呼和浩特市重點中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

呼和浩特市重點中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，，要說明，需添加的條件不能是（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，于，于，則三個結(jié)論①；②；③中，（）A．全部正確 B．僅①和②正確 C．僅①正確 D．僅①和③正確3．解分式方程時，去分母后變形正確的是（）A． B．C． D．4．把分式中的a和b都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么該分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉淼?倍5．用科學(xué)記數(shù)法表示0.00000085正確的是（）A．8.5×107 B．8.5×10-8 C．8.5×10-7 D．0.85×10-86．已知關(guān)于x的分式方程+=1的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠37．一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，則∠DBC的度數(shù)為()A．10° B．15° C．18° D．30°8．如圖，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若S△ABC=12，DF=2，AC=3，則AB的長是（）A．2 B．4 C．7 D．99．如圖，是的中線，于點，已知的面積是5，，則的長為（）A． B． C． D．110．如圖，在中，的平分線與的垂直平分線相交于點，過點分別作于點，于點，下列結(jié)論正確的是（）①；②；③；④；⑤.A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤11．下列各數(shù):中，無理數(shù)的個數(shù)是（）A．個 B．個 C．個 D．個12．若關(guān)于、的二元一次方程有一個解是，則（）．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（每題4分，共24分）13．生命在于運動，小張同學(xué)用手機軟件記錄了4月份每天行走的步數(shù)（單位：萬步），將記錄結(jié)果繪制成如下圖所示的統(tǒng)計圖．在這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)是_____萬步．14．如果一個多邊形的內(nèi)角和為1260o，那么從這個多邊形的一個頂點引對角線，可以把這個多邊形分成_______________個三角形．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分線，AD＝1．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是_____．16．的算術(shù)平方根是_____．17．已知，則的值為____．18．數(shù)學(xué)老師計算同學(xué)們一學(xué)期的平均成績時，將平時、期中和期末的成績按3:3:4計算，若小紅平時、期中和期末的成績分別是90分、100分、90分，則小紅一學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績是____分．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC=2CD．（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；（2）求證：BD=MN．20．（8分）等邊△ABC的邊BC在射線BD上,動點P在等邊△ABC的BC邊上（點P與BC不重合）,連接AP.（1）如圖1，當點P是BC的中點時，過點P作于E,并延長PE至N點，使得.①若,試求出AP的長度;②連接CN,求證.（2）如圖2，若點M是△ABC的外角的角平分線上的一點，且,求證:.21．（8分）如圖所示，在圖形中標出點A、B、C關(guān)于直線l的對稱點D、E、F．若M為AB的中點，在圖中標出它的對稱點N．若AB=10，AB邊上的高為4，則△DEF的面積為多少？22．（10分）書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書，第一次用1200元購買若干本，按每本10元出售，很快售完．第二次購買時，每本書的進價比第一次提高了20%，他用1500元所購買的數(shù)量比第一次多10本．（1）求第一次購買的圖書，每本進價多少元？（2）第二次購買的圖書，按每本10元售出200本時，出現(xiàn)滯銷，剩下的圖書降價后全部售出，要使這兩次銷售的總利潤不低于2100元，每本至多降價多少元？（利潤=銷售收入一進價）23．（10分）某超市計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知4件甲種玩具的進價與2件乙種玩具的進價的和為230元，2件甲種玩具的進價與3件乙種玩具的進價的和為185元．（1）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元；（2）如果購進甲種玩具有優(yōu)惠，優(yōu)惠方法是：購進甲種玩具超過20件，超出部分可以享受7折優(yōu)惠，若購進（）件甲種玩具需要花費元，請你直接寫出與的函數(shù)表達式．24．（10分）為提高學(xué)生的閱讀興趣，某學(xué)校建立了共享書架，并購買了一批書籍．其中購買種圖書花費了3000元，購買種圖書花費了1600元，A種圖書的單價是種圖書的1.5倍，購買種圖書的數(shù)量比種圖書多20本．（1）求和兩種圖書的單價；（2）書店在“世界讀書日”進行打折促銷活動，所有圖書都按8折銷售學(xué)校當天購買了種圖書20本和種圖書25本，共花費多少元？25．（12分）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形ABC(頂點是網(wǎng)格線的交點的三角形)的頂點A，C的坐標分別為(﹣4，5)，(﹣1，3).(1)請作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；(2)△A1B1C1的面積是______.26．分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和．例如，．（1）將假分式化為一個整式與一個真分式的和是；（2）將假分式化為一個整式與一個真分式的和；（3）若分式的值為整數(shù)，求整數(shù)x的值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可．【詳解】A、在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB，故本選項正確；B、在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB，故本選項正確；C、∵∴在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB，故本選項正確；D、根據(jù)兩邊和其中一邊的對角不能判斷兩三角形全等；故本選項錯誤；故選：D．【點睛】本題主要考查對全等三角形的判定的理解和掌握，能熟練地根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理進行證明是解此題的關(guān)鍵．2、B【分析】只要證明，推出，①正確；，由，推出，推出，可得，②正確；不能判斷，③錯誤．【詳解】在和中∴∴，，①正確∵∴∴∴，②正確在△BRP與△QSP中，只能得到，，不能判斷三角形全等，因此只有①②正確故答案為：B．【點睛】本題考查了三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、平行線的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．3、D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，即可作出判斷．【詳解】解：方程變形得去分母得：故選：【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，注意去分母時不要漏乘．4、C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．即可判斷．【詳解】解：分式中的a和b都變?yōu)樵瓉淼?倍可得，則該分式的值不變．

