【高考沖刺】2023年四川省高考數(shù)學考前沖刺預測模擬：刷題卷02（理科）（解析版）

刷題卷02(理科)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

一、選擇題：本小題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一個是符合要求的。

1.設2=產(chǎn)，貝”的虛部為()

1-1

A.iB.2iC.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則化筒，結合復數(shù)的相關概念判斷.

l+3i(l+3i)(l+i)

【詳解】^z=不一=*^~^=-l+2i,故z的虛部為2.

1-1(1-+

故選：D.

2.設集合A={x|y=lg(x-1)},3=b，|y=2",xwR},則Au3=.

A.0B.RC.(0,+co)D.(l,+?))

【答案】C

【詳解】試題分析：要使函數(shù))=l￡x-l)有意義應滿足X-l>0,解得X>1，通過分析

可知，函數(shù)J=2工的值域為(O,-X),進而可得<=(L+H),B=(0,+X),所以AU5=

(0,+8).

考點：1、集合的運算：2、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質.

3.已知a,6eR,則"附N1”是々+/22”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及不等式的性質可得解.

【詳解】^\ab^\=>a2+b2>2\a\\b^2,

而片+從之？不一定能得到例如，a=0,b-2,

所以1陽21〃是2+6222"的充分而不必要條件.

故選：A

4.已知sina+cosa=二，且a是第一象限角，貝小吟=

A.-B.；C.，或！D.2或3

3232八

【答案】C

【解析】求出sin/cosc的值，利用同角三角函數(shù)的關系以及二倍角公式可得

asina...

tan—=-----------,從而可得結果r.a

2l+cosa

7

sina+cos。,

【詳解】因為5

.221

sina+cosa=l,

,34

sina=—,sintz=—,

所以4%

3

cosa=—,cosa=—,

sin—,.aa3

sin—2sin-cos—

當《；時，a2sina51

tan—=_2_,2=-

2a2￡l+cosa143

cosa=—cos—2cos+

5225

4.ac.aa4

sina=一,sin—2sin一cos—

asina_1

當;時，tan—二2二225

2a2。1+cosa?3~2

cosa--cos—2cosl+-

5225

綜上，嗚4%,故選c.

【點睛】三角函數(shù)求值有三類，（1）"給角求值J一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來

看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系,解題時，要利用觀察得到的關系，

結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.（2）"給值求值J給出某些角的

三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角"，使其角相同或具有某

種關系.（3）"給值求角J實質是轉化為"給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，

確定角.

5.記Zk/BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,A=60。，6=3,c=2,則cosB的值

為（）

A.B.旦C.一也D.互

141477

【答案】B

【分析】首先利用余弦定理求出。，再由余弦定理計算可得；

【詳解】解：由余弦定理〃=/+c2-3ccosA=9+4-2x2x3xJ=7,解得°=方.

〃+02-從4+7-9手

故cosB=

2ac~2x2x77-14

故選：B

6.已知曲線y=在點處的切線為/,數(shù)列｛%｝的首項為1,點(4，4+j5cN*)

為切線/上一點，則數(shù)列的前〃項和為()

n(n-l)n(n+1)/八，

A.——LB.——LC.n(n+l)D.n2

221

【答案】B

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程，進而可得數(shù)列的遞推公式，從而可得通項公式

及前”項和.

【詳解】因為y'=2x,所以曲線y=Y+；在點處的切線的斜率為％=1,

故所求切線/的方程為y=x+i,

所以?=a“+l,

所以數(shù)列｛4｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

所以““=〃，

其前〃項和為3D.

2

故選：B.

7.在棱長為2的正方體A8CO-ABC2中，點E,尸分別為棱GR的中點.點P為線

段所上的動點.則下面結論中埼逐的是()

A.尸B.44〃平面RAP

C.DtP±BtCD./gPC是銳角

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量解決問題.

