2024屆山東省東營市墾利區(qū)第一中學(xué)高三第二學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

2024屆山東省東營市墾利區(qū)第一中學(xué)高三第二學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若,則為()A. B.40 C.16 D.2.點(diǎn)為的三條中線的交點(diǎn),且,,則的值為()A. B. C. D.3.已知函,,則的最小值為()A. B.1 C.0 D.4.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.5.對于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項(xiàng)和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.257.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C.1 D.8.已知向量,,當(dāng)時(shí),()A. B. C. D.9.已知,,,則()A. B. C. D.10.在邊長為2的菱形中,,將菱形沿對角線對折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.11.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.12.設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,i為虛數(shù)單位,則正實(shí)數(shù)的值為______.14.在數(shù)列中,已知,則數(shù)列的的前項(xiàng)和為__________.15.已知數(shù)列滿足,,若,則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.16.已知數(shù)列滿足對任意,若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,求的最大值.18.(12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B?CG?A的大小.19.(12分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)設(shè)實(shí)數(shù)滿足.(1)若,求的取值范圍;(2)若,,求證:.21.(12分)已知直線與橢圓恰有一個公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn).(I)求與的關(guān)系式;(II)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.若當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,求橢圓的離心率.22.(10分)已知不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)已知存在實(shí)數(shù)使得恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

如圖所示,過分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖所示:過分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線中弦長問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、B【解題分析】

可畫出圖形,根據(jù)條件可得,從而可解出,然后根據(jù),進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出.【題目詳解】如圖:點(diǎn)為的三條中線的交點(diǎn),由可得:,又因,,.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形重心的定義及性質(zhì),向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.3、B【解題分析】

,利用整體換元法求最小值.【題目詳解】由已知,又,,故當(dāng),即時(shí),.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值,涉及到二倍角公式的應(yīng)用,是一道中檔題.4、C【解題分析】

原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【題目詳解】解:由及正弦定理得.因?yàn)?,所以代入上式化簡?由于,所以.又,故.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.5、A【解題分析】

由已知可得的單調(diào)性,再由可得對稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【題目詳解】對于任意,函數(shù)滿足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,當(dāng)時(shí),是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..6、D【解題分析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng),即可求出前n項(xiàng)和,從而得到最值.【題目詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項(xiàng)為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項(xiàng)和.故的最大值為.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查求前n項(xiàng)和的最值問題,同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.7、A【解題分析】

由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【題目詳解】,時(shí),,,∴,由題意,∴.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8、A【解題分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求出,,即可求解.【題目詳解】,.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系,屬于中檔題.9、B【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對比,即可判斷.【題目詳解】由于,,故.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得即為二面角的平面角,過點(diǎn)B作于O,易得點(diǎn)O為的中心,則三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,列出方程即可得解.【題目詳解】如圖,由題意易知與均為正三角形,取AC中點(diǎn)N,連接BN,DN,則,,即為二面角的平面角,過點(diǎn)B作于O,則平面ACD,由,可得,,,即點(diǎn)O為的中心,三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,,,解得,三棱錐的外接球的表面積為.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解,考查了空間想象能力,屬于中檔題.11、A【解題分析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個選項(xiàng).【題目詳解】時(shí),函數(shù)為減函數(shù),排除B,時(shí),函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時(shí),,排除C,只有A可滿足.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項(xiàng).12、A【解題分析】

計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【題目詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),即可得答案.【題目詳解】由已知可得:,,解得.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,求其通項(xiàng)公式,得到,再由求解.【題目詳解】解:由,得,,則數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.,..故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和,屬于中檔題.15、【解題分析】

,求得的通項(xiàng),進(jìn)而求得,得通項(xiàng)公式,利用等比數(shù)列求和即可.【題目詳解】由題為等差數(shù)列,∴,∴,∴,∴,故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項(xiàng),等比數(shù)列求和,熟記等差等比性質(zhì),熟練運(yùn)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由可得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【題目詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項(xiàng)公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于,采用參變分離的方法分離出,并將的部分構(gòu)造成新函數(shù),分析與最值之間的關(guān)系;(2)通過對的導(dǎo)函數(shù)分析,確定有唯一零點(diǎn),則就是的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),計(jì)算的值并利用進(jìn)行化簡,從而確定.【題目詳解】(1)由題意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以.(2)當(dāng)時(shí),.則,令,則,所以在上單調(diào)遞減.由于,,所以存在滿足,即.當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,因?yàn)?,所以,所以,所?【題目點(diǎn)撥】(1)求函數(shù)中字母的范圍時(shí),常用的方法有兩種:參變分離法、分類討論法;(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí),需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析,以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,再分析整個函數(shù)的單調(diào)性,最后確定出函數(shù)的最值.18、(1)見詳解;(2).【解題分析】

(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?,和菱形?nèi)部的夾角,所以,依然成立,又因和粘在一起,所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€,所以易證.(2)在圖中找到對應(yīng)的平面角,再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線,發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.【題目詳解】(1)證:,,又因?yàn)楹驼吃谝黄?,A,C,G,D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE,平面ABC,平面ABC平面BCGE,得證.(2)過B作延長線于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳B平面BCGE,所以而又,故平面,所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼?,而在中,又因?yàn)楣?,所?而在中,,即二面角的度數(shù)為.【題目點(diǎn)撥】很新穎的立體幾何考題.首先是多面體粘合問題,考查考生在粘合過程中哪些量是不變的.再者粘合后的多面體不是直棱柱,建系的向量解法在本題中略顯麻煩,突出考查幾何方法.最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問題考查考生的空間想象能力.19、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解題分析】

(Ⅰ)先求導(dǎo),得,已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,又在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,令,求得,討論得,而,故,進(jìn)而得解;(Ⅱ)可通過必要性探路,當(dāng)時(shí),由知,又由于,則,當(dāng),,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在使得,得,,化簡得,再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證;【題目詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)?易知單調(diào)遞增,由題意有.令,則.令得.所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增,而,,因此必存在使得,即.且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;則.綜上,的最大值為3.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值,屬于中檔題20、(1)(2)證明見解析【解題分析】

(1)依題意可得,考慮到,則有再分類討論可得;(2)要證明,即證,即證.利用基本不等式即可得證;【題目詳解】解:(1)由及,得,考慮到,則有,它可化為或即或前者無解,后者的解集為,綜上,的取值范圍是.(2)要證明,即證,由,得,即證.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號).所以成立,故成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類討論法解絕對值不等式,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(Ⅰ)(II)【解題分析】

(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)判別式等于0,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,可得的面積是的面積的兩倍,再由當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,可得,進(jìn)而可得原點(diǎn)到直線的距離,再由點(diǎn)到直線的距離公式,以及(I)的結(jié)果,即可求解.【題目詳解】(I)由,得,則化簡整理,得;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,此時(shí),從而原點(diǎn)到直線的距離,又,故.再由(I),得,則.又,故,即,從而,即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與橢圓的位

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