2024高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法講解：抽樣方法與總體分布的估計(jì)

高考

數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)抽樣方法與總體分布的估計(jì)基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣1.簡單隨機(jī)抽樣1)定義:一般地,設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體,從中逐個抽取n(1≤

n<N)個個體作為樣本,如果抽取是放回的,且每次抽取時總體內(nèi)的各個個

體被抽到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣;

如果抽取是不放回的,且每次抽取時總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個個體被抽

到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣,放回

簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣.2)最常用的方法:隨機(jī)數(shù)法和抽簽法.2.分層隨機(jī)抽樣1)定義:一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,再

把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為

分層隨機(jī)抽樣.2)應(yīng)用范圍:總體由差異明顯的幾個部分組成.3)分層隨機(jī)抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征的差異進(jìn)行分層,實(shí)質(zhì)是等比例

抽樣,抽樣比=

=

.考點(diǎn)二用樣本估計(jì)總體1.頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟1)求極差:一組數(shù)據(jù)中最大值-最小值;2)決定組距與組數(shù);3)將數(shù)據(jù)分組;4)列頻率分布表:落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù),每小組的頻數(shù)與

樣本容量的比值叫做這一小組的頻率,計(jì)算各小組的頻率,列出頻率分布

表;5)畫頻率分布直方圖:依據(jù)頻率分布表畫圖,其中縱坐標(biāo)(小長方形的高)

表示頻率與組距的比值,其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的

面積,即每個小長方形的面積=組距×

=頻率.各個小長方形面積的總和等于1.2.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高小長方形底邊中點(diǎn)的橫

坐標(biāo)中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小排序,處在最中間

位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個

數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分為左右

兩個面積相等的部分,分界線與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小長方形的面積乘小長方

形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和方差:s2=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2];標(biāo)準(zhǔn)差:s=

.注意:方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程度,反映了一組數(shù)

據(jù)相對于平均數(shù)的波動情況,標(biāo)準(zhǔn)差和方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的波動性

越大.3.百分位數(shù)1)把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,得到第p個和第p+1個數(shù)據(jù)分別

為a,b.可以發(fā)現(xiàn),區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意一個數(shù),都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求

的兩部分.一般地,我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)

=c,并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)或p%分位數(shù).2)一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少

有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這

個值.3)計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟如下:①按從小到大排列原始數(shù)據(jù);②計(jì)算i=n×p%;③若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù),若i是

整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).綜合篇考法一用統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征1.頻率分布直方圖有以下幾個特點(diǎn):1)縱軸表示頻率/組距;2)頻率分布直方圖中各個小矩形高的比就是相應(yīng)各組的頻率之比;3)頻率分布直方圖中各小矩形的面積是相應(yīng)各組的頻率,所有小矩形的

面積之和等于1,即頻率之和為1.綜合篇2.用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征1)平均數(shù):

=

xiSi(xi表示第i個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo),Si表示第i個小矩形的面積).2)方差:s2=

(xi-

)2·Si.3)眾數(shù):最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).4)中位數(shù):把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分時,分界線

與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).例1

(2023屆重慶十八中強(qiáng)化訓(xùn)練,17)2022年3月5日,第十三屆全國人民

代表大會第五次會議在北京人民大會堂開幕,會議報告指出,2021年,國內(nèi)

生產(chǎn)總值和居民人均可支配收入明顯增長.某地為了解居民可支配收入

情況,隨機(jī)抽取100人,經(jīng)統(tǒng)計(jì),這100人去年可支配收入(單位:萬元)均在區(qū)

間[4.5,10.5]內(nèi),按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分

成6組,頻率分布直方圖如圖所示,若上述居民可支配收入數(shù)據(jù)的第60百

分位數(shù)為8.1.(1)求a,b的值,并估計(jì)這100位居民可支配收入的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)用樣本的頻率估計(jì)概率,從該地居民中抽取甲、乙、丙3人,若每次抽

取的結(jié)果互不影響,求抽取的3人中至少有兩人去年可支配收入在[7.5,8.5)內(nèi)的概率.解析

(1)由頻率分布直方圖,可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1,則a+b=0.55

①.因?yàn)榫用窨芍涫杖霐?shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為8.1,所以0.05+0.12+a+(8.1-7.5)×b=0.6,則a+0.6b=0.43②,聯(lián)立①②,解得

所以估計(jì)這100位居民可支配收入的平均值為0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3

×8+0.2×9+0.08×10=7.72.(2)設(shè)事件A,B,C分別為甲、乙、丙在[7.5,8.5)內(nèi),則P(A)=P(B)=P(C)=0.3.①“抽取的3人中有2人在[7.5,8.5)內(nèi)”=AB

∪A

C∪

BC,且AB

,A

C與

BC兩兩互斥,得P1=P(AB

∪A

C∪

BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3=0.189;②“抽取的3人中有3人在[7.5,8.5)內(nèi)”=ABC,得P2=P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027,所以抽取的3人中至少有兩人去年可支配收入在[7.5,8.5)內(nèi)的概率為P1+P2=0.189+0.027=0.216.考法二樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是重要的數(shù)字特征,利用它

們可對總體進(jìn)行一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意

義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可描述總體的集中趨勢,方差和標(biāo)準(zhǔn)差可描述

波動大小.2.有關(guān)平均數(shù)、方差的一些結(jié)論1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)為

,則mx1+a,mx2+a,mx3+a,…,mxn+a的平均數(shù)是m

+a.2)設(shè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2,則①數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也為s2;②數(shù)據(jù)ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.例2

(2021全國乙文,17,12分)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢

驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各

生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.9新設(shè)備10.110.410.110.010.1舊設(shè)備9.810.010.110.29.7新設(shè)備10.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為

和

,樣本方差分別記為

和

.(1)求

,

,

,

;(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高

如果

-

≥2

,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高

.解析

(1)

=

×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.

=

×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.

=

×(0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.32)=0.036.

=

×(0.2