多元函數微分學

多元函數微分學CalculusofFunctionsofSeveralVariables多元微分幾何應用15多元微分在幾何上的應用一、空間曲線的切線

(TangentLine)

與法平面（NormalPlane）1.曲線的參數方程空間直線參數方程若記直線又可記為2一般地，空間曲線為一連續(xù)映射的象：它可表示為向量式：32.空間曲線的切線和法平面設空間曲線在上可導,設為其上一點，空間曲線在點處的切線方程：即則在點的切向量4請看切向量的形成

5

對稱式

向量式

參數式

光滑或分段光滑的空間曲線在其上任一點些法線共面。此平面稱作曲線在點處的法平面。6空間曲線在點處的法平面方程：

點法式:

由以上可見，求空間曲線上一點處

的切線和法平面，關鍵在確定：

一點

在點的切向量

即7下如何求出切向量

曲線為參數式：

曲線

為兩柱面交面式：問題的難點在曲線

所給形式不同的情況8根據多元隱函數求導法

曲線為一般曲面交面式：9例1求曲線在點處的切線與法平面方程。解為求曲線在的切向量，因10所以曲線在點的切向量于是在點的切線方程為：11而曲線在點的法平面為：即1.曲面的參數方程二、空間曲面的切平面與法線例3圓柱面的參數方程12所以圓柱面的參數方程或

13例4球面的參數方程標準球面的直角坐標方程以下來推導該球面的參數方程，如圖

球面上任一點的向徑：14于是得半徑為R

的球面參數方程：15須注意：

交線(緯線)，得球面的曲線：而當固定

一族圓,為錐面與球面的16得球面的曲線：圓——是球面與射面的交線(經線)。例4

正螺面的參數方程?；蛞蛔逡郧蛐臑閳A心的大17到一條曲線：

,曲面參數方程的一般形式：成曲面S

上的參數曲線網，所有這樣的曲線和曲線構而影射將

平面上的區(qū)域D

變成中的曲面

S.同樣，一條曲線：182.曲面的切平面與法線

1920這說明是個確定了方向的向量,且為曲面在該點切平面的法向量。的切平面

由21過點，方向為的直線。

的法線

切平面方程

(點法式)

法線方程

(對稱式)的切平面和法線，關鍵在確定：

由以上可見，要求空間曲面S上一點處

23曲面上一點

曲面在點的法向量

問題的難點在曲面S所給形式不同的情況下如何求出法向量曲面S

為參數式：24曲面S

為隱函數方程：可以視為參數，的參數式為25曲面S為顯函數：由情況的切平面方程：

26試比較：

全微分的幾何意義——27二元函數全微分的幾何意義28例5求正螺面處的切平面和法線方程.解

先求出在已知點處曲面的法向量曲面點為29故正螺面在該點處的切平面和法線方程分別為：例630解下面用條件極值法求切點(x,y,z),記:點到設

Lagrange

函數為31代入第(4)個方程32(1)所求切平面有兩個即(2)最遠點最近點33作業(yè)—（5月17日）P.101--習題5.6(A)-N.1(3),2,3,6,10(4),

11*;N.17——21.選

(B)—N.1,3,4.

34三、曲率(Curvature)通常曲線的參數方程表示為：曲線的參數方程還有一種以其弧長s為自然參數的向量表示法：的三階導數，且簡單地講，曲率是描述曲線上各點的彎曲程度的一個數量值。以下討論曲線的曲率，總假設r有連續(xù)35度的弧兩端點處切線的夾角因彎曲程度的試問以下兩個圓，哪個圓的彎曲程度更大？經研究發(fā)現，對曲線上不同處，同樣長不同而不同，如對上面的兩個圓，有或36定義(曲率)對以弧長s為自然參數的空間曲線：上各點處的曲率定義為

以下的分析大家將了解的關系，同時將會認識到曲線以弧長s

為自然參數的好處。37命題

設上的單位向量值函數,又設則

證因都可視為單位向量,所以如圖,向量38因此對任意固定的Q,故定理7.1設空間曲線

:為自然參數則的曲率為39證設一致的單位切向量,則由上述命題

等于1(命題)(證完)推論40證因利用及P.82-習題5.5(A).N.4故因而

將的結果代入上式

單位切向量41=0即其中還用到42對平面曲線若以x為參數，相應的曲率公式為請看書上例7.2至例7.4。43平面曲線上一點P處的曲率半徑平面曲線的曲率半徑和曲率圓(密切圓)平面曲線上一點P處的曲率圓圓