2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題真題精講精練+變式訓(xùn)練 專題3.6浙江湖州卷（壓軸8道+變式訓(xùn)練32道）（原卷版）

【沖刺2022】之2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題真題精講精練+變式訓(xùn)練專題1.1浙江湖州卷（壓軸8道+變式訓(xùn)練32道）說明：本專輯精選了2021年浙江湖州卷失分較多和難度較大的題目8道，分別是第9題四邊形的有關(guān)計算問題、第10題二次函數(shù)圖形與性質(zhì)、第15題二次函數(shù)與幾何性質(zhì)綜合、第16題有關(guān)幾何拼圖的計算問題、第21題圓的有關(guān)計算與證明問題、第22題方程不等式與函數(shù)相結(jié)合的實際問題、第23題幾何綜合探究問題、第24題函數(shù)與幾何相結(jié)合綜合問題，每道題精講精析，配有變式練習(xí)各4道，浙江湖州模擬變式訓(xùn)練題共32道，【壓軸一】四邊形的有關(guān)計算問題【真題再現(xiàn)】（2021浙江湖州中考第9題）如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC=3，點P是AD邊上的一個動點，連結(jié)BP，點C關(guān)于直線BP的對稱點為C1，當(dāng)點P運動時，點C1也隨之運動．若點P從點A運動到點D，則線段CC1掃過的區(qū)域的面積是（）A．π B．π+334 C．332 D．2π【變式訓(xùn)練】【變式1.1】（2019?南潯區(qū)一模）如圖，已知在?ABCD中，BD＝BC，點E是AB的中點，連接DE并延長，與CB的延長線相交于點F，連接AF．若AD＝5，tan∠BDC＝2，則四邊形AFBD的面積是（）A．20 B．2532 C．10 D．103【變式1.2】（2019?平陰縣二模）如圖，已知正方形ABCD，點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若過點E作EH⊥AC，H為垂足，則有以下結(jié)論：①點M位置變化，使得∠DHC＝60°時，2BE＝DM；②無論點M運動到何處，都有DM=2HM；③無論點M運動到何處，∠CHM一定大于135°．其中正確結(jié)論的序號為（）A．①③ B．①② C．②③ D．①②③【變式1.3】（2020?安徽模擬）如圖，對角線AC將正方形ABCD分成兩個等腰三角形，點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC＝15，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF＝55的點P的個數(shù)是（）A．0 B．4 C．8 D．16【變式1.4】（2020春?吳興區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB．作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，記∠EAF的度數(shù)為α，AE＝a，AF＝b，則以下選項錯誤的是（）A．∠D的度數(shù)為α B．a(chǎn)：b＝CD：BC C．若α＝60°，則平行四邊形ABCD的周長為433（a+b） D．若α＝60°，則四邊形AECF的面積為平行四邊形ABCD面積的一半【壓軸二】二次函數(shù)圖形與性質(zhì)【真題再現(xiàn)】（2021浙江湖州中考第10題）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點為A（1，0）和B（3，0），點P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線上不同于A，B的兩個點，記△P1AB的面積為S1，△P2AB的面積為S2，有下列結(jié)論：①當(dāng)x1＞x2+2時，S1＞S2；②當(dāng)x1＜2﹣x2時，S1＜S2；③當(dāng)|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1時，S1＞S2；④當(dāng)|x1﹣2|＞|x2+2|＞1時，S1＜S2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】【變式2.1】（2021?長興縣模擬）已知P（2，m+4），Q（4，m+4）為平面直角坐標(biāo)系xOy中兩點，若二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx+3m（m≠0）的圖象與線段PQ有公共點，則m的取值范圍是（）A．m≥2 B．﹣4≤m≤﹣2或m≥2 C．﹣2≤m≤2 D．m≤﹣2或m≥2【變式2.2】（2020?長興縣模擬）已知拋物線y＝x2+2bx+c（b，c為常數(shù)）經(jīng)過點（﹣2，4），且不經(jīng)過第三象限．當(dāng)﹣5≤x≤1時，函數(shù)的最大值與最小值之差為16，則b的值為（）A．3 B．1 C．3或1 D．2或6【變式2.3】（2020?河北模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1．有以下結(jié)論：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1，m），B（x2，m）是拋物線上的兩點，當(dāng)x＝x1+x2時，y＝c；④若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的兩根為x1，x2，且x1＜x2，則﹣2≤x1＜x2＜4．其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2.4】（2020?