歷年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案(76套題)

第頁1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試(10月16日上午8∶00——9∶30)一．選擇題(本大題共5小題，每小題有一個(gè)正確答案，選對得7分，選錯(cuò)、不選或多選均得0分)：1．設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=φ(x)，它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象及第二個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0對稱，那么，第三個(gè)函數(shù)是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原點(diǎn)在橢圓k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的內(nèi)部，那么參數(shù)k的取值范圍是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<13．平面上有三個(gè)點(diǎn)集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|eq\r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+eq\r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)<2eq\r(2)}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．則A．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Peq\o(\s\up4(),\s\do())NB．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())PC．Peq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())MD．A、B、C都不成立4．已知三個(gè)平面α、β、γ，每兩個(gè)之間的夾角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命題甲：θ>eq\f(π,3)；命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)．則A．甲是乙的充分條件但不必要B．甲是乙的必要條件但不充分C．甲是乙的充分必要條件D．A、B、C都不對5．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過1個(gè)整點(diǎn)的集合，N表示不通過任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過無窮多個(gè)整點(diǎn)的直線的集合．那么表達(dá)式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠?．⑶M≠?．⑷P≠?中，正確的表達(dá)式的個(gè)數(shù)是A．1B．2C．3D．4二．填空題(本大題共4小題，每小題10分)：1．設(shè)x≠y，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，那么eq\f(b4－b3,a2－a1)=．2．(eq\r(x)+2)2n+1的展開式中，x的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分別是AB、AC上的高，則eq\f(DE,BC)=．4．甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再及負(fù)方2號隊(duì)員比賽，……直至一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為．三．(15分)長為eq\r(2)，寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．四．(15分)復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)Z1的軌跡方程為|Z1－Z0|=|Z1|，Z0為定點(diǎn)，Z0≠0，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z滿足Z1Z=－1，求點(diǎn)Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置．五．(15分)已知a、b為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1，試證：對每一個(gè)n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．

1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題一．已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=eq\b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1為偶數(shù))，,an+1－an(an·an+1為奇數(shù))．))試證：對一切n∈N*，an≠0．二．如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．三．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無窮多直線l1，l2，……，ln，…的直線族，它滿足條件：⑴點(diǎn)(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并證明你的結(jié)論．