【詳解】以。為坐標原點，分別以DC,。。所在直線為蒼丫"軸，建立空間直角坐標

系，

則A（2,0,2）,4（2,2,2）,尸（以1,2—m），4（0,0,2）,C（0,2,0）,

貝ljP\=（2-/n,-l,/n）,Pg=（2-,

陷卜y/（2-m）2+l+m2=,5-4m+2-2,|網(wǎng)=^（2-m）2+1+m2=^5-4m+2m2,

所以PA=”,A正確；

因為A耳〃AE,A耳仁平面RAP,AEu平面。1AP,

所以4旦〃平面。AP,B正確；

D,P=（m,-l,-ni）,5.C=（-2,0,-2）,

所以D,P-C=（m,-1,-m）?（-2,0,-2）=-2m+2m=0,

所以RPLBC，c正確；

/nPB[PC（2-6,1,加）?（一九1,"7-2）2/n2-4^+1

|PB1|.|PC|42m?-4m+5-y/2ni?-4-+52〃/—4m+5

、2

_2（z?w-l）--l

-2（m-l）2+3，

當1_變＜帆＜1+也時，cosZBlPC＜0,

22

8.用1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)不能相鄰，則這樣的五位數(shù)

有（）個

A.120B.216C.222D.252

【答案】D

【分析】按含2個偶數(shù)字和含3個偶數(shù)字分成兩類，每一類插空法而得解.

【詳解】完成組成無重復數(shù)字的五位數(shù)這件事有兩類辦法：

取2個偶數(shù)字,3個奇數(shù)字有C；種,先排3個奇數(shù)字，再把所取的2個偶數(shù)字插入有用A：種，

不同五位數(shù)有C；A；&個；

取3個偶數(shù)字,2個奇數(shù)字有C：種,先排3個偶數(shù)字，再把所取的2個奇數(shù)字插入有用8種，

不同五位數(shù)有c；A；&個；

由分類計數(shù)原理知，沒有重復數(shù)字的五位數(shù)共有C；A；A：+C；A；&=216+36=252個.

故選：D

【點睛】關鍵點睛：有特殊元素的排列組合問題，按含特殊元素的個數(shù)多少分類是解決問題

的關鍵.

9.如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，

22

其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線E:卞-%=1（“>0力>0）的左、

右焦點分別為6,乙，從心發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的4,8兩點反射后,分別經(jīng)過點C和。.且

3

cosZBAC=--,ABA.BD,則E的離心率為（）

【分析】設IA瑪|=%,\BF2\=n,由雙曲線的定義可得IAKI,|8片|,在直角三角形中,

在AAE6中，運用銳角一角函數(shù)的定義、勾股定理和余弦定理，化簡整理，結合離心率公

式，可得所求值.

由雙曲線的定義可得IAE|=2a+機，|8用=2a+n,

在直角三角形AF；B中，sinNf；A5=等±=。，①

2a+m5

(2a+n)2+(;n+n)2=(2a+m)1,②

在l\AF\鳥中，可得4c2=nr+(2a+m)2-2m(2a+m)--③

由①②可得〃=手

即為9c2=17/,

故選：D.

10.三棱柱ABC-A4a的各個頂點都在球。的球面上，且AB=AC=1,BC=0,CG，平

面A8C.若球。的表面積為3萬，則這個三棱柱的體積是（）

【答案】C

【分析】由三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形得外接球球心在側面的中心，由球表面積

得半徑后求得棱柱的高，從而可得棱柱體積.

【詳解】AB=AC=\,BC=42,:.AB±AC,CG_L平面ABC,三棱柱ABC-A耳0內接球

0,；.O為距形BCC向的中心,

設球。半徑為J則4乃r=3乃,.1r=迫，即OC=r=更,，三棱柱的高〃=2,

三棱柱的體積V=5,ABC-h=gx1x1x1=g,故選：C.

11.己知函數(shù)〃力=/一21巾|與g(x)=cos(0x+e)((y>O)的圖象有兩個公共點，則滿足條

件的周期最大的函數(shù)g(x)可能為

A.g(x)=-cos(4x)B.g(x)=cos(2?x)

C.^(x)=cos^x+y^D.g(x)=cos(2〃x-()

【答案】A

【詳解】由題得/(X)是一個偶函數(shù)，當

x>0時，/(x)=x2-21n%/(x)=2x_2=2d2=2(x+l)(x-1)

XXX

由r(x)>0得x>1,由f'M<0得0<x<1,所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(1,長。)，減區(qū)間是(0,1),

所以函數(shù)/(x)的草圖如下,且/(x)min=/(I)=/(-1)=1.

函數(shù)/(x)=x2-21n|x|與g(x)=cos(<yx+<i?)(69>0)的圖象有兩個公共點，

所以g(x)m”=l，所以函數(shù)g(x)的最長周期為1-(-1)=2,所以至=2=

W

,^（1）=1COS（4Xl+°）=1/.COS（4+0）=1.*.-cos^=10=2攵;T+%（左￡Z）

所以g（X）=COS（兀X+2k兀+7l）=COS（7TX+萬）=—COS（TTX）,故選A.

