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刷題卷02(理科)
(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿(mǎn)分:150分)
一、選擇題:本小題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只
有一個(gè)是符合要求的。
1.設(shè)2=產(chǎn),貝”的虛部為()
1-1
A.iB.2iC.1D.2
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則化筒,結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念判斷.
l+3i(l+3i)(l+i)
【詳解】^z=不一=*^~^=-l+2i,故z的虛部為2.
1-1(1-+
故選:D.
2.設(shè)集合A={x|y=lg(x-1)},3=b,|y=2",xwR},則Au3=.
A.0B.RC.(0,+co)D.(l,+?))
【答案】C
【詳解】試題分析:要使函數(shù))=l£x-l)有意義應(yīng)滿(mǎn)足X-l>0,解得X>1,通過(guò)分析
可知,函數(shù)J=2工的值域?yàn)?O,-X),進(jìn)而可得<=(L+H),B=(0,+X),所以AU5=
(0,+8).
考點(diǎn):1、集合的運(yùn)算:2、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).
3.已知a,6eR,則"附N1”是々+/22”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及不等式的性質(zhì)可得解.
【詳解】^\ab^\=>a2+b2>2\a\\b^2,
而片+從之?不一定能得到例如,a=0,b-2,
所以1陽(yáng)21〃是2+6222"的充分而不必要條件.
故選:A
4.已知sina+cosa=二,且a是第一象限角,貝小吟=
A.-B.;C.,或!D.2或3
3232八
【答案】C
【解析】求出sin/cosc的值,利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式可得
asina...
tan—=-----------,從而可得結(jié)果r.a
2l+cosa
7
sina+cos。,
【詳解】因?yàn)?
.221
sina+cosa=l,
,34
sina=—,sintz=—,
所以4%
3
cosa=—,cosa=—,
sin—,.aa3
sin—2sin-cos—
當(dāng)《;時(shí),a2sina51
tan—=_2_,2=-
2a2£l+cosa143
cosa=—cos—2cos+
5225
4.ac.aa4
sina=一,sin—2sin一cos—
asina_1
當(dāng);時(shí),tan—二2二225
2a2。1+cosa?3~2
cosa--cos—2cosl+-
5225
綜上,嗚4%,故選c.
【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類(lèi),(1)"給角求值J一般所給出的角都是非特殊角,從表面上來(lái)
看是很難的,但仔細(xì)觀(guān)察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀(guān)察得到的關(guān)系,
結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.(2)"給值求值J給出某些角的
三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角",使其角相同或具有某
種關(guān)系.(3)"給值求角J實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為"給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,
確定角.
5.記Zk/BC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=60。,6=3,c=2,則cosB的值
為()
A.B.旦C.一也D.互
141477
【答案】B
【分析】首先利用余弦定理求出。,再由余弦定理計(jì)算可得;
【詳解】解:由余弦定理〃=/+c2-3ccosA=9+4-2x2x3xJ=7,解得°=方.
〃+02-從4+7-9手
故cosB=
2ac~2x2x77-14
故選:B
6.已知曲線(xiàn)y=在點(diǎn)處的切線(xiàn)為/,數(shù)列{%}的首項(xiàng)為1,點(diǎn)(4,4+j5cN*)
為切線(xiàn)/上一點(diǎn),則數(shù)列的前〃項(xiàng)和為()
n(n-l)n(n+1)/八,
A.——LB.——LC.n(n+l)D.n2
221
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)方程,進(jìn)而可得數(shù)列的遞推公式,從而可得通項(xiàng)公式
及前”項(xiàng)和.
【詳解】因?yàn)閥'=2x,所以曲線(xiàn)y=Y+;在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為%=1,
故所求切線(xiàn)/的方程為y=x+i,
所以?=a“+l,
所以數(shù)列{4}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,
所以““=〃,
其前〃項(xiàng)和為3D.
2
故選:B.
7.在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-ABC2中,點(diǎn)E,尸分別為棱GR的中點(diǎn).點(diǎn)P為線(xiàn)
段所上的動(dòng)點(diǎn).則下面結(jié)論中埼逐的是()
A.尸B.44〃平面RAP
C.DtP±BtCD./gPC是銳角
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量解決問(wèn)題.
