奧數(shù)題 工程問題

六年綜合奧數(shù)題工程問題

1.甲乙兩個水管單獨(dú)開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨(dú)開，排一池水要10小時，若

水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？

解：1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率

9/80x5=45/80表示5小時后進(jìn)水量

1-45/80=35/80表示還要的進(jìn)水量

35/80+(9/80-1/10)=35表示還要35小時注滿

答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。

2.修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，

他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率惟獨(dú)原來的十分之九。

現(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，那末兩隊要合作幾天？

解:由題意得，甲的工效為1/20,乙的工效為1/30,甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲

乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又因為，要求“兩隊合作的天數(shù)盡可能少“，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實在來不及的才應(yīng)該讓甲

乙合作完成。惟獨(dú)這樣才干“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。

設(shè)合作時間為x天,則甲獨(dú)做時間為(16-x)天

1/20*(16-x)+7/100*x=1x=10答：甲乙最短合作10天

3.一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下

的乙還需做6小時完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時？

解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量

(1/4+1/5)x2=9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。

根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作

量為1。

所以1—9/10=1/10表示乙做6-4=2小時的工作量。

1/10+2=1/20表示乙的工作效率。

1+1/20=20小時表示乙單獨(dú)完成需要20小時。

答：乙單獨(dú)完成需要20小時。

4.一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那末恰好用整數(shù)

天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那末完工時間

要比前一種多半天。已知乙單獨(dú)做這項工程需17天完成，甲單獨(dú)做這項工程要多少天完成？

解：由題意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=1

1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲x0.5=1

(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一

種多0.5天)

1/甲=1/乙+1/甲x0.5(因為前面的工作量都相等)

得到1/甲=1/乙x2

又因為1/乙=1/17

所以1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天

5.師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成為了1/2時，徒弟完成為了120個。當(dāng)師傅完成為了任務(wù)時，

徒弟完成為了4/5這批零件共有多少個？

答案為300個

120-(4/5+2)=300個

可以這樣想：師傅第一次完成為了1/2,第二次也是1/2,兩次一共全部完工，那末徒弟第二次后共完成為了

4/5,可以推算出第一次完成為了4/5的一半是2/5,剛好是120個。

6.一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，

平均每人栽幾棵？

答案是15棵

算式：1+(1/6-1/10)=15棵

7.一個池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30

分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙，丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開

甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？

答案45分鐘。

U(1/20+1/30)=12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進(jìn)的

水。

1/2-18=1/36表示甲每分鐘進(jìn)水

最后就是1+(1/20-1/36)=45分鐘。

8.某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天

完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨(dú)做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？

答案為6天

解：由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨(dú)做，恰好如期完

成，”可知：

乙做3天的工作量=甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3

時間比的差是1份

實際時間的差是3天

所以3+(3-2)x2=6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期

方程方法：

[1/X+1/(x+2)]x2+1/(x+2)x(x-2)=1

解得x=6

9.兩根同樣長的蠟燭，點(diǎn)完一根粗蠟燭要2小時，而點(diǎn)完一根細(xì)蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時

點(diǎn)燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點(diǎn)了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細(xì)蠟燭的

倍，問：停電多少分鐘？

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答案為40分鐘。

解：設(shè)停電了x分鐘

根據(jù)題意列方程1-1/120*x=(1-1/60*x)*2解得x=40

二.雞兔同籠問題

1.雞與兔共100只，雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條，問雞與兔各有幾只？

解：4*100=400,400-0=400假設(shè)都是兔子，一共有400只兔子的腳，那末雞的腳為0只，雞的腳比兔子

的腳少400只。

400-28=372實際雞的腳數(shù)比兔子的腳數(shù)只少28只，相差372只，這是為什么？

4+2=6這是因為只要將一只兔子換成一只雞，兔子的總腳數(shù)就會減少4只(從400只變?yōu)?96只)，雞的總

腳數(shù)就會增加2只(從。只到2只)，它們的相差數(shù)就會少4+2=6只(也就是原來的相差數(shù)是400-0=400,

現(xiàn)在的相差數(shù)為396-2=394,相差數(shù)少了400-394=6)

372+6=62表示雞的只數(shù)，也就是說因為假設(shè)中的100只兔子中有62只改為了雞，所以腳的相差數(shù)從400改

為28,一共改了372只

100-62=38表示兔的只數(shù)

三.數(shù)字?jǐn)?shù)位問題

1.把1至2005這2005個自然數(shù)挨次寫下來得到一個多位數(shù)123456789.....2005,這個多位數(shù)除以9余數(shù)是多少？

解：首先研究能被9整除的數(shù)的特點(diǎn)：如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那末這個數(shù)也能被9整除；

如果各個位數(shù)字之和不能被9整除，那末得的余數(shù)就是這個數(shù)除以9得的余數(shù)。

解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

挨次類推：1~1999這些數(shù)的個位上的數(shù)字之和可以被9整除

10-19,辦29……9099這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是

10+20+30+.....+90=450它有能被9整除

同樣的道理，100-900百位上的數(shù)字之和為4500同樣被9整除

也就是說1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個位上的數(shù)字之和可以被9整除；

同樣的道理：1000~1999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個位上的數(shù)字之和可以被9整除(這里千位上