點睛：本題的關鍵在于畫出函數(shù)/(X)=f-21n國的圖像，求出函數(shù)的最小值后，通過分析

得到g(x)m”=1和函數(shù)g(x)的最長周期為2,從而求出w的值.數(shù)形結合是高中數(shù)學很重要的

一種思想，在解題過程中要靈活運用.

12.若實數(shù)x,'滿足41nx+2172/+4丫-4,則()

A.xy=B.x+y=y/2C.x+『=l+&D.x3y=1

【答案】A

【分析】對不等式變形得到11)642丫4/2+2),_2,換元后得到

lna-a+l+(lni>-/>+l)>0,構造g(x)=lnx-x+l,求導研究其單調性，極值最值情況，得

至UgGLa=g(1)=。，從而只有a=Z>=l時，即g(a)=g(")=O時，滿足要求，從而解出

x=&,y=g,依次判斷四個選項.

【詳解】因為41nx+2klyNx「+4y-4,

所以21nx+lnyNgx2+2y-2,即ln(x2),之;f+2y_2,

所以ln(gx2.2y)z；x2+2y-2,

令gx?=a,2y=b,

則In(而)Na+b-2,E|Jlna+lnb>a+b-2,

所以Ino—a+l+(】nZ?-/?+l)NO,

令g(x)=lnx-x+l,則g，(x)=1_l=與^,

當xw(O,l)時,g<x)>0,g(x)單調遞增,

當xw(l,+0。)時,g[x)<0,g(x)單調遞減,

所以g(x)=lnx-x+l在x=l處取得極大值，也是最大值，

g(x)max=g(l)TnlT+l=。，

要想使得g(a)+g?=0成立，只有a=b=l時，即g(a)=g(3=0時，滿足要求，

所以=],2y=l,

由定義域可知：x>0,y>0,

解得：X=&,y=g,

xy=^~,A選項正確；

2

x+y=&+；,BC錯誤.

2y=26十枝,D錯誤；

故選：A.

二、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共50分。

13.已知隨機變量《服從正態(tài)分布N(2,*),則產(chǎn)&<2)=.

【答案】y

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，直接求解即可.

【詳解】解:因為隨機變量7服從正態(tài)分布N(2,〃)，

所以正態(tài)曲線關于4=2對?稱,所以尸信<2)=]

故答案為:

【點睛】本題考查了由正態(tài)曲線的對稱性求概率，屬基礎題.

14.曲線y=/-ln(2x+l)在點(0,1)處的切線方程為y=x+l,則實數(shù)〃的值為.

【答案】e3

【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義運算求解.

2

【詳解】由y=a*-ln(2x+l),51!]y'=axIna--,BP/|=lna-2,

2x+lJ=0

回y=x+l的斜率％=1,則ln4-2=l,

回a=e，,

故實數(shù)a的值為e'.

故答案為:e3.

15.設AB是拋物線C：f=4y上的兩個不同的點，。為坐標原點，若直線。4與。8的斜率

之積為-；，則直線A8恒過定點，定點坐標為.

【答案】Q2)

【分析】設4亮)"凈，根據(jù)題意可得%/=管=-1,設直線的方程為

，=區(qū)+"代入拋物線方程化簡整理并且結合根與系數(shù)的關系即可得出答案.

【詳解】設A(亮),8(々,[)，

因為直線。44OB的斜率之積為-g,

所以自4.&。8=4?/_=篝=一；'

X)x2lo2

解得看々=-8,

由題意知直線AB的斜率一定存在，設直線AB的方程為y=kx+b,

代入拋物線方程x2=4y可得V-4fcv-4b=0，需滿足A=16*+16b>0，

所以內馬=-4/?=-8,解得6=2,滿足△>(),

故直線AB的方程為y=丘+2,

則直線A8恒過定點(。，2),

故答案為團?2).

b-3

16.已知不等式1。(1一1)一(4+2?<6-2恒成立，則一^的最小值為_____.

。+2

【答案】—1—e

【分析】令〃x)=ln(x—1)—(a+2)x—b+2,求得/'(x),求得函數(shù)/(x)的單調性與最大值，

得至lJ-ln(a+2)—a-b-lW0,得至|」0之,設設g(a)=：呵生2)士4,

。+2。+2。+2

設f=a+2>0,得到g(/)=也產(chǎn)匚，利用導數(shù)求得函數(shù)g(。最大值，即可求解.