【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DC,。。所在直線(xiàn)為蒼丫"軸,建立空間直角坐標(biāo)
系,
則A(2,0,2),4(2,2,2),尸(以1,2—m),4(0,0,2),C(0,2,0),
貝ljP\=(2-/n,-l,/n),Pg=(2-,
陷卜y/(2-m)2+l+m2=,5-4m+2-2,|網(wǎng)=^(2-m)2+1+m2=^5-4m+2m2,
所以PA=”,A正確;
因?yàn)锳耳〃AE,A耳仁平面RAP,AEu平面。1AP,
所以4旦〃平面。AP,B正確;
D,P=(m,-l,-ni),5.C=(-2,0,-2),
所以D,P-C=(m,-1,-m)?(-2,0,-2)=-2m+2m=0,
所以RPLBC,c正確;
/nPB[PC(2-6,1,加)?(一九1,"7-2)2/n2-4^+1
|PB1|.|PC|42m?-4m+5-y/2ni?-4-+52〃/—4m+5
、2
_2(z?w-l)--l
-2(m-l)2+3,
當(dāng)1_變<帆<1+也時(shí),cosZBlPC<0,
22
8.用1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求偶數(shù)不能相鄰,則這樣的五位數(shù)
有()個(gè)
A.120B.216C.222D.252
【答案】D
【分析】按含2個(gè)偶數(shù)字和含3個(gè)偶數(shù)字分成兩類(lèi),每一類(lèi)插空法而得解.
【詳解】完成組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)這件事有兩類(lèi)辦法:
取2個(gè)偶數(shù)字,3個(gè)奇數(shù)字有C;種,先排3個(gè)奇數(shù)字,再把所取的2個(gè)偶數(shù)字插入有用A:種,
不同五位數(shù)有C;A;&個(gè);
取3個(gè)偶數(shù)字,2個(gè)奇數(shù)字有C:種,先排3個(gè)偶數(shù)字,再把所取的2個(gè)奇數(shù)字插入有用8種,
不同五位數(shù)有c;A;&個(gè);
由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知,沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有C;A;A:+C;A;&=216+36=252個(gè).
故選:D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:有特殊元素的排列組合問(wèn)題,按含特殊元素的個(gè)數(shù)多少分類(lèi)是解決問(wèn)題
的關(guān)鍵.
9.如圖1所示,雙曲線(xiàn)具有光學(xué)性質(zhì):從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)鏡面反射,
22
其反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn).若雙曲線(xiàn)E:卞-%=1(“>0力>0)的左、
右焦點(diǎn)分別為6,乙,從心發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)圖2中的4,8兩點(diǎn)反射后,分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和。.且
3
cosZBAC=--,ABA.BD,則E的離心率為()
【分析】設(shè)IA瑪|=%,\BF2\=n,由雙曲線(xiàn)的定義可得IAKI,|8片|,在直角三角形中,
在AAE6中,運(yùn)用銳角一角函數(shù)的定義、勾股定理和余弦定理,化簡(jiǎn)整理,結(jié)合離心率公
式,可得所求值.
由雙曲線(xiàn)的定義可得IAE|=2a+機(jī),|8用=2a+n,
在直角三角形AF;B中,sinNf;A5=等±=。,①
2a+m5
(2a+n)2+(;n+n)2=(2a+m)1,②
在l\AF\鳥(niǎo)中,可得4c2=nr+(2a+m)2-2m(2a+m)--③
由①②可得〃=手
即為9c2=17/,
故選:D.
10.三棱柱ABC-A4a的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,且AB=AC=1,BC=0,CG,平
面A8C.若球。的表面積為3萬(wàn),則這個(gè)三棱柱的體積是()
【答案】C
【分析】由三棱柱是直三棱柱,底面是直角三角形得外接球球心在側(cè)面的中心,由球表面積
得半徑后求得棱柱的高,從而可得棱柱體積.
【詳解】AB=AC=\,BC=42,:.AB±AC,CG_L平面ABC,三棱柱ABC-A耳0內(nèi)接球
0,;.O為距形BCC向的中心,
設(shè)球。半徑為J則4乃r=3乃,.1r=迫,即OC=r=更,,三棱柱的高〃=2,
三棱柱的體積V=5,ABC-h=gx1x1x1=g,故選:C.
