新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1平均變化率與瞬時(shí)變化率1.2瞬時(shí)變化率課件北師大版選擇性必修第二冊(cè)

1.2瞬時(shí)變化率第二章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解運(yùn)動(dòng)物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度.2.理解函數(shù)在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率.3.會(huì)求函數(shù)的瞬時(shí)變化率.4.體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過程,加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)瞬時(shí)速度【問題思考】1.以10米跳臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)為例,若運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為h(t)=10+6.5t-4.9t2.請(qǐng)回答下面問題:(1)求運(yùn)動(dòng)員在下列區(qū)間上的平均速度:[2,2.1],[2,2.01],[2,2.001],[2,2.0001](2)求在2s到(2+Δt)s時(shí)間內(nèi),運(yùn)動(dòng)員的平均速度;(3)猜測(cè)運(yùn)動(dòng)員在t=2s時(shí)刻的瞬時(shí)速度.提示:(1)-13.59

m/s,-13.149

m/s,-13.104

9

m/s,-13.100

49

m/s.(2)(-13.1-4.9Δt)m/s.(3)-13.1

m/s.2.瞬時(shí)變化率對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中,若設(shè)Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則該函數(shù)的平均變化率為

.如果當(dāng)Δx趨于0時(shí),平均變化率趨于某個(gè)值,那么這個(gè)值就是f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率.瞬時(shí)變化率刻畫的是函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢.3.函數(shù)在某點(diǎn)的瞬時(shí)變化率是否與Δx的大小有關(guān)?提示:瞬時(shí)變化率是一個(gè)與Δx的大小無關(guān)的常量.4.函數(shù)f(x)=x2在x=0處的瞬時(shí)變化率為

.

答案:0【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化率就是平均變化率.(×)(2)瞬時(shí)速度即位移函數(shù)相對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率.(√)(3)當(dāng)x0取不同數(shù)值時(shí),函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率一定不同.(×)(4)瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)在區(qū)間[x1,x2]上函數(shù)值的變化快慢的量.(×)合作探究釋疑解惑探究一求瞬時(shí)速度【例1】

以初速度v0m/s(v0>0)運(yùn)動(dòng)的物體,走過的路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為s(t)=v0t+at2,求物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度.瞬時(shí)速度是平均速度當(dāng)Δt趨于0時(shí)的值.【變式訓(xùn)練1】

若一質(zhì)點(diǎn)的位移s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)之間函數(shù)的關(guān)系為s(t)=+t,求該質(zhì)點(diǎn)在t=4s時(shí)刻的瞬時(shí)速度.探究二求函數(shù)的瞬時(shí)變化率【例2】

求函數(shù)y=f(x)=在x=1處的瞬時(shí)變化率.【變式訓(xùn)練2】

函數(shù)y=在x=2處的瞬時(shí)變化率為

.

探究三求分段函數(shù)的瞬時(shí)變化率【例3】

柏油路是用瀝青混合其他材料鋪成的,鋪路工人鋪路時(shí)需要對(duì)瀝青加熱使之由固體變成黏稠的液體.如果開始加熱后第xh時(shí),瀝青的溫度(單位:℃)為y=f(x)=求開始加熱后第15min和第4h時(shí)瀝青溫度的瞬時(shí)變化率.解:∵15

min=0.25

h,且當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=80x2+20,求分段函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率的關(guān)鍵是根據(jù)x0的值選擇正確的函數(shù)解析式.【變式訓(xùn)練3】

已知函數(shù)y=f(x)=求該函數(shù)在x=1,x=4處的瞬時(shí)變化率.分析

按瞬時(shí)變化率的定義求解.【易錯(cuò)辨析】

混淆瞬時(shí)變化率(瞬時(shí)速度)與平均變化率(平均速度)致誤【典例】

一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動(dòng),位移s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)=3t2+t+1,求質(zhì)點(diǎn)A在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度.錯(cuò)解:Δs=3(2+Δt)2+(2+Δt)+1-3×22-2-1=3(Δt)2+(1+12)Δt.∴

=3Δt+13.∴質(zhì)點(diǎn)A在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為3Δt+13.以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解中求的是質(zhì)點(diǎn)A在2

s到(2+Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度,而不是t=2

s時(shí)的瞬時(shí)速度.正解:由錯(cuò)解知

=3Δt+13,當(dāng)Δt趨于0時(shí),

趨于13.∴當(dāng)t=2s時(shí),瞬時(shí)速度v=13m/s,即質(zhì)點(diǎn)A在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為13m/s.注意區(qū)分瞬時(shí)速度和平均速度,瞬時(shí)速度是平均速度在Δt趨于0時(shí)

的值,為此,要求瞬時(shí)速度,應(yīng)先求出平均速度.【變式訓(xùn)練】

已知某一運(yùn)動(dòng)物體在xs時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離為f(x)

(單位:m),且滿足f(x)=x3+x2+2x.(1)求在第1s內(nèi)的平均速度;(2)求在第1s末的瞬時(shí)速度;(3)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間該物體的速度達(dá)到14m/s?所以物體在第1

s末的瞬時(shí)速度為6

m/s.令2x2+2x+2=14,解得x=2或x=-3(舍去).即經(jīng)過2

s該物體的速度達(dá)到14

m/s.隨堂練習(xí)1.若一物體做直線運(yùn)動(dòng),其位移s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)=3t-t2,則該物體的初速度為(

).A.0m/s B.-2m/sC.3m/s D.(3-2t)m/s故該物體在t=0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為3

m/s,即該物體的初速度為3

m/s.答案:C2.已知函數(shù)y=f(x)=ax2-2在x=-1處的瞬時(shí)變化率為3,則實(shí)數(shù)a的值為(

).答案:A3.函數(shù)y=在x=2處的瞬時(shí)變化率為

.

4.若函數(shù)y=-x2-4在x=x0處的瞬時(shí)變化率為-3,則x0