1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答一試題一．選擇題(本大題共5小題，每小題有一個(gè)正確答案，選對得7分，選錯(cuò)、不選或多選均得0分)：1．設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=φ(x)，它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象及第二個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0對稱，那么，第三個(gè)函數(shù)是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)解：第二個(gè)函數(shù)是y=φ－1(x)．第三個(gè)函數(shù)是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．選B．2．已知原點(diǎn)在橢圓k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的內(nèi)部，那么參數(shù)k的取值范圍是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<1解：因是橢圓，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1<0，選D．3．平面上有三個(gè)點(diǎn)集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|eq\r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+eq\r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)<2eq\r(2)}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．則A．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Peq\o(\s\up4(),\s\do())NB．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())PC．Peq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())MD．A、B、C都不成立解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部的點(diǎn)的集合(不包括邊界)；N表示焦點(diǎn)為(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，長軸為2eq\r(2)的橢圓內(nèi)部的點(diǎn)的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1圍成的六邊形內(nèi)部的點(diǎn)的集合．故選A．4．已知三個(gè)平面α、β、γ，每兩個(gè)之間的夾角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命題甲：θ>eq\f(π,3)；命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)．則A．甲是乙的充分條件但不必要B．甲是乙的必要條件但不充分C．甲是乙的充分必要條件D．A、B、C都不對解：a，b，c或平行，或交于一點(diǎn)．但當(dāng)a∥b∥c時(shí)，θ=eq\f(π,3)．當(dāng)它們交于一點(diǎn)時(shí)，eq\f(π,3)<θ<π．選C．5．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過1個(gè)整點(diǎn)的集合，N表示不通過任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過無窮多個(gè)整點(diǎn)的直線的集合．那么表達(dá)式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠?．⑶M≠?．⑷P≠?中，正確的表達(dá)式的個(gè)數(shù)是A．1B．2C．3D．4解：均正確，選D．二．填空題(本大題共4小題，每小題10分)：1．設(shè)x≠y，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，那么eq\f(b4－b3,a2－a1)=．解：a2－a1=eq\f(1,4)(y－x)，b4－b3=eq\f(2,3)(y－x)，eq\f(b4－b3,a2－a1)=eq\f(8,3)．2．(eq\r(x)+2)2n+1的展開式中，x的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為．解：(eq\r(x)+2)2n+1－(eq\r(x)－2)2n+1=2(Ceq\a(1,2n+1)2xn+Ceq\a(3,2n+1)23xn－1+Ceq\a(5,2n+1)25xn－2+…+Ceq\a(2n+1,2n+1)22n+1)．令x=1，得所求系數(shù)和=eq\f(1,2)(32n+1+1)．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分別是AB、AC上的高，則eq\f(DE,BC)=．解：△AED∽△ABC，eq\f(DE,BC)=eq\f(AD,AC)=|cosα|．4．甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再及負(fù)方2號隊(duì)員比賽，……直至一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為．解畫1行14個(gè)格子，每個(gè)格子依次代表一場比賽，如果某場比賽某人輸了，就在相應(yīng)的格子中寫上他的順序號(兩方的人各用一種顏色寫以示區(qū)別)．如果某一方7人都已失敗則在后面的格子中依次填入另一方未出場的隊(duì)員的順序號．于是每一種比賽結(jié)果都對應(yīng)一種填表方法，每一種填表方法對應(yīng)一種比賽結(jié)果．這是一一對應(yīng)關(guān)系．故所求方法數(shù)等于在14個(gè)格子中任選7個(gè)寫入某一方的號碼的方法數(shù)．∴共有Ceq\a(7,14)種比賽方式．三．(15分)長為eq\r(2)，寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．解：過軸所在對角線BD中點(diǎn)O作MN⊥BD交邊AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，則△ABD旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)有公共底面的圓錐，底面半徑AE=eq\f(\r(2),\r(3))=eq\f(\r(6),3)．其體積V=eq\f(π,3)(eq\f(\r(6),3))2·eq\r(3)=eq\f(2\r(3),9)π．同樣，△BCD旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積=eq\f(2\r(3),9)π．其重疊部分也是兩個(gè)圓錐，由△DOM∽△DAB，DO=eq\f(\r(3),2)，OM=eq\f(DO·AB,DA)=eq\f(\r(6),4)．∴其體積=2·eq\f(1,3)π·(eq\f(\r(6),4))2·eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),8)π．∴所求體積=2·eq\f(2\r(3),9)π－eq\f(\r(3),8)π=eq\f(23,72)eq\r(3π)．四．(15分)復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)Z1的軌跡方程為|Z1－Z0|=|Z1|，Z0為定點(diǎn)，Z0≠0，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z滿足Z1Z=－1，求點(diǎn)Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置．解：Z1=－eq\f(1,Z)，故得|－eq\f(1,Z)－Z0|=|eq\f(1,Z)|，即|ZZ0+1|=1．|Z+eq\f(1,Z0)|=|eq\f(1,Z0)|．即以－eq\f(1,Z0)為圓心|eq\f(1,Z0)|為半徑的圓．五．(15分)已知a、b為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1．試證：對每一個(gè)n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．證明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2eq\r(ab)，∴ab≥2eq\r(ab)，故a+b=ab≥4．于是(a+b)k=(ab)k≥22k．又ak+bk≥2eq\r(akbk)=2eq\r((a+b)k)≥2k+1．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，左=右=0．左≥右成立．2°設(shè)當(dāng)n=k(k≥1，k∈N)時(shí)結(jié)論成立，即(a+b)k－ak－bk≥22k－2k+1成立．則(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak－1+bk－1)=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ab(ak－1+bk－1)≥4?(22k－2k+1)+4?2k=22(k+1)－4?2k+1+4?2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命題對于n=k+1也成立．故對于一切n∈N*，命題成立．二試題一．已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=eq\b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1為偶數(shù))，,an+1－an(an·an+1為奇數(shù))．))試證：對一切n∈N*，an≠0．（1988年全國高中競賽試題）分析：改證an?0(mod4)或an?0(mod3)．證明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，……∴a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod4)．設(shè)a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod4)．則a3k+1≡5×3－3×2=9≡1(mod4)；a3k+2≡1－3=－2≡2(mod4)；a3k+3≡5×2－3×1=7≡3(mod4)．根據(jù)歸納原理知，對于一切n∈N，a3n－2≡1，a3n－1≡2，a3n≡3(mod4)恒成立，故an?0(mod4)成立，從而an≠0．又證：a1≡1，a2≡2(mod3)．設(shè)a2k－1≡1，a2k≡2(mod3)成立，則當(dāng)a2k－1?a2k為偶數(shù)時(shí)a2k+1≡5×2－3×1≡1(mod3)，當(dāng)a2k－1?a2k為奇數(shù)時(shí)a2k+1≡2－1≡1(mod3)，總之a(chǎn)2k+1≡1(mod3)．當(dāng)a2k?a2k+1為偶數(shù)時(shí)a2k+2≡5×1－3×2≡2(mod3)，當(dāng)a2k?a2k+1為奇數(shù)時(shí)a2k+2≡1－2≡2(mod3)，總之，a2k+2≡2(mod3)．于是an?0(mod3)．故an≠0．二．如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．證明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．設(shè)△ABC的周長為1．則PQ=eq\f(1,3)．則eq\f(SPQR,SABC)=eq\f(PQ·RH,AB·CN)=eq\f(PQ,AB)·eq\f(AR,AC)，但AB<eq\f(1,2)，于是eq\f(PQ,AB)>eq\f(2,3)，AP≤AB－PQ<eq\f(1,2)－eq\f(1,3)=eq\f(1,6)，∴AR=eq\f(1,3)－AP>eq\f(1,6)，AC<eq\f(1,2)，故eq\f(AR,AC)>eq\f(1,3)，從而eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．三．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無窮多直線l1，l2，……，ln，…的直線族，它滿足條件：⑴點(diǎn)(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并證明你的結(jié)論．