11.己知函數(shù)〃力=/一21巾|與g(x)=cos(0x+e)((y>O)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則滿(mǎn)足條
件的周期最大的函數(shù)g(x)可能為
A.g(x)=-cos(4x)B.g(x)=cos(2?x)
C.^(x)=cos^x+y^D.g(x)=cos(2〃x-()
【答案】A
【詳解】由題得/(X)是一個(gè)偶函數(shù),當(dāng)
x>0時(shí),/(x)=x2-21n%/(x)=2x_2=2d2=2(x+l)(x-1)
XXX
由r(x)>0得x>1,由f'M<0得0<x<1,所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(1,長(zhǎng)。),減區(qū)間是(0,1),
所以函數(shù)/(x)的草圖如下,且/(x)min=/(I)=/(-1)=1.
函數(shù)/(x)=x2-21n|x|與g(x)=cos(<yx+<i?)(69>0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),
所以g(x)m”=l,所以函數(shù)g(x)的最長(zhǎng)周期為1-(-1)=2,所以至=2=
W
,^(1)=1COS(4Xl+°)=1/.COS(4+0)=1.*.-cos^=10=2攵;T+%(左£Z)
所以g(X)=COS(兀X+2k兀+7l)=COS(7TX+萬(wàn))=—COS(TTX),故選A.
點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵在于畫(huà)出函數(shù)/(X)=f-21n國(guó)的圖像,求出函數(shù)的最小值后,通過(guò)分析
得到g(x)m”=1和函數(shù)g(x)的最長(zhǎng)周期為2,從而求出w的值.數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)很重要的
一種思想,在解題過(guò)程中要靈活運(yùn)用.
12.若實(shí)數(shù)x,'滿(mǎn)足41nx+2172/+4丫-4,則()
A.xy=B.x+y=y/2C.x+『=l+&D.x3y=1
【答案】A
【分析】對(duì)不等式變形得到11)642丫4/2+2),_2,換元后得到
lna-a+l+(lni>-/>+l)>0,構(gòu)造g(x)=lnx-x+l,求導(dǎo)研究其單調(diào)性,極值最值情況,得
至UgGLa=g(1)=。,從而只有a=Z>=l時(shí),即g(a)=g(")=O時(shí),滿(mǎn)足要求,從而解出
x=&,y=g,依次判斷四個(gè)選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?1nx+2klyNx「+4y-4,
所以21nx+lnyNgx2+2y-2,即ln(x2),之;f+2y_2,
所以ln(gx2.2y)z;x2+2y-2,
令gx?=a,2y=b,
則In(而)Na+b-2,E|Jlna+lnb>a+b-2,
所以Ino—a+l+(】nZ?-/?+l)NO,
令g(x)=lnx-x+l,則g,(x)=1_l=與^,
當(dāng)xw(O,l)時(shí),g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)xw(l,+0。)時(shí),g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
所以g(x)=lnx-x+l在x=l處取得極大值,也是最大值,
g(x)max=g(l)TnlT+l=。,
要想使得g(a)+g?=0成立,只有a=b=l時(shí),即g(a)=g(3=0時(shí),滿(mǎn)足要求,
所以=],2y=l,
由定義域可知:x>0,y>0,
解得:X=&,y=g,
xy=^~,A選項(xiàng)正確;
2
x+y=&+;,BC錯(cuò)誤.
2y=26十枝,D錯(cuò)誤;
故選:A.
二、填空題:本小題共4小題,每小題5分,共50分。
13.已知隨機(jī)變量《服從正態(tài)分布N(2,*),則產(chǎn)&<2)=.
【答案】y
【分析】根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,直接求解即可.
【詳解】解:因?yàn)殡S機(jī)變量7服從正態(tài)分布N(2,〃),
所以正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于4=2對(duì)?稱(chēng),所以尸信<2)=]
故答案為:
【點(diǎn)睛】本題考查了由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求概率,屬基礎(chǔ)題.
14.曲線(xiàn)y=/-ln(2x+l)在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)方程為y=x+l,則實(shí)數(shù)〃的值為.
【答案】e3
【分析】求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解.
