初中數(shù)學(xué)八年級上冊等腰三角形練習(xí)題含答案

初中數(shù)學(xué)八年級上冊等腰三角形練習(xí)題含答案

學(xué)校：班級：姓名：考號：

1.已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40。，則這個等腰三角形的底角為（）

A.40°B.7O0或40°C.70°D.40°或100°

2.如圖，在△4BC中，AB=AC,D、E是△力BC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分NB4C,乙EBC=匕E

=60°,若BC=4,BE=2.5,則DE的長是（）

3.已知等邊三角形的邊長為a,則它邊上的高、面積分別是（）

4.如圖，E是等邊△ABC中4c邊上的點(diǎn)，zl=Z2,BE=CD,則△ADE的形狀是

（）

AD

△

RC

A.等腰三角形B.等邊三角形C.不等邊三角形D.不能確定形狀

5.如圖，AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線.若AB=AC,ACAD=20°,則

“CE的度數(shù)是（）

A

BDC

A.20°B.35°C.40°D.70°

6.如圖，在AABC中，4C為直角，乙4=30。，CDLAB^D,若BD=2,則AB的長為

A.8B.6C.4D.2

7.如圖，。。與正六邊形04BCDE的邊O4OE分別交于點(diǎn)F,G,點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn).

若FM=4魚.則點(diǎn)。到FM的距離是（）

A.4B.3V2C.2V6D.4V2

8.等腰三角形的一個角是50。，則它的底角是（）

A.50°B.50°或65°C.80°或65°D.65°

9."三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的.借助如圖所示的"三等分角

儀"能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒。力，。8組成，兩根棒在0點(diǎn)相連

并可繞。轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE,點(diǎn)、D,E可在槽中滑動，若/BDE=75。,則

4CDE的度數(shù)是（）

A.60°B.650C.75°D.80°

10.如圖，在直角三角形ABC中，若4c=90。，。是BC邊上的一點(diǎn)，且AD=2CD,則

試卷第2頁，總39頁

C.120°D.150°

11.等腰三角形的頂角為120。，腰長為20cm,則此三角形底邊上的高為cm.

12.如圖，在△ABC中，力D1BC于點(diǎn)。，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC是等腰

三角形（填一個即可）.

A

13.在AABC中，AB=AC,一腰上的中線將三角形的周長分成12和15的兩部分，則

腰長為.

14.如圖，點(diǎn)力，B,C在00上，乙4=40°,〃？=20°,貝NB=

15.△力BC中，4B=AC,4c邊上的中線BD把△ABC的周長分成15、18兩部分，則

BC=.

16.如圖，已知每個小方格的邊長為1,4、B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請在

圖中找一個格點(diǎn)C，使AABC是等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有個.

A

J

17.如圖，將一副三角尺按如圖所示疊放在一起，若AC=14cm,則陰影部分的面積

r45、

是________cm2,E1)

18.如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動點(diǎn),乙40N=50。,若440P為等腰三角形，則

.

NP0

19.已知一個等腰三角形的頂角為100°,則它的底角為_______.

20.如圖，在等邊△ABC中,。為BC邊上一點(diǎn)，E為4c邊上一點(diǎn)，月.乙4DE=60。,

-

BD=4,CE=%則△ABC的面積為_______.B1DC

21.在等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，若CD==2,過點(diǎn)。作CE//AB,過

點(diǎn)E作EFJ.DE,交BC的延長線于點(diǎn)F,求DF的長.

22.如圖，已知△ABC中，4=90°,AB=AC,BD=BC,AC,BD相交于點(diǎn)E,

試卷第4頁，總39頁

D

乙DCE=乙DBC.RC

(1)求乙CBD的度數(shù)；

(2)求證：CD=CE；

(3)判斷△EAB的面積SAEM與^EDC的面積SA￡%的大小關(guān)系.

23.課本上的一個等腰三角形被墨汁污染了，現(xiàn)在只有它的底邊4B和NB還清楚可見

(如圖所示).請用直尺與圓規(guī)畫出一個與原來形狀一樣的等腰三角形(不寫畫法，保

留畫圖痕跡，寫出最后答案)

A■B

24.如圖，在等邊△4BC中，AB=：8,動點(diǎn)。在射線BC上，將線段4。繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)

60。得到線段4E,連接DE,CE.

亡

8aDC

(1)求乙4EC的度數(shù)；

(2)試猜想線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(3)當(dāng)4ABD的外心位于其一條邊上時，直接寫出BD的值.

25.如圖，力。是等腰三角形ABC的底邊BC上的中線，E,F分別是AB,BD上的中點(diǎn),

請分別作出E,F關(guān)于4。的對稱點(diǎn).

