福建省平潭縣重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題（含答案）

平潭縣重點(diǎn)學(xué)校高二適應(yīng)性練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則一定是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．如圖，已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．5．已知直線過點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或6．“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．如圖，封閉圖形的曲線部分是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸的長(zhǎng)為2的半個(gè)橢圓，設(shè)是該圖形上任意一點(diǎn)，則與線段的長(zhǎng)度的最大值最接近的是（

）A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.48．已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的右支上，若，且直線與C的一條漸近線平行，則C的離心率為（

）．A． B． C．2 D．二、多選題9．已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則10．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．空間向量，若，則B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．已知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底D．任意向量滿足11．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．若直線與直線垂直，則C．直線與直線之間的距離是D．已知，，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是612．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．若以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的左頂點(diǎn)，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的離心率為2三、填空題13．已知集合，．若，則實(shí)數(shù)．14．已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為.15．已知在一個(gè)二面角的棱上有兩點(diǎn)，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，則這個(gè)二面角的大小為.16．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，橢圓右準(zhǔn)線上存在一點(diǎn)P滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為.四、解答題17．已知點(diǎn)(1)若，且，求；(2)若與垂直，求k；(3)求.18．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，.(1)求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線l的方程.19．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)在雙曲線上，求證：；(3)在（2）的條件下，求的面積．20．如圖，平面，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值.21．已知橢圓的下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)為，離心率為.過焦點(diǎn)且與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn).(1)求的值；(2)求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值.22．已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線C的方程；(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l否會(huì)過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo).參考答案：1．A【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接可得答案.【詳解】拋物線即，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A2．C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間兩點(diǎn)間距離公式求出三角形邊長(zhǎng)作答.【詳解】點(diǎn)，則，，，而，所以一定為直角三角形.故選：C3．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可.【詳解】G是CD的中點(diǎn)，所以故選：A.4．B【分析】根據(jù)漸近線方程可得，再由可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：B5．D【分析】考慮截距是否為0，分兩種情況求解，求出直線斜率，即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為，則與y軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，斜率為，故方程為；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，故直線方程為，即，故選：D6．A【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件是可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠?，即表示圓，等價(jià)于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A7．C【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出橢圓方程，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】以AB為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

由題意，且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以半橢圓方程為，，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，所以選項(xiàng)中與線段的長(zhǎng)度的最大值最接近的是.故選：C8．D【分析】根據(jù)雙曲線的定義、直線斜率、勾股定理列式可得關(guān)系，從而可得雙曲線離心率.【詳解】如圖，

雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的定義可得①，因?yàn)?，所以，則②，又直線與C的一條漸近線平行，所以③，聯(lián)立①③得：，代入②得：，即，則雙曲線的離心率.故選：D.9．BC【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則曲線是圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)或時(shí)，，曲線是雙曲線，B正確；對(duì)于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對(duì)于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，D錯(cuò)誤．故選：BC.10．ABC【分析】根據(jù)空間向量的概念及其相關(guān)推論，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A：若，則，故A正確；對(duì)于B：若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，由于，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C：假設(shè)不是空間的一個(gè)基底，則共面，設(shè)，因?yàn)?，所以有，整理可得，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，所以有，顯然該方程組不成立，故假設(shè)錯(cuò)誤.所以，也是空間的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)于D：由于是一個(gè)數(shù)值，也是一個(gè)數(shù)值，則由可得和共線，與已知的任意性不符，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11．ACD【分析】求出斜率判斷A；利用兩直線垂直關(guān)系求出a判斷B；求出平行線間距離判斷C；利用對(duì)稱思想求出最小值判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率，其傾斜角小于，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由直線與直線垂直，得，解得，B正確；對(duì)于C，直線化為，因此兩平行直線的距離，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)是x軸上任意一點(diǎn)，

連接，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，因此，D錯(cuò)誤.故選：ACD12．BD【分析】根據(jù)題意，由為等腰直角三角形，列出方程求得及，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過雙曲線的左頂點(diǎn)，可得為等腰直角三角形，又因?yàn)檫^且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)椋?，解得，所以雙曲線的離心率為，所以D正確；由，可得雙曲線的漸近線方程為，所以B正確．故選：BD.

13．3【分析】由題意可知直線與直線互相平行，由此可求出或，再代入檢驗(yàn)即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以直線與直線沒有交點(diǎn)，所以直線與直線互相平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線為：，，此時(shí)兩直線重合，不滿足；當(dāng)時(shí)，兩直線為：，，此時(shí)兩直線平行，滿足，所以的值為3.故答案為：3.14．/2.25【分析】利用點(diǎn)差法和兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則兩式相減得，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，.故答案為：15．【分析】設(shè)，二面角的大小為，根據(jù)展開計(jì)算得到，得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，（），則二面角的大小為，

，，，，故.故，故，.因此所求二面角的度數(shù)為.故答案為：.16．【分析】由可得，又點(diǎn)在右準(zhǔn)線上可得，解關(guān)于的一元二次不等式，結(jié)合即可求得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)Q，連接，如圖所示，

則，所以，所以，所以為等腰三角形，即，且，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在右準(zhǔn)線上，所以，即，所以，即，解得或，又，所以，故答案為：.17．(1)或；(2)或；(3).【分析】（1）由空間向量共線及模的坐標(biāo)表示運(yùn)算即可得解；（2）利用空間向量線性運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算即可得解；（3）由空間向量夾角余弦值的坐標(biāo)表示運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）由題意，，，所以可設(shè)，又，所以，解得，所以或；（2）由題意，，所以，又與垂直，所以，解得或，所以或；（3）由（2）可得，所以.18．(1)(2)或【分析】（1）計(jì)算出圓A的半徑，可得出圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用勾股定理計(jì)算出圓心A到直線的距離為，然后對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線軸時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出參數(shù)值，綜合可得出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)圓A半徑為R，由圓與直線相切，則點(diǎn)到直線的距離等于半徑，得，∴圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，，，則圓心A到直線的距離.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，即，此時(shí)圓心A到直線的距離為，符合題意；當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)方程為，即，，解得，∴直線l為：.綜上所述，直線l的方程為或.

19．(1)(2)證明見解析(3)6【分析】（1）首先根據(jù)離心率設(shè)出雙曲線方程，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；（2）首先將點(diǎn)代入雙曲線方程求，再根據(jù)斜率公式或是數(shù)量積公式，證明垂直；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果，代入面積公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋钥稍O(shè)雙曲線方程為．因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即．所以雙曲線方程為，即（2）由（1）可知，雙曲線中，所以，不妨設(shè)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，則，．方法一：，，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，，所以,所以，所以．方法二：因?yàn)?，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以．

（3）的底邊長(zhǎng)，的高，所以．20．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用線面平行的判定證面、面，再由面面平行的判定得面面，最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求線面角的正弦值；（3）由（2）所得坐標(biāo)系，向量法求面面角的余弦值；【詳解】（1）由，面，面，則面，由，面，面，則面，而，面，故面面，由面，則平面；（2）由平面，平面，則，又，以為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，，，所以，則，，，令面的一個(gè)法向量，則，若，則，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.

（3）由（2）知：，則，令面的一個(gè)法向量，則，若，則，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率列式計(jì)算即可；（2）直線，聯(lián)立橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、面積公式寫出面積關(guān)于k的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式求最大值.【詳解】（1）由題意可得，，因?yàn)殡x心率，所以，又，所以，解得；（2）由（1）知，橢圓的上焦點(diǎn)為，設(shè)，直線，聯(lián)立，整理得：，則，且，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.

22．(1)；(2)恒過定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出值