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文檔簡介
2024年吉林省博文中學(xué)高三上數(shù)學(xué)期末檢測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),現(xiàn)被風(fēng)折斷,尖端落在地上,竹尖與竹根的距離三尺,問折斷處離地面的高為()尺.A. B. C. D.2.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點為陰數(shù).如圖,若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.3.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)4.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.5.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.6.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.7.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件8.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.29.羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生,,和名女生,,中各隨機選出兩名,把選出的人隨機分成兩隊進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽,則和兩人組成一隊參加比賽的概率為()A. B. C. D.10.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.11.已知角的終邊經(jīng)過點,則A. B.C. D.12.下列說法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實數(shù),“”是“”的充分不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在的零點個數(shù)為________.14.在的展開式中,項的系數(shù)是__________(用數(shù)字作答).15.設(shè)數(shù)列的前項和為,且對任意正整數(shù),都有,則___16.工人在安裝一個正六邊形零件時,需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊,但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點分別為,離心率,右準(zhǔn)線為,是上的兩個動點,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時,與共線.18.(12分)已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線與軸交于點,點在拋物線上,直線與拋物線交于另一點.(1)設(shè)直線,的斜率分別為,,求證:常數(shù);(2)①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為,試用表示點的橫坐標(biāo);②當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時,求直線的方程.19.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費用(百萬元)和產(chǎn)品銷量(萬臺)的具體數(shù)據(jù):月份56789101112研發(fā)費用(百萬元)2361021131518產(chǎn)品銷量(萬臺)1122.563.53.54.5(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求出與的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(Ⅱ)該公司制定了如下獎勵制度:以(單位:萬臺)表示日銷售,當(dāng)時,不設(shè)獎;當(dāng)時,每位員工每日獎勵200元;當(dāng)時,每位員工每日獎勵300元;當(dāng)時,每位員工每日獎勵400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售(萬臺)服從正態(tài)分布(其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一),請你估計每位員工該月(按30天計算)獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù):,,,,參考公式:相關(guān)系數(shù),其回歸直線中的,若隨機變量服從正態(tài)分布,則,.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個內(nèi)角,若,求的值;21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時,g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.22.(10分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,為其中心,為銳角三角形,且平面底面,為的中點,.(1)求證:平面;(2)求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】如圖,已知,,
∴,解得
,∴,解得
.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.2、A【解析】
基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個,由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個,其和等于的概率.故選:.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因為函數(shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后,得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.4、B【解析】
由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二項分布的靈活運用.5、D【解析】
先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
由題意,模擬程序的運行,依次寫出每次循環(huán)得到的,的值,當(dāng)時,不滿足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【詳解】解:初始值,,程序運行過程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
解出兩個不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因為集合,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.8、A【解析】
求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點,由三角形的面積公式,計算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)組合知識,計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為,然后計算和分在一組的數(shù)目為,最后簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:分別從3名男生、3名女生中選2人:將選中2名女生平均分為兩組:將選中2名男生平均分為兩組:則選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為:和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選:B【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,對平均分組的問題要掌握公式,比如:平均分成組,則要除以,即,審清題意,細(xì)心計算,考驗分析能力,屬中檔題.10、A【解析】
利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項;當(dāng)時,,可排除D選項;當(dāng)時,,當(dāng)時,,即,可排除C選項,故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.11、D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點,所以,則,即.故選D.12、D【解析】
由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A;可能相交,可判斷B選項;利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯誤;,,則可能相交,故B錯誤;若,則,所以,故,所以C錯誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出的范圍,再由函數(shù)值為零,得到的取值可得零點個數(shù).【詳解】詳解:由題可知,或解得,或故有3個零點.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】的展開式的通項為:.令,得.答案為:-40.點睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).15、【解析】
利用行列式定義,得到與的關(guān)系,賦值,即可求出結(jié)果?!驹斀狻坑?,令,得,解得?!军c睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。16、60【解析】分析:首先將選定第一個釘,總共有6種方法,假設(shè)選定1號,之后分析第二步,第三步等,按照分類加法計數(shù)原理,可以求得共有10種方法,利用分步乘法計數(shù)原理,求得總共有種方法.詳解:根據(jù)題意,第一個可以從6個釘里任意選一個,共有6種選擇方法,并且是機會相等的,若第一個選1號釘?shù)臅r候,第二個可以選3,4,5號釘,依次選下去,可以得到共有10種方法,所以總共有種方法,故答案是60.點睛:該題考查的是有關(guān)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,在解題的過程中,需要逐個的將對應(yīng)的過程寫出來,所以利用列舉法將對應(yīng)的結(jié)果列出,而對于第一個選哪個是機會均等的,從而用乘法運算得到結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析.【解析】由與,得,,的方程為.設(shè),則,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值,此時,,故與共線.18、(1)證明見解析;(2)①;②.【解析】
(1)設(shè)過的直線交拋物線于,,聯(lián)立,利用直線的斜率公式和韋達(dá)定理表示出,化簡即可;(2)由(1)知點在軸上,故,設(shè)出直線方程,求出交點坐標(biāo),因為內(nèi)心到三角形各邊的距離相等且均為內(nèi)切圓半徑,列出方程組求解即可.【詳解】(1)設(shè)過的直線交拋物線于,,聯(lián)立方程組,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知點在軸上,故,聯(lián)立的直線方程:.,又點在拋物線上,得,又,;②由題得,(解法一)所以直線的方程為(解法二)設(shè)內(nèi)切圓半徑為,則.設(shè)直線的斜率為,則:直線的方程為:代入直線的直線方程,可得于是有:得,又由(1)可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為則,即:,解得:所以,直線的方程為:.【點睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線相關(guān)的綜合問題的求解,考查了學(xué)生的運算求解與邏輯推理能力.19、(Ⅰ)(Ⅱ)7839.3元【解析】
(Ⅰ)由題意計算x、y的平均值,進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;(Ⅱ)由題意計算平均數(shù)μ,得出z~N(μ,),求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率,計算獎金總數(shù)是多少.【詳解】(Ⅰ)因為,,因為,所以,所以;(Ⅱ)因為,所以,故即,日銷量的概率為,日銷量的概率為,日銷量的概率為,所以獎金總數(shù)大約為:(元).【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,還考查了利用正態(tài)分布計算概率,進(jìn)而估計總體情況,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)根據(jù),得,又為的內(nèi)角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域為;(2)由,得,又為的內(nèi)角,所以,又因為在中,,所以,所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,21、(Ⅰ)當(dāng)時,<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時,>0,單調(diào)遞增;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).【解析】試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第(Ⅰ)問,對求導(dǎo),再對a進(jìn)行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明結(jié)論,第(Ⅲ)
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