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甘肅省慶陽市寧縣二中2024屆高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.2.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時,(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),若,則實數(shù)a的值為()A. B.3 C. D.3.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.4.若集合,,則()A. B. C. D.5.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.6.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.7.觀察下列各式:,,,,,,,,根據(jù)以上規(guī)律,則()A. B. C. D.8.設(shè)點,,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件9.當(dāng)時,函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.10.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時,表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時,表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④11.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-12.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽,如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖(例如:年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、),根據(jù)該圖,以下結(jié)論一定正確的是()A.年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C.三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩D.口罩的產(chǎn)量逐年增加二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐中,,,,且二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為__________.14.在長方體中,,,,為的中點,則點到平面的距離是______.15.?dāng)?shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,滿足,,且.若任意,成立,則實數(shù)的取值范圍為__________.16.在的展開式中,的系數(shù)等于__.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知分別是橢圓的左、右焦點,直線與交于兩點,,且.(1)求的方程;(2)已知點是上的任意一點,不經(jīng)過原點的直線與交于兩點,直線的斜率都存在,且,求的值.18.(12分)設(shè)點,分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點,是直線上的兩點,且,,求四邊形面積的最大值.19.(12分)已知在四棱錐中,平面,,在四邊形中,,,,為的中點,連接,為的中點,連接.(1)求證:.(2)求二面角的余弦值.20.(12分)橢圓:的左、右焦點分別是,,離心率為,左、右頂點分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、(不與點、重合),直線與直線相交于點,求證:、、三點共線.21.(12分)一張邊長為的正方形薄鋁板(圖甲),點,分別在,上,且(單位:).現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開,再將沿折疊,沿折疊,使,重合,且重合于點,制作成一個無蓋的三棱錐形容器(圖乙),記該容器的容積為(單位:),(注:薄鋁板的厚度忽略不計)(1)若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋,求,的值;(2)試確定的值,使得無蓋三棱錐容器的容積最大.22.(10分)如圖,焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點,中心都在坐標(biāo)原點,且橢圓與的離心率均為.(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過點M的互相垂直的兩直線分別與,交于點A,B(點A、B不同于點M),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時,求兩直線MA,MB斜率的比值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
利用特殊點的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項正確.【題目詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【題目點撥】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題,代入特殊點,采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,屬于中檔題.2、B【解題分析】
根據(jù)題意,求得函數(shù)周期,利用周期性和函數(shù)值,即可求得.【題目詳解】由已知可知,,所以函數(shù)是一個以4為周期的周期函數(shù),所以,解得,故選:B.【題目點撥】本題考查函數(shù)周期的求解,涉及對數(shù)運算,屬綜合基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】
先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計算公式求出.【題目詳解】∵,∴.故選:A.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應(yīng)用,以及復(fù)數(shù)的模計算公式的應(yīng)用,屬于容易題.4、A【解題分析】
用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【題目詳解】解:由集合,解得,則故選:.【題目點撥】本題考查了并集及其運算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】
由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【題目點撥】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.6、D【解題分析】
通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)的定義域為,當(dāng)時,,排除B和C;當(dāng)時,,排除A.故選:D.【題目點撥】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項是基本手段,屬中檔題.7、B【解題分析】
每個式子的值依次構(gòu)成一個數(shù)列,然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計算.【題目詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)數(shù)字,,,,,,,構(gòu)成一個數(shù)列,可得數(shù)列滿足,則,,.故選:B.【題目點撥】本題主要考查歸納推理,解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項歸納出遞推關(guān)系,從而可確定數(shù)列的一些項.8、C【解題分析】
