2024屆云南省勐海縣第三中學(xué)高三4月普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

2024屆云南省勐?？h第三中學(xué)高三4月普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A．20 B．24 C．25 D．262．在中，，，，則邊上的高為（）A． B．2 C． D．3．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，對任意的，，當(dāng)時(shí)，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對稱軸是 D．函數(shù)的一個(gè)對稱中心是5．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．6．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．7．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．11．已知集合，則集合的非空子集個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．7 D．812．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為________.14．已知，，且，則最小值為__________．15．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，且與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，若是上的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_______．16．設(shè)，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），且的周長為6，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．19．（12分）如圖，平面四邊形中，，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線，．（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線、交于、兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離．21．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.22．（10分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【題目詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.2、C【解題分析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長，由此求得邊上的高.【題目詳解】過作，交的延長線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.3、C【解題分析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應(yīng)的概率.【題目詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.4、D【解題分析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【題目詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數(shù)，對于A，，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯誤；對于D，由，故D正確.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【題目詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查．6、D【解題分析】

對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補(bǔ)集；對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【題目詳解】,,.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.7、B【解題分析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【題目詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.8、C【解題分析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【題目詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，從而得到在上單調(diào)遞增且；再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【題目詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于對稱時(shí)，單調(diào)遞減時(shí)，單調(diào)遞增又且，即本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.10、D【解題分析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【題目詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11、C【解題分析】

先確定集合中元素，可得非空子集個(gè)數(shù)．【題目詳解】由題意，共3個(gè)元素，其子集個(gè)數(shù)為，非空子集有7個(gè)．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為，非空子集有個(gè)．12、B【解題分析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意得，分類討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【題目詳解】原問題等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.14、【解題分析】

首先整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【題目詳解】，結(jié)合可知原式，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.即最小值為.【題目點(diǎn)撥】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會出現(xiàn)錯誤．15、60【解題分析】

根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長度,再根據(jù)計(jì)算求解即可.【題目詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的半焦距為.因?yàn)?,,所以由勾股定理,得.所以.因?yàn)槭巧弦粋€(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn),所以.由雙曲線的定義可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為：60【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法,需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關(guān)系.屬于難題.16、121【解題分析】

在所給的等式中令，,令，可得2個(gè)等式，再根據(jù)所得的2個(gè)等式即可解得所求.【題目詳解】令，得，令，得，兩式相加，得，所以.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題,難度較易.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)的周長為，結(jié)合離心率，求出，即可求出方程；（2）設(shè)，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標(biāo)，直接驗(yàn)證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)和三點(diǎn)共線，將點(diǎn)坐標(biāo)用表示，坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求解.【題目詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，的周長為6，設(shè)橢圓的焦距為，則解得，，，所以橢圓方程為.（2）設(shè)，則，且，所以的方程為①.若，則的方程為②，由對稱性不妨令點(diǎn)在軸上方，則，，聯(lián)立①，②解得即.的方程為，代入橢圓方程得，整理得，或，.，不符合條件.若，則的方程為，即③.聯(lián)立①，③可解得所以.因?yàn)椋O(shè)所以，即.又因?yàn)槲挥谳S異側(cè)，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線，即應(yīng)與共線，所以，即，所以，又，所以，解得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想和計(jì)算求解能力，屬于較難題.18、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計(jì)算A的坐標(biāo)，計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【題目詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線的方程為，，∴，即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.在中，由與相似得，為定值.【題目點(diǎn)撥】本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度偏難．19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點(diǎn)，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn)，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【題目詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因?yàn)?所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，則有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，由得取，則設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.解法二：在中，，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，過作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，，所以，設(shè)到平面的距離為，由，即，即，可得，設(shè)直線與平面所成角大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）表示一條直線，是圓心為，半徑為的圓；（2）.【解題分析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可判斷出曲線的形狀，在曲線的方程兩邊同時(shí)乘以得，由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，由此可判斷出曲線的形狀；（2）由直線過圓的圓心，可得出為圓的一條直徑，進(jìn)而可得出.【題目詳解】（1），則曲線的普通方程為，曲線表示一條直線；由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．所以，曲線是圓心為，半徑為的圓；（2）由（1）知，點(diǎn)在直線上，直線過圓的圓心．因此，是圓的直徑，．【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ），，兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（Ⅱ）由題設(shè)可得，可得，利用錯位相