的“1”還沒考慮，同時這里我們少200020012002200320042005

從10005999千位上一共999個“1”的和是999,也能整除；

200020012002200320042005的各位數(shù)字之和是27,也剛好整除。

最后答案為余數(shù)為0。

2.A和B是小于100的兩個非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值…

解：(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)

前面的1不會變了，只需求后面的最小值，此時(A-B)/(A+B)最大。

對于B/(A+B)取最小時，(A+B)/B取最大，

問題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最大值。

(A+B)/B=1+A/B,最大的可能性是A/B=99/1

(A+B)/B=100

(A-B)/(A+B)的最大值是：98/100

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3.已知A.B.C都是非。自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那末它的準(zhǔn)確值是多少？

答案為6.375或者6.4375

因為A/2+B/4+C/16=8A+4B+C/16=6.4,

所以8A+4B+O102.4,由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個整數(shù)，可能是102,也有可能是103。

當(dāng)是102時，102/16=6.375

當(dāng)是103時，103/16=6.4375

4.一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1.如果把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位

數(shù)字對調(diào),得到一個新的三位數(shù)，則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).

答案為476

解：設(shè)原數(shù)個位為a,則十位為a+1,百位為16-2a

根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a-100（16-2a）-10a-a=198

解得a=6,則a+1=716-2a=4

答：原數(shù)為476。

5.一個兩位數(shù)，在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù).

答案為24

解：設(shè)該兩位數(shù)為a,則該三位數(shù)為300+a

7a+24=300+a

a=24

答：該兩位數(shù)為24。

6.把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原數(shù)相加，和恰好是某自然數(shù)的平方，這

個和是多少？

答案為121

解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b,則新兩位數(shù)為10b+a

它們的和就是10a+b+10b+a=11（a+b）

因為這個和是一個平方數(shù)，可以確定a+b=11

因此這個和就是11x11=121

答：它們的和為121。

7.一個六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位，原數(shù)就是新數(shù)的3倍，求原數(shù).

答案為85714

解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2,則新六位數(shù)為2abede（字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數(shù)）

再設(shè)abede（五位數(shù)）為x,則原六位數(shù)就是10x+2,新六位數(shù)就是200000+x

根據(jù)題意得，（200000+x）x3=10X+2

解得x=85714

所以原數(shù)就是857142

答：原數(shù)為857142

8.有一個四位數(shù)，個位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個位數(shù)字與百位數(shù)字互

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換，千位數(shù)字與十位數(shù)字互換，新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).

答案為3963

解：設(shè)原四位數(shù)為abed,則新數(shù)為edab,且d+b=12,a+c=9

根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察

abed2376edab

根據(jù)d+b=12,可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6,

再觀察豎式中的個位，便可以知道惟獨(dú)當(dāng)d=3,b=9；或者d=8,b=4時成立。

先取d=3,b=9代入豎式的百位，可以確定十位上有進(jìn)位。

根據(jù)a+c=9,可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。

再觀察豎式中的十位，便可知惟獨(dú)當(dāng)c=6,a=3時成立。

再代入豎式的千位，成立。

得到：abcd=3963

再取d=8,b=4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。

9.有一個兩位數(shù)，如果用它去除以個位數(shù)字，商為9余數(shù)為6,如果用這個兩位數(shù)除以個位數(shù)字與十位數(shù)字之

和,則商為5余數(shù)為3,求這個兩位數(shù).

解：設(shè)這個兩位數(shù)為ab

10a+b=9b+610a+b=5（a+b）+3

化簡得到一樣：5a+4b=3

由于a、b均為一位整數(shù)

得到a=3或者7,b=3或者8

原數(shù)為33或者78均可以

10.如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分，那末在經(jīng)過28799…99（一共有20個9）分鐘之后的時間將是幾點(diǎn)幾分？

答案是10：20

解：（28799……9（20個9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時間仍然還是10：21,因為事先計

算時加了1分鐘，所以現(xiàn)在時間是10：20

四.羅列組合問題

1.有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（）

A768種B32種C24種D2的10次方中

解：根據(jù)乘法原理，分兩步：

第一步是把5對夫妻看做5個整體，進(jìn)行羅列有5x4x3x2x1=120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相

接的圈，就會產(chǎn)生5個5個重復(fù)，因此實際排法惟獨(dú)120+5=24種。

第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2x2x2x2x2=32種

綜合兩步，就有24x32=768種。

2若把英語單詞hello的字母寫錯了，則可能浮現(xiàn)的錯誤共有（）

A119種B36種C59種D48種

解：5全羅列5*4*3*2*1=120

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有兩個I所以120/2=60

原來有一種正確的所以60-1=59

五.容斥原理問題

1,有100種赤貧.其中含鈣的有68種，含鐵的有43種,那末，同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別

是()

A43,25B32,25C32.15D43,11

解：根據(jù)容斥原理最小值68+43-100=11

最大值就是含鐵的有43種

2.在多元智能大賽的決賽中惟獨(dú)三道題.己知:(1)某校25名學(xué)生參加競賽，每一個學(xué)生至少解出一道題;(2)在

所有沒有解出第一題的學(xué)生中，解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍:(3)只解出第一題的學(xué)

