河南省南陽市重點學校2023-2024學年高二上學期12月月考數學試題（含答案）

高二數學一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．如圖，二面角α﹣l﹣β的大小為150°，a?α，b?β，且a與交線l的夾角為60°，則直線a，b夾角的正切值的最小值為（）A． B． C． D．2．已知，，若，則m＝（）A．1 B．2 C．3 D．﹣23．多項式（ax+1）6的x2項系數比x3項系數多35，則其各項系數之和為（）A．1 B．243 C．64 D．04．的展開式中x2項的系數是（）A． B． C． D．5．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）＝0.061，則P（﹣2≤ξ≤0）等于（）A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.9396．老張每天17：00下班回家，通常步行5分鐘后乘坐公交車再步行到家，公交車有A，B兩條線路可以選擇．乘坐線路A所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（44，4），下車后步行到家要5分鐘；乘坐線路B所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（33，16），下車后步行到家要12分鐘．下列說法從統計角度認為不合理的是（）（參考數據：Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973）A．若乘坐線路B，18：00前一定能到家 B．乘坐線路A和乘坐線路B在17：58前到家的可能性一樣 C．乘坐線路B比乘坐線路A在17：54前到家的可能性更大 D．若乘坐線路A，則在17：48前到家的可能性不超過1%7．用模型y＝aekx擬合一組數據組（xi，yi）（i＝1，2，…，7），其中x1+x2+…+x7＝7；設z＝lny，得變換后的線性回歸方程為，則y1y2…y7＝（）A．e70 B．70 C．e35 D．358．已知變量y關于x的回歸直線方程為，相關系數為r，則下列選項正確的是（）A．若a＞0，則x與y是正相關 B．若|r|接近0，則表示x與y的相關性很強 C．若r＞0，則b＞0 D．若變量x增大一個單位，則變量y就一定增加b個單位二．多選題（共4小題，每題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．以下命題正確的是（）A．直線l方向向量為，直線m方向向量，則l與m垂直 B．直線l的方向向量，平面α的法向量，則l∥α C．平面α，β的法向量分別為，則α∥β D．平面α經過三點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量是平面α的法向量，則u+t＝110．已知，則（）A．展開式中所有項的系數和為﹣1 B．展開式中二項系數最大項為第1012項 C． D．a1+2a2+3a3+???+2023a2023＝202311．關于下列命題中，說法正確的是（）A．已知X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則 B．數據91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位數為78 C．已知ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則 D．某校三個年級，高一有400人，高二有360人．現用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應從高三抽取19人12．下列命題中正確的是（）A．在回歸分析中，相關系數r的絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強 B．線性回歸直線恒過樣本中心 C．在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好 D．對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k越小，說明“X與Y有關系”的把握越大三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分.）13．△ABC的三個頂點分別是A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），則AC邊上的高BD長為．14．若對于任意實數x，都有x4＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+2）4，則a3的值為．15．設樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}含有等可能的樣本點，且事件A＝{1，2，3，4}，事件B＝{1，2，3，5}，事件C＝{1，m，n，8}，使得p（ABC）＝p（A）p（B）p（C），且滿足A，B，C兩兩不獨立，則m+n＝．16．已知一組成對數據（18，24），（13，34），（10，38），（﹣1，m）的回歸方程為y＝﹣2x+59.5，則該組數據的相關系數r＝（精確到0.001）．四．解答題（共6小題，共70分。）17．（10分）如圖，棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD和平面ABCD夾角的余弦值的大?。?8．（12分）對于二項式：（1）若展開式的第4項與第8項的二項式系數相等，求展開式中x2的系數；（2）若展開式的前三項的系數成等差數列，求展開式的中間項．19．（12分）多巴胺是一種神經傳導物質，能夠傳遞興奮及開心的信息．近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調動正面的情緒，是一種“積極化的聯想”．小李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式決定衣物顏色，現有一個箱子，里面裝有質地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當天穿紅色，否則穿藍色．每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5．（1）寫出小李同學抽到紅球個數的分布列及期望；（2）求小李同學當天穿連衣裙的概率．20．（12分）“一帶一路”是促進各國共同發(fā)展，實現共同繁榮的合作共贏之路．為了了解我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿易量情況，隨機抽查了100天進口貿易量與出口貿易量（單位：億人民幣/天）得下表：進口出口[0，50]（50，100]（100，150][0，50]32184（50，100]6812（100，150]3710（1）估計事件“我國與該國貿易中，一天的進口貿易量與出口貿易量均不超過100億人民幣”的概率；（2）根據所給數據，完成下面的2×2列聯表：進口出口[0，100]（100，150][0，100]（100，150]（3）根據（2）中的列聯表，判斷是否有99%的把握認為“我國與該國貿易中一天的進口貿易量與出口貿易量”有關？附：．p（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2．（1）求證：CD⊥平面PAC；（2）若E為PC的中點，求PD與平面AED所成角的正弦值．22．已知的展開式中所有項的二項式系數和為128，各項系數和為﹣1．（1）求n和a的值；（2）求的展開式中的常數項．高二數學參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【答案】B【分析】設a∩l＝B，延伸半平面β，在a上任取一點A，過A作AD⊥β，垂足為D，再過D作DC⊥l，垂足為C，連接AC，則根據三垂線定理可知：二面角α﹣l﹣β的平面角的補角為∠ACD＝30°，又直線a，b夾角最小為a與β的線面角，再求a與β的線面角的正切值，即可得解．【解答】解：如圖，設a∩l＝B，延伸半平面β，在a上任取一點A，過A作AD⊥β，垂足為D，再過D作DC⊥l，垂足為C，連接AC，則根據三垂線定理可知：二面角α﹣l﹣β的平面角的補角為∠ACD＝30°，設AB＝2，∵a與交線l的夾角為60°，即∠ABC＝60°，又AC⊥BC，∴BC＝1，AC＝，又∠ACD＝30°，AD⊥DC，∴AD＝AC＝，又AD⊥DB，∴DB＝＝＝，∴tan∠ABD＝＝＝，∵AD⊥β，垂足為D，∴a與β的線面角為∠ABD，而直線a，b夾角最小為a與β的線面角，∴直線a，b夾角的正切值的最小值為．故選：B．2．【答案】C【分析】利用向量垂直時數量積等于零，通過向量數量積的坐標表示建立方程求解即可．【解答】解：因為，，又，所以，解得m＝3．故選：C．3．【答案】D【分析】直接利用二項式的展開式和組合數求出結果．【解答】解：根據二項式的展開式，當r＝4時，x2項系數為，當r＝3時，x3項系數為，由于多項式（ax+1）6的x2項系數比x3項系數多35，故15a2﹣20a3＝35，解得a＝﹣1；故（1﹣x）6的展開式的系數和即當x＝1時，系數和為0．故選：D．4．【答案】A【分析】由題意，利用二項展開式的通項公式，求得展開式中x2項的系數．【解答】解：根據的展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣2）r?x8﹣2r，令8﹣2r＝2，可得r＝3，故展開式中x2項的系數是?（﹣8）＝﹣464．故選：A．5．【答案】B【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求得結果．