陜西省西安市西電附中2024屆高三5月階段質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

陜西省西安市西電附中2024屆高三5月階段質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.2.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元3.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.4.已知函數(shù)在上有兩個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.對兩個變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.6.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.7.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.58.設(shè)直線的方程為,圓的方程為,若直線被圓所截得的弦長為,則實數(shù)的取值為A.或11 B.或11 C. D.9.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域為的是()A. B. C. D.10.已知函數(shù)(),若函數(shù)在上有唯一零點,則的值為()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或011.已知函數(shù),,若對,且,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.10二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對角線折起,使得二面角為,此時點,,,在同一個球面上,則該球的表面積為________.14.已知雙曲線()的左右焦點分別為,為坐標(biāo)原點,點為雙曲線右支上一點,若,,則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.15.電影《厲害了,我的國》于2018年3月正式登陸全國院線,網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲,我為我是中國人驕傲!”《厲害了,我的國》正在召喚我們每一個人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國》,并把標(biāo)識為的四張電影票放在編號分別為1,2,3,4的四個不同的盒子里,讓四位好朋友進(jìn)行猜測:甲說:第1個盒子里放的是,第3個盒子里放的是乙說:第2個盒子里放的是,第3個盒子里放的是丙說:第4個盒子里放的是,第2個盒子里放的是丁說:第4個盒子里放的是,第3個盒子里放的是小明說:“四位朋友你們都只說對了一半”可以預(yù)測,第4個盒子里放的電影票為_________16.過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在,角、、所對的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.18.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.19.(12分)已知實數(shù)x,y,z滿足,證明:.20.(12分)中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點D),交PC于N(異于點C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)設(shè)等差數(shù)列的首項為0,公差為a,;等差數(shù)列的首項為0,公差為b,.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表;記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為,其中,(i,j=1,2,3,…).記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為,其中(,,).如:,.(1)設(shè),,請計算,,;(2)設(shè),,試求,的表達(dá)式(用i,j表示),并證明:對于整數(shù)t,若t不屬于數(shù)表M,則t屬于數(shù)表;(3)設(shè),,對于整數(shù)t,t不屬于數(shù)表M,求t的最大值.22.(10分)已知橢圓的離心率為,點在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓于兩點,線段的中點在直線上,求證:線段的中垂線恒過定點.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【題目詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【題目詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確,選項D錯誤.故選:.【題目點撥】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.3、C【解題分析】

根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【題目詳解】因為,且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.4、C【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo),對a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【題目詳解】∵,.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時,則時,,在上單調(diào)遞減,時,,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個零點,只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.5、D【解題分析】

作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點,觀察這四個點在靠近哪個曲線.【題目詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個函數(shù)圖象,同時描出題中的四個點,它們在曲線的兩側(cè),與其他三個曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項,故選:D.【題目點撥】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多,說明擬合效果好.6、C【解題分析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算.【題目詳解】由題意.故選:D.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)的運算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8、A【解題分析】

圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),該圓心到直線的距離,結(jié)合弦長公式得,解得或,故選A.9、B【解題分析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【題目詳解】對于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域為,正確;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域為,錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤.故選:.【題目點撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,只需,即,令,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,即可求出參數(shù)的值,當(dāng)時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷;【題目詳解】解:∵(),∴,∴當(dāng)時,由得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是極小值,∴只需,即.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵,∴;當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,∵,,函數(shù)在上有且只有一個零點,∴的值是1或0.故選:C【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,零點存在性定理的應(yīng)用,屬于中檔題.11、D【解題分析】

先求出的值域,再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)值域,由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【題目詳解】因為,故,當(dāng)時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時,令,解得,故在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,且當(dāng)趨近于零時,趨近于正無窮;對函數(shù),當(dāng)時,;根據(jù)題意,對,且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題,屬綜合困難題.12、C【解題分析】

取B1C1的中點Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【題目詳解】如圖,取B1C1的中點Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【題目點撥】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

分別取,的中點,,連接,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計算可得;【題目詳解】如圖,分別取,的中點,,連接,則易得,,,,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【題目點撥】本題考查多面體的外接球的計算,屬于中檔題.14、【解題分析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,,,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令,則,令對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.法二:令,,,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),可求得離心率的范圍.【題目詳解】法一:,,,,,,設(shè),則,令,所以時,,在上單調(diào)遞增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案為:.【題目點撥】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān),從而將離心率表示關(guān)于某個量的函數(shù),屬于中檔題.15、A或D【解題分析】

分別假設(shè)每一個人一半是對的,然后分別進(jìn)行驗證即可.【題目詳解】解:假設(shè)甲說:第1個盒子里面放的是是對的,則乙說:第3個盒子里面放的是是對的,丙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第4個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是;假設(shè)甲說:第3個盒子里面放的是是對的,則丙說:第4個盒子里面放的是是對的,乙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第3個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是.故第4個盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【題目點撥】本題考查簡單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.16、【解題分析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系,設(shè)出所求直線方程,將已知圓圓心坐標(biāo)代入,即可求解.【題目詳解】圓心為,所求直線與直線垂直,設(shè)為,圓心代入,可得,所以所求的直線方程為.故答案為:.【題目點撥】本題考查圓的方程、直線方程求法,注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)答案不唯一,見解析【解題分析】

(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三角形面積公式可得答案.【題目詳解】解:(1)在中,因為,又已知,所以,因為,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,當(dāng)時,的面積,當(dāng)時,的面積.【題目點撥】本題考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面積公式和分類討論思想,屬于中檔題.18、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解題分析】

(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過點作于點,則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關(guān)系,從而得解;【題目詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因為平面平面,平面平面所以平面,又因為平面,所以,因為,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過點作于點,則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【題目點撥】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.19、見解析【解題分析】

已知條件,需要證明的是,要想利用柯西不等式,需要的值,發(fā)現(xiàn),則可以用柯西不等式.【題目詳解】,.由柯西不等式得,...【題目點撥】本題考查柯西不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析,是,,,,;(2)【解題分析】

(1)根據(jù)是球的直徑,則,又平面,得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進(jìn)而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.(2)以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個法向量,代入公式求解.【題目詳解】(1)因為是球的直徑,則,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根據(jù)證明可知,四面體是鱉臑.它的每個面的直角分別是,,,.(2)如圖,以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,則,,,,.M為中點,從而.所以,設(shè),則.由,得.由得,即.所以.設(shè)平面的一個法向量為.由.取,,,得到.記與平面所成角為θ,則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)(2)詳見解析(3)29【解題分析】

(1)將,代入,可求出,,可代入求,,可求結(jié)果.(2)可求,,通過反證法證明,(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.【題目詳解】(1)由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;等差數(shù)列的通項公式為:,得,則,,得,故.(2)證明:已知.,由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;等差數(shù)列的通項公式為:,得,,.得,,,.所以若,則存在,,使,若,則存在,,,使,因此,對于正整數(shù),考慮集合,,,即,,,,,,.下面證明

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