證明：設(shè)an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此時(shí)an+1不存在，故kn≠±1．現(xiàn)設(shè)kn≠0，1，則y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－eq\f(1,kn)，∴kn+1=kn－eq\f(1,kn)．此時(shí)knkn+1=kn2－1．∴kn>1或kn<－1．從而k1>1或k1<－1．⑴當(dāng)k1>1時(shí)，由于0<eq\f(1,k1)<1，故k1>k2=k1－eq\f(1,k1)>0，若k2>1，則又有k1>k2>k3>0，依此類推，知當(dāng)km>1時(shí)，有k1>k2>k3>?…>km>km+1>0，且0<eq\f(1,k1)<eq\f(1,k2)<…<eq\f(1,km)<1，km+1=km－eq\f(1,km)<km－eq\f(1,k1)=km－1－eq\f(1,km－1)－eq\f(1,k1)<km－1－eq\f(2,k1)<…<k1－eq\f(m,k1)．由于k1－eq\f(m,k1)隨m的增大而線性減小，故必存在一個(gè)m值，m=m0，使k1－eq\f(m0,k1)≤1，從而必存在一個(gè)m值m=m1≤m0，使keq\s\do4(m1－1)≥1，而1>keq\s\do4(m1)=keq\s\do4(m1－1)－eq\f(1,keq\s\do4(m1－1))>0，此時(shí)keq\s\do4(m1)·keq\s\do4(m1+1)<0．即此時(shí)不存在這樣的直線族．⑵當(dāng)k1<－1時(shí)，同樣有－1<eq\f(1,k1)<0，得k1<k2=k1－eq\f(1,k1)<0．若k2<－1，又有k1<k2<k3<0，依此類推，知當(dāng)km<－1時(shí)，有k1<k2<k3<?…<km<km+1<0，且0>eq\f(1,k1)>eq\f(1,k2)>…>eq\f(1,km)>－1，km+1=km－eq\f(1,km)>km－eq\f(1,k1)=km－1－eq\f(1,km－1)－eq\f(1,k1)>km－1－eq\f(2,k1)>…>k1－eq\f(m,k1)．由于k1－eq\f(m,km)隨m的增大而線性增大，故必存在一個(gè)m值，m=m0，使k1－eq\f(m0,k1)≥－1，從而必存在一個(gè)m值，m=m1(m1≤m0)，使keq\s\do4(m1－1)≤－1，而－1<keq\s\do4(m1)=keq\s\do4(m1)－eq\f(1,keq\s\do4(m1－1))<0，此時(shí)keq\s\do4(m1)·keq\s\do4(m1+1)<0．即此時(shí)不存在這樣的直線族．綜上可知這樣的直線族不存在．廈門市參加2010年福建省高中數(shù)學(xué)競賽暨2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競賽的通知貴校教務(wù)處轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)教研組：根據(jù)閩科協(xié)發(fā)【2010】39號文件《關(guān)于舉辦2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競賽的通知》，以及省數(shù)學(xué)會《關(guān)于2010年福建省高中數(shù)學(xué)競賽暨2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競賽的通知》，根據(jù)我市情況，有關(guān)競賽工作通知如下：一、賽制、競賽時(shí)間和命題范圍競賽分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)階段。1．預(yù)賽：（1）時(shí)間：2010年9月11日（星期六）9：00——（2）試題來源：預(yù)賽試題由福建省數(shù)學(xué)學(xué)會組織命題，同時(shí)也作為《2010年福建省高中數(shù)學(xué)競賽》的試題，試題類型以全國聯(lián)賽類型為主，適當(dāng)補(bǔ)充少量全國聯(lián)賽加試部分的內(nèi)容。（3）試卷結(jié)構(gòu)：填空題10題，每題6分，滿分60分；解答題5題，每題20分，滿分100分。全卷滿分160分?？荚嚂r(shí)間150分鐘。2．復(fù)賽（1）時(shí)間及地點(diǎn)：2010年10月17日（星期日）8：00——12：10，集中在福州一中舊校區(qū)進(jìn)行考試。其中聯(lián)賽時(shí)間為8：00—9：20，加試時(shí)間為9：40—12：10。（2）試題來源及命題要求：復(fù)賽試題是由中國數(shù)學(xué)會統(tǒng)一命題的全國聯(lián)賽試題和加試試題。命題范圍以現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱為準(zhǔn)，加試試題的命題范圍以數(shù)學(xué)競賽大綱為準(zhǔn)。根據(jù)現(xiàn)行“高中數(shù)學(xué)競賽大綱”的要求，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識范圍不超過教育部2000年《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但方法的要求上有所提高。主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況，以及綜合、靈活運(yùn)用知識的能力。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）及中國數(shù)學(xué)奧林匹克（冬令營）、國際數(shù)學(xué)奧林匹克接軌，在知識方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容。（3）試卷結(jié)構(gòu)：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）試卷結(jié)構(gòu)為：填空題8題，每題8分，滿分64分；解答題3題，分別為16分、20分、20分，滿分56分。全卷滿分120分?？荚嚂r(shí)間80分鐘；全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）試卷結(jié)構(gòu)為：4道解答題，涉及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個(gè)方面。每題50分。滿分200分?？荚嚂r(shí)間150分鐘。二、參賽對象本學(xué)年度的在校高中學(xué)生均可報(bào)名，自愿參加，不影響學(xué)校的正常教學(xué)秩序。三、報(bào)名、報(bào)名費(fèi)和準(zhǔn)考證采用網(wǎng)上報(bào)名。在各校教務(wù)處的指導(dǎo)下，由高二年數(shù)學(xué)備課組長具體負(fù)責(zé)，組織學(xué)生報(bào)名參加競賽。報(bào)名表請參照樣表、統(tǒng)一用Excel文檔并按要求認(rèn)真填寫，根據(jù)省數(shù)學(xué)會要求，報(bào)名時(shí)需將所有參加考試的考生的花名冊上交，為最后評獎(jiǎng)、頒發(fā)獲獎(jiǎng)學(xué)生證書以及制作指導(dǎo)教師證書的依據(jù)，務(wù)必請各校認(rèn)真填寫報(bào)名表，指導(dǎo)教師以報(bào)名表上登記的為準(zhǔn)（每名學(xué)生只能上報(bào)1名指導(dǎo)教師），賽后不得更改。報(bào)名費(fèi)（按省數(shù)學(xué)會通知）統(tǒng)一收取每生18元。各參賽學(xué)校請將報(bào)名表的電子文本用E.；報(bào)名費(fèi)請直接匯入建設(shè)銀行活期存折，存折戶名：陳智猛，ATM卡號：4367421930036257416。報(bào)名截止時(shí)間是6月25日，逾期不予受理。請保留匯款的憑單備查，將本校報(bào)名人數(shù)以及匯款的金額數(shù)用手機(jī)短信形式發(fā)送至，短信聯(lián)系進(jìn)行報(bào)名的確認(rèn)。9月初召開考務(wù)會同時(shí)領(lǐng)取準(zhǔn)考證，準(zhǔn)考證請各校自行填寫，由備課組長保管，考前30分鐘再發(fā)給考生。四、考號安排學(xué)校 考號安排廈門一中 10001——10600雙十中學(xué) 10601——11200廈門六中 11201——11800外國語學(xué)校 11801——12400科技中學(xué) 12401——13000廈門二中 13001——13200湖濱中學(xué) 13201——13400學(xué)校 考號安排松柏中學(xué) 13401——13600廈門三中 13601——13800華僑中學(xué) 13801——14000禾山中學(xué) 14001——14200大同中學(xué) 14201——14400康橋中學(xué) 14401——14600集美中學(xué) 20001——20400英才學(xué)校 20401——20600灌口中學(xué) 20601——28000樂安中學(xué) 20801——21000廈門十中 21001——21400杏南中學(xué) 21401——21600海滄中學(xué) 21601——21800海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué) 21801——22000同安一中 30001——30600啟悟中學(xué) 30601——30800第二外國語學(xué)校 30801——31000東山中學(xué) 31001——31200五顯中學(xué) 31201——31400國祺中學(xué) 31401——31600翔安一中 40001——40400新店中學(xué) 40401——40600內(nèi)厝中學(xué) 40601——40800詩扳中學(xué) 40801——41000五、考務(wù)：有關(guān)考場的設(shè)置、監(jiān)考等考務(wù)工作另行安排布置。六、獎(jiǎng)項(xiàng)：按參賽人數(shù)的5%從高分到低分確定復(fù)賽入圍者；預(yù)賽成績?yōu)楸緟^(qū)第一名經(jīng)省數(shù)學(xué)會審核無誤后也可以直接參加復(fù)賽。另外，符合下列條件之一者可直接進(jìn)入復(fù)賽：（1）2008年、2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建賽區(qū)）一、二等獎(jiǎng)獲得者；（2）2010年東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽一、二等獎(jiǎng)獲得者；（3）2010年福建省高一數(shù)學(xué)競賽（?。┣笆迕@得者；（4）2010年中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克競賽一、二等獎(jiǎng)獲得者。復(fù)賽試卷經(jīng)省數(shù)學(xué)會評定后，評出（省級）全國一、二、三等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)名單報(bào)省科協(xié)、省教育廳審定，獲得（省級）全國一、二、三等獎(jiǎng)的選手及指導(dǎo)教師由省科協(xié)和省教育廳聯(lián)合頒發(fā)獲獎(jiǎng)證書。注意：一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)均按聯(lián)賽及加試的總分評定。省數(shù)學(xué)會評出《2009年福建省高中數(shù)學(xué)競賽》一、二、三等獎(jiǎng)后，我市在省獎(jiǎng)之外再評出市一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)，以及表揚(yáng)獎(jiǎng)若干名。為了鼓勵(lì)各校參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的積極性，研究決定：按報(bào)名人數(shù)給學(xué)校不低于10%的市級（以上）獲獎(jiǎng)名額，鼓勵(lì)學(xué)生。廈門市教育科學(xué)研究院基礎(chǔ)教育研究室廈門市教育學(xué)會數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會2010年5月13日附：2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)（廈門）競賽報(bào)名表考號學(xué)生姓名性別年級所在學(xué)校指導(dǎo)教師考生總數(shù)（人）應(yīng)交金額（元）（注：報(bào)名表的指導(dǎo)教師欄請認(rèn)真填寫，賽后不得更改）1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一．選擇題(每小題5分，共30分)對于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1及x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|＋|A2B2|＋L＋|A1992B1992|的值是()

