥m恒成立的實數(shù)m解析:∵x+y=4,∴x4+∴1x+4y=1x+4yx4+y4=14+y4x+xy+1=54+y4x+xy≥答案:-6.已知正數(shù)x,y滿足1x+1y=1,則4解析:∵x>0,y>0,1x+1y=1,∴4xx-1+9yy-1=41-1x+91-1答案:257.已知a>0,b>0,且2a+1b≥m解:因為2a+1b≥所以m≤2a+1b(2所以m≤[(2a+1b)(2而2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥所以m≤9,即m的最大值為9.8.某廠家擬在今年舉行某產(chǎn)品的促銷活動,經(jīng)調查,該產(chǎn)品的年銷售量(即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量)x(單位:萬件)與年促銷費用m(單位:萬元)(m≥0)滿足x=3-km+1(k為常數(shù)),如果不舉行促銷活動,該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件.已知今年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費用(1)將今年廠家銷售該產(chǎn)品獲得的利潤y(單位:萬元)表示為年促銷費用m的函數(shù);(2)該廠家今年的促銷費用為多少萬元時,獲得的利潤最大?解:(1)由題意,可知當m=0時,x=1,∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-2m又每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×8+16xx∴y=x1.5×8+16xx-(8+16x+m)=4+8x-