26.如圖，在等邊三角形4BC中，乙B、”的平分線交于。，過。作。。〃力B,OE//AC,

。。和0E分別交BC于點(diǎn)。、E.求證：BD=DE=EC.

27.已知：如圖，點(diǎn)。在等邊三角形力BC的邊4B上，延長BC至點(diǎn)E使CE=4。，連結(jié)

DE交AC與點(diǎn)F；

⑴求證：FD=FE；

(2)過點(diǎn)。作DG_L4c于G,若等邊三角形力BC的邊長為6,求FG的長.

28.如圖，在△ABC中，以AB為邊作等邊AABO(點(diǎn)C、。在邊4B的同側(cè))，連接

CD.若乙ABC=90°,Z.BAC=30°,求NBDC的度數(shù).

試卷第6頁，總39頁

29.如圖，在AABC中，N4CB-NB=90°,NB4C的平分線交BC于點(diǎn)E,NB4C的外角

NC4D的平分線交BC的延長線于點(diǎn)F,試判斷△AEF的形

30.如圖，已知41=42,AD=BD=4,CE1AD,2CE=AC,求CD的長.

31.如圖，44口。是等邊三角形，BO是中線，延長BC至E,CE=CD.

(2)在圖中過。作DF1BE交BE于F,若CF=4,求A4BC的周長.

32.己知：如圖，^Rt/^ABC^,NB=90°,乙4=30°,求證：BC=^AC.

A

33.如圖，已知等邊AABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P至必ABC三邊AB、AC.BC(或其延長線)的

距離分別為刈、后、魚，△ABC的高為也在圖(1)中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，此時危=0,

可得結(jié)論：兒+電+出=兒根據(jù)點(diǎn)P所在的不同位置，試探究下列問題：

在圖(2),(3),(4),(5)中，點(diǎn)P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內(nèi)、△4BC

外.

(1)如圖②，點(diǎn)P在線段MC上，直接寫出心、七、危、無之間的關(guān)系；

(2)如圖③，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，寫出七、電、色、h之間的關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖④，點(diǎn)P在線段MC的延長線上，試猜想b、彷、魚、無之間存在什么關(guān)系？

(直接寫結(jié)論)

(4)如圖⑤，點(diǎn)P在△ABC外，寫出刈、電、色、八之間的關(guān)系，并說明理由.

34.如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，乙4=30。，BC=1.將三角板中30。角的頂

點(diǎn)。放在AB邊上移動，使這個30。角的兩邊分別與△ABC的邊AC,BC相交于點(diǎn)E,F,

且使OE始終與AB垂直.

(1)求證：△BDF是等邊三角形;

試卷第8頁，總39頁

(2)若移動點(diǎn)。使EF〃4B時，求CF的長.

35.在等邊△ABC中，AB=6,。是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線BC上，連接CE,

ADEC=30".求CE的長.

36.已知：如圖，。是△4BC的BC邊的中點(diǎn)，DELAB,DF1ACELCE=DF.

求證：△ABC是等腰三角形.

37.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、力、尸在同一直線上，且4E4C=

/.BAF.

(1)ACE尸是等腰三角形嗎？請說明理由.

(2)想一想：的哪兩條邊之和等于平行四邊形4BC0的周長，并說明理由.

38.在正方形4BC0中，E是CD邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF_LBC于F.

(1)尺規(guī)作圖：在圖中求作點(diǎn)E,使得EF=EC；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)的條件下，連接尸C,求NBCF的度數(shù).

39.如圖，△ABC中，Z.C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按CT

A-B的路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒.問t為何值時，4BCP為

A

等腰三角形？CB

40.如圖，△ABC中，48=AC,點(diǎn)。為邊8c的中點(diǎn)，Z.BAC=110°,求乙8和4B40的

試卷第10頁，總39頁

參考答案與試題解析

初中數(shù)學(xué)八年級上冊等腰三角形練習(xí)題含答案

一、選擇題(本題共計10小題，每題3分，共計30分)

1.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，即可求解.

【解答】

解:①當(dāng)40。是頂角時，則底角為：(180°-40°)-2=70°；

②當(dāng)40。為底角時，另一個底角也是40。；

所以底角的度數(shù)為40。或70。.

故選B.

2.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

含30度角的直角三角形

等邊三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=2.5,DM=1,進(jìn)而得出△BEM為等邊

三角形，從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案.

【解答】

延長交BC于N,

AB=AC,4。平分NB4C,

AN1BC,BN=CN,

■：NEBC=NE=60°,

△BEM為等邊三角形，

BE=2.5,

BM=2.5,

?.-△BEM為等邊三角形，

4EMB=60°,

AN1BC,

：.NDNM=90°,

zJVDM=30°,

11?BC=4,

：.BN=2,

：.NM=2.5-2=0.5,

DM=2NM=1

：.DE=EM-DM=2.5-1=1.5.