2
【詳解】由y=a*-ln(2x+l),51!]y'=axIna--,BP/|=lna-2,
2x+lJ=0
回y=x+l的斜率%=1,則ln4-2=l,
回a=e,,
故實(shí)數(shù)a的值為e'.
故答案為:e3.
15.設(shè)AB是拋物線(xiàn)C:f=4y上的兩個(gè)不同的點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線(xiàn)。4與。8的斜率
之積為-;,則直線(xiàn)A8恒過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【答案】Q2)
【分析】設(shè)4亮)"凈,根據(jù)題意可得%/=管=-1,設(shè)直線(xiàn)的方程為
,=區(qū)+"代入拋物線(xiàn)方程化簡(jiǎn)整理并且結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案.
【詳解】設(shè)A(亮),8(々,[),
因?yàn)橹本€(xiàn)。44OB的斜率之積為-g,
所以自4.&。8=4?/_=篝=一;'
X)x2lo2
解得看々=-8,
由題意知直線(xiàn)AB的斜率一定存在,設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+b,
代入拋物線(xiàn)方程x2=4y可得V-4fcv-4b=0,需滿(mǎn)足A=16*+16b>0,
所以?xún)?nèi)馬=-4/?=-8,解得6=2,滿(mǎn)足△>(),
故直線(xiàn)AB的方程為y=丘+2,
則直線(xiàn)A8恒過(guò)定點(diǎn)(。,2),
故答案為團(tuán)?2).
b-3
16.已知不等式1。(1一1)一(4+2?<6-2恒成立,則一^的最小值為_(kāi)____.
。+2
【答案】—1—e
【分析】令〃x)=ln(x—1)—(a+2)x—b+2,求得/'(x),求得函數(shù)/(x)的單調(diào)性與最大值,
得至lJ-ln(a+2)—a-b-lW0,得至|」0之,設(shè)設(shè)g(a)=:呵生2)士4,
。+2。+2。+2
設(shè)f=a+2>0,得到g(/)=也產(chǎn)匚,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g(。最大值,即可求解.
【詳解】令f(x)=ln(x—l)-(a+2)x—b+2,其中,>1,可得門(mén)x)=一^-(a+2),
x—1
當(dāng)a+240時(shí),/V)>0>此時(shí)函數(shù)〃x)單調(diào)遞增,無(wú)最大值,不符合題意;
當(dāng)。+2>0時(shí),令/'(x)=0,即上-(。+2)=0,解得x=空,
x-l。+2
當(dāng)1<X<震時(shí),/V)>01函數(shù)”X)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>富時(shí),:(“<°'函數(shù)”X)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)》=震時(shí),函數(shù)/(X)取得極大值,也是最大值,
且/(&3)=-ln(a+2)-a-6-l,
因?yàn)閘n(x-l)-(“+2)xVb-2,恒成立,即一ln(a+2)一。一匕一140恒成立,
即匕-3*皿〃+2)-加4,可得露N重呼產(chǎn)恒成立,
-ln(o+2)一。一4
設(shè)g(")=
。+2
設(shè)i+2>0,可得g⑴一";”?/〉。,則g’O—E,
令g'(f)=O,即號(hào)竺=0,解得f=g,
當(dāng)0<f<:時(shí),g")>0,g(f)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),g'⑺<0,g⑺單調(diào)遞減,
所以當(dāng)/=!?時(shí),函數(shù)g(f)取得極大值,也是最大值,且gd)=T-e,
所以然即露的最小值為T(mén)-e.
故答案為:—\—e.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題,
每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。
(-)必考題:共60分
17.在平面四邊形中,ZA£>C=90,ZA=45,A8=2,BD=5.
(1)求cosZADB;
(2)若DC=2也,求BC.
【答案】(1)—;(2)5.
5
【分析】(1)方法一:根據(jù)正弦定理得到§7=.//=D,求得sinZAO8=也,結(jié)合角
sinZAsinZADB5
的范圍,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,求得cosNAD8=JC=與;
(2)方法一:根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論可以求得cosN8DC=sinN4£)B=",在△BCD中,根據(jù)
5
余弦定理即可求出.
