第05講 拓展二：直線與雙曲線的位置關(guān)系解析

第05講拓展二：直線與雙曲線的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查直線與雙曲線位置關(guān)系 2題型二：重點(diǎn)考查直線與雙曲線交點(diǎn)坐標(biāo) 5題型三：重點(diǎn)考查雙曲線的切線 6題型四：重點(diǎn)考查根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求參數(shù) 9題型五：重點(diǎn)考查根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù) 12題型六：重點(diǎn)考查求雙曲線中弦長(zhǎng) 16題型七：重點(diǎn)考查雙曲線中焦半徑問(wèn)題 19題型八：重點(diǎn)考查雙曲線中四邊形面積 22題型九：重點(diǎn)考查雙曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題 25題型十：重點(diǎn)考查雙曲線中參數(shù)范圍及最值問(wèn)題 29題型十一：重點(diǎn)考查雙曲線中定點(diǎn)問(wèn)題 32題型十二：重點(diǎn)考查雙曲線中定值問(wèn)題 39題型十三：重點(diǎn)考查雙曲線中定直線問(wèn)題 43題型十四：重點(diǎn)考查雙曲線中向量問(wèn)題 49題型一：重點(diǎn)考查直線與雙曲線位置關(guān)系典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線與雙曲線的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無(wú)法確定【答案】B【解答過(guò)程】由得

整理得，；所以，故直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；又雙曲線的漸近線方程為：與雙曲線的一條漸近線平行且與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).所以直線和雙曲線的位置關(guān)系為相交．故選：B例題2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】或【詳解】由消去y，整理得，當(dāng)時(shí)，由得；又注意到直線恒過(guò)點(diǎn)，且漸近線的斜率為時(shí)，直線與漸近線平行時(shí)也成立．故答案為：或

例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線與點(diǎn)，討論過(guò)點(diǎn)的直線的斜率的情況，使與雙曲線分別有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共點(diǎn)．【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】①當(dāng)垂直于軸時(shí)，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)．②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線的方程中，有．當(dāng)，即或時(shí)，方程有一個(gè)解．當(dāng)時(shí)，，令，可得；令，可得；令，可得．綜上所述，當(dāng)直線的斜率或直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】方法一：聯(lián)立直線與雙曲線的方程，，得，方程組無(wú)解，說(shuō)明直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn).方法二：由，得，所以雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，因此交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.故選：A2．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的直線有（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【詳解】直線，即恒過(guò)點(diǎn)，又雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)在其中一條漸近線上，又直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線過(guò)點(diǎn)且平行于或過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的右支相切，即滿足條件的直線有條.故選：C3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線與雙曲線的交點(diǎn)情況是（

）A．恒有一個(gè)交點(diǎn) B．存在m有兩個(gè)交點(diǎn)C．至多有一個(gè)交點(diǎn) D．存在m有三個(gè)交點(diǎn)【答案】C【詳解】將代入得當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，所以至多有一個(gè)交點(diǎn)．故選：C4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】時(shí)，無(wú)公共點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)．【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線方程，消去y得．整理得，若，則方程①變?yōu)?，無(wú)解，此時(shí)直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)．事實(shí)上，此時(shí)直線為，就是雙曲線的漸近線，自然與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)．若，即直線平行于兩條漸近線中的一條，方程①成為一元一次方程，有唯一解，原方程組有唯一一組解，此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上可知，時(shí)，無(wú)公共點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)．題型二：重點(diǎn)考查直線與雙曲線交點(diǎn)坐標(biāo)典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】，【詳解】由，消得即，解得或代入直線得或，所以直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，故答案為：，例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，滿足|PF|+|PA|＝4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】因曲線是雙曲線y2﹣x2＝1在x軸上方的部分，故是雙曲線的下焦點(diǎn)，則雙曲線的上焦點(diǎn)為，由|PF|+|PA|＝4，又∴，∴，又，故P，A，共線，又的直線方程為，聯(lián)立，解得：，，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故答案為：．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）判斷直線與雙曲線是否有公共點(diǎn)．如果有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】有，坐標(biāo)為【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得方程組消去y，可得，由此可解得．此時(shí)，．因此直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的坐標(biāo)為．2．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列直線和雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)：（1），；