故選：C．【點睛】本題考查的知識點是分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式的基本性質(zhì)．5、C【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】將0.00000085用科學(xué)記數(shù)法表示為8.5×10-1．

故選：C．【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．6、C【解析】試題解析：分式方程去分母得：m-1=x-1，解得：x=m-2，由方程的解為非負數(shù)，得到m-2≥0，且m-2≠1，解得：m≥2且m≠1．故選C.考點：分式方程的解．7、B【分析】直接利用三角板的特點，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠ABD=45°，進而得出答案．【詳解】由題意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故選B.【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟練掌握這一點是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴12=×AB×DE+×AC×DF，∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故選D.9、A【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)得：的面積是2.5，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】∵是的中線，的面積是5，∴的面積是2.5，∵，，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查三角形的中線的性質(zhì)以及三角形的面積公式，掌握三角形的中線把三角形的面積平分，是解題的關(guān)鍵．10、D【分析】連接PB，PC，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出PM=PN，根據(jù)線段垂直平分線求出PB=PC，根據(jù)HL證Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．【詳解】∵AP是∠BAC的平分線，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，②正確；∵P在BC的垂直平分線上，∴PC=PB，④正確；在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．⑤正確；∴，∵，，∴，∴，①正確；∵，∴，③正確.故選D.【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)等知識點，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力．11、B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進行解答，無理數(shù)即為無限不循環(huán)小數(shù)．【詳解】解：由無理數(shù)的定義可知，這一組數(shù)中無理數(shù)有：共2個.故選B.【點睛】本題考查的是無理數(shù)的定義，解答此類題目時一定要注意π是無理數(shù)，這是此題的易錯點．12、B【分析】根據(jù)方程的解滿足方程，把解代入方程，可得一元一次方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】把代入得：，解得．故選：B．【點睛】本題考查二元一次方程的解，理解解的概念，熟練掌握解方程．二、填空題（每題4分，共24分）13、1.1【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解可得．【詳解】因為1.1萬步的人數(shù)最多為10人，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.1萬步，故答案為：1.1．【點睛】考查的是眾數(shù)的定義及其求法，牢記定義是關(guān)鍵．14、1【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計算分成三角形的個數(shù)．【詳解】解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為，由題意得：，