3.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

等邊三角形的判定方法

勾股定理

等邊三角形的性質(zhì)

【解析】

作出等邊三角形一邊上的高，利用60。的正弦值可得三角形一邊上的高，乘以邊長除以

2即為等邊三角形的面積.

【解答】

如圖作AD1BC于點(diǎn)D.

V△ABC為等邊三角形，

NB=60°,

AD=ABxsin^B^Ta,

邊長為a的等邊三角形的面積為;xax"a=fa2,

224

4.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

等邊三角形的判定

【解析】

先證得AABEw/kACD,可得ZE=4。，^BAE=Z.CAD=60°,即可證明△4DE是等

邊三角形.

【解答】

解：：△ABC為等邊三角形

AB=AC

Z1=42,BE=CD

△ABE=△ACD

/.AE=ADfZ.BAE=4CAD=60°

△ADE是等邊三角形.

故選B.

5.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)：三線合一

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出NC4B=2ACAD=40。，△B=

乙ACB=1180。-Z.CAB)=70°.再利用角平分線定義即可得出乙4CE=jzXCfi=35。.

【解答】

解：40是AABC的中線，AB=AC,ACAD=20°,

/.CAB=2/.CAD=40°,

試卷第12頁，總39頁

乙B=Z.ACB=j(180°-/.CAB)=70。.

CE是△ABC的角平分線，

Z.ACE=-Z.ACB=35°.

2

故選B.

6.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

含30度角的直角三角形

【解析】

根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出4B=2BC,求出NDCB=30。，求出BC=2BD

4,即可求出答案.

【解答】

解：NC是直角，乙4=30。，

乙B=60°,

CD1AB,

：.ACDB=90",

/.DCB=30°,

BC=2BD=4,

AB=2BC=8.

故選4.

7.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

等邊三角形的性質(zhì)與判定

【解析】

連接OM,作OH1MF,交MF與點(diǎn)、H,根據(jù)正六邊性的性質(zhì)可得出乙4OE=

120。,乙4OM=60。，得出為等邊三角形，再求OH即可.

【解答】

解：...六邊形O4BCDE是正六邊形,

Z.AOE=120°

點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn)

Z.AOM=60°

連接。M,作。"IMF,交MF與點(diǎn)H

c《

△FOM為等邊三角形

vFM=OMZ.OMF=60°

OH=—X4V2=2V6

故答案為：C.

8.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的判定

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

9.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

根據(jù)。C=CC=DE,可得40=4OCC,NDCE=4DEC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知

ADCE=Z0+40C=2/OOC據(jù)三角形的外角性

質(zhì)即可求出NODC數(shù)，進(jìn)而求出ACDE的度數(shù).

【解答】

解：???oc=CD=DE,

Z-0=Z.ODCJZ.DCE=乙DEC,

設(shè)NO=Z.ODC=xf

Z-DCE=乙DEC=2x,

Z-CDE=180°-Z,DCE-乙DEC=180°-4%,

(BDE=75°,

(ODC+"DE+Z.BDE=180°,

EPx+180°-4x+75°=180°,

解得：％=25。，

“DE=180°-4x=80°,

故選D.

10.

【答案】

c

【考點(diǎn)】

含30度角的直角三角形

【解析】

根據(jù)4D=2CD可知NQ4C=30。，再利用三角形外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和即可得

到41DB的度數(shù).

試卷第14頁，總39頁

【解答】

解：ZC=90°,AD=2CD,

：.4CAD=30°,

^ADB=ZC+ACAD=90°+30°=120°,

故選C.

二、填空題（本題共計10小題，每題3分，共計30分）

11.

【答案】

10

【考點(diǎn)】

含30度角的直角三角形

等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

略

12.

【答案】

/W平分NB4C

【考點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)：三線合一

等腰三角形的判定

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：???AD1BC,/W平分NB4C,

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)

可以判定AABC是等腰三角形.

故答案為：4。平分NBAC.

13.

【答案】

8或10

【考點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

如圖，在△力BC中，AB=AC,且4D=BD.設(shè)AB=x,BC=y,根據(jù)題意列方程即

可得到結(jié)論.

【解答】

解：如圖，在△ABC中，AB=AC,且40=BD.

BC

設(shè)4B=x,BC=y,

①當(dāng)AC+AD=15,BD+BC=12時，

則1X+Y=15,4-y=12,

解得x=10,y=7；

②當(dāng)AC+AD=12,BC+BD=15時，

則］x+x=12,1x+y=15,

解得x=8,y=11>

故得這個三角形的三邊長分別為10,10,7或8,8,11,

???腰長為8或10.

故答案為：8或10.

14.

