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文檔簡介
廣東省汕頭市潮陽啟聲高中2024屆高三下學(xué)期第一次診斷性測試數(shù)學(xué)試題問卷試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.展開式中x2的系數(shù)為()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12802.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對 B.3對C.4對 D.5對3.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R4.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.105.已知拋物線的焦點為,對稱軸與準線的交點為,為上任意一點,若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°6.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為,若,,則()A. B. C. D.7.已知是函數(shù)圖象上的一點,過作圓的兩條切線,切點分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.8.函數(shù)的圖象在點處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),為的零點,為圖象的對稱軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.10.己知,,,則()A. B. C. D.11.定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A. B. C. D.12.已知隨機變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“北斗三號”衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號”衛(wèi)星運行軌道的離心率為__________.14.函數(shù)的圖象向右平移個單位后,與函數(shù)的圖象重合,則_____.15.若的展開式中各項系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為_____16.已知△ABC得三邊長成公比為2的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,,,,平面平面,、分別為、中點.(1)求證:;(2)求二面角的大?。?8.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最小值為,正實數(shù)、滿足,求證:.19.(12分)如圖,已知拋物線:與圓:()相交于,,,四個點,(1)求的取值范圍;(2)設(shè)四邊形的面積為,當(dāng)最大時,求直線與直線的交點的坐標(biāo).20.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面積.21.(12分)(1)求曲線和曲線圍成圖形的面積;(2)化簡求值:.22.(10分)如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點,是的中點.分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點,得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點.(1)證明:平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為:化簡求值即可.【題目詳解】根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出項,第二個括號里出項,或者第一個括號里出,第二個括號里出,具體為:化簡得到-1280x2故得到答案為:A.【題目點撥】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略:(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出其參數(shù).2、C【解題分析】
畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【題目詳解】該幾何體是一個四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.【題目點撥】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.3、D【解題分析】試題分析:由題,,,選D考點:集合的運算4、C【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計算即可.【題目詳解】因為,所以,,故選:C【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.5、C【解題分析】
如圖所示:作垂直于準線交準線于,則,故,得到答案.【題目詳解】如圖所示:作垂直于準線交準線于,則,在中,,故,即.故選:.【題目點撥】本題考查了拋物線中角度的計算,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、C【解題分析】
先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進而得到數(shù)列的通項和前項和,根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【題目詳解】因為為等比數(shù)列,所以,故即,由可得或,因為為遞增數(shù)列,故符合.此時,所以或(舍,因為為遞增數(shù)列).故,.故選C.【題目點撥】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.7、C【解題分析】
先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【題目詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因為在上單調(diào)遞增,且,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當(dāng)時等號成立).故選:C【題目點撥】此題考查的是兩個向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于難題.8、A【解題分析】
求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【題目詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標(biāo),因此截距有正有負,本題屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】
由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗的這個值滿足條件.【題目詳解】解:函數(shù),,為的零點,為圖象的對稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當(dāng)時,由為圖象的對稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點,同時也滿足滿足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性,屬于中檔題.10、B【解題分析】
先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運算變形,再判斷.【題目詳解】因為,,所以,故選:B.【題目點撥】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.11、D【解題分析】
根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù),得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱,排除AB,計算f1.5≤【題目詳解】y=fx+1為奇函數(shù),即fx+1=-f-x+1,函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選:D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的識別,確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱是解題的關(guān)鍵.12、B【解題分析】