【解答】解：因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），所以μ＝0，因為P（ξ＞2）＝0.061，所以P（ξ＜﹣2）＝0.061，所以P（﹣2＜ξ＜2）＝1﹣2×0.061＝0.878，所以P（﹣2≤ξ≤0）＝＝0.439．故選：B．6．【答案】A【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性以及正態(tài)分布的概率，對四個選項逐一分析判斷即可【解答】解：對于A，因為P（B＞45）＝（1﹣P（21≤Z≤45））＝×（1﹣0.9973）＝0.00135，所以乘坐線路B，18：00前不一定能到家，選項A錯誤；對于B，P（B＜41）＝（1﹣P（25≤Z≤41））+P（25≤Z≤41）＝0.97725，P（A＜48）＝（1﹣P（40≤Z≤48））+P（40≤Z≤48）＝0.97725，所以選項B正確；對于C，P（B＜37）＝（1﹣P（29≤Z≤37））+P（29≤Z≤37）＝0.84135，P（A＜44）＝＜0.84135，選項C正確；對于D，P（A＜38）＝（1﹣P（38≤Z≤50））＝0.00135＜0.01，選項D正確．故選：A．7．【答案】C【分析】根據回歸直線方程，必過樣本點中心（，），再利用換元公式，以及對數運算公式，化簡求值．【解答】解：因為x1+x2+…+x7＝7，所以＝1，＝+4＝5，即×（lny1+lny2+…+lny7）＝×ln（y1y2…y7）＝5，所以y1y2…y7＝e35．故選：C．8．【答案】C【分析】根據回歸方程和相關系數的定義逐項判斷即可．【解答】解：A選項，若b＞0，則x與y是正相關，A錯誤；B選項，若|r|接1，則表示x與y的相關性很強，B錯誤；C選項，若r＞0，則x與y是正相關，b＞0，C正確；D選項，線性回歸方程為估計值，不知準確值，D錯誤．故選：C．二．多選題（共4小題）9．【答案】AD【分析】對于A，結合向量垂直的性質，即可求解，對于B，結合向量垂直的性質，即可求解，對于C，結合向量平行的性質，即可求解，對于D，結合法向量的定義，以及向量垂直的性質，即可求解．【解答】解：∵直線l方向向量為，直線m方向向量，∴，即l與m垂直，故A正確，∵直線l的方向向量，平面α的法向量，∴，即，∴l(xiāng)∥α或l?α，故B錯誤，∵，∴與不共線，∴α∥β不成立，故C錯誤，∵A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴，，∵向量是平面α的法向量，∴，即，解得u+t＝1，故D正確．故選：AD．10．【答案】AC【分析】A．令x＝1進行求解．B．展開式中二次系數最大值的項有兩項．C．令x＝0或x＝進行求解．D．先對等式兩邊對x求導數，然后令x＝1進行計算即可．【解答】解：令x＝1，得所有項系數和為（1﹣2）2023＝﹣1，故A正確，∵n＝2023，∴展開式中有2024項，則展開式中二項系數最大項為第1012項或1013項，故B錯誤，令x＝0得，a0＝1，令x＝得（1﹣2×）2023＝a0+＝0，∴＝﹣a0＝﹣1，故C正確，等式兩邊對x求導數得﹣2×2023（1﹣2x）2022＝a1+2a2x+3a3x2+?+2023a2023x2022，令x＝1得a1+2a2+3a3+?+2023a2023＝﹣4046，故D錯誤．故選：AC．11．【答案】BCD【分析】根據二項分布期望和方差公式可構造方程求得，知A錯誤；將數據按照從小到大順序排序后，根據百分位數的估計方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對稱性可求得C正確；根據分層抽樣原則可計算得到高二應抽取學生數，由此可得高三數據，知D正確．【解答】解：對于A，∵X～B（n，p），∴，∴，解得，故A錯誤；對于B，將數據從小到大排序為64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，∵10×45%＝4.5，∴45%分位數為第5個數，即78，故B正確；對于C，∵ξ～N（0，1），∴，故C正確；對于D，∵抽樣比為，∴高二應抽取人，則高三應抽取57﹣20﹣18＝19人，故D正確．故選：BCD．12．【答案】ABC【分析】根據相關系數的概念判斷A，根據回歸直線方程的性質判斷B，根據相關指數的概念判斷C，根據獨立性檢驗的思想判斷D．【解答】解：對于A：在回歸分析中，對于相關系數r，|r|越接近1，線性相關性越強，即相關系數r的絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強，故A正確；對于B：線性回歸直線必過樣本中心，故B正確；對于C：在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故C正確；對于D：對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k越小，說明“X與Y有關系”的把握越小，故D錯誤．