【答案】

60°

【考點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：如圖，連結(jié)。4

OA=OC,

：.NOAC="=20°,

40AB=60",

OA—OB,

/.Z.B=Z-OAB=60°.

故答案為：60。.

15.

【答案】

9或13

【考點(diǎn)】

等腰三角形的判定與性質(zhì)

試卷第16頁，總39頁

【解析】

題中給出了周長關(guān)系，要求底邊長，首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題

中的等量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案.

【解答】

解：設(shè)等腰三角形的底邊長為X,腰長為y,則根據(jù)題意，

x+=15fx+|y=18

解味二2端胃，

得i或〈i

y+-y=18(y+”=15

經(jīng)檢驗(yàn)，這兩組解均能構(gòu)成三角形，所以底邊長為9或13.

故答案為：9或13.

16.

【答案】

8

【考點(diǎn)】

等腰三角形的判定

【解析】

以4點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形可作3個，以B點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形可作3個，以為底

邊的等腰三角形可作2個.

【解答】

如圖，△4BC是等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有8個.

【答案】

98

【考點(diǎn)】

等腰直角三角形

【解析】

根據(jù)BC//DE得出△ACF是等腰直角三角形解答即可.

【解答】

解：■:A/IBC與AADE是直角三角形，

/LACF=/LAED=90°,

BC//DE,

：./-AFC=ZZ)=45°,

AACF是等腰直角三角形，

AC=CF=14,

二陰影部分的面積是=1x14x14=98cm2.

故答案為：98.

18.

【答案】

50。、80°或65

【考點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

此題沒有明確底邊和腰，要分情況求解.

【解答】

解：在P運(yùn)動的過程中有三種情況，分別求解.第一種情況，當(dāng)AO為等腰三角形底邊

時，得|4P=P

???AA=/.AON=50°

第二種情況，當(dāng)P。為等腰三角形底邊時，得AP=A。

/.APO=乙AON=50°

???=80°

第三種情況，當(dāng)AP為等腰三角形底邊時，得po=a。

???A=\(180°-乙AON)=|(180°-50°)=65°故答案為：50°,80°或65°

19.

【答案】

40°

【考點(diǎn)】

等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】

根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等即可得出結(jié)論.

【解答】

解：；一個等腰三角形的頂角為100°,

它的底角=若幽=40。.

故答案為：40。.

20.

【答案】

9V3

【考點(diǎn)】

等邊三角形的判定方法

【解析】

首先由A/WC是等邊三角形，可得NB=4C=41DE=60。，又由三角形外角的性質(zhì)，

求得4WB=乙DEC,即可得△ABDDCE,又由8。=4,CE=%根據(jù)相似三角形

的對應(yīng)邊成比例，即可求得的長，則可求得△4BC的面積.

【解答】

解：，△ABC是等邊三角形,Z.ADE=60°,

NB=NC=AADE=60",AB=BC,

■：^ADB=Z.DAC+Z.C,ADEC=/LADE+Z.DAC,

Z.ADB=乙DEC,

△ABDDCE,

試卷第18頁，總39頁

AB_BD

DC-CE'

4

,/BD=4,CE=-,

3

設(shè)則。C=%-4,

.%_4

—一x-47二T;，

??x-6>

.0.AB=6,

過點(diǎn)4作4FL8C于尸，

在Rt△ABF中，AF=AB-sin600=6Xy=3顯,

SXABC=.4F=：x6x3百=9代.

故答案為：9V3.

三、解答題（本題共計20小題，每題10分，共計200分）

21.

【答案】

解：?：A4BC是等邊三角形，

乙B=UCB=60°,

vDE//AB,

???△￡￡）（:是等邊三角形，

DE=DC=2.

在RMDEF中，

???Z.DEF=90°,ZF=30°,DE=2,

DF=2DE=4.

【考點(diǎn)】

含30度角的直角三角形

等邊三角形的性質(zhì)

平行線的性質(zhì)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：???A/IBC是等邊三角形，

ZB=Z.ACB=60°,

vDE//AB,

???AEDC是等邊三角形，

???DE=DC=2.

在Rt△CEF中，

?1,/LDEF=90°,"=30°,DE=2,

???DF=2DE=4.

22.

【答案】

解：(1)乙4=90。，AB=AC,

：.^ABC=/.ACB=45°；

BD=BC,且4DCE=zOBC(設(shè)為a),

Z.D—Z.DCB—450+a；

由三角形的內(nèi)角和定理得：

a+2(45°+a)=180°,

/.a=30°,即4CBD=

(2)乙DEC=45°+30°=75°,

ND=45°+30°=75°,

乙DEC=乙D,

CD=CE.

(3)如圖，分別過點(diǎn)4、。作DNIBC；

設(shè)B。=BC=Q

AB=AC,AM1BC.