(A)(B)(C)(D)已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是()

(A)(x＋)(y＋)=0(B)(x-)(y-)=0

(C)(x＋)(y-)=0(D)(x-)(y＋)=0設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記=/S，則一定滿足()

(A)2<≤4(B)3<<4(C)2.5<≤4.5(D)3.5<<5.5在△ABC中，角A，B，C的對邊分別記為a，b，c(b11)，且都是方程=logb(4x-4)的根，則△ABC()

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2＋z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()

(A)8(B)4(C)6(D)12設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10＋x)f(10-x)，f(20-x)-f(20＋x)，則f(x)是

(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)二．填空題(每小題5分共30分)設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的值是______．在區(qū)間[0，p]中，三角方程cos7xcos5x的解的個(gè)數(shù)是______．從正方體的棱和各個(gè)面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是_____．設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1＋z2|=7，則arg()3的值是______．設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿足a1a21，a32，且對任何自然數(shù)n，都有anan＋1an＋211，又anan＋1an＋2an＋3an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，則a1＋a2＋L＋a100的值是____．函數(shù)f(x)=-的最大值是_____．三、(20分)求證：．四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=，BE=CF=，求l及m的距離．五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)(x10，1)，令y=x＋.

1.求證:fn＋1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1)

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：fn(x)=1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第一試一．選擇題(每小題5分，共30分)若M＝{(x，y)||tgpy|+sin2px0}，N＝{(x，y)|x2+y2≤2}，則MN的元素個(gè)數(shù)是（）

(A)4(B)5(C)8(D)9已知f(x)＝asinx+b+4(a，b為實(shí)數(shù))，且f(lglog310)5，則f(lglg3)的值是（）

(A)-5(B)-3(C)3(D)隨a，b取不同值而取不同值集合A，B的并集AB＝{a1，a2，a3}，當(dāng)A1B時(shí)，(A，B)及(B，A)視為不同的對，則這樣的(A，B)對的個(gè)數(shù)是（）

（A）8（B）9（C）26（D）27若直線x＝被曲線C：(x－arcsina)(x－arccosa)＋(y－arcsina)(y＋arccosa)＝0所截的弦長為d，當(dāng)a變化時(shí)d的最小值是()