（2），．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由消去y，得：，解得：或，由解得，；由解得，；所以交點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）由消去y，得：，解得：.求得，；所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.題型三：重點(diǎn)考查雙曲線的切線典型例題例題1．（2023秋·云南楚雄·高二統(tǒng)考期末）若直線與單位圓（圓心在原點(diǎn)）和曲線均相切，則直線的一個(gè)方程可以是【答案】（或，，，只需寫(xiě)出一個(gè)答案即可）【詳解】顯然直線存在斜率，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組,得因?yàn)橹本€與曲線相切，所以，即.因?yàn)橹本€與單位圓相切，所以聯(lián)立方程組解得，故直線的方程可能是，，，故答案為：例題2．（2022秋·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，并且E經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由已知可設(shè)雙曲線E的方程為，則，解得，所以雙曲線E的方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意，所以可設(shè)直線l的方程為，如圖，

聯(lián)立，得（*），①當(dāng)，即或時(shí)，方程（*）只有一解，所以直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，直線l的方程為；②當(dāng)，即時(shí)，要使直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，直線l的方程為.綜上所述，直線l的方程為或.精練核心考點(diǎn)1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一條切線的斜率為2，求這條切線方程．【答案】.【詳解】設(shè)出切線方程為，與聯(lián)立得：，由，解得：，代入得切線方程為．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線：的切線的方程．【答案】【詳解】若直線斜率不存在，過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，代入可得，與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，不是切線；若直線斜率存在，設(shè)的方程是：，即：，將它代入方程整理得：，由已知，即，解得：，故所求切線的方程為：，即：．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程．【答案】【詳解】解：設(shè)，易得兩條切線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則，聯(lián)立方程，消去可得：，整理可得：，因?yàn)榕c雙曲線相切，所以，，即，，代入可得：，即，所以，即，同理，切線的方程為，在切線上，所以有，滿足直線方程，而兩點(diǎn)唯一確定一條直線，直線AB的方程為題型四：重點(diǎn)考查根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【詳解】聯(lián)立，消去得，當(dāng)時(shí)，方程有解，即直線與雙曲線有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，解得或.故選：C.例題2．（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）雙曲線的一條漸近線為，故焦點(diǎn)到直線的距離為，所以，又，所以雙曲線方程為（2）由題知，直線的斜率必存在.設(shè)直線方程為：聯(lián)立，消y得①當(dāng)時(shí)，上述方程只有一解，符合題意，所以；②當(dāng)時(shí)，為使上述方程只有一解即，，化解得：，所以，所以.綜上，直線方程為：或.例題3．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）直線與雙曲線的左支交于不同兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】由，消去整理得，因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)不等且小于的根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023春·上海長(zhǎng)寧·高二?？计谥校┮阎本€與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；【答案】【詳解】聯(lián)立，當(dāng)即時(shí)，方程是一元一次方程，有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，方程有唯一解時(shí)，，解得，故直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的值為2．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為．(1)寫(xiě)出雙曲線的漸近線方程；(2)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由已知有，，所以，所以雙曲線方程為，或，漸近線方程為（2）設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立，消去得，由已知，因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)，所以解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若直線AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，則．【答案】【詳解】由題意知，雙曲線C的漸近線方程為或，因?yàn)橹本€AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線AF與C的漸近線平行，即或，解得．故答案為：題型五：重點(diǎn)考查根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知圓，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交直線CQ于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程：(2)過(guò)點(diǎn)A作傾斜角為的直線l交軌跡E于B，D兩點(diǎn)，求|BD|的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得在的延長(zhǎng)線上，，在的延長(zhǎng)線上，，軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線,軌跡的方程為.（2）設(shè)切線的方程為，代入，消元得.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則所以.例題2．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知雙曲線.四個(gè)點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求原點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)(2).【詳解】（1）由雙曲線性質(zhì)可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以一定在雙曲線上，根據(jù)雙曲線在第一象限圖象而和坐標(biāo)的數(shù)中，，但，所以點(diǎn)不在雙曲線上，即在雙曲線上.解得雙曲線的方程為（2）直線的方程為，設(shè)，由消去得所以.由，可得，即所以，可化為即則即到的距離.