11

BM=CM,AM=-BC=-A；

22

「Z-DBC=30,

DN=-BD=-A,

22

：.AM=DN,

：.△ABC與ADBC的面積相等，

S^EAB=SHEDC-

【考點(diǎn)】

等腰三角形的判定與性質(zhì)

等腰直角三角形

【解析】

(1)證明4。=NDCB=45。+訪運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題.

(2)證明/DEC=ND,即可解決問題.

(3)如圖，作輔助線，證明4M=DN,即可解決問題.

【解答】

解：(1)?1,"=90°,AB=AC,

：.AABC=乙ACB=45"；

BD=BC,且NCCE=NDBC(設(shè)為a),

乙D=乙DCB=45°+a；

由三角形的內(nèi)角和定理得：

a+2(45°+a)=180°,

試卷第20頁，總39頁

D

/.a=30°,即NC8O=30°.B

(2)乙DEC=45°+30°=75°,

"=45°+30°=75°,

乙DEC=乙D,

CD=CE,

(3)如圖，分別過點(diǎn)4、。作AM1BC、DN1BC；

設(shè)BD=BC=入；

■：AB=AC,AM1BC,

BM=CM,AM=\BC=\X

Z.DBC=30,

DN寸D=)

AM=DN,

：.△ABC與△OBC的面積相等,

S^EAB=S^EDJ

23.

【答案】

己知底邊及底邊上的高線作等腰三角形

作線段的垂直平分線

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

作底邊4B的中垂線I,再延長NB的另一邊與4B的中垂線］交于點(diǎn)C,連接4C,則等腰三

角形△CAB滿足條件.

【解答】

解：如圖，△C4B為所作.

24.

【答案】

解：⑴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD=AE.^DAE=60°,

/.△4DE為等邊三角形，

???/.AED=60°；

(2)BD=CE；

證明：:△4BC為等邊三角形，

/.AB=ACf^BAC=60°.

.//.DAE=60°,

Z-DAE=Z-BAC,

Z-BAC—Z-DAC=Z.DAE—Z-DAC,

乙BAD=Z-CAE.

又=AD=AEt

△ABD三AACE,

BD=CE.

(3)當(dāng)4ABD的外心位于其一條邊上時，△4BD為直角三角形.

分為兩種情況：

如圖,當(dāng)乙408=90。時，△40B的外心位于斜邊4B上,

此時BD=4；

如圖，當(dāng)NB4D=90。時，△ADB的外心位于斜邊BD上,

試卷第22頁，總39頁

IE

MBClD

Z.ADB=30°時，

此時BD=2AB=16.

綜上，當(dāng)A4B0的外心位于其一條邊上時，BD的值為4或16.

【考點(diǎn)】

等邊三角形的性質(zhì)與判定

全等三角形的性質(zhì)與判定

三角形的外接圓與外心

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

含30度角的直角三角形

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD=AE,^DAE=60°,

△ADE為等邊三角形，

LAED=60°；

(2)BD=CE；

證明：△ABC為等邊三角形，

AB=AC,Z.BAC=60".

???Z.DAE=60",

Z.DAE=Z.BAC,

Z.BAC-Z.DAC=4DAE—Z.DAC,

4BAD=Z.CAE.

又；AD=AE,

：.△ABDACE,

BD=CE.

(3)當(dāng)4ABD的外心位于其一條邊上時，△力BD為直角三角形.

分為兩種情況：

如圖，當(dāng)NADB=90。時，△力DB的外心位于斜邊AB上，

A

BDc

此時BO=^AB=4；

如圖，當(dāng)NBAD=9(TB寸，△4DB的外心位于斜邊BD上,

^ADB=30。時，

此時8。=2AB=16.

綜上，當(dāng)△ABC的外心位于其一條邊上時，BD的值為4或16.

25.

【答案】

解：；AABC是等腰三角形，4D是BC邊上的中線，

AD垂直平分BC,

又：E,F分別是4B,BD上的中點(diǎn)，

點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)是4C的中點(diǎn)，點(diǎn)戶關(guān)于的對稱點(diǎn)是CC的中點(diǎn),

如圖所示：

【考點(diǎn)】

等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得4C垂直平分BC,從而可得到E,F關(guān)于4D的對

稱點(diǎn).

【解答】

解：；△ABC是等腰三角形，是BC邊上的中線，

4D垂直平分BC,

又；E,尸分別是4B,BD上的中點(diǎn)，

點(diǎn)E關(guān)于4。的對稱點(diǎn)是4c的中點(diǎn)，點(diǎn)F關(guān)于4D的對稱點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，

如圖所示：

試卷第24頁，總39頁

26.

【答案】

解：OD//AB,80平分N4BC,

Z.AB0——Z.B0D—40BD—30°,

OD=BD,乙ODB=120",

乙ODE=60°,

同理可得OE=EC,WED=60°,

△ODE是等邊三角形，

OD=0E=DE,

BD—DE-EC.