(A)(B)(C)(D)p在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則的值是()

(A)1(B)(C)(D)-1設(shè)m，n為非零復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z?C，則方程|z＋ni|＋|z－mi|＝n及|z＋ni|－|z－mi|＝－m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是()二．填空題（每小題5分，共30分）二次方程(1－i)x2＋(l＋i)x＋(1＋il)＝0(i為虛數(shù)單位，l?R)有兩個(gè)虛根的充分必要條件是l的取值范圍為________．實(shí)數(shù)x，y滿足4x2－5xy＋4y2＝5，設(shè)S＝x2＋y2，則_______．若z?C，arg(z2-4)＝，arg(z2+4)＝，則z的值是________．整數(shù)的末兩位數(shù)是_______．設(shè)任意實(shí)數(shù)x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使≥恒成立，則k的最大值是_______．三位數(shù)(100，101，L，999)共900個(gè)，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個(gè)三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則不然，如531倒過來看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____張卡片．三．（本題滿分20分）三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作及SC平行的直線DP．證明：(1)DP及SM相交；(2)設(shè)DP及SM的交點(diǎn)為，則為三棱錐S－ABC的外接球球心．四．（本題滿分20分）設(shè)0＜a＜b，過兩定點(diǎn)A(a，0)和B(b，0)分別引直線l和m，使及拋物線y2＝x有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時(shí)，求這種直線l及m的交點(diǎn)P的軌跡．五．（本題滿分20分）設(shè)正數(shù)列a0，a1，a2，L，an，L滿足(n≥2)且a0＝a1＝1．求{an}的通項(xiàng)公式．1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一．選擇題(每小題6分，共36分)1．設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，那么對任何實(shí)數(shù)x，不等式都成立的充要條件是(A)a，b同時(shí)為0，且c>0(B)(C)(D)2．給出下列兩個(gè)命題：(1)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果，則；(2)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果，則．那么下述說法正確的是(A)命題(1)正確，命題(2)也正確(B)命題(1)正確，命題(2)錯(cuò)誤(C)命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)也錯(cuò)誤(D)命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)正確3．已知數(shù)列滿足，且，其前n項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是(A)5(B)6(C)7(D)84．已知，則下列三數(shù)：，，的大小關(guān)系是(A)x＜z<y(B)y＜z＜x(C)z＜x＜y(D)x＜y＜z5．在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是(A)(B)(C)(D)6．在平面直角坐標(biāo)系中，方程(a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的長方形(D)非正方形的菱形二、填空題(每小題9分，共54分)1．已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-1，1)和(2，2)，若直線l：x＋my＋m＝0及PQ的延長線相交，則m的取值范圍是______．2．已知且，則=_____．3．已知點(diǎn)集，，則點(diǎn)集中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為_____．4．設(shè)，則的最大值是______．5．已知一平面及一正方體的12條棱的夾角都等于，則=___6．已知95個(gè)數(shù)，每個(gè)都只能?。?或兩個(gè)值之一，那么它們的兩兩之積的和的最小值是___．1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試一．選擇題(每小題6分，共36分)1.設(shè)等差數(shù)列滿足且，Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是()(A)(B)(C)(D)2.設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，則復(fù)數(shù)Z11995，Z21995，所對應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()(A)4(B)5(C)10(D)203.如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)50個(gè)(D)100個(gè)4.已知方程在區(qū)間(2n-1，2n+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)以上都不是5.的大小關(guān)系是()(A)(B)(C)(D)6.設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面三角形ABC的中心，過O的動(dòng)平面及PC交于S，及PA，PB的延長線分別交于Q，R，則和式(A)有最大值而無最小值(B有最小值而無最大值(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個(gè)及面QPS無關(guān)的常數(shù)二、填空題(每小題9分，共54分)1.設(shè)為一對共軛復(fù)數(shù)，若，且為實(shí)數(shù)，則_____．2.一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積及這個(gè)球的體積之比為_______．3.用[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是______．4.直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是______．5.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是______．6.設(shè)M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且滿足條件:當(dāng)時(shí)，，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是______．一九九六年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽選擇題（本題滿分36分，每小題6分）把圓x2+(y–1)2=1及橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn),用線段連接起來的圖形是_________.(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1536,公比是q＝．用Tn表示它的前n項(xiàng)之積，則Tn(n?N)最大的是____________(A)T9(B)T11(C)T12(D)T133.存在在整數(shù)n，使是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p．(A)不存在(B)只有一個(gè)(C)多于一個(gè)，但為有限個(gè)(D)有無窮多個(gè)4設(shè)x?(–，0)，以下三個(gè)數(shù)：a1=cos(sinxp),a2=sin(cosxp),a3=cos(x+1)p的大小關(guān)系是__________．(A)a3<a2<a1(B)a1<a3<a2(C)a3<a1<a2(D)a2<a3<a15.如果在區(qū)間[1,2]上,函數(shù)f(x)=x2+px+q及g(x)=x+()2在同一點(diǎn)取相同的最小值,那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是__________.(A)(B)(C)(D)以上答案都不對6.高為8的圓臺內(nèi)有一個(gè)半徑為2的球O1,球心O1在圓臺的軸上.球O1及圓臺上底面、側(cè)面都相切.圓臺內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為3的球O2,使得球O2及球O1、圓臺的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn),除球O2,圓臺內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是_____________.(A)1(B)2(C)3(D)4填空題(本題滿分54分,每小題9分)集合{x|–1￡log()10<–,x?N}的真子集的個(gè)數(shù)是_____________________．復(fù)平面上非零復(fù)數(shù)z1、z2在以i為圓心1為半徑的圓上，z1z1的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=____________．3.曲線C的極坐標(biāo)方程是r=1+cosq,點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,0)．曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周,則它掃過的圖形的面積是______________．4.已知將給定的兩個(gè)全等的三棱錐的底面粘在一起,恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體,并且該六面體的最短棱的長為2,則最遠(yuǎn)的兩個(gè)基本點(diǎn)頂點(diǎn)的距離是__________．5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色,每面恰染一種顏色,每兩個(gè)具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有_____________種.(注:如果我們對兩個(gè)相同的正方體染色后,可以通過適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn),使得兩個(gè)正方體的上、下、左、右、前、后六個(gè)對應(yīng)面的染色都相同,那么,我們就說這兩個(gè)正方體的染色方案相同).6.在直角坐標(biāo)平面上，以（199，0）為圓心，以199為半徑的圓周上，整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為_______________．1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷(10月5日上午8:00-10:00)一、選擇題(每小題6分，共36分)1．已知數(shù)列{}滿足(n≥2)，x1a，x2b，記Snx1＋x2＋L＋xn，則下列結(jié)論正確的是

