復(fù)變函數(shù) 留數(shù)

第5章留數(shù)

本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解孤立奇點的概念;2.會求可去奇點,本性奇點;3.熟練掌握極點的求法;4.會求留數(shù);5.熟練掌握留數(shù)定理;6.會用留數(shù)定理計算積分;7.了解留數(shù)的一些應(yīng)用;5.1孤立奇點5.1.1孤立奇點的概念5.1.2孤立奇點的分類根據(jù)展開的羅倫級數(shù)的不同情況將孤立奇點作如下分類:1.可去奇點2.極點3.本性奇點5.1孤立奇點5.1.1孤立奇點的概念定義1如果函數(shù)在處不解析,但在的某個去心鄰域內(nèi)處處解析,那末稱為的孤立奇點.1可去奇點定義2如果羅倫級數(shù)中不含的負(fù)冪項,那么孤立奇點稱為的可去奇點.這時在它的孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的羅倫級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù)例如是的可去奇點因為在的去心鄰域內(nèi)的羅倫級數(shù)為2極點定義3如果的羅倫級數(shù)中只有有限多個的負(fù)冪項,且其中關(guān)于的最高冪為,即那么孤立奇點稱為的級極點.3本性奇點定義4如果羅倫級數(shù)中含有無窮多個的負(fù)冪項,那么孤立奇點稱為的本性奇點.5.1.3函數(shù)的零點與極點的關(guān)系定理(1)如果是的級零點,則是的級零點;(2)如果是的級極點,則是的級零點,反過來也成立.例1試求的孤立奇點解因為其中在解析,并且似乎是函數(shù)的二級極點,其實是一級極點.由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點時,不能一看函數(shù)的表面形式就急于做出結(jié)論.例2試求的孤立奇點解:因為其中在解析,并且似乎是函數(shù)的三級極點,其實是二級極點.由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點時,不能一看函數(shù)的表面形式就急于做出結(jié)論.5.2留數(shù)5.2.1留數(shù)概念5.2.2留數(shù)定理定理一(留數(shù)定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個孤立奇點處處解析.是內(nèi)包含諸奇點的任意一條正向簡單閉曲線,則

(5.2.2)一、如果是的可去奇點,那末因為此時在的展開式是泰勒展開式,所以.二、如果是的本性奇點,那末那就往往只能用在展開成羅倫級數(shù)的方法求三、如果是的極點我們有以下三個計算留數(shù)的規(guī)則.規(guī)則1如果是的一級極點，那末

（5.2.3）三、如果是的極點規(guī)則2如果是的級極點，那末

（5.2.4）規(guī)則3設(shè)及在都解析,如果

那么是的一級極點，而

(5.2.5)例3計算積分為正向圓周:解:根據(jù)規(guī)則1,有同理因此例3我們也可用規(guī)則3來求留數(shù):因此例4求在處的留數(shù).解:應(yīng)用規(guī)則3*5.3.1在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)關(guān)于在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)的計算,我們有以下的規(guī)則:規(guī)則4(5.3.3)*5.4.1留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)是一門工程數(shù)學(xué)，在工程技術(shù)上有許多應(yīng)用,復(fù)變函數(shù)在穩(wěn)定平面流場和靜電場以及在工程技術(shù)上都有許多用,由于涉及到許多專業(yè)知識,因此我們在此只簡述一點留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)以及實際問題中往往要求出一些定積分