生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1人;(4)只解出一道題的學(xué)生中，有一半沒有解出第一題，那末

只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是()

A,5B,6C,7D,8

解：根據(jù)“每一個人至少答出三題中的一道題''可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題,

只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。

分別設(shè)各類的人數(shù)為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…CD

由(2)知：a2+a23=(a3+a23)……②

由(3)知：a12+a13+a123=a1-l……③

由(4)知：a1=a2+a3.......④

再由②得a23=a2-a3x2......⑤

再由??得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥

然后將④⑤⑥代入①中，整理得到

a2x4+a3=26

由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：

當(dāng)32=6、5、4、3、2、1時，a3=2、6、10、14、18、22

又根據(jù)a23=a2—a3x2……⑤可知：a2>a3

因此，符合條件的惟獨(dú)a2=6,a3=2。

然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,總?cè)藬?shù)=8+6+2+7+2=25,檢驗所有條件均符。

故只解出第二題的學(xué)生人數(shù)a2=6人。

3.一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%、74%、

85%。如果做對三道或者三道以上為合格，那末這次考試的合格率至少是多少？

答案：及格率至少為71%。

假設(shè)一共有100人考試

100-95=5

100-80=20

100-79=21

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100-74=26

100-85=15

5+20+21+26+15=87（表示5題中有1題做錯的最多人數(shù)）

87+3=29（表示5題中有3題做錯的最多人數(shù)，即不及格的人數(shù)最多為29人）

100-29=71（及格的至少人數(shù)，其實都是全對的）

及格率至少為71%

六.抽屜原理、奇偶性問題

1.一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍(lán)、黃四種，問至少要摸出幾只手套才

能保證有3副同色的？

解：可以把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個抽屜里至

少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，至少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。再

根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。

把四種顏色看做4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的

后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此

類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）

答：至少要摸出9只手套，才干保證有3副同色的。

2.有四種顏色的積木若干，每人可任取1-2件，至少有幾個人去取，才干保證有3人能取得徹底一樣？答

案為21

解：每人取1件時有4種不同的取法，每人取2件時，有6種不同的取法.

當(dāng)有11人時,能保證至少有2人取得徹底一樣：

當(dāng)有21人時，才干保證到少有3人取得徹底一樣.

3.某盒子內(nèi)裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍(lán)色，其余是白球和黑球，

為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：至少必須從袋中取出多少只球？

解：需要分情況討論，因為無法確定其中黑球與白球的個數(shù)。

當(dāng)黑球或者白球其中沒有大于或者等于7個的，那末就是：

6*4+10+1=35（個）

如果黑球或者白球其中有等于7個的，那末就是：

6*5+3+1=34（個）

如果黑球或者白球其中有等于8個的，那末就是：

6*5+2+1=33

如果黑球或者白球其中有等于9個的，那末就是：

6*5+1+1=32

4.地上有四堆石子，石子數(shù)分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出1個，然后都放入第

四堆中，那末，能否經(jīng)過若干次操作，使得這四堆石子的個數(shù)都相同？（如果能請說明具體操作，不能

則要說明理由）

不可能。

因為總數(shù)為1+9+15+31=56

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56/4=14

14是一個偶數(shù)

而原來1、9、15、31都是奇數(shù)，取出1個和放入3個也都是奇數(shù)，奇數(shù)加減若干次奇數(shù)后，結(jié)果一定還是奇

數(shù)，不可能得到偶數(shù)(14個)。

七.路程問題

1.狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗己跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠(yuǎn)，

馬可以追上它？

解：

根據(jù)“馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設(shè)馬每步長為7x米，則狗每步長為4x米。

根據(jù)“狗跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7x米=21x米，則狗跑5*4x=20米。

可以得出馬與狗的速度比是21x：20x=21：20

根據(jù)“現(xiàn)在狗已跑出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20=1,現(xiàn)在求馬的

21份是多少路程，就是30-(21-20)x21=630米

2.甲乙輛車同時從ab兩地相對開出，幾小時后再距中點(diǎn)40千米處相遇？已知，甲車行徹底程要8小時，

乙車行徹底程要10小時，求ab兩地相距多少千米？

答案720千米。

由“甲車行徹底程要8小時，乙車行徹底程要10小時”可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份(總路程為18份)，

兩車相差2份。又因為兩車在中點(diǎn)40千米處相遇，說明兩車的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)

+(10-8)x(10+8)=720千米。

3.在一個600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點(diǎn)按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，

若兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點(diǎn)同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔分鐘相遇一

次，兩人跑一圈各要多少分鐘？

答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。

解：600-12=50,表示哥哥、弟弟的速度差

600-4=150,表示哥哥、弟弟的速度和

(50+150)-2=100,表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數(shù)

(150-50)/2=50,表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數(shù)

600+100=6分鐘，表示跑的快者用的時間

600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間

4.慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面

追上來，那末，快車從追上慢車的車尾到徹底超過慢車需要多少時間？

答案為53秒

算式是(140+125)+(22-17)=53秒

可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到徹底超過慢車”就是快車車尾上的點(diǎn)追及慢車車頭的點(diǎn)，因此追