故選：ABC．三．填空題（共4小題）13．【答案】見試題解答內容【分析】根據A、C、D三點共線，設＝λ，利用向量垂直的充要條件建立關于λ的方程，解出λ的值．由此得到向量的坐標，再利用向量模的坐標公式即可求出AC邊上的高BD的長．【解答】解：∵A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），∴＝（4，﹣5，0），＝（0，4，﹣3），∵點D在直線AC上，∴設＝λ＝（0，4λ，﹣3λ），由此可得＝＝（0，4λ，﹣3λ）﹣（4，﹣5，0）＝（﹣4，4λ+5，﹣3λ），又∵⊥，∴?＝﹣4×0+（4λ+5）×4+（﹣3λ）×（﹣3）＝0，解得λ＝．因此＝（﹣4，4λ+5，﹣3λ）＝（﹣4，，），可得||＝＝5故答案為：514．【答案】見試題解答內容【分析】把x4＝[﹣2+（x+2）]4展開求得（x+2）3的系數，再結合已知條件求得a3的值．【解答】解：∵x4＝[﹣2+（x+2）]4＝（﹣2）4（x+2）0+（﹣2）3（x+2）1+（﹣2）2（x+2）2+（﹣2）（x+2）3+（﹣2）0（x+2）4，且有，∴a3＝（﹣2）＝﹣8，故答案為﹣8．15．【答案】13．【分析】由題意可知P（A）＝P（B）＝P（C）＝，所以P（ABC）＝，由此即可推測出m，n的值．【解答】解：由題意可知P（A）＝P（B）＝P（C）＝，所以P（ABC）＝，可見1是A，B，C共同的唯一的交集，又A，B，C兩兩不獨立，即P（AB），P（AC），P（BC）＝，可見m，n不可以為4或5，所以m，n為6或7，即m+n＝13．故答案為：13．16．【答案】﹣0.998．【分析】一組成對數據的平均值（，）一定在回歸方程上，可求得m，再利用相關系數r的計算公式算出即可．【解答】解：由條件可得，＝（18+13+10﹣1）＝10，＝（24+34+38+m）＝24+m，（，）一定在回歸方程y＝﹣2x+59.5上，代入解得m＝62，故＝，xiyi＝1192，xi2＝594，yi2＝7020，∴r＝≈﹣0.998．故答案為：﹣0.998．四．解答題（共6小題）17．【答案】（1）證明見解答；（2）．【分析】（1）推導出PA⊥BD，BD⊥AC，從而BD⊥平面PAC．（2）推導出PA⊥CD，AD⊥CD，從而∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，由此能求出平面PCD和平面ABCD夾角的余弦值的大?。窘獯稹孔C明：（1）∵棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．∴PA⊥BD，AB＝＝＝2，∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）∵棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，∵PA＝AD＝2，PA⊥AD，∴∠PDA＝45°，∴cos∠PDA＝cos45°＝，∴平面PCD和平面ABCD夾角的余弦值的大小為．18．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據第4項與第8項的二項式系數相等，列出等式，求出n，再通過二項式展開通項，取x的指數為2，求出項數，代入通項中，求出系數即可；（2）寫出通項，求出前三項的系數，根據等差中項的概念列出等式，解出n，進而求得展開式的中間項即可．【解答】解：（1）因為展開式的第4項與第8項的二項式系數相等，所以，解得n＝10，則展開式通項為＝，令，解得r＝4，代入通項有：，所以x2的系數為；（2）二項式通項為：，所以第一項的系數為：，第二項的系數為：，第三項的系數為：，由于前三項的系數成等差數列，所以，解得n＝8或n＝1，因為至少有前三項，所以n＝1（舍），故n＝8，所以展開式有9項，中間一項為．19．【答案】（1）分布列見解答，；（2）．【分析】（1）根據超幾何分布求出P（X＝4），P（X＝3），P（X＝2）的概率，列出分布列，求出數學期望即可；（2）設A表示穿紅色衣物，則表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝，求出，結合條件概率和計算即可求解．【解答】解：（1）設抽到紅球的個數為X，則X的取值可能為4，3，2，，，，所以X的分布列為：X432P故；（2）設A表示穿紅色衣物，則表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝，因為穿紅色衣物的概率為，則穿藍色衣物的概率為，穿紅色連衣裙的概率為，穿藍色連衣裙的概率為，則當天穿連衣裙的概率為，所以小李同學當天穿連衣裙的概率為．20．【答案】（1）；（2）見解答；（3）有99%的把握認為我國與該國貿易中一天的進口貿易量與出口貿易量有關．【分析】（1）進口貿易與出口貿易均不超過100