(A)x100＝－a，S100＝2b－a(B)x100＝－b，S100=2b－a

(C)x100＝－b，S100＝b－a(D)x100＝－a，S100＝b－-a2．如圖，正四面體ABCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使得

，

記其中表示EF及AC所成的角，表示EF及BD所成的角，則(A)在單調(diào)增加

(B)在單調(diào)減少

(C)在(0，1)單調(diào)增加，而在(1，＋單調(diào)減少

(D)在(0，＋)為常數(shù)3.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)的和為972，則這樣的數(shù)列共有

(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)4．在平面直角坐標(biāo)系中，若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為

(A)(0，1)(B)(1，＋(C)(0，5)(D)(5，＋5．設(shè)，a=arcsin，，則

(A)(B)

(C)(D)6．如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么及a，b，c都相交的直線有

(A)0條(B)1條(C)多于1的有限條(D)無窮多條填空題(每小題9分，共54分)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且滿足，則x＋y=.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得|AB|=的直線l恰有3條，則＝.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的幅角主值范圍是．已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰三角形，SA＝SB＝SC＝2，AB＝2，設(shè)S、A、B、C四點(diǎn)均在以O(shè)為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為．設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點(diǎn)A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一．若在5次之內(nèi)跳到D點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若5次之內(nèi)不能到達(dá)D點(diǎn)，則跳完5次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種．設(shè)a=lgz＋lg[x(yz)-1＋1]，b=lgx-1＋lg(xyz＋1)，c=lgy＋lg[(xyz)-1＋1]，記a，b，c中最大數(shù)為M，則M的最小值為．

一九九八年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷（10月11日上午800—1000）選擇題（本題滿分36分，每小題6分）若a＞1,b＞1且lg(a+b)=lga+lgb，則lg(a-1)+lg(b-1)的值

(A)等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是及a,b無關(guān)的常數(shù)若非空集合A={x2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}，則能使AíAB成立的所有a的集合是()

(A){a|1≤a≤9}(B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9}(D)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和記為Sn，若S10=10,S30=70，則S40等于()

(A)150(B)-200(C)150或-200(D)400或-50設(shè)命題P：關(guān)于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0及a2x2+b2x+c2＞0的解集相同；命題Q：。則命題Q

(A)是命題P的充分必要條件(B)是命題P的充分條件但不是必要條件

(C)是命題P的必要條件但不是充分條件

(D)既不是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件設(shè)E,F,G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點(diǎn)，則二面角C-FG-E的大小是()

(A)(B)

(C)(D)在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是()

(A)57(B)49(C)43(D)37填空題（本題滿分54分，每小題9分）若是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則,,由小到大的排列是_________________.設(shè)復(fù)數(shù)z=(≤≤18)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z,2在復(fù)平面上對應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P,Q,R，當(dāng)P,Q,R不共線時(shí)，以線段PQ,PR為兩邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為S，則點(diǎn)S到原點(diǎn)距離的最大值是_______.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有________種.各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方及其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有___________項(xiàng).若橢圓及拋物線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，M是AB的中點(diǎn)，將△ACM沿CM折起，使A,B兩點(diǎn)間的距離為，此時(shí)三棱錐A-BCM的體積等于________.（本題滿分20分）

已知復(fù)數(shù)z=1-sin+icos()，求z的共軛復(fù)數(shù)的輻角主值。（本題滿分20分）

設(shè)函數(shù)(a＜0)，對于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l(a)，使得在整個(gè)區(qū)間[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。

問：a為何值時(shí)l(a)最大？求出這個(gè)最大的l(a)，證明你的結(jié)論。（本題滿分20分）

已知拋物線及定點(diǎn),B(-a,0),，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM,BM及拋物線的另一交點(diǎn)分別為M1,M2.

求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要M1,M2存在且M1≠M(fèi)2），直線M1M2恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽選擇題（滿分36分，每小題6分）給定公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{an}，設(shè)b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，則數(shù)列{bn}()

(A)是等差數(shù)列(B)是公比為q的等比數(shù)列

(C)是公比為q3的等比數(shù)列(D)既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，那么，滿足不等式(|x|－1)2＋(|y|-1)2＜2的整點(diǎn)(x，y)的個(gè)數(shù)是()

(A)16(B)17(C)18(D)25若(log23)x-(log53)x≥(log23)-(log53)，則()

(A)x-y≥0(B)x＋y≥0(C)x-y≤0(D)x＋y≤0給定下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題：

命題Ⅰ：若平面a上的直線a及平面b上的直線b為異面直線，直線c是a及b的交線，那么，c至多及a,b中的一條相交；

命題Ⅱ：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。

那么，()

