人教B版必修第二冊423對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像課件

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過指數(shù)與對數(shù)的互化,理解對數(shù)函數(shù)的概念及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像,初步掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像.發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.通過對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學(xué)習(xí),理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),并能利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決比較對數(shù)式大小、求最值、解不等式等綜合問題,提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.在掌握對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)上,會運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決相關(guān)問題.提升分析問題與解決問題的核心素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究y=logax1.對數(shù)函數(shù)的定義一般地,函數(shù)

稱為對數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.思考:函數(shù)y=log2(2x)是對數(shù)函數(shù)嗎?答案:不是,只有形如y=logax(a>0且a≠1)的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù).即真數(shù)必須為單獨(dú)的x,對數(shù)前的系數(shù)必須為1.2.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖像和性質(zhì)(0,+∞)定義y=logax(a>0,且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖像定義域

.值域R單調(diào)性

函數(shù)

函數(shù)共點(diǎn)性圖像過定點(diǎn)

.函數(shù)值特點(diǎn)x∈(0,1)時,y∈

;x∈[1,+∞)時,y∈

.x∈(0,1)時,y∈

;x∈[1,+∞)時,y∈

.增減(1,0)(-∞,0)[0,+∞)(0,+∞)(-∞,0]x軸y1<y2y1>y2做一做1:對數(shù)函數(shù)f(x)=log2x的圖像過定點(diǎn)

;函數(shù)f(x)=log2(2x-1)+2的圖像過定點(diǎn)

.

解析:對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖像過定點(diǎn)(1,0);在f(x)=log2(2x-1)+2中,令2x-1=1,即x=1,則f(x)=2,所以函數(shù)f(x)=log2(2x-1)+2的圖像過定點(diǎn)(1,2).答案:(1,0)

(1,2)拓展總結(jié)(1)對數(shù)函數(shù)圖像的特征:②對數(shù)函數(shù)圖像與直線y=1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)越大,則對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.③對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的底數(shù)變化對圖像位置的影響如圖所示.觀察圖像,注意變化規(guī)律:a.上下比較:在直線x=1的右側(cè),當(dāng)a>1時,a越大,圖像越靠近x軸,當(dāng)0<a<1時,a越小,圖像越靠近x軸.b.左右比較:(比較圖像與直線y=1的交點(diǎn))交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大,對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.(2)常見的對數(shù)比較大小有以下三種類型:①底數(shù)相同,可直接利用單調(diào)性比較;②底數(shù)不同,看是否可用插值法,如插入1=logaa,0=loga1進(jìn)行間接比較;③底數(shù)不同,真數(shù)相同,則可用圖像關(guān)系或進(jìn)行換底后比較.(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:一般按照“同增異減”的原則來判斷,對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可用以下方法判斷:設(shè)y=logaf(x)(a>0,且a≠1).首先求滿足f(x)>0的x的范圍,即函數(shù)的定義域.假設(shè)f(x)在定義域的子區(qū)間I1上單調(diào)遞增,在子區(qū)間I2上單調(diào)遞減:①當(dāng)a>1時,原函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間相同,即在I1上單調(diào)遞增,在I2上單調(diào)遞減;②當(dāng)0<a<1時,原函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間相反,即在I1上單調(diào)遞減,在I2上單調(diào)遞增.師生互動·合作探究探究點(diǎn)一對數(shù)函數(shù)的概念[例1]下列函數(shù)中,哪些是對數(shù)函數(shù)?(1)y=logax2(a>0,且a≠1);(2)y=log2x-1;(3)y=2log8x;(4)y=logxa(x>0,且x≠1);(5)y=log5x.解析:(1)中真數(shù)不是自變量x,故不是對數(shù)函數(shù).(2)中對數(shù)式后減1,故不是對數(shù)函數(shù).(3)中l(wèi)og8x前的系數(shù)是2,而不是1,故不是對數(shù)函數(shù).(4)中底數(shù)是自變量x,而非常數(shù),故不是對數(shù)函數(shù).故只有(5)為對數(shù)函數(shù).方法總結(jié)判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù),必須是形如y=logax(a>0,且a≠1),即必須滿足以下條件:(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù).(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.針對訓(xùn)練:下列函數(shù)表達(dá)式,是對數(shù)函數(shù)的有(

)①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx;⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析:由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上,所以①不是對數(shù)函數(shù);由于②中底數(shù)a∈R不能保證a>0,且a≠1,所以②不是對數(shù)函數(shù);由于⑤⑦的真數(shù)分別為(x+2),(x+1),所以⑤⑦也不是對數(shù)函數(shù);由于⑥中l(wèi)og4x的系數(shù)為2,所以⑥也不是對數(shù)函數(shù);只有③④符合對數(shù)函數(shù)的定義.故選B.[備用例1]若對數(shù)函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)(4,-2),則f(8)=

.