長興縣三模）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”．如圖是由一個邊長為a的正方形制作的七巧板，現(xiàn)從中選出四塊拼成一個平行四邊形，則所拼成的周長不同的平行四邊形有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【壓軸三】二次函數(shù)與幾何性質(zhì)綜合【真題再現(xiàn)】（2021浙江湖州第15題）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（3，4），M是拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）對稱軸上的一個動點．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)????的值確定時，拋物線的對稱軸上能使△AOM為直角三角形的點M的個數(shù)也隨之確定，若拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上存在3個不同的點M，使△AOM為直角三角形，則????的值是．【變式訓(xùn)練】【變式3.1】（2021?高新區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），當(dāng)x≥2時，y隨x的增大而減小，且﹣4≤x≤1時，y的最大值為7，則a的值為．【變式3.2】（2020秋?吳興區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=33（x+3）2﹣43交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線頂點．（1）求tan∠DAC＝；（2）若點P是線段AC上的一個動點，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，當(dāng)點P在線段AC上運動時，D點不變，Q點隨之運動．求當(dāng)點P從點A運動到點C時，點Q運動的路徑長為．【變式3.3】（2020?浙江自主招生）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過A（﹣3，0），B（5，﹣4）兩點，與y軸交于點C，連接AB，AC，BC．拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，則點M的坐標(biāo)為．【變式3.4】（2020秋?吳興區(qū)校級期中）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B．①若點M（﹣2，y1）、??(12，??2)、P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；②將拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；③拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+3有且只有一個交點；④點A關(guān)于直線x＝1的對稱點為C，點D、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝1時，四邊形BCDE周長的最小值為34+2．其中正確判斷的序號是．【壓軸四】有關(guān)幾何拼圖的計算問題【真題再現(xiàn)】（2021浙江湖州第16題）由沈康身教授所著，數(shù)學(xué)家吳文俊作序的《數(shù)學(xué)的魅力》一書中記載了這樣一個故事：如圖，三姐妹為了平分一塊邊長為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥?，先將地毯分割成七塊，再拼成三個小正方形（陰影部分）．則圖中AB的長應(yīng)是．【變式訓(xùn)練】【變式4.1】（2020?湖州）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，流行于世界各地．由邊長為2的正方形可以制作一副中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示．分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平行四邊形或矩形，則這兩個圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成的個數(shù)分別是（）A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2【變式4.2】（2020?犍為縣二模）閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線y=14（x﹣a）2+b經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部．（1）寫出點M（2，3）任意兩條特征線為；（2）若點D有一條特征線是y＝x+1，則此拋物線的解析式為．【變式4.3】（2019秋?長興縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠A＝45°，AB＝5，BC＝3，點E是邊AD上一點，過點E分別作AB與BC的垂線，過點D作EG的垂線，得到矩形EGBF和矩形DCGH，則這兩個矩形的面積之和的最大值是．【變式4.4】（2018秋?吳興區(qū)期末）如圖2，小靚用邊長為16的七巧板（如圖1）拼成一幅裝飾圖，放入長方形ABCD內(nèi)拼成一個“木馬”形狀（如圖2），圖中的三角形頂點E在邊CD上，三角形的邊AM、GF分別在邊AD、BC上，則AB的長是．