精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）寫(xiě)出以及韋達(dá)式子【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】聯(lián)立，得，

其中，，.2．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．如果，求a的值．【答案】.【詳解】將代入方程，整理得，，設(shè)交點(diǎn)為則由且得且，∴，∵，∴，即，即，解得滿足且.故.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：，過(guò)右焦點(diǎn)F且與漸近線垂直的直線l交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為．【答案】【詳解】雙曲線C：，右焦點(diǎn)，漸近線方程為．如圖所示，假設(shè)直線l垂直于，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為，將直線l與雙曲線C聯(lián)立消x得，設(shè)，，故；同理可得，當(dāng)直線l垂直于時(shí)，解得．故答案為：題型六：重點(diǎn)考查求雙曲線中弦長(zhǎng)典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【詳解】由題意得雙曲線左焦點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于橫軸時(shí)，不符合題意，雙曲線漸近線方程為；故可設(shè)，與雙曲線聯(lián)立可得，，由弦長(zhǎng)公式知，則或.故存在四條直線滿足條件.故選：D例題2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線截直線所得的弦的長(zhǎng)為．(1)求的值；(2)若軸上有一點(diǎn)，使的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）解：設(shè)，所以，聯(lián)立方程得，所以，即，，因?yàn)殡p曲線截直線所得的弦的長(zhǎng)為，所以，整理得，即，滿足，所以，所求得的值為.（2）解：根據(jù)題意，設(shè)，其到直線的距離為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，到的距離為，解得或，即或；當(dāng)時(shí)，到的距離為，解得或，即或；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，.例題3．（2023秋·山東青島·高二?？计谀┮阎p曲線．請(qǐng)從①②③中選取兩個(gè)作為條件補(bǔ)充到題中，并完成下列問(wèn)題．①；②離心率為2；③與橢圓的焦點(diǎn)相同．(1)求C的方程；(2)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選①②，可得，，解得，所以C的方程為；選①③，可得，，解得，所以C的方程為；選②③，可得，，解得，，所以C的方程為；（2）設(shè)，，聯(lián)立，消掉y，整理得，所以，因?yàn)?，所以．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)．【答案】8【詳解】由雙曲線，得，，焦點(diǎn)為，傾斜角，法一：直線斜率，直線方程為，聯(lián)立消得，，由韋達(dá)定理知，代入弦長(zhǎng)公式，得.法二：.故答案為：8.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交左支于一點(diǎn)，且的斜率是，求長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：由題意可得直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立可得，解得或，則，因此，.3．（2023春·河北承德·高二承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）雙曲線的一條漸近線方程為，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為．(1)求雙曲線方程；(2)過(guò)雙曲線的下焦點(diǎn)作傾角為的直線交曲線于、，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以,雙曲線的上焦點(diǎn)為，在中令得，所以，∴,∴雙曲線方程為;（2）過(guò)雙曲線的下焦點(diǎn)且傾角為的直線斜率為，直線方程為,代入雙曲線方程可得，，設(shè)，故，故的長(zhǎng)為6.題型七：重點(diǎn)考查雙曲線中焦半徑問(wèn)題典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，且P是雙曲線上的一點(diǎn)，求的最小值.【答案】【詳解】設(shè)，則有，，，當(dāng)P在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)椋?，所以的最小值為；?dāng)P在雙曲線左支時(shí)，因?yàn)?，所以，因此，的最小值為，綜上所述：的最小值為；