利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【題目詳解】由于點,,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【題目點撥】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個零點,,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個極大值點,不成立,排除,故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項一一排除.10、A【解題分析】
對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯誤.對于③,因為,所以,所以③錯誤.對于④,因為,所以,所以④正確.故選A.11、A【解題分析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】
根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤,根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知,所以,從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較,故A、B、D選項錯誤;由堆積圖可知,從年至年,該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的,則三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩,C選項正確.故選:C.【題目點撥】本題考查堆積圖的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
設(shè)的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,將的長度求出或用球半徑表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【題目詳解】設(shè)的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,如圖所示因為,,所以,,,又二面角的大小為,則,,所以,設(shè)外接球半徑為R,則,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱錐外接球的表面積.故答案為:.【題目點撥】本題考查三棱錐外接球的表面積問題,解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合,建立關(guān)于球的半徑的方程,本題計算量較大,是一道難題.14、【解題分析】
利用等體積法求解點到平面的距離【題目詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設(shè)點到平面的距離為,解得故答案為:【題目點撥】此題考查求點到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點.15、【解題分析】
當(dāng)時,,可得到,再用累乘法求出,再求出,根據(jù)定義求出,再借助單調(diào)性求解.【題目詳解】解:當(dāng)時,,則,,當(dāng)時,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),,故答案為:.【題目點撥】本題主要考查已知求,累乘法,主要考查計算能力,屬于中檔題.16、7【解題分析】
由題,得,令,即可得到本題答案.【題目詳解】由題,得,令,得x的系數(shù).故答案為:7【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】
(1)不妨設(shè),,計算得到,根據(jù)面積得到,計算得到答案.(2)設(shè),,,聯(lián)立方程利用韋達定理得到,,代入化簡計算得到答案.【題目詳解】(1)由題意不妨設(shè),,則,.∵,∴,∴.又,∴,∴,,故的方程為.(2)設(shè),,,則.∵,∴,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得.∵在上,∴,∴上式可化為.∴,,,∴,,∴.∴.【題目點撥】本題考查了橢圓方程,定值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1);(2)2.【解題分析】
(1)利用的最小值為1,可得,,即可求橢圓的方程;(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得到關(guān)于的一元二次方程,由直線與橢圓僅有一個公共點知,即可得到,的關(guān)系式,利用點到直線的距離公式即可得到,.當(dāng)時,設(shè)直線的傾斜角為,則,即可得到四邊形面積的表達式,利用基本不等式的性質(zhì),結(jié)合當(dāng)時,四邊形是矩形,即可得出的最大值.【題目詳解】(1)設(shè),則,,,,由題意得,,橢圓的方程為;
(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得.
由直線與橢圓僅有一個公共點知,,化簡得:.
設(shè),,當(dāng)時,設(shè)直線的傾斜角為,則,,,,∴當(dāng)時,,,.當(dāng)時,四邊形是矩形,.
所以四邊形面積的最大值為2.【題目點撥】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.19、(1)見解析;(2)【解題分析】
(1)連接,證明,得到面,得到證明.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,為平面的法向量,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.【題目詳解】(1)連接,在四邊形中,,平面,面,,,面,又面,,又在直角三角形中,,為的中點,,,面,面,.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,,,,,令,則,,,同理可得平面的一個法向量為.設(shè)向量與的所成的角為,,由圖形知,二面角為銳二面角,所以余弦值為.【題目點撥】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.20、(1);(2)見解析【解題分析】
(1)根據(jù)已知可得,結(jié)合離心率和關(guān)系,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)斜率不為零,設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,消去,得到縱坐標(biāo)關(guān)系,求出方程,令求出坐標(biāo),要證、、三點共線,只需證,將分子用縱坐標(biāo)表示,即可證明結(jié)論.【題目詳解】(1)由于,將代入橢圓方程,得,由題意知,即.又,所以,.所以橢圓的方程為.(2)解法一:依題意直線斜率不為0,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程,消去得,由題意,得恒成立,設(shè),,所以,直線的方程為.令,得.又因為,,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子,.所以,,三點共線.解法二:當(dāng)直線的斜率不存在時,由題意,得的方程為,代入橢圓的方程,得,,直線的方程為.則,,,所以,即,,三點共線.當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)的方程為,,,聯(lián)立方程消去,得.由題意,得恒成立,故,.直線的方程為.令,得.又因為,,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子所以.所以,,三點共線.【題目點撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系,設(shè)而不求方法解決相交弦問題,考查計算求解能力,屬于中檔題.21、(1),;(2)當(dāng)值為時,無蓋三棱錐容器的容積最大.【解題分析】
(1)由已知求得,求得三角形的面積,再由已知得到平面,代入三棱錐體積公式求的值;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,寫出三角形面積,求其平方導(dǎo)數(shù)的最值,則答案可求.【題目詳解】解:(1)由題意,為等腰直角三角形,又,,恰好是該零
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