【壓軸五】圓的有關(guān)計算與證明問題【真題再現(xiàn)】（2021浙江湖州第題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠ACD是????所對的圓周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）過點D作DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交⊙O于點F．若AB＝4，求DF的長．【變式訓(xùn)練】【變式5.1】（2021?長興縣模擬）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，點E是弧BD上不與B、D重合的任意一點，連接AE交BD于點F，連接BE并延長交AC于點G．（1）求證：△ADF≌△BDG．（2）若AB＝4，且點E是弧BD的中點，求陰影部分面積．（結(jié)果保留π）【變式5.2】（2021?吳興區(qū)校級模擬）AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，F(xiàn)為弧BC上一點，且∠FBC＝∠ABC，連接DF，分別交BC、AB于E、G．（1）如圖1，求證：DF⊥BC；（2）如圖2，連接EH，過點E作EM⊥EH，EM交⊙O于點M，交AB于點N．①求證：EN＝GN；②連接OC，求證：△CHO≌△HEN．【變式5.3】（2020?南潯區(qū)模擬）如圖1，AB是半圓O的直徑，C為半圓弧上一點，在AC上取一點D，使CD=3BC，連接BD并延長交⊙O于E，連接AE，OE，OC，⊙O的半徑為13．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）求????的長；（3）如圖2，若D為EB中點．①求AE的長；②點M為半圓內(nèi)一個動點，連接CM交BE于點N，連接EM，若∠CME＝2∠CAE，求AM的最小值．【變式5.4】（2020?湖州模擬）如圖，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，以AC為直徑作⊙O交AB于點D．（1）若AC＝2，∠A＝30°，求????的長．（2）過點D作DE⊥BC于點E，求證：DE是⊙O的切線．【壓軸六】方程不等式與函數(shù)相結(jié)合的實際問題【真題再現(xiàn)】（2021浙江湖州第22題）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．（1）求四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；（2）若該景區(qū)僅有A，B兩個景點，售票處出示的三種購票方式如下表所示：購票方式甲乙丙可游玩景點ABA和B門票價格100元/人80元/人160元/人據(jù)預(yù)測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？【變式訓(xùn)練】【變式6.1】（2020?長興縣一模）為了組織一個50人的旅游團(tuán)開展“鄉(xiāng)間民俗”游，旅游團(tuán)住村民家，住宿客房有三人間、二人間、單人間三種，收費標(biāo)準(zhǔn)是三人間每人每晚20元，二人間每人每晚30元，單人間每人每晚50元，旅游團(tuán)共住20間客房．（1）若單人間住了4間，且恰好將20間客房住滿，求三人間和二人間各入住多少間？（2）設(shè)旅游團(tuán)預(yù)定的房間中單人間有x間，所需總的住宿費為W，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）旅游團(tuán)如何安排住宿才能夠使得住宿費最低？最低費用為多少？【變式6.2】（2020?長興縣模擬）某縣成立草莓合作社，幫助草莓種植戶統(tǒng)一銷售．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，草莓銷售單價y（萬元）與產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系如圖1所示（0≤x≤100），已知草莓的產(chǎn)銷投人總成本p（萬元）與產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系如圖2所示．（1）當(dāng)30≤x≤70時，求草莓銷售單價y（萬元）與產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該合作社所獲利潤為w（萬元），當(dāng)產(chǎn)量x（噸）為多少時，利潤w（萬元）達(dá)到最大值？【變式6.3】（2017?黑龍江）由于霧霾天氣頻發(fā)，市場上防護(hù)口罩出現(xiàn)熱銷．某藥店準(zhǔn)備購進(jìn)一批口罩，已知1個A型口罩和3個B型口罩共需26元；3個A型口罩和2個B型口罩共需29元．（1）求一個A型口罩和一個B型口罩的售價各是多少元？（2）藥店準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種型號的口罩共50個，其中A型口罩?jǐn)?shù)量不少于35個，且不多于B型口罩的3倍，有哪幾種購買方案，哪種方案最省錢？【變式6.4】（2020秋?南潯區(qū)期末）已知：在△ABC中，點E在直線AC上，點B、D、E在同一條直線上，且BA＝BD，∠BAE＝∠D．【問題初探】（1）如圖1，若BE平分∠ABC，求證：∠AEB+∠BCE＝180°．請依據(jù)以下的簡易思維框圖，寫出完整的證明過程．【變式再探】（2）如圖2，若BE平分△ABC的外角∠ABF，交CA的延長線于點E，問：∠AEB和∠BCE的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變了嗎？