及的路程應(yīng)該為兩個車長的和。

5.在300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒

4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？

答案為100米

第8頁共28頁

300+（5-4.4）=500秒，表示追及時間

5x500=2500米，表示甲追到乙時所行的路程

2500+300=8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。

6.一個人在鐵道邊，聽見遠(yuǎn)處傳來的火車汽笛聲后，在經(jīng)過57秒火車經(jīng)過她前面，已知火車鳴笛時離他

1360米，（軌道是直的），聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數(shù)）

答案為22米/秒

算式：1360-（1360-340+57）或2米/秒

關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車己經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360+340=4秒的

路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。

7.獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔，即將緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，

兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才干追上

兔子。

正確的答案是獵犬至少跑60米才干追上。

解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，

兔子卻能跑3步”可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3=5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比

是2a：5/3a=6：5,也就是說當(dāng)獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完

8.AB兩地，甲乙兩人騎自行車行徹底程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40

分鐘后兩人相遇，相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達(dá)A地比甲到達(dá)B地要晚多少分鐘？

答案：18分鐘

解：設(shè)全程為1,甲的速度為x乙的速度為y

歹！I式40x+40y=1

x:y=5:4

得x=1/72y=1/90

走徹底程甲需72分鐘，乙需90分鐘

故得解

9.甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后即將返回。第

二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千

米？

答案是300千米。

解：通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3

個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲

共走的路程是120*3=360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。

因此360+（1+1/5）=300千米

從A地到B地，甲、乙兩人騎自行車分別需要4小時、6小時，現(xiàn)在甲乙分別AB兩地同時出發(fā)相向而行，相

遇時距AB兩地中點(diǎn)2千米。如果二人分別至B地，A地后都即將折回。第二次相遇點(diǎn)第一次相遇點(diǎn)之間

有（）千米

10.一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩

地間的距離？

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解：(1/6-1/8)+2=1/48表示水速的分率

2+1/48=96千米表示總路程

11.快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知

慢車行徹底程需要8小時，求甲乙兩地的路程。

解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3

時間比為3：4

所以快車行全程的時間為8/4*3=6小時

6*33=198千米

12.小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車，結(jié)果慢了半小吐

已知，騎車每小時12千米，乘車每小時30千米，問:甲乙兩地相距多少千米？

解：把路程看成1,得到時間系數(shù)

去時時間系數(shù)：1/3+12+2/3+30

返回時間系數(shù)：3/5+12+2/5+30

兩者之差：(3/5+12+2/5+30)-(1/3-12+2/3-30)=1/75相當(dāng)于1/2小時

去時時間：1/2x(1/3-12)+1/75和1/2x(2/3+30)1/75

路程：12x(1/2x(1/3-12)+1/75)+30x(1/2x(2/3+30)1/75)=37.5(千米)

八.比例問題

1.甲乙兩人在河邊釣魚，甲釣了三條，乙釣了兩條，正準(zhǔn)備吃,有一個人請求跟他們一起吃，于是三人將五條魚

平分了，為了表示感謝，過路人留下10元，甲、乙怎么分？快快快

答案：甲收8元，乙收2元。

解：

“三人將五條魚平分，客人拿出10元”，可以理解為五條魚總價值為30元，那末每條魚價值6元。

又因為“甲釣了三條“，相當(dāng)于甲吃之前已經(jīng)出資3*6=18元，“乙釣了兩條“，相當(dāng)于乙吃之前己經(jīng)出資2*6

=12元。

而甲乙兩人吃了的價值都是10元，所以

甲還可以收回18-10=8元

乙還可以收回12-10=2元

剛好就是客人出的錢。

2.一種商品，今年的成本比去年增加了10分之1,但仍保持原售價，因此，每份利潤下降了5分之2,那

么，今年這種商品的成本占售價的幾分之幾？

答案22/25

最好畫線段圖思量：

把去年原來成本看成20份，利潤看成5份，則今年的成本提高1/10,就是22份，利潤下降了2/5,今年的利

潤惟獨(dú)3份。增加的成本2份剛好是下降利潤的2份。售價都是25份。

所以，今年的成本占售價的22/25。

3.甲乙兩車分別從A.B兩地出發(fā)，相向而行，出發(fā)時，甲.乙的速度比是5:4,相遇后，甲的速度減少20%,乙的速度

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增加20%,這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙離A地還有10千米，那末AB兩地相距多少千米？

