北京市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬試卷（含答案）

—2024學(xué)年第一學(xué)期北京市九年級數(shù)學(xué)期末模擬試卷一、選擇題（以下每題只有一個正確的選項(xiàng)，每小題2分，共16分）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.B.C.D.2．二次函數(shù)的圖像是由二次函數(shù)的圖像（）變換得到的．A．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位B．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位C．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位D．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位3．小華的桌兜里有兩副不同顏色的手套，不看桌兜任意取出兩只，剛好是一副的概率是（）A． B． C． D．4．如圖，⊙O的直徑垂直于弦，垂足為．若，，則的長是（）A． B． C． D．如圖，在等腰中，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上時，連接，則的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．55° D．75°如圖，小強(qiáng)從熱氣球上的A點(diǎn)測量一棟高樓頂部的仰角，測量這棟高樓底部的俯角，熱氣球與高樓的水平距離為米，則這棟高樓的高BC為（）米．A．45 B．60 C．75 D．90如圖，在中，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊運(yùn)動，速度為；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊運(yùn)動，速度為；如果P、Q兩動點(diǎn)同時運(yùn)動，那么經(jīng)過（）秒時與相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒8.如圖，已知開口向上的拋物線與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③若關(guān)于的方程一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；④.其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每小題2分，共16分）9.若，則的值為．10.一口袋中裝有10個紅球和若干個黃球（這些球除顏色外都相同），通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)得知，摸到紅球的頻率為0.4．據(jù)此估計：口袋中約有個黃球．11．如果拋物線的對稱軸是，那么．如圖，扇形OAB是一個圓錐的側(cè)面展開圖，∠AOB＝120°，的長為6πcm，則該圓錐的側(cè)面積為cm2（結(jié)果保留π）．如圖，在中，，，是邊上的中線，則的值是．如圖，輸電塔高．在遠(yuǎn)離高壓輸電塔的處，小宇用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫椋阎獪y角儀高，則．15．如圖，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一點(diǎn)，CD＝5，則AD的長為．如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．如下結(jié)論中：①平分；②；③；④．所有正確結(jié)論的序號是．解答題（本大題共11個題，總分68分）17．解一元二次方程：(1)(2)18．下面是小雪設(shè)計的“作以已知線段為斜邊的等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程．

已知：線段AB．求作：以AB為斜邊的一個等腰直角△ABC．作法：（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于P、Q兩點(diǎn)；（2）作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，OA的長為半徑作圓，交直線PQ于點(diǎn)C；（4）連接AC，BC．則△ABC即為所求作的三角形．根據(jù)小雪設(shè)計的尺規(guī)作圖過程：（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：∵PA=PB，QA=QB，∴PQ垂直平分AB（

）在⊙O中，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°（

）又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴AC=BC（

），∴△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形．19．已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個根為負(fù)數(shù)，求的取值范圍.20．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，過點(diǎn)（﹣4，0），（0，﹣2）．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)﹣4＜x＜4時，求y的取值范圍．21．某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中，開設(shè)的體育社團(tuán)活動課有：A：籃球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門，學(xué)校李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．(1)則該班的總?cè)藬?shù)為______人，其中學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是______度；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；(3)該班班委4人中，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，李老師要從這4人中選2人了解他們對體育社團(tuán)活動課的看法，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率．22．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB與點(diǎn)P，且PC=BC，求證：BC是⊙O的切線．23.如圖，在中，，點(diǎn)D在上，，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）如果，，求的長．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)E，連接AD．（1）求證：是⊙O的切線；（2）連接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的長．