【詳解】令f(x)=ln(x—l)-(a+2)x—b+2,其中，>1,可得門x)=一^-(a+2),

x—1

當a+240時，/V)>0>此時函數(shù)〃x)單調遞增，無最大值，不符合題意；

當。+2>0時，令/'(x)=0,即上-(。+2)=0,解得x=空，

x-l。+2

當1<X<震時，/V)>01函數(shù)”X)單調遞增；

當x>富時，:(“<°'函數(shù)”X)單調遞減，

所以當》=震時，函數(shù)/(X)取得極大值，也是最大值，

且/(&3)=-ln(a+2)-a-6-l,

因為ln(x-l)-(“+2)xVb-2,恒成立，即一ln(a+2)一。一匕一140恒成立，

即匕-3*皿〃+2)-加4,可得露N重呼產(chǎn)恒成立,

-ln(o+2)一。一4

設g(")=

。+2

設i+2>0,可得g⑴一"；”?/〉。,則g’O—E,

令g'(f)=O,即號竺=0,解得f=g,

當0<f<：時，g")>0,g(f)單調遞增;

當時，g'⑺<0,g⑺單調遞減，

所以當/=!?時，函數(shù)g(f)取得極大值，也是最大值，且gd)=T-e，

所以然即露的最小值為T-e.

故答案為：—\—e.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分

17.在平面四邊形中，ZA￡>C=90，ZA=45，A8=2,BD=5.

(1)求cosZADB；

(2)若DC=2也，求BC.

【答案】(1)—;(2)5.

5

【分析】(1)方法一：根據(jù)正弦定理得到§7=.//=D，求得sinZAO8=也，結合角

sinZAsinZADB5

的范圍，利用同角三角函數(shù)關系式，求得cosNAD8=JC=與；

(2)方法一：根據(jù)第一問的結論可以求得cosN8DC=sinN4￡)B=",在△BCD中，根據(jù)

5

余弦定理即可求出.

【詳解】(1)［方法1］:正弦定理+平方關系

在△回￡)中，由正弦定理得§7=.個代入數(shù)值并解得sinN4￡?B=立.又因為

sinZAsinZADB5

BD>AB，所以NA>NADB，即NADB為銳角，所以cosNAOB=竺.

5

［方法2］：余弦定理

在△A8Z)中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos45,即25=4+3-2x2x4Ox受，解得：

2

A￡)=V2+V23.所以，

［方法3］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識

如圖，過8點作垂足為E,BF1CD,垂足為尸.在Rt_AEB中，因為NA=45。,

AB=2,所以AE=BE=啦.在RtZSBE。中，因為8￡>=5,則

DE=y］BD2-BE2=,52T尬)2=后.

所以cosNA￡>B=叵.

5

［方法4］：坐標法

以。為坐標原點，OC為x軸，OA為V軸正方向，建立平面直角坐標系（圖略）.

設則B（5cose,5sina）.因為NA=45°,所以A（O,5sina+0）.

從ifuAB=-^/（0-5cosa）2+（5sina+>/2-5sina）2=2>又。是銳角，所以cosa=,

cosZ.ADB=sina=A/1-cos2a=-

（2）［方法1］:【通性通法】余弦定理

在△BCD,由（1）得，cosNAOB=qLBC2=BD2+DC2-2BD-Z）Ccos（900-ZADB）

=52+（2V2）2-2x5x141sinZADB=25,所以BC=5.

［方法2］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識

作8尸，￡>。，垂足為尸，易求，BF=yf23,FC=42,由勾股定理得BC=5.

【整體點評】（1）方法一：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對角，利用正弦定理和平方關系解

三角形，屬于通性通法；

方法二：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對角，利用余弦定理解三角形，也屬于通性通法；

方法三：根據(jù)題意利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算.

方法四：建立坐標系，通過兩點間的距離公式，將幾何問題轉化為代數(shù)問題，這是解析思想

的體現(xiàn).

（2）方法一：已知兩邊及夾角，利用余弦定理解三角形，是通性通法.

方法二：利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算.

18.2021年是“十四五”開局之年，是實施鄉(xiāng)村振興的重要一年.某縣為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，大力

發(fā)展鄉(xiāng)村生態(tài)旅游，激發(fā)鄉(xiāng)村發(fā)展活力.該縣為了解鄉(xiāng)村生態(tài)旅游發(fā)展情況，現(xiàn)對全縣鄉(xiāng)村

生態(tài)旅游進行調研，統(tǒng)計了近9個月來每月到該縣鄉(xiāng)村生態(tài)旅游的外地游客人數(shù)y（單位:

萬人），并繪制成下圖所示散點圖，其中月份代碼1~9分別對應2020年7月至2021年3月.