根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【題目詳解】因為隨機變量滿足,,.所以服從二項分布,由二項分布的性質(zhì)可得:,因為,所以,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【題目點撥】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義和題設(shè)條件,求得的值,即可求得橢圓的離心率,得到答案.【題目詳解】如圖所示,設(shè)橢圓的長半軸為,半焦距為,因為地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,可得,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:.【題目點撥】本題主要考查了橢圓的離心率的求解,其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì),列出方程組,求得的值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】
根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求得變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式求得滿足的方程,結(jié)合題中的范圍即可求解.【題目詳解】由函數(shù)圖象的平移變換公式可得,函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到的函數(shù)解析式為,因為函數(shù),所以函數(shù)與函數(shù)的圖象重合,所以,即,因為,所以.故答案為:【題目點撥】本題考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;誘導(dǎo)公式的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.15、2025【解題分析】
利用賦值法,結(jié)合展開式中各項系數(shù)之和列方程,由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式,求得展開式中的系數(shù).【題目詳解】依題意,令,解得,所以,則二項式的展開式的通項為:令,得,所以的系數(shù)為.故答案為:2025【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和,考查二項式展開式指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、-【解題分析】試題分析:根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所對的角為最大角,設(shè)為θ,則根據(jù)余弦定理得考點:余弦定理及等比數(shù)列的定義.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)60°.【解題分析】試題分析:(1)連結(jié)PD,由題意可得,則AB⊥平面PDE,;(2)法一:結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角,計算可得其正切值為,故二面角的大小為;法二:以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系,計算可得平面PBE的法向量.平面PAB的法向量為.據(jù)此計算可得二面角的大小為.試題解析:(1)連結(jié)PD,PA=PB,PDAB.,BCAB,DEAB.又,AB平面PDE,PE平面PDE,∴ABPE.(2)法一:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.則DEPD,又EDAB,PD平面AB=D,DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F,連接EF,則EFPB,∠DFE為所求二面角的平面角,則:DE=,DF=,則,故二面角的大小為法二:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.如圖,以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系,B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),=(1,0,),=(0,,).設(shè)平面PBE的法向量,令,得.DE平面PAB,平面PAB的法向量為.設(shè)二面角的大小為,由圖知,,所以即二面角的大小為.18、(1);(2)見解析.【解題分析】
(1)分、、三種情況解不等式,綜合可得出原不等式的的解集;(2)利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)的最小值為,進而可得出,再將代數(shù)式與相乘,利用基本不等式求得的最小值,進而可證得結(jié)論成立.【題目詳解】(1)當(dāng)時,由,得,即,解得,此時;當(dāng)時,由,得,即,解得,此時;當(dāng)時,由,得,即,解得,此時.綜上所述,不等式的解集為;(2),當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,.所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,時等號成立,所以.所以,即.【題目點撥】本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了利用基本不等式證明不等式成立,涉及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.19、(1)(2)點的坐標(biāo)為【解題分析】
將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,拋物線與圓有四個交點需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個不等的實數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個交點坐標(biāo)為,,,,據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點坐標(biāo),再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達式,令,由及知,對關(guān)于的面積函數(shù)進行求導(dǎo),判斷其單調(diào)性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時的值,進而求出點坐標(biāo).【題目詳解】(1)聯(lián)立拋物線與圓的方程消去,得.由題意可知在上有兩個不等的實數(shù)根.所以解得,所以的取值范圍為.(2)根據(jù)(1)可設(shè)方程的兩個根分別為,(),則,,,,且,,所以直線、的方程分別為,,聯(lián)立方程可得,點的坐標(biāo)為,因為四邊形為等腰梯形,所以,令,則,所以,因為,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即當(dāng)時,四邊形的面積取得最大值,因為,點的坐標(biāo)為,所以當(dāng)四邊形的面積取得最大值時,點的坐標(biāo)為.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標(biāo)準方程及直線與圓錐曲線相關(guān)的最值問題;考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識的綜合運用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.20、(1);(2).【解題分析】
(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB=1,結(jié)合sinB>1,可求tanA=,結(jié)合范圍A∈(1,π),可得A的值;(2)由已知可求C=,可求b的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解.【題目詳解】(1)∵bcosA﹣asinB=1.∴由正弦定理可得:sinBcosA﹣sinAsinB=1,∵sinB>1,∴cosA=sinA,∴tanA=,∵A∈(1,π),∴A
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