三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（學(xué)生版）

三次函數(shù)知識點總結(jié)知識點一：三次函數(shù)概念定義：形如fxf'x=3ax2+2bx+c當(dāng)Δ>0時，令f'x知識點二：三次函數(shù)的圖像及單調(diào)性注意：三次函數(shù)要么無極值點，要么有兩個，不可能只有一個！圖像圖像性質(zhì)增區(qū)間減區(qū)間xfx極大值，極小值f'fx在Rfx增區(qū)間x減區(qū)間fx極大值fx2f'fx在Rfx知識點三：三次函數(shù)的韋達定理設(shè)fx=axx1+x2+x3=?ba知識點四：三次函數(shù)的零點個數(shù)若三次函數(shù)fx性質(zhì)三次函數(shù)圖像說明零點個數(shù)三個bf兩個極值符號相異圖像與x軸有三個交點兩個bf有一個極值為0圖像與x軸有兩個交點一個bf不存在極值時，函數(shù)單調(diào)，與x軸有一個交點知識點五：三次函數(shù)的對稱性結(jié)論1：三次函數(shù)fx=ax3+b結(jié)論2：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2結(jié)論3：若y=fx圖像關(guān)于點m，n對稱，則y=f'x圖結(jié)論4：點對稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是軸對稱函數(shù)，軸對稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是點對稱函數(shù)結(jié)論5：奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)知識點六：三次函數(shù)的零點性質(zhì)定理定理一：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖象與x軸交點分別為P1，P2，P3，點P是三次函數(shù)固象上異于P1，P定理二：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠定理三：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像與x軸交點分別為定理四：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0在其中心對稱點Px0，fx定理五：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像與x軸的交點分別為P1x1，0，P2x2，0，P3x3，0，過P1的法線為知識點七：三次函數(shù)的割線性質(zhì)定理定理一：已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0推論一：已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像上任取點P，過點P推論二：已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠定理二：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da>0的中心對稱點為點Px0，fx0，極大值為m，且即x2?x知識點八：三次函數(shù)的切線條數(shù)判斷定理類型一：過三次函數(shù)圖像上任一點的切線①設(shè)點P為三次函數(shù)fx=ax3+bx②若點P為三次函數(shù)圖像的中心對稱點，則過點P有且只有一條切線；③若點P不是三次函數(shù)圖像的對稱中心，則過點P有兩條不同的切線.類型二：過三次函數(shù)圖像外一點的切線區(qū)域分布切線條數(shù)判定定理：過三次函數(shù)fx=ax3+bx2①當(dāng)x0=?b3a，則P為中心對稱點，過點②當(dāng)x0≠?b3a，且gx③當(dāng)x0≠?b3a，且gx④當(dāng)x0≠?b3a，且gx類型三：由三次函數(shù)切線斜率值判斷切線條數(shù)斜率值切線條數(shù)判定定理：已知三次函數(shù)fx=ax3+k與系數(shù)的關(guān)系aak一條一條k兩條兩條k零條兩條題型一：三次函數(shù)的零點問題例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題例2．已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點.題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題例3．已知函數(shù)，，m是實數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個零點，求m的取值范圍.題型四：三次函數(shù)的切線問題例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點，處的切線方程；(2)設(shè)常數(shù)，如果過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．變式c．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處取得極值．(1)設(shè)點，求證：過點的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設(shè)曲線在點、處的切線都過點，證明：．題型五：三次函數(shù)的對稱問題例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)，則（

）A．B．C．D．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，就恒有的定值為，則的值為______.變式2：（多選題）已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個零點C．過可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則E．的值是199.F．過可以作三條直線與圖像相切題型六：三次函數(shù)的綜合問題例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5B．6C．1D．8變式．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是__．題型七：三次函數(shù)恒成立問題例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.變式1．已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，，都有，求出實數(shù)的取值范圍．變式2c．已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)若為函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；(2)的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)有且只有兩個整數(shù)時，求實數(shù)的取值范圍；(3)對任意時，任意實數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的最大值.課后練習(xí)（多選題）1．已知三次函數(shù)有三個不同的零點，若函數(shù)也有三個不同的零點，則下列等式或不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．2．設(shè)三次函數(shù)，則以下說法正確的是（

）A．函數(shù)的“拐點”為B．過函數(shù)的“拐點”有三條切線C．當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，且兩個極值點之和為D．若，則3．已知三次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為B．當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為C．當(dāng)時，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則D．當(dāng)時，恒成立，則a的取值范圍為4．若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個零點C．點是的對稱中心D