(A)命題Ⅰ正確，命題Ⅱ不正確(B)命題Ⅱ正確，命題Ⅰ不正確

(C)兩個(gè)命題都正確(D)兩個(gè)命題都不正確在某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽了2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行了50場。那么，在上述3名選手之間比賽的場數(shù)是()

(A)0(B)1(C)2(D)3已知點(diǎn)A(1,2)，過點(diǎn)(5,-2)的直線及拋物線y2＝4x交于另外兩點(diǎn)B,C，那么，△ABC是()

(A)銳角三角形(B)鈍角三角形(C)直角三角形(D)答案不確定填空題（滿分54分，每小題9分）已知正整數(shù)n不超過2000，并且能表示成不少于60個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，那么，這樣的n的個(gè)數(shù)是___________．已知＝arctg，那么，復(fù)數(shù)的輻角主值是_________．在△ABC中，記BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，則已知點(diǎn)P在雙曲線上，并且P到這條雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰是P到這條雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，那么，P的橫坐標(biāo)是_____．已知直線ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是______．已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA＝2。那么三棱錐S-ABC的體積為__________．三、(滿分20分)已知當(dāng)x?[0,1]時(shí)，不等式恒成立，試求的取值范圍．四、(滿分20分)給定A(-2,2)，已知B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，當(dāng)|AB|＋|BF|取最小值時(shí)，求B的坐標(biāo)．五、(滿分20分)給定正整數(shù)n和正數(shù)M，對于滿足條件≤M的所有等差數(shù)列a1,a2,a3,….，試求S＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1的最大值．2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷（10月15日上午8:00-9:40）一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1．設(shè)全集是實(shí)數(shù)，若A={x|≤0}，B={x|=},則是()(A){2}(B){-1}(C){x|x≤2}(D)2．設(shè)sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,則的取值范圍是()(A)(2kp+,2kp+),k?Z(B)(+,+),k?Z(C)(2kp+,2kp+p),k?Z(D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),k?Z3．已知點(diǎn)A為雙曲線x2-y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支上，△ABC是等邊三角形，則△ABC的面積是()(A)

(B)

(C)3

(D)64．給定正數(shù)p,q,a,b,c，其中p1q，若p,a,q是等比數(shù)列，p,b,c,q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2-2ax+c=0()(A)無實(shí)根(B)有兩個(gè)相等實(shí)根(C)有兩個(gè)同號相異實(shí)根(D)有兩個(gè)異號實(shí)根5．平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線的距離中的最小值是()(A)

(B)

(C)

(D)6．設(shè)，則以w,w3,w7,w9為根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4-x3+x2-x+1=0(C)x4-x3-x2+x+1=0(D)x4+x3+x2-x-1=0二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7．a(chǎn)rcsin(sin2000°)=__________.8．設(shè)an是(3-的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)(n=2,3,4,…)，則)=________.9．等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.10．在橢圓(a＞b＞0)中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B.若該橢圓的離心率是，則∠ABF=_________.11．一個(gè)球及正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個(gè)球的體積是________.12．如果：(1)a,b,c,d都屬于{1,2,3,4};(2)a1b,b1c,c1d,d1a;(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以組成的不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是_________.三、解答題(本題滿分60分，每小題20分)13．設(shè)Sn=1+2+3+…+n,n?N，求f(n)=的最大值.14．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a,b].15．已知C0:x2+y2=1和C1:(a＞b＞0)。試問：當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，對C1上任意一點(diǎn)P，均存在以P為項(xiàng)點(diǎn),及C0外切,及C1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽題1、已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的個(gè)數(shù)為（A）1（B）2（C）4（D）不確定2、命題1：長方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；命題2：長方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn)；命題3：長方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn)；以上三個(gè)命題中正確的有（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè)3、在四個(gè)函數(shù)y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以為周期、在（0，）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果滿足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是（A）k=8（B）0<k≤12（C）≥12（D）0<k≤

的短軸長等于。8、若復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,則z1z2=。9、正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1及BD1的距離是10、不等式的解集為。FABCDEFABCDE12、在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一場塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有種栽種方案。解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且，，（a1<a2）,又，試求{an}的首項(xiàng)及公差。14、設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))及C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)P。求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；O為原點(diǎn)，若C1及x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0<a<時(shí)，試求⊿OAP的面積的最大值（用a表示）。15、用電阻值分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的電阻組裝成一個(gè)如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最??？證明你的結(jié)論。2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及參考答案試題一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、函數(shù)f(x)=log1/2(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3,＋∞）2、若實(shí)數(shù)x，y滿足(x+5)2+(y-12)2=142，則x2+y2的最小值為（）。（A）2（B）1（C）√3（D）√23、函數(shù)f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)（B）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)

（C）既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)（D）既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)4、直線x/4+y/3=1及橢圓x2/16+y2/9=1相交于A，B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P，使得ΔPAB面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有（）。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)5、已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A＝｛a1,a2,…,a100｝及B＝｛b1,b2,…,b50｝，若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)則這樣的映射共有（）。（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1；滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點(diǎn)（x,y）組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則（）。（A）V1=（1/2）V2(B)V1=（2/3）V2(C)V1=V2(D)V1=2V2二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、已知復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它們所對應(yīng)向量的夾角為60°,則∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。8、將二項(xiàng)式（√x+1/（24√x））n的展開式按x的降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有個(gè)。9、如圖，點(diǎn)P1，P2，…，P10分別是四面體頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，那么在同一平面上的四點(diǎn)組（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有個(gè)。10、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=。11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則∣x∣-∣y∣的最小值是。12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對一切x∈R恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、已知點(diǎn)A（0,2）和拋物線y2=x+4上兩點(diǎn)B，C使得AB⊥BC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。14、如圖，有一列曲線P0，P1，P2……，已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+1是對Pk進(jìn)行如下操作得到：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0,1,2,）。記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積。

（1）求數(shù)列｛Sn｝的通項(xiàng)公式；

（2）求limSn.

n→∞15、設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)滿足條件：

（1）當(dāng)x∈R時(shí),f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;

（2）當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)≤((x+1)/2)2;

（3）f(x)在R上的最小值為0.

