2023人教版新教材高中數(shù)學B必修第二冊考前必背

2023人教版新教材高中數(shù)學B必修第二冊

考前必背

一、根式與分數(shù)指數(shù)基

1.根式的性質

(1)(V?)n=a(n>l,且nGN*).

a,n為奇數(shù),

⑵后=〈

Ia=匕吃<°0,n為偶數(shù)?

2.分數(shù)指數(shù)累

⑴正分數(shù)指數(shù)幕:a三=(%)"=皿沆1a>0,m,n￡N*,且世是既約分數(shù),

n

⑵負分數(shù)指數(shù)幕:就嗔得L。,叫n—且:是既約分數(shù)

規(guī)定：0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)累沒有意義.

3.有理指數(shù)幕的運算法則

(1)a'sat=as+t(a>0,s,t￡Q).

(2)(as)t=ast(a>0,s,teQ).

(3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s￡Q).

二、指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)的概念

一般地,函數(shù)y=a'稱為指數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a/1.

2.指數(shù)函數(shù)的性質與圖像

注:指數(shù)函數(shù)y=a'與y=ax(a>0且aWl)的圖像關于y軸對稱.

三、對數(shù)

1.對數(shù)的概念與運算

(1)對數(shù)的概念

在表達式ab=N(a>0且aWl,N￡(0,+8))中，當a與N確定之后,只有唯一的b能

滿足這個式子，此時,嘉指數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù),記作b=logaN,其中a稱為

對數(shù)的底數(shù),N稱為對數(shù)的真數(shù).

(2)對數(shù)式與指數(shù)式的互化:ab=Nob=logaN(a〉0且aWl).

10gNb

特別地，log」=0,logaa=l,a?=N,logaa=b(a>0且aWl).

⑶運算法則

如果a>0且aWl,M>0,N>0,a￡R,那么

1Oga(MN)=1OgaM+lOgaN；

logaMa=alogaM;

log(,—=logaM-logaN.

(4)換底公式

logab=^^(a>0且a#l,b>0,c>0且cWl).

logca

(5)相關結論

s

logatb=|logab(a>0且aWl,b>0,s￡R,t￡R且tWO);

logb=-^—(a>0且aWl,b>0且bWl).

alogz,a

2.兩種特殊的對數(shù)

⑴以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù),logioN簡寫為lgN.

⑵以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，log,N簡寫為InN.

四、對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)函數(shù)的概念

一般地,函數(shù)y=logax稱為對數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且aWl.

2.對數(shù)函數(shù)的性質與圖像

y=logx(a>0且aWl)

函數(shù)a

圖像

定義域

值域R

奇偶性三適韭偶函數(shù)

定點過定點(1,0),即x=l時,y=0

函數(shù)值當x>l時,y>0;當x>l時,y<0;

的變化當0〈x〈l時,y<0當(Kx〈l時,y>0

單調性增函數(shù)減函數(shù)

注:對數(shù)函數(shù)y=logax與y=logix(a>0且a#1)的圖像關于x軸對稱.

a

五、反函數(shù)

一般地,如果在函數(shù)y=f(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對

應,那么x是y的函數(shù),這個函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù).此時,稱y=f(x)存在反函

數(shù).函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記作y=fYx).

值得注意的是,y=f(x)的定義域與y=f1(x)的值域相同,y=f(x)的值域與y=f

1(x)的定義域相同,y=f(x)與y=f1(x)的圖像關于直線y=x對稱.

六、然函數(shù)

定義一般地，函數(shù)y=x"稱為惠函數(shù)，其中a為常數(shù)

常見嘉

函數(shù)的圖像

1.所有的幕函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上都有定義，因此在第一象限內都有

圖像,并且圖像都通過點(1,1).

2.如果a>0,則幕函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間［0,+8)上是增

幕函數(shù)的

函數(shù).

共同特征

3.如果a<0,則嘉函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù),且在第一象限內:

當x從右邊趨向于原點時，圖像在y軸右方且無限地逼近y軸；當x

無限增大時，圖像在x軸上方且無限地逼近x軸

七、增長速度的比較

1.函數(shù)y=f(x)在［xi,X2］上的平均變化率

定義21f_f(X2)-f(X1)

式AxX2-Xt

實質函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比

作用比較函數(shù)值變化的快慢

2.三種函數(shù)模型的比較

x

y=a(a>l)y=logax(a>l)y=kx(k>0)

在

(0,+°°

)增增增

上的增

減性

圖像的隨x的增大隨X的增大

直線上升

變化逐漸變“陡”逐漸變“緩”

增長速y=ax(a>l)的增長速度遠遠快于y=kx(k>0)的增長速度,y=kx(k>0)的增長

度速度快于y=logax(a>l)的增長速度

x

結果存在一個Xo,當x>x()時，有a>kx>logax

八、隨機抽樣

共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍

隨從總體中總體中的

機抽抽樣過程中逐個抽取分層抽樣在個體數(shù)目較少

樣每個個體被各層抽樣時

抽到的可能將總體分成采用簡單隨

總體由差異

分層性相等互不交叉的機抽樣

明顯的幾部

抽樣層,然后分

分組成

層抽取

九、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

1.最值

一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值.