【詳解】(1)[方法1]:正弦定理+平方關(guān)系
在△回£)中,由正弦定理得§7=.個(gè)代入數(shù)值并解得sinN4£?B=立.又因?yàn)?/p>
sinZAsinZADB5
BD>AB,所以NA>NADB,即NADB為銳角,所以cosNAOB=竺.
5
[方法2]:余弦定理
在△A8Z)中,BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos45,即25=4+3-2x2x4Ox受,解得:
2
A£)=V2+V23.所以,
[方法3]:【最優(yōu)解】利用平面幾何知識(shí)
如圖,過(guò)8點(diǎn)作垂足為E,BF1CD,垂足為尸.在Rt_AEB中,因?yàn)镹A=45。,
AB=2,所以AE=BE=啦.在RtZSBE。中,因?yàn)?£>=5,則
DE=y]BD2-BE2=,52T尬)2=后.
所以cosNA£>B=叵.
5
[方法4]:坐標(biāo)法
以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OC為x軸,OA為V軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系(圖略).
設(shè)則B(5cose,5sina).因?yàn)镹A=45°,所以A(O,5sina+0).
從ifuAB=-^/(0-5cosa)2+(5sina+>/2-5sina)2=2>又。是銳角,所以cosa=,
cosZ.ADB=sina=A/1-cos2a=-
(2)[方法1]:【通性通法】余弦定理
在△BCD,由(1)得,cosNAOB=qLBC2=BD2+DC2-2BD-Z)Ccos(900-ZADB)
=52+(2V2)2-2x5x141sinZADB=25,所以BC=5.
[方法2]:【最優(yōu)解】利用平面幾何知識(shí)
作8尸,£>。,垂足為尸,易求,BF=yf23,FC=42,由勾股定理得BC=5.
【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一:根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對(duì)角,利用正弦定理和平方關(guān)系解
三角形,屬于通性通法;
方法二:根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對(duì)角,利用余弦定理解三角形,也屬于通性通法;
方法三:根據(jù)題意利用幾何知識(shí),解直角三角形,簡(jiǎn)單易算.
方法四:建立坐標(biāo)系,通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,這是解析思想
的體現(xiàn).
(2)方法一:已知兩邊及夾角,利用余弦定理解三角形,是通性通法.
方法二:利用幾何知識(shí),解直角三角形,簡(jiǎn)單易算.
18.2021年是“十四五”開(kāi)局之年,是實(shí)施鄉(xiāng)村振興的重要一年.某縣為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì),大力
發(fā)展鄉(xiāng)村生態(tài)旅游,激發(fā)鄉(xiāng)村發(fā)展活力.該縣為了解鄉(xiāng)村生態(tài)旅游發(fā)展情況,現(xiàn)對(duì)全縣鄉(xiāng)村
生態(tài)旅游進(jìn)行調(diào)研,統(tǒng)計(jì)了近9個(gè)月來(lái)每月到該縣鄉(xiāng)村生態(tài)旅游的外地游客人數(shù)y(單位:
萬(wàn)人),并繪制成下圖所示散點(diǎn)圖,其中月份代碼1~9分別對(duì)應(yīng)2020年7月至2021年3月.
外地游客人數(shù)丁
32八
28.???
24?
?
20?
16
12?
0123456789
月份代碼x
(1)用模型①丫二"+桁,②y=a+A&分別擬合與N的關(guān)系,根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,N那個(gè)
模型的擬合效果最好?(不必說(shuō)理由)
(2)根據(jù)(1)中選擇的模型,求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(3)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),每位外地游客可為該縣帶來(lái)100元左右的旅游收入,根據(jù)(2)中的
回歸模型,預(yù)測(cè)2021年10月,外地游客可為該縣帶來(lái)的生態(tài)旅游收入為多少萬(wàn)元?
_19
參考數(shù)據(jù):下表中4=6,r=
£2
yt
?=1i=li=l
232.15603.5884.521.31
參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)&,%),.?.,&,%),回歸方程¥=岳+%中的斜率和截距
.£")(一)_
的最小二乘估計(jì)公式分別為b=J--------;-,a^-bt.
幼可
z=l
【答案】(1)模型②y=a+E?的擬合效果最好;(2)y=10.20+5.95^;(3)3400萬(wàn)元.
