2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集11

《2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集30篇》

在這套習題中，我們僅僅關(guān)注高中數(shù)學知識之間的跨界組合、綜合交匯的

考查。它們也許是數(shù)列與函數(shù)的交匯、也許是函數(shù)與幾何的交匯、也許統(tǒng)計與

圓錐曲線的交匯、也可能是基本不等式與解三角形的交匯……

第11篇

1

1.（2021屆百師聯(lián)盟新高考一輪聯(lián)考）棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為

（）

32

A.12萬B._兀C.8"D.4萬

3

2.（皖，2020屆合肥市高三質(zhì)檢）某校高一年級研究性學習小組利用激光多普勒測速儀實地測量復興號高

鐵在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接

收反射光.當被測物體橫向速度為零時，反射光與探測光頻率相同.當橫向速度不為零時，反射光相對探

測光會發(fā)生頻移f=2win。v\*

p——；一，其中為測速儀測得被測物體的橫向速度，為激光波長，卬為兩束探測光

A

線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵1m處，發(fā)出的激光波長為1550nm（lnm=109m）,

測得某時刻頻移為9.030x109（1/h）,則該時刻高鐵的速度約等于（）

i--40mm7

1激光多普勒測速儀]

Lb/

探測光束1I',『探測光束2

\：/不聚光線lm

/

/版測速度方向,/

A.Okm/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h

列｛a｝滿足：a=\,a=a+a+mn｛m,neN"),若數(shù)列1

3.（皖，2021屆皖江名校高三聯(lián)考）數(shù)

n1tn+nmnJ--r1

7

的前〃項和S>_,則〃最小為（)

"4

A.6B.7C.8D.9

一個物體受到兩個拉力和的作用，已知布|=同=

4.（2021屆百師聯(lián)盟高三聯(lián)考）如圖,EB3N,4N,

兩力方向的夾角為<0<71）,若6和B的合力為E，且耳|〈5N,則6的取值范圍為（）

*]A圜

「無1_Fn2兀1c「2無]

B.，兀C.0,D.,兀

忖勺1!Tf]5」

2

&己知雙曲線_]j=l（a>0力>0）的右焦點為尸，過原點的直線/與雙曲線C交于A，B兩點,

且NAF3=120°,延長AF,交雙曲線C于點M，若“口1=2性尸|，則雙曲線。的離心率為（）

A.B.—C.y/2D.3

33

6天文學中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯（”胴,又名依巴谷）在公元前二

世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850

年，由于光度計在天體光度測量中的應用，英國天文學家普森（加《/。8$?！ǎ┯痔岢隽撕饬刻祗w明暗程度

的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足

m-m^2.50g當-愴4）.其中星等為例的星的亮度為E（i=1,2）.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津

四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的/■倍，則與「最接近的是凈卜較小時，

10'?l+2.3x+2.7d）

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

rr______

7.（皖2021屆六校教育研究會高三聯(lián)考）已知非零向量q,匕滿足#小則審+3〃**—28

的（）.

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.若函數(shù)//（X）（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）在“X）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)/（工）具

有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為.

①/（X）=2T②/（x）=%3③f（x）=f+2④/（x）=Inx

9.（皖，2020屆四校高三聯(lián)考）如圖，在平面四邊形ABC0中，CO=2,sinND4C=叵,

14

27r7i

D=_B=則J四邊形ABC。的面積的最大值為

33

3

10.已知集合A=[xeR\\x+3\+\x-4\<9],B=\yeR\y=4x+_-6,x>0[>,則集合

lXJ

AcB=□.

11.（渝，2021屆重慶一中高三月考）在A4弘中，角A.P.C的對邊分別為a.h,「若h=2。

cos2A+5cos（B+C）=-3,點P是A4EC的重心，且AP=^~,貝Uc=

12.（皖，2020屆安徽四校高三聯(lián)考）如圖，在矩形A3CO中，AB=2AD,E為邊的中點，將DAOE

沿直線DE翻折成△ArDE.若M為線段AC的中點，則在QADE翻折過程中，給出以下命題：

①存在某個位置，使MB〃平面AOE；

②存在某個位置，使。

③線段的長是定值；

④存在某個位置，使M3,平面

AQE.其中所有正確命題的編號是（

）

A.①②B.①③C.②④D.①③④

13.（皖，2021屆六校教育研究會高三聯(lián)考）已知點4,B,C,。在同一個球的球面上，AB=JJ，BC=1,

AC=2,當四面體ABCO的體積的最大值為漢時，這個球的表面積為.

3

<）S+64

14.（皖，2021屆太和一中高三月考）已知等差數(shù)列｛〃｝的前〃項和為S,a=4,S=110,則/

nn210

%

的最小值為（）

1517

A.7B.8C.—D.—

22

15、（皖，2021皖南八校高三聯(lián)考）如圖，已知4ABe為邊長為2的等邊三角形，動點P在

以BC為直徑的半圓上，若AP=/L4B+MC,則2a小的最小值為.

4

《2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集》第11篇參考答案

1.【答案】A

【解析】先求出該球面的半徑R=G，由此能求出該球面的表面積.