外地游客人數(shù)丁

32八

28.???

24?

?

20?

16

12?

0123456789

月份代碼x

（1）用模型①丫二"+桁，②y=a+A&分別擬合與N的關系，根據(jù)散點圖判斷，N那個

模型的擬合效果最好？（不必說理由）

（2）根據(jù)（1）中選擇的模型，求y關于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（3）據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，每位外地游客可為該縣帶來100元左右的旅游收入，根據(jù)（2）中的

回歸模型，預測2021年10月，外地游客可為該縣帶來的生態(tài)旅游收入為多少萬元？

_19

參考數(shù)據(jù)：下表中4=6，r=

￡2

yt

?=1i=li=l

232.15603.5884.521.31

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)&，%），.?.，&，％），回歸方程￥=岳+%中的斜率和截距

.￡"）（一）_

的最小二乘估計公式分別為b=J--------；-,a^-bt.

幼可

z=l

【答案】（1）模型②y=a+E?的擬合效果最好；（2）y=10.20+5.95^；（3）3400萬元.

【分析】（1）觀察點的趨勢，得應用含二次根式的函數(shù)較好；

（2）根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計算出回歸方程的系數(shù)可得回歸方程；

（3）x=16代入（2）中回歸方程可得估計值.

【詳解】（1）模型②y=a+34的擬合效果最好.

（2）令f=?,知丫與f可用線性方y(tǒng)=&+R擬合，則

人次包-7）（》-刃2131_

=----------------=—^-=5.953,a=y-bT=23-5.953x2.15?10.20,

『3$8

/=1

所以，y關于f的線性回歸方程為y=lQ20+5.95r,

故y關于X的回歸方程為y=10.20+5.956.

（3）2021年10月,即x=16時，y=10.20+5.95x716=34（萬人），

此時，外地游客可為該縣帶來的生態(tài)旅游收入為3400萬元.

19.如圖，在四棱錐P/8CQ中，PDYAB,§.PD=PB,底面N2C。是邊長為2的菱形,

_7C

ABAD=-.

3

（1）證明：平面RJC0平面48CD；

（2）若R，PC,求平面與平面尸8。夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑵蟲.

3

【分析】（1）連接即，證明8￡>0平面4PC,再由8Du平面Z8CD,得出平面4P03平面

ABCD.

（2）作輔助線，利用線面垂直的判定證明PW0平面/8C。，以。為坐標原點，建立坐標系，

利用向量法求解即可.

【詳解】（1）連接交4C于點。，連接PO.

因為48CZ）是菱形，所以BOS4C,且。為8力的中點.

因為P8=P。，所以尸O08D

又因為/C,POu平面/PC,且ACPO=O,所以平面/PC.

又8￡）u平面Z5CZ）,所以平面/尸CIS平面力BCD

（2）取力8中點連接0M交4C于點，，連接尸”.

TT

因為所以皿18。是等邊三角形，所以

又因為P0GW8,PDcDM=D,PQOMu平面POM,

所以4B團平面尸。所以450/77.

由（1）如BDS1PH,且A8BD=B,所以PM3平面/BCD.

由是邊長為2的菱形，在中，AH=AM=^,AO=ABcos30°=

cos3003

由/R3PC,在EWPC中,

PH°=AH-HC=空乂型上,所以PH=還.

3333

以O為坐標原點，0B、OC分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標系,

則A（o,-6o）,5（1,0,0）,C（0,V3,0）,H。，一冬。，尸0,一坐半

所以AB=(1,6,0),CB=(l,-G,0),

設平面PAB的法向量為仆=（%,%,乙）,

732>/6

n,BP=0=0

所以=

々?A8=0

%+6y、=0

設平面尸8c的法向量為巧=（x2，y2,z2）,

,BP=0

所以

-CB=0

令％=1得%=(6』，a).

設平面PAB與平面PBC的夾角為0.

入?,In.-nJ

所以，cos6?=cos<np?2>=L——1

所以，平面218與平面P8C夾角的余弦值為由.

3

20.己知橢圓后:±+1=1（4>0>0）經(jīng)過A（0,l）,T、：,-：）兩點，M,N是橢圓E上

cibI53J

異于7的兩動點，且NM4T=NN4T,若直線40,AN的斜率均存在，并分別記為占，k2.