求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試選擇題（每小題6分,滿分36分）刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,……中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列．這個(gè)新數(shù)列的第2003項(xiàng)是

(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049設(shè)a,b?R,ab≠0，那么，直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是OxyxyOxyOxyO(A)(B)(C)(D)過拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線．若此直線及拋物線交于A,B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線及x軸交于P點(diǎn)，則線段PF的長等于

(A)(B)(C)(D)8若x?[-,-]，則y=tan(x+)-tan(x+)+cos(x+)的最大值是

(A)(B)(C)(D)已知x,y都在區(qū)間(-2,2)內(nèi)，且xy＝-1，則函數(shù)u=+的最小值是

(A)(B)(C)(D)在四面體ABCD中，設(shè)AB=1，CD=，直線AB及CD的距離為2，夾角為，則四面體ABCD的體積等于

(A)(B)(C)(D)填空題(每小題9分,滿分54分)不等式|x|3-2x2-4|x|+3＜0的解集是__________.設(shè)F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|:|PF2|=2:1，則△PF1F2的面積等于__________.已知A={x|x2-4x+3＜0,x?R},B={x|≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x?R}．若AíB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.已知a,b,c,d均為正整數(shù)，且logab=,logcd=，若a-c=9,則b-d=________.將八個(gè)半徑都為1的球分兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球和其相鄰的四個(gè)球相切，且及圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于________.設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1)，an=1}，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則=_______.解答題(每小題20分，滿分60分)已知,證設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù),,對應(yīng)的不共線三點(diǎn)。證：曲線及中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn)。一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)剛好及A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合。1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1、設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù),那么對任何實(shí)數(shù)x,不等式都成立的充要條件是(A)a,b同時(shí)為0,且c>0(B)(C)(D)2、給出下列兩個(gè)命題：(1).設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù)，如果,則.(2).設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù)，如果,則.那么下述說法正確的是(A)命題(1)正確,命題(2)也正確(B)命題(1)正確,命題(2)錯(cuò)誤(C)命題(1)錯(cuò)誤,命題(2)也錯(cuò)誤(D)命題(1)錯(cuò)誤,命題(2)正確3、已知數(shù)列滿足,且,其前n項(xiàng)之和為,則滿足不等式的最小整數(shù)n是(A)5(B)6(C)7(D)84、已知,則下列三數(shù):,,的大小關(guān)系是(A)x<z<y(B)y<z<x(C)z<x<y(D)x<y<z5、在正n棱錐中,相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是(A)(B)(C)(D)6、在平面直角坐標(biāo)系中,方程(a,b是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的長方形(D)非正方形的菱形二、填空題(每小題9分，共54分)1.已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-1,1)和(2,2)，若直線及PQ的延長線相交，則m的取值范圍是______.2.已知且則=_____.3.已知點(diǎn)集,,則點(diǎn)集中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為_____.4.設(shè),則的最大值是______.5.已知一平面及一正方體的12條棱的夾角都等于,則=___6.已知95個(gè)數(shù),每個(gè)都只能取+1或兩個(gè)值之一,那么它們的兩兩之積的和的最小值是___.1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13且a1>0，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn中最大的是（

）

(A)S10

(B)S11

(C)S20

(D)S21設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z1,Z2,...,Z20，則復(fù)數(shù)Z11995,Z21995,...,Z201995所對應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）

(A)4

(B)5

(C)10

(D)20如果甲的身高或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有（

）

(A)1個(gè)

(B)2個(gè)

(C)50個(gè)

(D)100個(gè)已知方程|x-2n|=k√x(n∈N)在區(qū)間(2n-1,2n+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是(

)

(A)k>0

(B)0<k≤1/√(2n+1)

(C)1/(2n+1)<k≤1/√(2n+1)

(D)以上都不是logsin1cos1，logsin1tg1，logcos1sin1，logcos1tg1的大小關(guān)系是

(A)logsin1cos1<logcos1sin1<logsin1tg1<logcos1tg1

(B)logcos1sin1<logcos1tg1<logsin1cos1<logsin1tg1

(C)logsin1tg1<logcos1tg1<logcos1sin1<logsin1cos1

(D)logcos1tg1<logsin1tg1<logsin1cos1<logcos1sin1設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面三角形ABC的中心，過O的動(dòng)平面及PC交于S，及PA,PB的延長線分別交于Q、R，則和式1/PQ+1/PR+1/PS(

)

(A)有最大值而無最小值

(B)有最小值而無最大值

(C)既有最大值又有最小值，兩者不等

(D)是一個(gè)及面QPS無關(guān)的常數(shù)二、填空題(每小題9分，共54分)設(shè)α、β為一對共軛復(fù)數(shù)，若|α-β|=2√3，且α/β2為實(shí)數(shù)，則|α|=____。一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積及這個(gè)球的體積之比為____。用[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程lg2x-[lgx]-2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是____。直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組{y≤3xy≥x/3x+y≤100的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是____。將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是____。設(shè)M={1,2,...,1995}，A是M的子集且滿足條件：當(dāng)x∈A時(shí)，15x就不屬于A，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是____。

1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題【第一試】一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1.把圓x2+(y–1)2=1及橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn),用線段連接起來所得到的圖形為(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形2.等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1536,公比是q=.用πn表示它的前n項(xiàng)之積，則πn(n?N)最大的是(A)π9(B)π11(C)π12