25．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線．(1)若拋物線過點(diǎn)，求拋物線的對稱軸；(2)若為拋物線上兩個不同的點(diǎn)．①當(dāng)時，，求a的值；②若對于，都有，求a的取值范圍．26.如圖是某品牌自行車的最新車型實(shí)物圖和簡化圖，它在輕量化設(shè)計、剎車、車籃和座位上都做了升級．為后胎中心，經(jīng)測量車輪半徑為，中軸軸心到地面的距離為，座位高度最低刻度為，此時車架中立管長為，且．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求車座到地面的高度（結(jié)果精確到）；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車座到地面的距離為時，身高的人騎車比較舒適，此時車架中立管拉長的長度應(yīng)是多少？（結(jié)果精確到）27．（1）如圖1，和均為等邊三角形，直線和直線交于點(diǎn)F．填空：①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為________；②的度數(shù)為______．（2）如圖2所示，和均為等腰直角三角形，，直線和直線交于點(diǎn)F，請判斷的度數(shù)及線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3所示，和均為直角三角形，，，當(dāng)點(diǎn)B在線段的延長線上時，求線段和的長度．2023—2024學(xué)年第一學(xué)期北京市九年級數(shù)學(xué)期末模擬試卷解析一、選擇題（以下每題只有一個正確的選項(xiàng)，每小題2分，共16分）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可進(jìn)行解答．【詳解】解：A、既軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故A符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C不符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D不符合題意；故選：A．2．二次函數(shù)的圖像是由二次函數(shù)的圖像（）變換得到的．A．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位B．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位C．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位D．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：拋物線向右平移1個單位，得：；再向下平移2個單位，得：．故選：C．3．小華的桌兜里有兩副不同顏色的手套，不看桌兜任意取出兩只，剛好是一副的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】列舉出所有情況，看能配成一副的情況數(shù)占所有情況數(shù)的多少即可．【詳解】設(shè)其中一副手套分別為a，a'；另一副手套分別為b，b'．共有12種情況，能配成一副的有4種情況，所以剛好是一副的概率是．故選：B．4．如圖，⊙O的直徑垂直于弦，垂足為．若，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出CE=1，再根據(jù)垂徑定理可求出CD．【詳解】解：∵⊙O的直徑垂直于弦，∴∵，，∴CE=1∴CD=2．故選：C．5.如圖，在等腰中，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上時，連接，則的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．55° D．75°【答案】B【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，再由等腰三角形和三角形內(nèi)角和定理得，即可求得．【詳解】解：，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，故選：B．6.如圖，小強(qiáng)從熱氣球上的A點(diǎn)測量一棟高樓頂部的仰角，測量這棟高樓底部的俯角，熱氣球與高樓的水平距離為米，則這棟高樓的高BC為（）米．A．45 B．60 C．75 D．90【答案】B【分析】由求出的值，由求出的值，對計算求解即可．【詳解】解：∵∴米∵∴米∴米故選B．7.如圖，在中，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊運(yùn)動，速度為；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊運(yùn)動，速度為；如果P、Q兩動點(diǎn)同時運(yùn)動，那么經(jīng)過（）秒時與相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒【答案】C【分析】設(shè)經(jīng)過秒時,與相似,則,利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行分類討論：當(dāng)時,,即當(dāng)時,,即然后解方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過秒時,與相似,則,當(dāng)時,,即解得：當(dāng)時,,即解得：綜上所述：經(jīng)過或秒時,與相似故選：C8.如圖，已知開口向上的拋物線與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③若關(guān)于的方程一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；④.其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，∴，∵對稱軸為，∴，∴，故①正確；∵拋物線的對稱軸為，∴，∴，故②正確；∵函數(shù)與直線有兩個交點(diǎn)．∴關(guān)于的方程一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵時，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，故④正確，故選：D二、填空題（每小題2分，共16分）9.若，則的值為．【答案】【分析】用b表示出a，然后代入比例式進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：∵∴，∴．故答案為．10.一口袋中裝有10個紅球和若干個黃球（這些球除顏色外都相同），通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)得知，摸到紅球的頻率為0.4．據(jù)此估計：口袋中約有個黃球．【答案】15【分析】通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)得知，摸到紅球的頻率為0.4，即紅球占總數(shù)的0.4，列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)有黃球x個，由題意得，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：1511．如果拋物線的對稱軸是，那么．【答案】4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，整理即可求解．【詳解】拋物線的對稱軸為直線，故答案為：4．12.如圖，扇形OAB是一個圓錐的側(cè)面展開圖，∠AOB＝120°，的長為6πcm，則該圓錐的側(cè)面積為cm2（結(jié)果保留π）．【答案】27π【分析】首先求得扇形的半徑長，然后求得扇形的面積即可．【詳解】解：設(shè)cm的長為6πcm，解得：cm圓錐的側(cè)面積為cm2故答案為：27π．13.如圖，在中，，，是邊上的中線，則的值是．【答案】2【分析】由題意，得到，則，結(jié)合角的正切值，即可得到答案．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴；故答案為：2．14.如圖，輸電塔高．在遠(yuǎn)離高壓輸電塔的處，小宇用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫椋阎獪y角儀高，則．【答案】【分析】作交BE于點(diǎn)C，根據(jù)題意可知AC長，并可求出BC長，由，求出結(jié)果即可．【詳解】如圖，作交BE于點(diǎn)C，根據(jù)題意可知AD=CE=1.7m，BE=41.7m，AC=DE=100m，∴BC=BE-CE=41.7-1.7=40m，∴．故答案為：．15．如圖，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一點(diǎn)，CD＝5，則AD的長為．【答案】3＋2/【分析】過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥AD于F，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性質(zhì)可知BE=CE=6，根據(jù)相似三角形的判定證明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求得AE、DF、CF，AF即可求解．【詳解】解：過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥AD于F，則∠AEB=∠CFD=90°，∵＝，AB＝10，∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，∵AE⊥BC，BC=12，∴BE=CE=6，

