新疆維吾爾自治區(qū)伊犁哈薩克自治州新源縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

新疆維吾爾自治區(qū)伊犁哈薩克自治州新源縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．150°2．在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在斜棱柱中，與的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．4．化簡式子，得（

）A． B． C． D．5．如圖，在正四棱柱中，，O是底面的中心，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求直線與直線夾角的余弦值是（

）

A． B． C． D．6．已知、、為空間三個(gè)不共面的向量，向量，，若與共線，則（

）A． B． C． D．7．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線距離的最大值為（

）A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣的一個(gè)問題“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”，其大意為：有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，問此人前4天共走了（

）A．189里 B．288里 C．336里 D．360里9．利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)證明（

）A． B．C． D．10．若兩直線與垂直，則的值為（

）A． B． C． D．11．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A． B．2 C．1 D．12．已知圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．二、單空題13．在等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，若，，求.14．斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則.15．直線的斜率的取值范圍是.16．如圖，直三棱柱中，，，、分別是棱、的中點(diǎn).點(diǎn)到平面的距離是.三、問答題17．已知直線過點(diǎn)、，求與直線平行且距離為的直線的方程.18．為何值時(shí)，方程表示下列曲線：(1)圓?(2)橢圓?(3)雙曲線?19．已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.四、證明題20．如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值.五、問答題21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.六、證明題22．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線不過點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，則，證明：直線過定點(diǎn).參考答案：1．C【分析】由直線方程得斜率，再求傾斜角即可.【詳解】由直線得，，設(shè)直線的傾斜角為，，則直線斜率為，則.故選：C.2．C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，進(jìn)而可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，故.故選：C.3．B【分析】根據(jù)空間向量的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，.故選：B4．D【分析】根據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】.故選：D5．A【分析】連接，根據(jù)題意可得直線與直線夾角為，再設(shè)求解即可.【詳解】連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，故且，故四邊形為平行四邊形，故.又O是底面的中心，故為中點(diǎn)，直線與直線夾角為.設(shè)，則，，，.故.

故選：A6．D【分析】設(shè)，根據(jù)空間向量共線的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?、、為空間三個(gè)不共面的向量，向量，，若與共線，設(shè)，即，可得，解得，故.故選：D.7．D【分析】由兩圓方程相減得相交弦方程，求解圓的圓心到直線的距離，則圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離最大值為.【詳解】圓①與圓②相交，兩圓方程②①化簡得，，即為相交弦的方程.圓的圓心，則點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，直線與圓相交，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線距離的最大值為，故選：D.8．D【分析】記每天走的路程里數(shù)為，是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解.【詳解】記第天走的路程里數(shù)為，前項(xiàng)和為，由題意知是等比數(shù)列，且公比為，，解得，，故選：D.9．B【分析】觀察為項(xiàng)連續(xù)正整數(shù)之和的規(guī)律，可得.【詳解】由題意，，即從起連續(xù)項(xiàng)正整數(shù)之和.則為從起連續(xù)3個(gè)正整數(shù)之和，故第一步應(yīng)證明.故選：B.10．A【分析】根據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)閮芍本€與垂直，則，解得.故選：A.11．A【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理求，再由三角形面積公式可得.【詳解】由雙曲線得，，由雙曲線定義得，，則，又，所以有，在中，由余弦定理得，，則，則，所以的面積為.故選：A.12．C【分析】求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出所求圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在直線上，則，即，又因?yàn)?，且直線的斜率為，則，解得.故所求圓的方程為.故選：C.13．【分析】列方程組求解等差數(shù)列基本量，再利用前項(xiàng)和公式可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由，，得，解得，則.故答案為：.14．6【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式求解即可.【詳解】由題意拋物線的焦點(diǎn)，故斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為.聯(lián)立有，化簡得，設(shè)，則，又拋物線中，故.故答案為：615．【分析】根據(jù)范圍可得答案.【詳解】直線的斜率為，因?yàn)?，所?故答案為：.16．【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解：直三棱柱中，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，可得，又因?yàn)?，故點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.17．或【分析】求出直線的方程，根據(jù)所求直線與直線平行，設(shè)所求直線方程，結(jié)合平行線間的距離公式求出參數(shù)的值，即可得出所求直線的方程.【詳解】解：直線的斜率為，所以直線的方程為，即，設(shè)所求直線方程為，則，即，解得或，故所求直線方程為或.18．(1)(2)且(3)【分析】（1））根據(jù)方程表示圓可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)方程表示橢圓可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)方程表示雙曲線可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)方程表示的曲線為圓時(shí)，則，解得.（2）解：當(dāng)方程表示的曲線為橢圓時(shí)，則，解得且.（3）解：當(dāng)方程表示的曲線為雙曲線時(shí)，則，解得.19．【分析】判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，令，可得出使得取最小值時(shí)的值，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得的最小值.【詳解】解：在數(shù)列中，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，令，解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，且其最小值為.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)，連接，利用中線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，設(shè)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）解：因?yàn)槠矫妫倪呅螢檎叫?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，又為平面的一個(gè)法向量，則，所以，平面與平面夾角的余弦值為.21．(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的值，由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，即，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公比為，所以，.（2）解：，則，，上式下式可得，故.22．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線的斜率存在，設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，其中，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用求出的值，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，則，解得，故橢圓的方程為.（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，且，且，，不合乎題意，故直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，整理可得，即，化簡得，解得，所以，直線的方程為，故直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方