【分析】(1)觀(guān)察點(diǎn)的趨勢(shì),得應(yīng)用含二次根式的函數(shù)較好;
(2)根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計(jì)算出回歸方程的系數(shù)可得回歸方程;
(3)x=16代入(2)中回歸方程可得估計(jì)值.
【詳解】(1)模型②y=a+34的擬合效果最好.
(2)令f=?,知丫與f可用線(xiàn)性方y(tǒng)=&+R擬合,則
人次包-7)(》-刃2131_
=----------------=—^-=5.953,a=y-bT=23-5.953x2.15?10.20,
『3$8
/=1
所以,y關(guān)于f的線(xiàn)性回歸方程為y=lQ20+5.95r,
故y關(guān)于X的回歸方程為y=10.20+5.956.
(3)2021年10月,即x=16時(shí),y=10.20+5.95x716=34(萬(wàn)人),
此時(shí),外地游客可為該縣帶來(lái)的生態(tài)旅游收入為3400萬(wàn)元.
19.如圖,在四棱錐P/8CQ中,PDYAB,§.PD=PB,底面N2C。是邊長(zhǎng)為2的菱形,
_7C
ABAD=-.
3
(1)證明:平面RJC0平面48CD;
(2)若R,PC,求平面與平面尸8。夾角的余弦值.
【答案】⑴證明見(jiàn)解析;⑵蟲(chóng).
3
【分析】(1)連接即,證明8£>0平面4PC,再由8Du平面Z8CD,得出平面4P03平面
ABCD.
(2)作輔助線(xiàn),利用線(xiàn)面垂直的判定證明PW0平面/8C。,以。為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系,
利用向量法求解即可.
【詳解】(1)連接交4C于點(diǎn)。,連接PO.
因?yàn)?8CZ)是菱形,所以BOS4C,且。為8力的中點(diǎn).
因?yàn)镻8=P。,所以尸O08D
又因?yàn)?C,POu平面/PC,且ACPO=O,所以平面/PC.
又8£)u平面Z5CZ),所以平面/尸CIS平面力BCD
(2)取力8中點(diǎn)連接0M交4C于點(diǎn),,連接尸”.
TT
因?yàn)樗悦?8。是等邊三角形,所以
又因?yàn)镻0GW8,PDcDM=D,PQOMu平面POM,
所以4B團(tuán)平面尸。所以450/77.
由(1)如BDS1PH,且A8BD=B,所以PM3平面/BCD.
由是邊長(zhǎng)為2的菱形,在中,AH=AM=^,AO=ABcos30°=
cos3003
由/R3PC,在EWPC中,
PH°=AH-HC=空乂型上,所以PH=還.
3333
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),0B、OC分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則A(o,-6o),5(1,0,0),C(0,V3,0),H。,一冬。,尸0,一坐半
所以AB=(1,6,0),CB=(l,-G,0),
設(shè)平面PAB的法向量為仆=(%,%,乙),
732>/6
n,BP=0=0
所以=
々?A8=0
%+6y、=0
設(shè)平面尸8c的法向量為巧=(x2,y2,z2),
,BP=0
所以
-CB=0
令%=1得%=(6』,a).
設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為0.
入?,In.-nJ
所以,cos6?=cos<np?2>=L——1
所以,平面218與平面P8C夾角的余弦值為由.
3
20.己知橢圓后:±+1=1(4>0>0)經(jīng)過(guò)A(0,l),T、:,-:)兩點(diǎn),M,N是橢圓E上
cibI53J
異于7的兩動(dòng)點(diǎn),且NM4T=NN4T,若直線(xiàn)40,AN的斜率均存在,并分別記為占,k2.
⑴求證:尤自為常數(shù):
⑵求_4WN面積的最大值.