例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線，其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)弦AB所在直線的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線AB為y=k(x-c)，雙曲線方程可化為①，將直線y=k(x-c)代入①整理得，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)同在右支曲線上(如圖1)，于是∴，當(dāng)時(shí)，弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)在左右兩支曲線上(如圖2)，于是．（2）當(dāng)弦AB所在直線的斜率k不存在時(shí)，弦AB與x軸垂直，．精練核心考點(diǎn)1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線分別交該雙曲線的左、右兩支于A、B兩點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】解：由雙曲線的定義可得，，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，由，得，所以，得，故選：C2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為的角平分線，則【答案】6【詳解】不妨設(shè)A在雙曲線的右支上,∵為的平分線，∴，又∵，解得，故答案為6.題型八：重點(diǎn)考查雙曲線中四邊形面積典型例題例題1．（2023秋·山東青島·高二?？计谀┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，等軸雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，由向雙曲線的漸近線作垂線，垂足分別為、，則四邊形的面積為.【答案】/【詳解】因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，則，，可得，所以，雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則，，，所以，四邊形為矩形，設(shè)點(diǎn)，則，不妨設(shè)點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，則，，所以，.故答案為：.例題2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線的左、右焦點(diǎn)作兩條相互平行的弦，，其中在雙曲線的左支上，在軸上方，則的最小值為，當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，四邊形的面積為．【答案】1【詳解】由雙曲線可得，則，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得：，則，由題意可得，解得，空1：根據(jù)對(duì)稱性可知：，則，∵，則，可得，∴，可得，故的最小值為1；空2：連接，根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，且，則點(diǎn)到直線的距離，且，當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，則，即可得，故四邊形的面積.故答案為：1；.精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，、是左、右焦點(diǎn)．若，則四邊形的面積是（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【詳解】解：由可知，，所以，因?yàn)?，是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形的面積．故選：D．2．（2023春·甘肅臨夏·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知為雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為．【答案】8【詳解】由題意得，，由雙曲線的對(duì)稱性以及可知，四邊形為矩形，所以，解得，所以四邊形的面積為．故答案為：．題型九：重點(diǎn)考查雙曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.例題2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.【答案】（1）（2）【詳解】（1）由焦點(diǎn)可知，又一條漸近線方程為所以，由可得,解得，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為則①，②，②①得：，即，又，所以，所以直線的方程為，即例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程．【答案】【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，由直線與其相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得的中點(diǎn)為，則，由且，兩式相減得，則，即，所以，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·河南周口·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)，則有，兩式做差后整理得，由已知，，又，，得故選：B2．（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為.【答案】/2.25【詳解】設(shè)，則兩式相減得，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，.故答案為：3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且為中點(diǎn)．(1)求直線的方程．(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，代入雙曲線方程得，兩式相減得，即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以直線的斜率為所以的方程為，即，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以直線的方程為；（2）將代入中得，故，所以.題型十：重點(diǎn)考查雙曲線中參數(shù)范圍及最值問(wèn)題典型例題例題1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的圓與圓外切，該圓直徑的端點(diǎn)Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度最小值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【點(diǎn)睛】橢圓，，所以.設(shè)以為直徑的圓圓心為，如圖所示：因?yàn)閳A與圓外切，所以，因?yàn)椋?，所以，所以的軌跡為：以為焦點(diǎn)，的雙曲線的右支.即，曲線.所以為曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度最小值為.故選：C例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)使，則的取值范圍為．【答案】【詳解】，設(shè)，則，，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)闈M足雙曲線方程，所以，因此可得：，由得，又，所以.故答案為：例題3．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高三普寧市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線：過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）由題設(shè)可知，解得則：．（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線：易知點(diǎn)到軸的距離為﹔當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，聯(lián)立，整理得，，整理得聯(lián)立，整理得，則，則，即則，即∴此時(shí)點(diǎn)到軸的距離大于2；綜上所述，點(diǎn)到軸的最小距離為2．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，M為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線的距離大于m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．2【答案】B【詳解】由點(diǎn)M到直線的距離大于m恒成立，可得點(diǎn)M到直線的最近距離大于m.因?yàn)殡p曲線的漸近線為，則與的距離即為最近距離，則，即.故選：B2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的一條漸近線為直線，C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)為F.若點(diǎn)M是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則，所以，雙曲線方程為，由，得，，因此在雙曲線外部（不含焦點(diǎn)的部分），又，所以，在中，由三邊之間的關(guān)系可知當(dāng)是線段與雙曲線的交點(diǎn)，即三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為，故選：B.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上．（1）求正數(shù)的值；（2）求雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的最小值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）由題意，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，，又，所以；（2）由（1）知，，設(shè)點(diǎn)，則，且或，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以的最小值為.題型十一：重點(diǎn)考查雙曲線中定點(diǎn)問(wèn)題典型例題例題1．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與圓分別交于，兩點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；(3)證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)(3)直線過(guò)定點(diǎn),證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題可知，直線的斜率不等于零，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，若，即，直線的斜率為，與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，所以，所以，，因?yàn)?所以，所以.