【考點(diǎn)】

等邊三角形的判定方法

【解析】

由條件可證明NOB。=NB。。=30。，nJWOO=BD,/.ODB=120°,同理可得OE=

EC,AOED=60°,從而求得△ODE是等邊三角形，得出。。=OE=DE,即可求得結(jié)

論.

【解答】

解：OD//AB,BO平分N4BC,

^ABO=^BOD=AOBD=30",

OD=BD,乙ODB=120°,

Z.ODE=60",

同理可得。E=EC,Z.OED=60",

△ODE是等邊三角形，

OD—OE—DE,

BD=DE=EC.

27.

【答案】

【考點(diǎn)】

等邊三角形的判定

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

28.

【答案】

解：,??△4BD為等邊三角形，

ABAD=AABD=60°,AB=AD,

又；ABAC=30°,

/.AC平分乙BAD,

4c垂直平分BD.

CD=CB,

:.Z.BDC=Z.DBC=乙ABC—乙ABD

=90°-60°=30°.

【考點(diǎn)】

等邊三角形的性質(zhì)

【解析】

【解答】

解：???△力BD為等邊三角形，

ABAD=AABD=60°,AB=AD,

又：乙BAC=30",

AC平分NB4D,

AC垂直平分BD.

CD=CB,

■?Z.BDC=Z.DBC=/.ABC—/.ABD

=90°-60°=30°.

29.

【答案】

解：△4EF是等腰直角三角形；理由如下：如圖所示:

4E平分NB4C,4/平分NC40,

11

??.Z.EAC=AC,Z.FAC=-￡.CAD,

22

,/乙BAC+乙CAD=180°,

Z.EAC+Z.FAC=j^/.BAC+Z.CAD)=90°,

即4EAF=90°,

,/乙ACB—乙B=90°,

乙ACB=90°+48,

Z1=90°一乙B=+ABAC,

zF=|(90°-zMC),

/.Z4=+Z.AEF,

,/AE平分mic,

Z3=Z4=ZF+Z-AEF,

,//-BAC+Z3+Z4=180°,

/.2(48+Z.AEF}+ABAC=2[|(90°-Z-BAC)+Z.AEF]+L.BAC=180°,

^AEF=45°,

Z.AFE=45°,

△/EF是等腰直角三角形.

試卷第26頁，總39頁

【考點(diǎn)】

等腰直角三角形

【解析】

由角平分線的定義和鄰補(bǔ)角關(guān)系證出4E4F=90。，再由已知條件和三角形內(nèi)角和定理

以及三角形的外角性質(zhì)得出NAEF=45。，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：AAE尸是等腰直角三角形；理由如下：如圖所示：

AE平分心BAC,AF平分NCAD,

Z.EAC=-Z.BAC,Z.FAC=-Z.CAD,

22

,/^BAC4-Z-CAD=180°,

/.Z-EAC+Z.FAC=^BAC+zCTlD)=90°,

即乙EAF=90°,

???乙ACB—CB=90°,

乙ACB=90°+NB,

/.Z1=90°一4B=48+Z-BAC,

ZB=|(90°-zB^C),

/.z4=4-Z.AEF,

???AE平分々D4C,

...43=乙4=zlB+/4EF,

,/Z.BAC+Z3+Z4=180°,

/.2(乙B+Z.AEF)+Z-BAC=2[j(90°-/-BAQ+/.AEF]+/-BAC=180°,

???Z,AEF=45°,

^AFE=45°,

是等腰直角三角形.

30.

【答案】

解：在RtMEC中，

..CE_1

?就=1

/.zl=Z2=30°.

AD=BD=4,

/.Z.B=^2=30°,

Z.ACD=180°-30°X3=90°,

/.CD=-AD=2.

2

【考點(diǎn)】

含30度角的直角三角形

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

在Rt△AEC中，由于爺=%可以得到41=42=30°,又4。=BD=4,得到NB=

42=30。，從而求出乙4CD=90。，然后由直角三角形的性質(zhì)求出CD.

【解答】

解：在RtUEC中，

..CE_1

.AC-2，

??.zl=Z2=30°.

,/AD=BD=4,

ZB=Z2=30°,

Z.ACD=180°-30°x3=90°,

??.CD=-AD=2.

2

31.

【答案】

(1)證明：△ABC是等邊三角形，BO是中線,

/ABC=N4CB=60°,

NOBC=30°(等腰三角形三線合一).

又：CE=CD,

/-CDE=Z.CED.

又；LBCD=Z.CDE+乙CED,

Z.CDE=/.CED=-/.BCD=30°.

2

/.Z-DBC=乙DEC.

