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文檔簡介
2024屆安徽省霍邱縣正華外語學(xué)校高三年級模擬考試(二)數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.842.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.3.已知實(shí)數(shù),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.4.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.5.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.566.一個正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.67.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件8.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.9.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.10.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.11.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計(jì)算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.12.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量滿足,,則______________.14.若函數(shù),則的值為______.15.為了了解一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測,如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.16.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的模為______.18.(12分)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面積;(2)若D,E是BC邊上的三等分點(diǎn),求.19.(12分)在中,角的對邊分別為.已知,且.(1)求的值;(2)若的面積是,求的周長.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線C:()的焦點(diǎn)F在直線上,平行于x軸的兩條直線,分別交拋物線C于A,B兩點(diǎn),交該拋物線的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)若F在線段上,P是的中點(diǎn),證明:.21.(12分)已知函數(shù),的最大值為.求實(shí)數(shù)b的值;當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;當(dāng)時,令,是否存在區(qū)間,,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)??若存在,求?shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.22.(10分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,面.(1)在線段上是否存在點(diǎn),使面,說明理由;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】
由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求,,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【題目詳解】解:因?yàn)?,,所以,解可得,,,則.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】
,,得解.【題目詳解】,,,所以,故選D【題目點(diǎn)撥】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.3、B【解題分析】
根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【題目詳解】解:∵,∴,,.∴.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】
構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當(dāng)時,則,;當(dāng)時,,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時,,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時要注意對的取值范圍進(jìn)行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.5、A【解題分析】
先求,再確定展開式中的有理項(xiàng),最后求系數(shù)之和.【題目詳解】解:的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故,要求展開式中的有理項(xiàng),則則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為:故選:A【題目點(diǎn)撥】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】
根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長,然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識,關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長,掌握一些常見的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】
由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷,由等價法即可判斷兩命題的關(guān)系.【題目詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.8、C【解題分析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【題目詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個難點(diǎn),第二個難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.9、D【解題分析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【題目詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時最大,所以,故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.10、C【解題分析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運(yùn)算,運(yùn)用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡計(jì)算即可得到所求值.【題目詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.11、B【解題分析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計(jì)算的規(guī)律,即可求解.【題目詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【題目詳解】由,解得或.因?yàn)榛?,所?故選:C【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解題分析】
首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出,再根據(jù)計(jì)算可得;【題目詳解】解:因?yàn)?,所以又所以所以故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力.15、100.【解題分析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點(diǎn)睛:頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為,因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤.16、【解題分析】由題意得,二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,則,所以得系數(shù)為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、1【解題分析】
整理已知利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算方式計(jì)算,再由求模公式得答案.【題目詳解】因?yàn)?,即所以的模?故答案為:1【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求模,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)【解題分析】
(1)根據(jù)正弦定理,可得△ABC為直角三角形,然后可計(jì)算b,可得結(jié)果.(2)計(jì)算,然后根據(jù)余弦定理,可得,利用平方關(guān)系,可得結(jié)果.【題目詳解】(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.又a=3,B=60°,所以;所以△ABC的面積為.(2)設(shè)D靠近點(diǎn)B,則BD=DE=EC=1.,所以所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.19、(1);(2)【解題分析】
(1)由正弦定理可得,,化簡并結(jié)合,可求得三者間的關(guān)系,代入余弦定理可求得;(2)由(1)可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【題目詳解】(1)因?yàn)?所以,整理得:.因?yàn)?所以,所以.由余弦定理可得.(2)由(1)知,則,因?yàn)榈拿娣e是,所以,即,解得,則.故的周長為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)見解析【解題分析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)在直線上,可求得的值,從而求得拋物線的方程;(2)法一:設(shè)直線,的方程分別為和且,,,可得,,,的坐標(biāo),進(jìn)而可得直線的方程,根據(jù)在直線上,可得,再分別求得,,即可得證;法二:設(shè),,則,根據(jù)直線的斜率不為0,設(shè)出直線的方程為,聯(lián)立直線和拋物線的方程,結(jié)合韋達(dá)定理,分別求出,,化簡,即可得證.【題目詳解】(1)拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,且該點(diǎn)在直線上,所以,解得,故所求拋物線C的方程為(2)法一:由點(diǎn)F在線段上,可設(shè)直線,的方程分別為和且,,,則,,,.∴直線的方程為,即.又點(diǎn)在線段上,∴.∵P是的中點(diǎn),∴∴,.由于,不重合,所以法二:設(shè),,則當(dāng)直線的斜率為0時,不符合題意,故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程,得又,為該方程兩根,所以,,,.,由于,不重合,所以【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.21、(1);(2)時,在單調(diào)增;時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;時,同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(3)不存在.【解題分析】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時,取得極大值,也是最大值,由,可得結(jié)果;(2)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則,問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實(shí)根,進(jìn)而可得結(jié)果.詳解:(1)由題意得,令,解得,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時,取得極大值,也是最大值,所以,解得.(2)的定義域?yàn)?①即,則,故在單調(diào)增②若,而,故,則當(dāng)時,;當(dāng)及時,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.③若,即,同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增(3)由(1)知,所以,令,則對恒成立,所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則,問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實(shí)根,即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實(shí)根,令,,則,設(shè),,則對恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)
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