若改變，請寫出正確的結(jié)論，并證明；若不改變，請說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，在（2）的條件下，若AB⊥BC，CD＝1，求EC的長度．【壓軸七】幾何綜合探究問題【真題再現(xiàn)】（2021浙江湖州第23題）已知在△ACD中，P是CD的中點，B是AD延長線上的一點，連結(jié)BC，AP．（1）如圖1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP=3，求BC的長．（2）過點D作DE∥AC，交AP延長線于點E，如圖2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求證：BC＝2AP．（3）如圖3，若∠CAD＝45°，是否存在實數(shù)m，當(dāng)BD＝mAC時，BC＝2AP？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．【變式7.1】（2021?葫蘆島一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D與點B在AC同側(cè)，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，過點B作BE∥DA交DC于點E，過E作EM∥AC交AB于點M，連接MD．（1）當(dāng)∠ADC＝80°時，求∠CBE的度數(shù)；（2）當(dāng)∠ADC＝α?xí)r：①求證：BE＝CE；②求證：∠ADM＝∠CDM；③當(dāng)α為多少度時，DM=3EM．【變式7.2】（2020秋?吳興區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4厘米，BC＝3厘米，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1厘米，設(shè)運動的時間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分．（2）當(dāng)t為何值時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，并求出此時CP的長；（3）當(dāng)t為何值時，△BCP為等腰三角形？【變式7.3】（2021春?吳興區(qū)校級期中）我們規(guī)定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60°的凸四邊形叫做“準(zhǔn)箏形”．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求證：四邊形ABCD是“準(zhǔn)箏形”；（2）小軍同學(xué)研究“準(zhǔn)箏形”時，思索這樣一道題：如圖2，“準(zhǔn)箏形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的長．小軍研究后發(fā)現(xiàn)，可以CD為邊向外作等邊三角形，構(gòu)造手拉手全等模型，用轉(zhuǎn)化的思想來求AC．請你按照小軍的思路求AC的長．（3）如圖3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，BC＝23，設(shè)D是△ABC所在平面內(nèi)一點，當(dāng)四邊形ABCD是“準(zhǔn)箏形”時，請直接寫出四邊形ABCD的面積．【變式7.4】（2021?長興縣模擬）已知：如圖1，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n（m＞n，點E是CD邊上的一個動點（不與C，D重合）．將四邊形ABCE沿直線AE翻折，得到四邊形AGFE，連接DG，DF．（1）如圖2，若m＝6，n＝3，當(dāng)點G落在CD的延長線上時，求DE的長；（2）當(dāng)點E是CD邊的中點時，∠FDG＝90°，求證：m=2n；（3）設(shè)m＝k?n，是否存在這樣的k，當(dāng)點E從C運動到D的過程中，∠FDG度數(shù)有且只有兩次為90°？若存在，請直接寫出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．【壓軸八】函數(shù)與幾何相結(jié)合綜合問題【真題再現(xiàn)】（2021浙江湖州第24題）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A是反比例函數(shù)y=1??（x＞0）圖象上的一個動點，連結(jié)AO，AO的延長線交反比例函數(shù)y=????（k＞0，x＜0）的圖象于點B，過點A作AE⊥y軸于點E．（1）如圖1，過點B作BF⊥x軸，于點F，連接EF．①若k＝1，求證：四邊形AEFO是平行四邊形；②連結(jié)BE，若k＝4，求△BOE的面積．（2）如圖2，過點E作EP∥AB，交反比例函數(shù)y=????（k＞0，x＜0）的圖象于點P，連結(jié)OP．試探究：對于確定的實數(shù)k，動點A在運動過程中，△POE的面積是否會發(fā)生變化？請說明理由．【變式訓(xùn)練】【變式8.1】（2020春?吳興區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y1=????（m＞0，x＞0）和y2=???2??（x＜0），過點P（0，1）作x軸的平行線l與函數(shù)y1，y2的圖象相交于點B，C．（1）如圖1，若m＝6時，求點B，C的坐標(biāo)；（2）如圖2，一次函數(shù)y3＝kx???2交l于點D．①若k＝5，B、C、D三點恰好滿足其中一點為另外兩點連線的中點，求m的值；②過點B作y軸的平行線與函數(shù)y3的圖象相交于點E．當(dāng)m值取不大于23的任意實數(shù)時，點B、C間的距離與點B、E間的距離之和d始終是一個定值．求此時k的值及定值