DB=DE(等角對等邊).

(2)解:如圖，

/.CDE=/.CED=-/.BCD=30°,DF1BE,

2

乙CDF=30°.

CF=4,

???DC=8,

AD=CD,

/.AC=16,

△48。的周長=34。=48.

【考點(diǎn)】

等邊三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形的性質(zhì)：三線合一

含30度角的直角三角形

等邊三角形的性質(zhì)

試卷第28頁，總39頁

【解析】

(1)根據(jù)A4BC是等邊三角形，BD是中線，可知NDBC=30。,由CE=CD,AACD=

60?？汕蟮肗CCE=30。，即4BC=NDCE,則DB=DE；

(2)根據(jù)Rt△DCF^AFCD=30。知CD=2CF=4,即可知4c=8,則可求出△ABC的

周長.

【解答】

(1)證明：Zk/IBC是等邊三角形，BD是中線，

Z.ABC=^ACB=60°,

NOBC=30。(等腰三角形三線合一).

又；CE=CD,

/.CDE=Z.CED.

又：4BCD=/.CDE+MED,

：.乙CDE=Z.CED=-/.BCD=30°.

2

「?Z-DBC=乙DEC.

/.DB=DE(等角對等邊).

(2)解:如圖，

乙CDE=乙CED=-Z.BCD=30",DF1BE,

2

/.乙CDF=30°.

CF=4,

DC=8,

?/AD=CD,

AC=16,

△/8。的周長=3/。=48.

32.

【答案】

證明：如解圖，過點(diǎn)B作乙CBD=60。，交4c于點(diǎn)

A

ZC=180°-30°-90°=60°,

4c=Z.CBD=60°,

???△BCD為等邊三角形，

BC=BD=CD,

在△AB。中，

Z.A=30°,4ABD=90°-60°=30°,

:.AD—BD,

???AD=BD=CD=BC,

：.BC=-AC.

2

【考點(diǎn)】

等邊三角形的性質(zhì)與判定

含30度角的直角三角形

【解析】

此題暫無解析

【解答】

證明：如解圖，過點(diǎn)B作NCBD=60。，交AC于點(diǎn)D,

4c=180°-30°-90°=60°,

ZC=乙CBD=60°,

???ABC。為等邊三角形，

BC=BD=CD,

在△48。中，

,/Z-A=30°,Z.ABD=90°-60°=30°,

:.AD=BD,

AD=BD=CD=BC,

：.BC=-AC.

2

33.

【答案】

(2)/I=/I1+/I2+/I3,如圖2,理由如下:

試卷第30頁，總39頁

連接AP、BP、CPJ則SfBc=S&ABP+S>BPC+S〉A(chǔ)CP

??\BC.AM=\AB-PD+\AC-PF^BC.PE

BpiBC,h=gAB,九1+AC,&+~BC?h2

又丁△力BC是等邊三角形,

BC=AB=AC.

.九=九1+九2+九3；

(3)自一九2=九；如圖3,連接AP,

^LABC=^^PAB-S^pAC，

即泗?AM=^AB.PD-"C.PE,

,/AB=BC=AC,

九i一電=九，

即九1—九2=九；

此時，它們的關(guān)系是+心-

九3=八.

理由如下：如圖4,連接P8,PC,PA

由二角形的面積公式得：SfBC=S^PAB+S"AC—S〉PBC，

?/AB=BC=ACf

九］+電一無3=

口|1九1+九2—九3=九.

【考點(diǎn)】

等邊三角形的判定方法

【解析】

7

(1)連接4P,根據(jù)，480=508。+54”(:可知1804"=248-2。+34。-2/，再把

AB=BC=ACRAM=h,PD=缸,PF=h2,代入即可得出結(jié)論；

(2)連接AP、BP、CP,根據(jù)SA4BC=SMBP+SABPC+SA4CP即可得出結(jié)論；

(3)連接AP,根據(jù)SMBC=SA4BP-SAAPC可知TBC-4M=：4B-PD—：4C-PF,再把

AB=BC=4C及4M=八，PD=缸,PF=h2,代入即可得出結(jié)論;

(4)連接PB,PC,PA,由三角形的面積公式得：S^ABC=S^PAB+ShPAC-S^PBC,即

^BC-AM=-AB-PD+-AC-PE--BC-PF,再由AB=BC=AC即可得出結(jié)論.

【解答】

解：(1)/1=刈+上，理由如下：如圖1，

連接4P,則SA4BC=SfBP+S—PC

-2BC-AM=2-AB-PD+2-AC-PF

^BC-h=-hr+^AC-h2

又；△ABC是等邊三角形

【答案】

(1)證明：?：44=30。，2LACB=90",

:.乙B=60°,

vDE1AB,

???4EDB=90°,

vZ.EDF=30°,

:.乙FDB—60°=乙B?