原來甲.乙的速度比是5:4

現(xiàn)在的甲：5x（1-20%）=4

現(xiàn)在的乙：4x（1+20%）4.8

甲到B后，乙離A還有：5-4.8=0.2

總路程：10+0.2x（4+5）=450千米

4.一個圓柱的底面周長減少25%,要使體積增加1/3,現(xiàn)在的高和原來的高度比是多少？

答案為64：27

解：根據(jù)“周長減少25%”，可知周長是原來的3/4,那末半徑也是原來的3/4,則面積是原來的9/16。

根據(jù)“體積增加1/3”，可知體積是原來的4/3。

體積+底面積=高

現(xiàn)在的高是4/3+9/16=64/27,也就是說現(xiàn)在的高是原來的高的64/27

或者現(xiàn)在的高：原來的高=64/27：1=64：27

5.某市場運(yùn)來香蕉、蘋果、橘子和梨四種水果其中橘子、蘋果共30噸香蕉、橘子和梨共45噸。橘子正好

占總數(shù)的13分之2。一共運(yùn)來水果多少噸？

第二題：答案為65噸

橘子+蘋果=30噸香蕉+橘子+梨=45噸所以橘子+蘋果+香蕉+橘子+梨=75噸

橘子+（香蕉+蘋果+橘子+梨）=2/13

說明：橘子是2份，香蕉+蘋果+橘子+梨是13份

橘子+香蕉+蘋果+橘子+梨一共是2+13=15份

過橋問題（1）

1.一列火車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列火車長140米，火車每分鐘行400米，這列火車通過長

江大橋需要多少分鐘？

分析：這道題求的是通過時間。根據(jù)數(shù)量關(guān)系式，我們知道要想求通過時間，就要知道路程和速度。路程

是用橋長加之車長?；疖嚨乃俣仁且阎獥l件。

總路程：（米）通過時間：（分鐘）答：這列火車通過長江大橋需要17.1分鐘。

2.一列火車長200米，全車通過長700米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？

分析與解答：這是一道求車速的過橋問題。我們知道，要想求車速，我們就要知道路程和通過時間這兩個

條件?？梢杂靡阎獥l件橋長和車長求出路程，通過時間也是已知條件，所以車速可以很方便求出。

總路程：（米）火車速度：（米）答：這列火車每秒行30米。

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3.一列火車長240米，這列火車每秒行15米，從車頭進(jìn)山洞到全車出山洞共用20秒，山洞長多少米？

分析與解答：火車過山洞和火車過橋的思路是一樣的。火車頭進(jìn)山洞就相當(dāng)于火車頭上橋；全車出洞就相

當(dāng)于車尾下橋。這道題求山洞的長度也就相當(dāng)于求橋長，我們就必須知道總路程和車長，車長是已知

條件，那末我們就要利用題中所給的車速和通過時間求出總路程。

總路程：山洞長：(米)答：這個山洞長60米。

和倍問題

1.秦奮和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的4倍，問秦奮和媽媽各是多少歲？

我們把秦奮的年齡作為1倍，“媽媽的年齡是秦奮的4倍”，這樣秦奮和媽媽年齡的和就相當(dāng)于秦奮年齡的5

倍是40歲，也就是(4+1)倍，也可以理解為5份是40歲，那末求1倍是多少，接著再求4倍是多少？

(1)秦奮和媽媽年齡倍數(shù)和是：4+1=5(倍)

(2)秦奮的年齡：40+5=8歲

(3)媽媽的年齡：8x4=32歲

綜合：40-(4+1)=8歲8x4=32歲

為了保證此題的正確，驗證

(1)8+32=40歲(2)32+8=4(倍)

計算結(jié)果符合條件，所以解題正確。

2.甲乙兩架飛機(jī)同時從機(jī)場向相反方向飛行，3小時共飛行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它們的速度

各是多少？

已知兩架飛機(jī)3小時共飛行3600千米，就可以求出兩架飛機(jī)每小時飛行的航程，也就是兩架飛機(jī)的速度和。

看圖可知，這個速度和相當(dāng)于乙飛機(jī)速度的3倍，這樣就可以求出乙飛機(jī)的速度，再根據(jù)乙飛機(jī)的速度

求出甲飛機(jī)的速度。

甲乙飛機(jī)的速度分別每小時行800千米、400千米。

3.弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？

思量：(1)哥哥在給弟弟課外書先后，題目中不變的數(shù)量是什么？

(2)要想求哥哥給弟弟多少本課外書，需要知道什么條件？

(3)如果把哥哥剩下的課外書看做1倍，那末這時(哥哥給弟弟課外書后)弟弟的課外書可看做是哥哥剩

下的課外書的幾倍？

思量以上幾個問題的基礎(chǔ)上，再求哥哥應(yīng)該給弟弟多少本課外書。根據(jù)條件需要先求出哥哥剩下多少本課

外書。如果我們把哥哥剩下的課外書看做1倍，那末這時弟弟的課外書可看做是哥哥剩下的課外書的2

倍，也就是兄弟倆共有的倍數(shù)相當(dāng)于哥哥剩下的課外書的3倍，而兄弟倆人課外書的總數(shù)始終是不變的

數(shù)量。

(1)兄弟倆共有課外書的數(shù)量是20+25=45。

(2)哥哥給弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數(shù)是2+1=3。

(3)哥哥剩下的課外書的本數(shù)是45+3=15。

(4)哥哥給弟弟課外書的本數(shù)是25—15=10。

試著列出綜合算式：

4.甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運(yùn)出30噸，給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn)10噸，這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2

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倍，兩個糧庫原來各存糧多少噸？

根據(jù)甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運(yùn)出30噸，給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn)10噸，可求出這時甲、乙兩庫共

存糧多少噸。根據(jù)“這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍”，如果這時把乙?guī)齑婕Z作為1倍，那末甲、乙?guī)焖?/p>