答案:-3[備用例2]若函數(shù)f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是對數(shù)函數(shù),則a=

.

答案:4探究點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的圖像與基本性質(zhì)[例2]畫出下列函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像寫出函數(shù)的定義域與值域以及單調(diào)區(qū)間:(1)y=log3(x-2);解:(1)函數(shù)y=log3(x-2)的圖像如圖①.其定義域?yàn)?2,+∞),值域?yàn)镽,單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞),無單調(diào)減區(qū)間.[例2]畫出下列函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像寫出函數(shù)的定義域與值域以及單調(diào)區(qū)間:方法總結(jié)(1)函數(shù)y=loga(x+m)(a>0,且a≠1)的圖像可由函數(shù)y=logax的圖像向左(m>0)或向右(m<0)平移|m|個單位而得到.(2)含有絕對值的函數(shù)的圖像變換是一種對稱變換.一般地,y=|f(x)|的圖像是保留y=f(x)的圖像在x軸上方的部分,并把x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方而得到的.針對訓(xùn)練1:作出f(x)=lg|x|的圖像,并指出單調(diào)區(qū)間.針對訓(xùn)練2:作出y=|lgx|的圖像,并指出單調(diào)區(qū)間.解:當(dāng)lgx≥0,即x≥1時,y=lgx;當(dāng)lgx<0,即0<x<1時,y=-lgx.其圖像如圖,由圖像可知其單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).針對訓(xùn)練3:作出函數(shù)y=lg(-x)的圖像,并指出其單調(diào)區(qū)間.解:y=lg(-x)的圖像如圖所示,其單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0),無單調(diào)遞增區(qū)間.探究點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用角度1比較大小[例3](1)(2020·全國Ⅲ卷)已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則(

)A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b(3)(多選題)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足loga2<logb2<logc2,則下列關(guān)系中可能成立的是(

)A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.a<c<b解析:(3)由loga2<logb2<logc2的大小關(guān)系,可知a,b,c有如下四種可能:①1<c<b<a;②0<a<1<c<b;③0<b<a<1<c;④0<c<b<a<1.作出函數(shù)的圖像(如圖所示).由圖像可知選項(xiàng)B,C,D可能成立.故選BCD.方法總結(jié)比較對數(shù)值大小的方法針對訓(xùn)練:(1)設(shè)a=log412,b=log515,c=log618,則(

)A.a>b>c B.b>c>aC.a>c>b D.c>b>a解析:(1)a=1+log43,b=1+log53,c=1+log63,因?yàn)閘og43>log53>log63,所以a>b>c.故選A.(2)已知a=0.42.1,b=20.3,c=log50.3,則(

)A.c<a<b B.a<b<cC.c<b<a D.a<c<b解析:(2)a=0.42.1,所以0<a<1;b=20.3,所以b>1;c=log50.3,所以c<0,所以a,b,c的大小關(guān)系為c<a<b.故選A.角度2解不等式[例4]解下列關(guān)于x的不等式:[例4]解下列關(guān)于x的不等式:(2)loga(x-2)>loga(2x-8).方法總結(jié)解對數(shù)不等式,就是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將對數(shù)符號去掉,轉(zhuǎn)化為一般不等式(組)求解.常見不等式可分為以下兩類:(1)形如logaf(x)>logag(x).(2)形如logaf(x)>b,當(dāng)a>1時,不等式等價于f(x)>ab;當(dāng)0<a<1時,不等式等價于0<f(x)<ab.(2)若loga(a2+1)<loga2a<0,則a的取值范圍是

.

角度3求單調(diào)區(qū)間方法總結(jié)(1)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般有如下幾個步驟:①首先求出函數(shù)的定義域.②研究內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)在定義域上的單調(diào)性.③根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則,判斷出函數(shù)的增減性,求出單調(diào)區(qū)間.(2)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))和內(nèi)層函數(shù)μ=g(x)與外層函數(shù)y=f(μ)單調(diào)性之間的關(guān)系(見下表):函數(shù)單調(diào)性y=f(μ)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)μ=g(x)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=f(g(x))增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)針對訓(xùn)練:求函數(shù)y=log0.1(2x2-5x-3)的遞減區(qū)間.當(dāng)堂檢測CBB3.已知a>0,且a≠1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖像只能是圖中的(

)解析:由函數(shù)y=loga(-x)有意義,知x<0,所以對數(shù)函數(shù)的圖像應(yīng)在y軸左側(cè),可排除A,C.又當(dāng)a>1時,y=ax為增函數(shù)