2.平均數(shù)

n

(I)數(shù)據(jù)Xl,X,???,Xn的平均數(shù)為匯=-1(Xi+X2+…+x)=-1￡Xi.

2nni=i

(2)若Xi,X2,…，Xn的平均數(shù)為五且a,b為常數(shù)，則axi+b,ax2+b,???,axn+b的平均

數(shù)為ax+b.

3.中位數(shù)

將一組數(shù)從小到大排序后，中間的數(shù)或者中間兩數(shù)的平均數(shù)為這組數(shù)的中位數(shù).

4.百分位數(shù)

一組數(shù)的p%(p￡(0,100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個數(shù)值:至少有p%的

數(shù)據(jù)不大于該值,且至少有(l00-p)%的數(shù)據(jù)不小于該值.

5.眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

6.極差

一組數(shù)的最大值減去最小值所得的差.

7.方差與標準差

n

212

⑴如果xbX2,…,Xn的平均數(shù)為E則方差為s=iE(X-X).方差的算術平方根為

n1=1

標準差.

22

(2)若Xi,X2,…，xn的方差為s；貝！Jax,,ax2,axn的方差為as,Xi+a,x2+a,???,xn+a

的方差為s2.

十、頻率分布直方圖的特征

1.縱坐標是誓，小矩形的面積=組距義好頻率.

組距組距

2.所有矩形的面積之和為1.

3.（1）眾數(shù):最高小矩形底邊中點的橫坐標；

⑵中位數(shù):把頻率分布直方圖劃分為左、右兩個面積相等的部分,分界線與橫軸

交點的橫坐標；

⑶平均數(shù):每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和.

十一、分層抽樣中的平均數(shù)與方差

假設樣本是用分層抽樣的方法得到的,且是分兩層抽樣.第一層有m個數(shù),分別為

Xi,X2,…,Xm,平均數(shù)為五方差為s2;第二層有n個數(shù),分別為y?y2,y”平均數(shù)

為歹,方差為t2,則樣本均值五=二一（￡Xi+￡yj樣本方差b2=^-（ms2+

Jm+ni=ii=im+nm+n

十二、事件之間的關系與運算

定義符號表示

包含關如果事件A發(fā)生時,事件B一定發(fā)生，AGB（或

系則稱“A包含于B"（或“B包含A”）B2A）

如果事件A發(fā)生時,事件B一定發(fā)生；

相等關

而且事件B發(fā)生時,事件A也一定發(fā)A=B

系

生，則稱“A與B相等”

事件的給定事件A,B,由所有A中的樣本點與

和（或B中的樣本點組成的事件稱為A與BA+B（或AUB）

并）的和（或并）

事件的

給定事件A,B,由A與B中的公共樣本

積（或AB（或AGB）

點組成的事件稱為A與B的積（或交）

交）

互斥事給定事件A,B,若事件A與B不能同時AB=0

件發(fā)生,則稱A與B互斥（或AGB=0）

給定樣本空間。與事件A,則由Q中

對立事

所有不屬于A的樣本點組成的事件稱A

件

為A的對立事件

十三、概率

概率加法概率乘法

古典概型

公式公式

當A與

B互斥

（即A,B相互

獨立,那

AB=0)p（C）-事件c包含的樣本點個數(shù)

么’）樣本空間包含的樣本點個數(shù)

時，有P(AB)=P

P(A+B)=(A)P(B)

P(A)+P(

B)

十四、向量的運算

向量法則

定義運算律

運算（或幾何意義）

求兩個

a交換律:a+b=b+a;結合

加法向量和三角形法則

律：(a+b)+c=a+(b+c)

的運算

a

平行四邊形法則

求兩個2

減法向量差

的運算三角形法則

（1）當入r。且aWO時，入a

求實數(shù)的模為1人I|a|,而且入a的方

X(ua)=(Xu)a;

人與向向如下：