存糧就相當(dāng)于乙存糧的3倍。于是求出這時乙?guī)齑婕Z多少噸，進(jìn)而可求出乙?guī)煸瓉泶婕Z多少噸。最后就

可求出甲庫原來存糧多少噸。

甲庫原存糧130噸，乙?guī)煸婕Z40噸。

列方程組解應(yīng)用題（一）

1.用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或者制盒底43個，一個盒身和兩個盒底配成一個罐頭盒，

現(xiàn)有150張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，才干使盒身與盒底正好配套？

依據(jù)題意可知這個題有兩個未知量，一個是制盒身的鐵皮張數(shù)，一個是制盒底的鐵皮張數(shù)，這樣就可以用

兩個未知數(shù)表示，要求出這兩個未知數(shù)，就要從題目中找出兩個等量關(guān)系，列出兩個方程，組在一起，

就是方程組。

兩個等量關(guān)系是：A做盒身張數(shù)+做盒底的張數(shù)=鐵皮總張數(shù)

B制出的盒身數(shù)“2=制出的盒底數(shù)

用86張白鐵皮做盒身，64張白鐵皮做盒底。

奇數(shù)與偶數(shù)（一）

其實，在日常生活中同學(xué)們就已經(jīng)接觸了不少的奇數(shù)、偶數(shù)。

凡是能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，大于零的偶數(shù)又叫雙數(shù)：凡是不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)，大于零的奇數(shù)又叫單

數(shù)。

因為偶數(shù)是2的倍數(shù)，所以通常用這個式子來表示偶數(shù)（這里是整數(shù)）。因為任何奇數(shù)除以2其余數(shù)都是1,

所以通常用式子來表示奇數(shù)（這里是整數(shù)）。

奇數(shù)和偶數(shù)有許多性質(zhì)，常用的有：

性質(zhì)1兩個偶數(shù)的和或者差仍然是偶數(shù)。

例如：8+4=12,8*4=4等。

兩個奇數(shù)的和或者差也是偶數(shù)。

例如：9+3=12,9-3=6等。

奇數(shù)與偶數(shù)的和或者差是奇數(shù)。

例如：9+4=13,94=5等。

單數(shù)個奇數(shù)的和是奇，雙數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)，幾個偶數(shù)的和仍是偶數(shù)。

性質(zhì)2奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。

偶數(shù)與整數(shù)的積是偶數(shù)。

性質(zhì)3任何一個奇數(shù)一定不等于任何一個偶數(shù)。

1.有5張撲克牌，畫面向上。小明每次翻轉(zhuǎn)其中的4張，那末，他能在翻動若干次后，使5張牌的畫面都向

下嗎？

同學(xué)們可以試驗一下，惟獨(dú)將一張牌翻動奇數(shù)次，才干使它的畫面由向上變?yōu)橄蛳?。要想?張牌的畫面

都向下，那末每張牌都要翻動奇數(shù)次。

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5個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以翻動的總張數(shù)為奇數(shù)時才干使5張牌的牌面都向下。而小明每次翻動4張，不管

翻多少次，翻動的總張數(shù)都是偶數(shù)。

所以無論他翻動多少次，都不能使5張牌畫面都向下。

2.甲盒中放有180個白色圍棋子和181個黑色圍棋子，乙盒中放有181個白色圍棋子，李平每次任意從甲盒

中摸出兩個棋子，如果兩個棋子同色，他就從乙盒中拿出一個白子放入甲盒；如果兩個棋子不同色，

他就把黑子放回甲盒。那末他拿多少后，甲盒中只剩下一個棋子，這個棋子是什么顏色的？

不論李平從甲盒中拿出兩個什么樣的棋子，他總會把一個棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋

子數(shù)就減少一個，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一個棋子。

如果他拿出的是兩個黑子，那末甲盒中的黑子數(shù)就減少兩個。否則甲盒子中的黑子數(shù)不變。也就是說，李

平每次從甲盒子拿出的黑子數(shù)都是偶數(shù)。由于181是奇數(shù)，奇數(shù)減偶數(shù)等于奇數(shù)。所以，甲盒中剩下的

黑子數(shù)應(yīng)是奇數(shù)，而不大于1的奇數(shù)惟獨(dú)1,所以甲盒里剩下的一個棋子應(yīng)該是黑子。

奧賽專題--稱球問題

例1有4堆外表上一樣的球，每堆4個。己知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每一個重10克，次品

球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。

解：挨次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個球，這10個球一起放到天平上去稱，總分量比

100克多幾克，第幾堆就是次品球。

2有27個外表上一樣的球，其中惟獨(dú)一個是次品，分量比正品輕，請你用天平只稱三次(不用祛碼)，把

次品球找出來。

解：第一次：把27個球分為三堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。若天平不平衡，可找

到較輕的一堆；若天平平衡，則剩下來稱的一堆必然較輕，次品必在較輕的一堆中。

第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分成三堆，每堆3個球，按上法稱其中兩堆，又可找出次品在其中

較輕的那一堆。

第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個球中取出2個稱一次，若天平不平衡，則較輕的就是次品，若天平