∴，∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE∽△CDF，∴，∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，∴，解得：DF=3，CF=4，在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，則，∴AD=DF+AF=3＋2，故答案為：3＋2．16.如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．如下結(jié)論中：①平分；②；③；④．所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②③【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AD=AC，∠ADE=∠C，利用AD=AC得到∠ADC=∠C，即可推出∠ADC=∠ADE，判斷①正確；根據(jù)∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，即可證明△AEF∽△DBF，判斷②正確；利用三角形的外角性質(zhì)判斷③正確；由∠FAD不一定等于∠CAD，不能證明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，由此判斷④錯誤．【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：AD=AC，∠ADE=∠C，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∴∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，故①正確；∵∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，∴△AEF∽△DBF，故②正確；∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C，∴，故③正確；∵∠FAD不一定等于∠CAD，AD=AD，∠ADC=∠ADE，∴不能證明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，∴DE-DF不一定等于BC-CD，即無法證明EF=BD，故④錯誤；故答案為：①②③．三、解答題（共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分）17．解一元二次方程：解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，；(2)，．【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，故方程解為：，．（2）解：移項(xiàng)得：，∴，∴或，故方程解為：，．18．下面是小雪設(shè)計的“作以已知線段為斜邊的等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程．

已知：線段AB．求作：以AB為斜邊的一個等腰直角△ABC．作法：（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于P、Q兩點(diǎn)；（2）作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，OA的長為半徑作圓，交直線PQ于點(diǎn)C；（4）連接AC，BC．則△ABC即為所求作的三角形．根據(jù)小雪設(shè)計的尺規(guī)作圖過程：（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：∵PA=PB，QA=QB，∴PQ垂直平分AB（

）在⊙O中，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°（

）又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴AC=BC（

），∴△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形．【答案】（1）答案見解析；（2）到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，直徑所對圓周角是直角，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等．【分析】(1)根據(jù)作法即可用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；(2)根據(jù)作圖過程即可完成證明．【詳解】(1)如圖即為補(bǔ)全的圖形；