???/kBOF是等邊三角形.

(2)設(shè)CF為y,則BF=BC-CF=l-y,

???△BD/為等邊三角形，

???DF=BF=1—y.

???EF//AB,

???Z.CEF==30°,Z.DEF+乙BDE=180°.

???^BDE=90°,

???乙DEF=90°.

???Z-CEF=30°,

CF=-2EF.

v4尸DE=30°,

???EF=2-DF,

CF=^EF=^DF,即y=；(l-y),

解得：y=i,

CF=g

試卷第32頁，總39頁

【考點(diǎn)】

等邊三角形的判定

含30度角的直角三角形

等邊三角形的性質(zhì)

【解析】

⑴求出NB=乙FDB=60。，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可;

【解答】

(1)證明：/-A=30°,Z.ACB=90°,

:.乙B=60°,

vDE1AB,

???LEDB=90°,

vZ.EDF=30°,

???乙FDB=60°=乙B,

???△8。尸是等邊三角形.

(2)設(shè)CF為y,則BF=BC-CF=l-y,

v△8。F為等邊三角形，

，DF=BF=1-y.

vEF//AB,

???Z.CEF==30°,Z,DEF+乙BDE=180°.

???/LBDE=90°,

:.乙DEF=90°.

vZCEF=30°,

CF=-2EF.

???Z.FDE=30°,

EF=-2DF,

???CF=^EF=^DF,即y=；(17)，

解得：y=l，

：.CF=1.

35.

【答案】

解：：A/IBC為等邊三角形，AB=6,

AC=BC=AB=6,ZABC=Z.ACB=60°.

???。是邊4c的中點(diǎn)，

BDLAC,CD=-AC=3,

2

LDBC=-/.ABC=30°.

2

如圖,

A

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時，CE=CB=6；

當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，

乙4cB=60°,Z.DEC=30°,

???Z.EDC=Z.ACB-乙DEC=60°-30°=30°,

即㈤)C=乙DEC,

CE=CD=3.

綜上所述，CE的長為6或3.

【考點(diǎn)】

含30度角的直角三角形

等邊三角形的性質(zhì)

等腰三角形的性質(zhì)

【解析】

無

【解答】

解：丫△4BC為等邊三角形，AB=6,

AC=BC=AB=6,AABC=ZACB=60°.

???。是邊4C的中點(diǎn)，

BD1AC,CD=-AC=3,

2

^DBC=-^ABC=30°.

2

如圖，

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，CE=CB=6；

當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，

???44cB=60°,/DEC=30°,

/.EDC=AACB-/.DEC=60°-30°=30°,

即"DC=乙DEC,

CE=CD=3.

綜上所述，CE的長為6或3.

36.

【答案】

證明：:。是的邊的中點(diǎn)

BD=CD

試卷第34頁，總39頁

,/DEA.AB,DFLAC

△8。5和4CDF是直角三角形

在Rt/XBDE和Rt/kCDF中

RD=CD

[DE=DF

：.Rt△BDE=/?t△CDF(HL)

乙B=乙C,

AB=AC，

/.△ABC是等腰三角形.

【考點(diǎn)】

等腰三角形的判定

【解析】

先根據(jù)DE1AC,DFLAB,得出△DEC和DF3是直角三角形，再根據(jù)HL得出Rt?:

BDEPtCDF,證出NC=NB,從而判斷出4ABe的形狀.

【解答】

此題暫無解答

37.

【答案】

解：(l)ZkCEF是等腰三角形.

理由：???四邊形4BCD是平行四邊形,

AB//CD,ADIIBC,

Z.BAF=^.FEC,/.EAD=/.EFC,

又"4D=^BAF,

乙FEC=4EFC

即三角形CEF是等腰三角形.

(2)ACEF中，CE+CF等于平行四邊形ABC。的周長.

理由：/.EAD=Z.FEC,Z.BAF=AEFC

可得。A=DE,BF=BA,

AB+BC+CD+DA=BF+BC+CD+DE=CF+CE.

【考點(diǎn)】

等邊三角形的判定

【解析】

(1)四邊形4BCD是平行四邊形可知AB〃CD,AD//BC,由此可得/凡4B=4FEC,

/.EAD=^EFC,又“AD=NB4F,故可推知/FEC=/EFC,即三角形CE尸是等腰三

角形.

(2)由NE40="EC,NBAF="FC可得DA=OE,BF=BA,進(jìn)一步解決第二個

問題.

【解答】

解：(l)ZiCEF是等腰三角形.

理由：???四邊形4BCD是平行四邊形，

AB11CD,AD//BC,

E

Z.BAF=Z.FEC,Z.EAD=Z.EFC

又上EAD=^BAF,

：.乙FEC