平衡，則剩下一個未稱的就是次品。

例3把10個外表上一樣的球，其中惟獨(dú)一個是次品，請你用天平只稱三次，把次品找出來。

解：把10個球分成3個、3個、3個、1個四組，將四組球及其分量分別用A、B、C、D表示。把A、B兩組分

別放在天平的兩個盤上去稱，則

(1)若人=8,則A、B中都是正品，再稱B、C。^IIB=C,顯然D中的那個球是次品；如B>C,則次品在C

中且次品比正品輕，再在C中取出2個球來稱，便可得出結(jié)論。如B<C,仿照B>C的情況也可得出結(jié)

論。

(2)若A>B,則C、D中都是正品，再稱B、C,則有B=C,或者B<C(B>C不可能，為什么？2uB=C,

則次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2個球來稱，便可得出結(jié)論；如B<C,仿前也可得出結(jié)論。

(3)若A<B,類似于A>B的情況，可分析得出結(jié)論。

奧賽專題--抽屜原理

【例1】一個小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個月過生日。為什么？

【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽

屜”，把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進(jìn)12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個

蘋果，也就是說，至少有2名同學(xué)在同一個月過生日。

【例2】任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？

【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那末這兩個自然數(shù)的差

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是3的倍數(shù)。而任何一個自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0,或者是1,或者是2,根據(jù)這三種情況，可以把

自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要創(chuàng)造的3個“抽屜”。我們把4個數(shù)看做“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，

必然有一個抽屜里至少有2個數(shù)。換句話說，4個自然數(shù)分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，

那末這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個自然數(shù)，至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就

能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1,只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。

拿走這一雙，尚剩4只，如果再補(bǔ)進(jìn)2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1,又可配成一雙拿走。如果再補(bǔ)進(jìn)2

只，又可取得第3雙。所以，至少要取6+2+2=10只襪子，就一定會配成3雙。

思量：1.能用抽屜原理2,直接得到結(jié)果嗎？

2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應(yīng)取出多少只？

3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？

【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，此外還有3個藍(lán)色球、

2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才干保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？

【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍(lán)色球、2個綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看做三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據(jù)抽屜原理2,只

要取出的球數(shù)多于（4-1）x3=9個，即至少應(yīng)取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜

（同一顏色）里的球。

故總共至少應(yīng)取出10+5=15個球，才干符合要求。

思量：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個'’這樣的問題時，想到它——抽屜原理，這是你

的一條“決勝”之路。

奧賽專題-還原問題

【例1】某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。這時他的存折

上還剩1250元。他原有存款多少元？

【分析】從上面那個“重新包裝”的事例中，我們應(yīng)受到啟示：要想還原，就得反過來做（倒推）。由“第二

次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，從而“余下的一半”是1250+100=1350

（元）

余下的錢（余下一半錢的2倍）是：1350x2=2700（元）

用同樣道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。綜合算式是：

[（1250+100）x2+50]x2=5500（元）

還原問題的普通特點(diǎn)是：已知對某個數(shù)按照一定的順序施行四則運(yùn)算的結(jié)果，或者把一定數(shù)量的物品增加

或者減少的結(jié)果，要求最初（運(yùn)算前或者增減變化前）的數(shù)量。解還原問題，通常應(yīng)當(dāng)按照與運(yùn)算

或者增減變化相反的順序，進(jìn)行相應(yīng)的逆運(yùn)算。

【例2】有26塊磚，兄弟2人爭著去挑，弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看弟弟挑得太多，就

拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行，又

從哥哥那里拿來一半。哥哥不讓，弟弟只好給哥哥5塊，這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少

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塊？

【分析】我們得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少塊。只要解一個“和差問題''就知道：哥哥挑“（26+2）+2W4”

塊，弟弟挑“26-14=12”塊。

提示：解還原問題所作的相應(yīng)的“逆運(yùn)算”是指：加法用減法還原，減法用加法還原，乘法用除法還原，除

法用乘法還原，并且原來是加（減）幾，還原時應(yīng)為減（加）幾，原來是乘（除）以幾，還原時應(yīng)為

除（乘）以幾。

對于一些比較復(fù)雜的還原問題，要學(xué)會列表，借助表格倒推，既能理清數(shù)量關(guān)系，又便于驗算。

奧賽專題--雞兔同籠問題

例1雞兔同籠，頭共46,足共128,雞兔各幾只？

［分析］：如果46只都是兔,一共應(yīng)有4x46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳.如果

用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那末，46只兔里應(yīng)該換進(jìn)幾只雞才干使56只腳的差數(shù)

就沒有了呢？顯然，56+2=28,只要用28只雞去置換28只兔就行了.所以，雞的只數(shù)就是28,兔的只數(shù)

是46-28=18。

解：①雞有多少只？

（4x6-128）+（4-2）

=（184-128）-2

=56+2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答：雞有28只，免有18只。

例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

［分析］:這個例題與前面例題是有區(qū)別的，沒有給出它們腳數(shù)的總和，而是給出了它們腳數(shù)的差.這又如

何解答呢？

假設(shè)100只全是雞，那末腳的總數(shù)是2x100=200（只）這時兔的腳數(shù)為0,雞腳比兔腳多200只，而實際上雞

腳比兔腳多80只.因此，雞腳與兔腳的差數(shù)比已知多了（200-80）=120（只），這是因為把其中的兔換成

了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數(shù)將增加2只，兔的腳數(shù)減少4只.那末，雞腳與兔腳的差數(shù)增加（2+4）

=6（只），所以換成雞的兔子有120+6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）。

解：（2x100-80）+（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：雞與兔分別有80只和20只。

例3紅英小學(xué)三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個班各有多少人？

［分析1］我們設(shè)想，如果條件中三個班人數(shù)同樣多，那末，要求每班有多少人就很容易了.由此得到啟示，

是否可以通過假設(shè)三個班人數(shù)同樣多來分析求解。

結(jié)合下圖可以想，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)相同，以一班為標(biāo)準(zhǔn)，則二班人數(shù)要比實際人數(shù)少5人.