(2)完成下面的證明：證明：∵PA=PB，QA=QB，∴PQ垂直平分AB(到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上)在⊙O中，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°(直徑所對圓周角是直角)又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴AC=BC(相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等)，∴△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形．故答案為：到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上、直徑所對圓周角是直角、相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等．19．已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個根為負(fù)數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）計算方程根的判別式，判斷其符號即可；（2）求方程兩根，結(jié)合條件則可求得m的取值范圍．【詳解】（1），∵，∴方程總有實(shí)數(shù)根；（2）∵，∴，，∵方程有一個根為負(fù)數(shù)，∴，∴．20．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，過點(diǎn)（﹣4，0），（0，﹣2）．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)﹣4＜x＜4時，求y的取值范圍．【答案】（1）yx2x﹣2，頂點(diǎn)坐標(biāo)(－1，)；（2）y的取值范圍是y＜4．【分析】(1)根據(jù)交點(diǎn)式得出y＝a(x+4)(x﹣2)，將(0，﹣2)代入求出a即可得出這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求得拋物線的最小值，求得x＝4時的函數(shù)值，即可求得當(dāng)﹣4＜x＜4時，y的取值范圍．【詳解】(1)∵對稱軸為x=﹣1，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)(﹣4，0)，∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣2)，把(0，﹣2)代入，解得：a，∴拋物線的解析式為y=(x+4)(x﹣2)(x+1)2x2x﹣2；，故拋物線的解析式為：yx2x﹣2；頂點(diǎn)坐標(biāo)(－1，)；(2)yx2x﹣2(x+1)2，∵，∴當(dāng)時，函數(shù)有最小值，把x=4代入y=(x+4)(x﹣2)得y=4，∵﹣4＜﹣1＜4，∴當(dāng)﹣4＜x＜4時，y的取值范圍是y＜4．21．某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中，開設(shè)的體育社團(tuán)活動課有：A：籃球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門，學(xué)校李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．(1)則該班的總?cè)藬?shù)為______人，其中學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是______度；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；(3)該班班委4人中，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，李老師要從這4人中選2人了解他們對體育社團(tuán)活動課的看法，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率．【答案】(1)50，72(2)見解析(3)【分析】（1）利用“選A：籃球”的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比即可求得該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用學(xué)生選D“羽毛球”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以，即可求得結(jié)果；利用選足球的學(xué)生的百分比乘以總?cè)藬?shù)求得選足球的人數(shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去其他課程的人數(shù)求得選兵乓球的學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（3）畫出樹狀圖可得共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種，再利用概率公式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：該班的總?cè)藬?shù)為：（人），學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：，故答案為：50；72；（2）解：由題意可得：選“B：足球”的學(xué)生人數(shù)為：（人），選“E：兵乓球”的學(xué)生人數(shù)為：（人）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下；（3）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種；∴選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率為．22．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB與點(diǎn)P，且PC=BC，求證：BC是⊙O的切線．【答案】證明過程見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂直的定義判斷即可；【詳解】∵PC=BC，∴∠CPB=∠CBP，∵∠APO=∠CPB，∴∠CBP=∠APO，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠ABO，∴∠CBP+∠ABO=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線．23.如圖，在中，，點(diǎn)D在上，，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）如果，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由等角的余角相等得到，又由即可得到；（2）由勾股定理求得，得到，由得到，則，即可求得答案．【小問1詳解】證明：在中，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∵，∴，∵，∴；【小問2詳解】∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，解得．24.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)E，連接AD．（1）求證：是⊙O的切線；（2）連接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的長．

【答案】（1）見解析；（2）1．【分析】（1）連接OD，由D為弧BC的中點(diǎn)，得到，求得∠BAD=∠CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠ADO，推出AC∥OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切線；（2）連接OC，易得△AOC是等邊三角形，繼而證得四邊形ACDO是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CD=AC=2，∠CDE=30°，繼而即可求解．【詳解】（1）證明：如下圖所示，連接，∵D是弧BC的中點(diǎn)，即∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線.；（2）解：如下圖所示，連接OC，∵∠CDA=30°，∴∠AOC=2∠CDA=60°，∴△AOC是等邊三角形，∴AC＝AO＝OD由（1）可得，AC∥OD，∴四邊形ACDO既是平行四邊形，也是菱形，∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，∠CDE=90°－60°＝30°，∵DE⊥AE,∠CED＝90°∴CE=1．25．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線．(1)若拋物線過點(diǎn)，求拋物線的對稱軸；(2)若為拋物線上兩個不同的點(diǎn)．①當(dāng)時，，求a的