（3）（i）當(dāng)軸時(shí)，且，所以，則，聯(lián)立，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以，由于對(duì)稱性，，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，以下證明直線仍過(guò)定點(diǎn)設(shè)為，因?yàn)椋月?lián)立，即，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以,同理，將上述過(guò)程中替換為可得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以三點(diǎn)共線，即此時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)，綜上直線過(guò)定點(diǎn).例題2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為.直線和兩條漸近線交于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限且,是雙曲線上的任意一點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在點(diǎn)P使得為直角三角形？若存在,求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；(3)直線與直線分別交于點(diǎn),證明：以為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)4個(gè)；(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【詳解】(1)因?yàn)?所以,雙曲線的漸近線方程為：,由題意可知：而,所以,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)因?yàn)橹本€的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：,則有.當(dāng)時(shí),所以且,解得或此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí),所以且,,解得或,此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)是以線段為直徑圓上,圓的方程為：,與雙曲線方程聯(lián)立,無(wú)實(shí)數(shù)解,綜上所述：點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè)；(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,即因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,即,所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為：,所以以為直徑的圓的方程為：,即令或,因此該圓恒過(guò)兩點(diǎn).精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為：，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，可得，又因?yàn)?，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，則聯(lián)立方程組，得整理得：.，且，,，令得，，直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線:，此時(shí)均在軸上，故直線過(guò)定點(diǎn).綜上：直線過(guò)定點(diǎn).2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，直線過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)．(1)若兩點(diǎn)均在雙曲線的右支上，求證：為定值；(2)試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)圓過(guò)定點(diǎn)【詳解】（1）如圖，由，設(shè)，直線，代入，整理得：，由解得：由韋達(dá)定理：，由，同理，．為定值．另法：由，同理，．由于，不妨設(shè)，則．由，得．所以為定值．（2）由題意：圓的方程為即由對(duì)稱性可知：若存在定點(diǎn)，則必在軸上令，有由（1）可知，代入方程后有：，即，令即．故圓過(guò)定點(diǎn)．題型十二：重點(diǎn)考查雙曲線中定值問(wèn)題典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，，分別是線段，的中點(diǎn)，且，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，，當(dāng)與，不重合時(shí)，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，，分別是線段，，的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)?，所以，所以由雙曲線的定義知，解得．設(shè)雙曲線的半焦距為（）．因?yàn)?，所以，所以，所以．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)（），則，所以，所以，所以．因?yàn)?，，所以，所以，為定值．例題2．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：與雙曲線有相同的焦點(diǎn)；且的一條漸近線與直線平行.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值，若是，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，2【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意可得：，則，則雙曲線的方程為.（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則，消得：，則，可得：①設(shè)與軸交點(diǎn)為，則，∵雙曲線兩條漸近線方程為：，聯(lián)立，解得，即，同理可得：，則（定值）.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線在第一象限的點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸交于點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)為定值，且．【詳解】（1）如圖，設(shè)，與的內(nèi)切圓分別交于G，H兩點(diǎn)，則，所以，則，則雙曲線C的方程為．（2）由題意得，切線l的斜率存在．設(shè)切線l的方程為，，．因?yàn)閘與圓相切，所以，即．聯(lián)立消去y并整理得，所以，．又．又，將代入上式得．綜上所述，為定值，且．2．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且離心率(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)如果，為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，【詳解】（1）由題意，解得，，故雙曲線方程為（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程，得，，，，同理，.題型十三：重點(diǎn)考查雙曲線中定直線問(wèn)題典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(3)設(shè)是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.【答案】(1)(2)或(3)直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意得：，，.解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）方法1：設(shè)，則依題意有解得，所以直線的方程為或.方法2：設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：.當(dāng)時(shí)設(shè)，，得，.又因?yàn)?，所以，，解?此時(shí)，所以直線MN的方程為或.（3）方法1：設(shè)，，直線PM的方程為，直線ON的方程，聯(lián)立兩方程，可得①結(jié)合（2）方法2，可得代入①得故.所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線上.方法2設(shè)直線MN的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：.設(shè)，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，.：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線上.例題2．（2023春·云南紅河·高三開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)雙曲線，其虛軸長(zhǎng)為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點(diǎn)、，在線段上取點(diǎn)使得，證明：點(diǎn)落在某一定直線上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線，其虛軸長(zhǎng)為，且離心率為，∴，，∵，∴，，∴雙曲線的方程為．（2）解：設(shè)點(diǎn)，A，的坐標(biāo)分別為，，，且，∵，∴，即，①設(shè)直線的方程為，②將②代入中整理，得，∴，，代入①，整理可得，得，聯(lián)立②消得，∴點(diǎn)落在某一定直線上．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點(diǎn)，為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為．過(guò)點(diǎn)且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點(diǎn)．(1)求Γ的方程；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME，NF的交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)詳見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題意得，又為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為，所以，解得，所以雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線MN的方程為，由，可得，則，，設(shè)，，，，，所以，直線：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得，當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，則，：，：，聯(lián)立可得，綜上，直線ME與NF的交點(diǎn)在定直線上.2．（2023春·江西九江·高二瑞昌市第一中學(xué)?？计谥校┮阎谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為2.記M的軌跡為曲線E.(1)求E的方程；(2)若P是曲線E上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不在x軸上，作PQ⊥l于點(diǎn)Q，證明：曲線E在點(diǎn)P處的切線過(guò)△PQA的外心.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為,則根據(jù)題意得,兩邊同時(shí)平方,化簡(jiǎn)可得,所以曲線的方程為;（2）由題設(shè)點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上,即,所以曲線在點(diǎn)的切線斜率存在,設(shè)為,則在點(diǎn)的切線方