三班人數(shù)要比實際人數(shù)多7-5=2（人）.那末，請你算一算，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)同樣多，三

個班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是多少？

解法1：

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一班：［135-5+（7-5）卜3=132+3

=44（人）

二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）

答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

［分析2］假設(shè)一、三班人數(shù)和二班人數(shù)同樣多，那末，一班人數(shù)比實際要多5人，而三班要比實際人數(shù)多7

人.這時的總?cè)藬?shù)又該是多少？

解法2：（135+5+7）-3=147-3=49（人）

49-5=44（人），49-7=42（人）

答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

例4劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃船，共租了10條船.每條大船坐6人，每條小船坐4人，問大船、小船

各租幾條？

［分析］我們分步來考慮：

①假設(shè)租的10條船都是大船，那末船上應(yīng)該坐6x10=60（人）。

②假設(shè)后的總?cè)藬?shù)比實際人數(shù)多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假設(shè)成坐6人。

③一條小船當(dāng)成大船多出2人，多出的18人是把18+2=9（條）小船當(dāng)成大船。

解：［6x10-（41+1）+（6-4）

=18-2=9（條）10-9=1（條）

答：有9條小船，1條大船。

例5有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；

蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？

［分析］這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、蟬都是6條腿，惟獨(dú)蜘蛛8條腿.因此，

可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動物都是6條腿，則總腿數(shù)為6x18=108（條），所差

118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應(yīng)有（118-108）+（8-6）=5（只）

蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再從翅膀數(shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)

1x13=13（對），比實際數(shù)少20-13=7（對），這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所

差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7+（2-1）=7（只）.

解：①假設(shè)蜘蛛也是6條腿，三種動物共有多少條腿？

6x18=108（條）

②有蜘蛛多少只？

（118-108）+（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蟬共有多少只？

18-5=13（只）

④假設(shè)蜻蜒也是一對翅膀，共有多少對翅膀？1x13=13（對）

⑤蜻蜒多少只？

（20-13）-2-1）=7（只）

答：蜻蜒有7只.

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牛吃草問題

1.一個牧場，草每天勻速生長，每頭牛每天吃的草量相同，17頭牛30天可以將草吃完，19頭牛只需要

24天就可以將草吃完，現(xiàn)有一群牛，吃了6天后，賣掉4頭牛，余下的牛再吃2天就將草吃完。問沒有賣

掉4頭牛之前，這一群牛一共有多少頭？

17x30=510（頭）19x24=456（頭）（510-456）+（30-24）=9（頭）30x17-30x9=240（頭）（6+2）x9=72

（頭）240+72+2x4=320（頭）320+（6+2）=40（頭）

2.一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水。如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池中的水放光；如果打開

8個水龍頭，1小時半就把池中的水放光，現(xiàn)打開13個水龍頭，問要多少時間才干把水池中的水放光（每

個水龍頭每小時放走的水量相同）？

3.甲、乙、丙3個倉庫，各存放著同樣數(shù)量的化肥，甲倉庫用皮帶輸送機(jī)一臺和12個工人，需要5小時才

能把甲倉庫搬空；乙倉庫用一臺皮帶輸送機(jī)和28個工人，需要3小時才干把乙倉庫搬空；丙倉庫有兩臺

皮帶輸送機(jī)，如果要求2小時把丙倉庫搬空，同時還需要多少工人（皮帶輸送機(jī)的功效相同，每一個工

人每小時的搬運(yùn)量相同，皮帶輸送機(jī)與工人同時往處搬運(yùn)化肥）？

1x5=5（臺）12x5=60（A）28x3=84（A）1x3=3（臺）84-60=24（A）24-（5-3）=12（人）1x5x12=60

（人）60+12x5=120（人）2x2x12=48（人）（120-48）+2=36（人）

4.快、中、慢3輛車同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一條公路追趕前面的一個騎車的小偷，這3輛車分別用

6分鐘、10分鐘、12分鐘，追上小偷，現(xiàn)在知道快車的速度是每小時24千米，中車的速度是每小時20

千米，問慢車的速度是多少？。

奧賽專題--列車過橋問題

1、一列長300米的火車以每分1080米的速度通過一座大橋。從車頭開上橋到車尾離開橋一共需3分。這座

大橋長多少米？

2、某人步行的速度為每秒2米.一列火車從后面開來，超過他用了10秒.已知火車長90米.求火車的速度。

3、.在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按

逆時針方向跑，每隔4分