【詳解】

???棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，

???該球面的半徑R=2叵=

2

二.該球面的表面積為S=4成2=

12兀.故選A

2.【答案】D

【解析】先計算sin8再根據(jù)所給公式計算v即可.

【詳解】

20x10-30.02

sin否「=

1+(20x10-3)2^4

,2v?

故9.030x109=口工耽°4，

1550x10”

0.04v

即9.03=

1550^.004

故u=9.03x1550^.0004工349982.48米/小時?350km//?，

0.04

故選：D

3.【答案】B

【解析】根據(jù)。=1,a=a+aN"),令爐1,得到。=a+n+l,再利用累加法求

1m+nmnn+1fl

12(11、

得a,進而得到==2

—,再利用裂項相消法求解.

a?+?+1J

【詳解】

因為a=l,a-a+a+加〃(加，〃wN'),

1m+nmn

所以a,l+i=a?+n+1,

5

所以a“=a“_|+〃，

所以a“=/+2+3+4+…+〃，

n(n+1)

=1+2+3+4+...+〃=----x，

2

1211

所以可—/?(/?+1)-In-TTTt),

所以S“=LL+-+L

aaa

I2n

J,111111

=211-2+2_3-n+1

I___-----)

_2n

n+1

7

因為S>_,

n4

所以2"；,

n+14

解得?>7>

故選：B.

4.【答案】B

【解析】利用平行四邊形法則，結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】

如圖所示，由余弦定理得：

同書「+同一一2園園。s（兀-。）=9+16+24cos/25,

TT

解得cosaO,所以二%兀.

2

故選：B.

5.【答案】B

【解析】設(shè)|人b|=能，結(jié)合己知條件和雙曲線的定義求得|加丹，|AF］，|用耳，利用余弦定理列方程,

6

解方程求得。，c,由此求得離心率.

【詳解】

如圖，設(shè)雙曲線C的左焦點為F',連接AU,8F'.設(shè)|AF|=機，則|MF|=2m,|4尸［=2。+加，

|MF|=2a+2〃z.由雙曲線的對稱性可知四邊形AF3F'是平行四邊形，且/產(chǎn)力尸=60。，

i叮十個產(chǎn)卜2產(chǎn)產(chǎn)I—,

則

阿b'「二IAM"IA尸「一“A尸［.cosN尸AM

f3

14c2=m2+(2a+〃7y—〃z(2a+m)a=—m

解得一1P,故e'=3.

即I2a+2〃八2=/3〃z、2+2a+m、2-3m2a+m

c-m

I10

故選：B

6.答案C

7.【答案】B

【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算，由向量的關(guān)系|2。+3*=|3。-2,得到=0可得選項.

【詳解】

rr

因為向量。，。滿本,小卜，所以

一一一一［一一［2］-->2—2--2-*2-—2

|2。+38IT3a_2/?|<=>［2〃+3“3a—2/?|04a+12〃?/7+90=9。一12a?b+4b，

=。,6=0=。_1_。，

|20+3彳=卜4-20是：,1充要條件

故選：B.

8.答案①③④

9.［答案］9G

7

【解析】先在\ACD中利用正弦定理求出AC的長，然后再求出sinNACD,則三角形ACD的面積可求；

然后再在A4cB中，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，求出ABC8C的最大值，則AABC面積的最大值可

求，問題獲解.

【詳解】

在AAC0中，因為8=2,sinND4C=耕

14~T

CDAC2_AC

由止弦定理得sin=sinN"，即sin"，

143

解得AC=2/y.容易求得sin/￡>=/,cos/。=」，cosNDAC=卬.

2214

/.sinZACD=sin(LZ.D-ZDAC)=sin(Z￡>+Z.DAC)=sinZDcosZDAC+cosZDcosZDAC

=平x5T+(—bx

~2IT214「

：.S=1XCDXACXsinZACD=1x2x2r7xP=26.

AACD22~T~

在A48c中，由余弦定理得：AC2=AB2+CB2-2ABDCBCOSZB，

即28=AB?+C4-2ABDCBEiZABnCB-ASnCB=ABTCB,當且僅當A8=CB時取等號,

2

故(例鞏=28，(SGMg28xsinN8=76.

故四邊形ABC。面積的最大值為2出+7出=9節(jié).

故答案為：9^.

10.解析|%+3|+|%-4|<9,利用零點分段法解絕對值不等式。

當x時,TX—3—（4—4）工9即一44X<—3；

當一3<x<4時,x+3-(戈-4)<9即7<9,恒成立；

當丫>4時,x+3+x-4K9,即4<%<5,

綜上所述，4={x|-4<x<5]

又因為y=4%+；—6,%€(0,4-oo),由基本不等式得y>2-6=-2,

8

當％=；時取"一"，所以B=fy|y二一21,故ACB=fx|-2MxW51

11.答案4

12.【答案】B

【解析】取AtD的中點N,證明四邊形MNEB是平行四邊形可得BM//NE,BM=NE,從而可判斷

①③正確，假設(shè)結(jié)論成立得出矛盾，判斷②④錯誤.

【詳解】

(1)取AQ的中點N,連接MN,NE,

則MN〃CD,MN=lCD,

2

又EB/ICD,EB=lAB^)CD,

22

MNHEB,MN=EB,四邊形MNEB是平行四邊形，

故BM//NE,

又