Q
【答案】⑴證明見(jiàn)解析;(25
【分析】(1)設(shè)直線(xiàn)AM,AT,AN的傾斜角分別為a,97,根據(jù)NM4T=NN4T,可一得
0-a=鄧叫,即c+£=2,,求出。,從而可得出結(jié)論;
(2)利用待定系數(shù)法求出橢圓方程,設(shè)“(5,M)川(電,%),&=k(k#0,k*l),聯(lián)立方程
求出小弓,再根據(jù)S“MW=^\AM\\AN\sinZMAN=^|AA/||A7V|^1-COS2AMAN
=1^|AM|2|AN|2-(AM-A2V)2,化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】(1)設(shè)直線(xiàn)AM,AT,4N的傾斜角分別為a,。,萬(wàn),
因?yàn)镹M4T=NN47,所以NM4N=2NN4T,
即尸_0=2(6_0),故a+夕=29,
1+3
因?yàn)锳(0,l),所以tand=-^=l,所以6=:,
5
JT
所以a+尸=26=],
貝ljk&=tana?tan/=tana?tan-a)=1,
所以勺玲為常數(shù)1;
22/Q3、
(2)橢圓E:]+W=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)A(0,l),
—=1f,
代入畔649「解得心1,
-------1-------=1
125a225b2
所以橢圓方程為工+y2=l,
4
設(shè)加(4乂),陽(yáng)々,%),%=k(k^Q,k*l),由(i)得&=J,
K
則AM的方程為曠=履+1,%=3+1,AN的方程為y=,x+l,y2=?x,+1,
kk
2
X2
聯(lián)立《4+',消y得(43+1b2+8h=0,則.=~~H
y=kx+\
則sAMV=g|AM||ANkinNM4N
=^\AM\\AN\y/\-cos2ZMAN
=cos2ZMAN)
=1^|AM|2|A^|2-(|AM||^|COSZM/IN):!
=g|AN『-(AM.AN『
_LL_lf64/64公
¥F(4/+1廣(&2+4)2
k)(4/+17r+4)2
32r32,328
------~------———
貝|JSAMN)4獷+25々+六2*
4k+后+175
2515
當(dāng)且僅當(dāng)4,=7,即"工=5時(shí)取等號(hào),
Q
所以面積的最大值為g.
【點(diǎn)睛】圓錐曲線(xiàn)中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法:
(1)幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用幾何法來(lái)解決;
(2)代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),
再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.
21.已知數(shù)列{。"}滿(mǎn)足q+3%+N*,記5.=4+々++?,1.
(1)求4和S,;
(2)證明:(1+:+!++-|5?<lnn+l.
I23nJ
【答案】(1)S?=l-y;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)令〃=1求出外的值,令〃22,由4+3%++(2〃-1"7,=3—符!得出
《+3/++(2"-3”,1=3-箏二,兩式相減可得出勺,再對(duì)力的值進(jìn)行驗(yàn)證即可得出數(shù)
列{《,}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而利用等比數(shù)列求和公式可得出3;
(2)利用導(dǎo)數(shù)證明出不等式lnx4x-l(x>0),可得事皿字〉.,利用不等式的性質(zhì)可
得出1+1+:++-<lnn+l,再由5“<1進(jìn)而可證明出結(jié)論成立.
23n
【詳解】(1)數(shù)列{q}滿(mǎn)足4+3%++(2力一1)4=3-與3,H
當(dāng)〃=1時(shí),4=3-3=2;
22
2
當(dāng)〃22時(shí),山4+3%++(2〃-=3-^得4+34++(2n-3)an_x=3-^^,
2〃+12〃+34〃+2-(2〃+3)2n—1
兩式相減得=
4=5滿(mǎn)足?!?彳■,所以,對(duì)任意的〃eN",〃〃=吩
與吐=早=奈=;,所以,數(shù)列{〃〃}是等比數(shù)列,且首項(xiàng)和公比均為
T
因此,Sn=—
(2)先證明lnx〈x-l(x>0).
令/(x)=lnx-x+l,則尸(x)=」_]=由/'(x)=O=>x=l.
當(dāng)0<x<l時(shí),r(x)>0;當(dāng)x>l時(shí),r(x)<o.
所以,函數(shù)y=〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(i,+co),
當(dāng)X=1時(shí),函數(shù)y=〃x)取得最大值,即“力2=〃1)=(),
當(dāng)0cxe1時(shí),/(x)<0.
〃77f71I
令工=---G(0,1),則In——<------1=-----,化為ln(n+l)-ln/?>----,
〃+1n+\n+]n+\n+\
則ln2-lnl>l,In3-ln2>—,L,lnn-ln(z?-l)>—,
23v7n
上述不等式全部相加得ln〃>!+《++-,則1+!+!++-<ln
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