解得；，

從這個多邊形的一個頂點引對角線，可以把這個多邊形分成的三角形個數(shù)：9-2=1，

故答案為：1．【點睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式．15、【分析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長度，此題得解．【詳解】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．如圖，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BQ，∴BQ＝＝，即PC+PQ的最小值是．故答案為．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．16、2【詳解】∵，的算術(shù)平方根是2，∴的算術(shù)平方根是2.【點睛】這里需注意：的算術(shù)平方根和的算術(shù)平方根是完全不一樣的；因此求一個式子的平方根、立方根和算術(shù)平方根時，通常需先將式子化簡，然后再去求，避免出錯.17、1【分析】根據(jù)已知得到，代入所求式子中計算即可．【詳解】∵，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查了求分式的值，利用已知得到，再整體代入是解題的關(guān)鍵．18、93分【分析】按3：3：4的比例算出本學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)期平均成績即可．【詳解】小紅一學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績是＝93（分），故填：93.【點睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義．三、解答題（共78分）19、見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AD與BC的關(guān)系，根據(jù)MD與NC的關(guān)系，可得證明結(jié)論；（2）根據(jù)根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，可得∠DNC的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠DBC的度數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)，可得答案．證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M、N分別是AD、BC的中點，∴MD=NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四邊形；（2）如圖：連接ND，∵MNCD是平行四邊形，∴MN=DC．∵N是BC的中點，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等邊三角形．∴ND=NC，∠DNC=60°．∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，∵DN=NC=NB，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，∴∠BDC=90°．∵tan，∴DB=DC=MN．點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用了一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正切函數(shù)．20、（1）①AP；②證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）①根據(jù)點P是BC的中點，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得AP⊥BC，再利用勾股定理即可求得答案；②根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，證得∠NCE=∠PCE=，從而證得結(jié)論；（2）作∠CBF=60°，BF與MC的延長線相交于點F，連接PF，證明△BFC是等邊三角形，證得△ABP△FBP，PM=PF，∠PMC=∠PFC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）①在等邊△ABC中，∵點P是BC的中點，，∴AP⊥BC，，∴AP=；②∵且，∴點N與點P關(guān)于直線AC對稱，∴∠NCE=∠PCE=，∴∠NCD=180∠NCE∠PCE=，∴∠NCD=∠B=，∴；（2）作∠CBF=60°，BF與MC的延長線相交于點F，連接PF，如圖：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60，

∴∠ACD=120，

∵CM平分∠ACD，

∴∠DCM=∠BCF=60，

∵∠CBF=60，

∴∠FBC=∠BCF=∠BFC=60，

∴△BFC是等邊三角形，∵△ABC和△BFC都是等邊三角形，

∴AB=BC=BF，

在△ABP和△FBP中，，∴△ABP△FBP，∴AP=PF，∠BAP=∠BFP，

∵AP=PM，

∴PM=PF，

∴∠PMC=∠PFC，∵∠MCD=∠PMC+∠CPM=60，

∠BFC=∠BFP+∠PFC=60，

∴∠CPM=∠BFP=∠BAP，

∵∠APC=∠ABC+∠BAP=∠APM+∠CPM，

∴∠APM=60．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造三角形全等是解本題的關(guān)鍵．21、△DEF的面積是1【解析】試題分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可知兩個三角形全等，所以對應(yīng)邊相等，再由題中給出條件易得所求三角形的面積.試題解析：如圖所示，∵AB=10，∴DE=AB=10，∴.答：△DEF的面積是1．22、（1）5元（1）1元．【分析】（1）設(shè)第一次購買的圖書的進價為x元/本，則第二次購買圖書的進價為1.1x元/本，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結(jié)合第二次比第一次多購進10本，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（1）根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價可求出第一次購進圖書的數(shù)量，將其＋10可求出第二次購進圖書的數(shù)量，設(shè)每本降價y元，根據(jù)利潤＝銷售收入一進價結(jié)合兩次銷售的總利潤不低于1100元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)第一次購買的圖書的進價為x元/本，則第二次購買圖書的進價為1.1x元/本，根據(jù)題意得：解得：x＝5，經(jīng)檢驗，x＝5是原分式方程的解，且符合題意．答：第一次購買的圖書，每本進價為5元．（1）第一次購進數(shù)量為1100÷5＝140（本），第二次購進數(shù)量為140＋10＝150（本）．設(shè)每本降價y元，根據(jù)題意得：140×10＋100×10＋（150?100）（10?y）?1100?1500≥1100，解得：y≤1．答：每本至多降價1元．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（1）根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．23、（1）每件甲種玩具的進價是40元，每件乙種玩具的進價是35元；（2）當時，；當時，【分析】（1）先找出等量關(guān)系：4件甲種玩具的進價與2件乙種玩具的進價的和為230元，2件甲種玩具的進價與3件乙種玩具的進價的和為185元，再列出方程組求解即得．（2）先將的取值范圍分兩段：和，再根據(jù)“總費用=數(shù)量進價”列出對應(yīng)范圍的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：（1）設(shè)每件甲種玩具的進價是元，每件乙種玩具的進價是元．由題意得解得：答：每件甲種玩具的進價是40元，每件乙種玩具的進價是35元．（2）∵每件甲種玩具的進價是40元∴當時，；∵購進甲種玩具超過20件，超出部分可以享受7折優(yōu)惠∴當時，即綜上所述：當時，；當時，【點睛】本題主要考查二元一次方程組和函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組及根據(jù)自變量的取值范圍分段確定函數(shù)關(guān)