⑴求證：尤自為常數(shù)：

⑵求_4WN面積的最大值.

Q

【答案】⑴證明見解析；（25

【分析】（1）設直線AM,AT,AN的傾斜角分別為a,97,根據(jù)NM4T=NN4T,可一得

0-a=鄧叫,即c+￡=2，，求出。，從而可得出結論；

（2）利用待定系數(shù)法求出橢圓方程，設“（5,M）川（電,%），&=k（k#0,k*l）,聯(lián)立方程

求出小弓，再根據(jù)S“MW=^\AM\\AN\sinZMAN=^|AA/||A7V|^1-COS2AMAN

=1^|AM|2|AN|2-（AM-A2V）2,化簡計算結合基本不等式即可得解.

【詳解】（1）設直線AM,AT,4N的傾斜角分別為a,。,萬，

因為NM4T=NN47,所以NM4N=2NN4T,

即尸_0=2（6_0）,故a+夕=29,

1+3

因為A（0,l）,所以tand=-^=l,所以6=：,

5

JT

所以a+尸=26=],

貝ljk&=tana?tan/=tana?tan-a）=1,

所以勺玲為常數(shù)1；

22/Q3、

（2）橢圓E:]+W=l（a>b>0）經(jīng)過A（0,l）,

—=1f,

代入畔649「解得心1，

-------1-------=1

125a225b2

所以橢圓方程為工+y2=l,

4

設加（4乂）,陽々，%），%=k（k^Q,k*l）,由（i）得&=J,

K

則AM的方程為曠=履+1,%=3+1,AN的方程為y=，x+l,y2=?x,+1,

kk

2

X2

聯(lián)立《4+',消y得(43+1b2+8h=0,則.=~~H

y=kx+\

則sAMV=g|AM||ANkinNM4N

=^\AM\\AN\y/\-cos2ZMAN

=cos2ZMAN)

=1^|AM|2|A^|2-(|AM||^|COSZM/IN)：!

=g|AN『-(AM.AN『

_LL_lf64/64公

￥F(4/+1廣(&2+4)2

k)(4/+17r+4)2

32r32,328

------~------———

貝|JSAMN)4獷+25々+六2*

4k+后+175

2515

當且僅當4，=7,即"工=5時取等號,

Q

所以面積的最大值為g.

【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決;

（2）代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù),

再求這個函數(shù)的最值或范圍.

21.已知數(shù)列｛。"｝滿足q+3%+N*,記5.=4+々++?,1.

（1）求4和S,；

（2）證明：（1+:+!++-|5?<lnn+l.

I23nJ

【答案】（1）S?=l-y；（2）證明見解析.

【解析】（1）令〃=1求出外的值，令〃22,由4+3%++（2〃-1"7,=3—符!得出

《+3/++（2"-3”,1=3-箏二，兩式相減可得出勺，再對力的值進行驗證即可得出數(shù)

列｛《,｝的通項公式，進而利用等比數(shù)列求和公式可得出3；

（2）利用導數(shù)證明出不等式lnx4x-l（x>0）,可得事皿字〉.，利用不等式的性質可

得出1+1+：++-<lnn+l,再由5“<1進而可證明出結論成立.

23n

【詳解】（1）數(shù)列｛q｝滿足4+3%++（2力一1）4=3-與3，H

當〃=1時，4=3-3=2；

22

2

當〃22時，山4+3%++（2〃-=3-^得4+34++（2n-3）an_x=3-^^,

2〃+12〃+34〃+2-(2〃+3)2n—1

兩式相減得=

4=5滿足?！?彳■，所以，對任意的〃eN",〃〃=吩

與吐=早=奈=；，所以，數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，且首項和公比均為

T

因此，Sn=—

(2)先證明lnx〈x-l(x>0).

令/(x)=lnx-x+l,則尸(x)=」_]=由/'(x)=O=>x=l.

當0<x<l時，r(x)>0;當x>l時，r(x)<o.

所以，函數(shù)y=〃x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(i,+co),

當X=1時，函數(shù)y=〃x)取得最大值，即“力2=〃1)=(),

當0cxe1時，/(x)<0.

〃77f71I

令工=---G(0,1),則In——<------1=-----,化為ln(n+l)-ln/?>----,

〃+1n+\n+]n+\n+\

則ln2-lnl>l,In3-ln2>—,L,lnn-ln(z?-l)>—,

23v7n

上述不等式全部相加得ln〃>!+《++-,則1+!+!++-<ln