復變函數(shù)第一章

復變函數(shù)教材：《復變函數(shù)》(四版)

西安交通大學高等數(shù)學教研室編總學時：30學時教師姓名：王秀蘭

課程介紹研究對象：復變函數(shù)（自變量為復數(shù)的函數(shù)）主要任務：研究復變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容：復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)等?！W習方法：復變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處，但又有不同之點，在學習中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。歷史背景：復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復數(shù)的概念，并且應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面的一些問題。復數(shù)才被人們廣泛承認接受，復變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀奠定的。A.L.Cauchy(1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應用積分和級數(shù)研究復變函數(shù)G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物,經(jīng)過他們的巨大努力，復變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學的許多分支，同時，它在熱力

學，流體力學和電學等方面也得到了很多的應用。二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支的聯(lián)系也日益密切。第一章復數(shù)與復變函數(shù)

◆§1復數(shù)及其運算

◆§2復球面與區(qū)域

◆§3復變函數(shù)

◆§4復變函數(shù)的極限與連續(xù)

一復數(shù)的概念

二復數(shù)表示法

三復數(shù)的運算

四例題

第一節(jié)復數(shù)及其運算一復數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:對虛數(shù)單位的規(guī)定:定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復數(shù)。復數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.

當y=0時,z=x為實數(shù)。當時，z稱為虛數(shù)，特別的x=0時稱為純虛數(shù)。兩復數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等.

復數(shù)z等于0當且僅當它的實部和虛部同時等于0.兩復數(shù)一般不能比較大小.2.復數(shù):二復數(shù)表示法

z=x+iy

稱為復數(shù)的代數(shù)表示形式。1.代數(shù)表示式2.點的表示

復數(shù)z=x+iy

二元有序數(shù)組（x,y）平面上坐標為（x,y）的點。

點的表示：

數(shù)z與點z同義.3.向量表示法

4.三角表示法定義稱向量的長度為復數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值。易見顯然定義當z≠0時以正實軸為始邊,以向量為終邊的角的弧度數(shù)稱為復數(shù)z=x+iy的輻角，記為Argz.當z=0時，輻角不確定。

,

當

定義計算argz(z≠0)

的公式當z落于一,四象限時，不變。

當z落于第二象限時，加。

當z落于第三象限時，減。

●其中，r>0為復數(shù)的模，為復數(shù)的一個輻角，此即為復數(shù)的三角形式。

5.指數(shù)表示法上式即為復數(shù)的指數(shù)表示式。復數(shù)的各種形式之間可相互轉(zhuǎn)化（主要是指代數(shù)形式可化為三角形式和指數(shù)形式），以適應不同問題的需要。三復數(shù)的運算1.加（減）法

由于復數(shù)可以用向量表示，故復數(shù)的加減法滿足平行四邊形（或三角形）法則，2.兩復數(shù)的積

表示兩點之間的距離.設(shè)則即從幾何上看,兩復數(shù)對應的向量分別為兩復數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.3.兩復數(shù)的商定理1可推廣到n個復數(shù)的乘積。

兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.4.復數(shù)的乘冪定義n個相同的復數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）。設(shè)z=reiθ，則zn=rn(cos

nθ+isin

nθ)=rn

einθ。特別地定義5.復數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算---棣莫佛公式問題給定復數(shù)z=rei

，求所有的滿足ωn=z的復數(shù)ω。當z≠0時，有n個不同的ω值與相對應，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，記為當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復出現(xiàn)。根據(jù)棣莫佛公式,

從幾何上看,6.共軛復數(shù)定義若z=x+iy,稱

z=x-iy

為z的共軛復數(shù).性質(zhì)四小結(jié)掌握復數(shù)的有關(guān)概念（如兩復數(shù)相等，復數(shù)的模與輻角等），復數(shù)的各種表示形式及轉(zhuǎn)化方法，復數(shù)的各種運算及法則，理解曲線的復數(shù)形式的方程.四例題例1例2已知

，求

x，y.

例3已知

，求

Argz.

例4已知

，求

z的三角形式和指數(shù)形式.

例5例7引進復數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數(shù)方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形用復數(shù)方程表示:（1）過兩點(j=1,2)的直線；（2）中心在點(0,-1),半徑為2的圓。例8方程表示什么圖形？例9例10（2）復平面上直線方程可寫為第二節(jié)復球面和區(qū)域

◆一復球面

◆二區(qū)域◆三

小結(jié)

一

復球面

1.南極、北極的定義2.復球面的定義

球面上的點,除去北極N外,與復平面內(nèi)的點之間存在著一一對應的關(guān)系.我們可以用球面上的點來表示復數(shù).規(guī)定:復數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復平面上的無窮遠點相對應,記作

.因而球面上的北極N就是復數(shù)無窮大的幾何表示.

球面上的每一個點都有唯一的復數(shù)與之對應,這樣的球面稱為復球面.3.擴充復平面的定義包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面.不包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為有限復平面,或簡稱復平面.對于復數(shù)來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.復球面的優(yōu)點:能將擴充復平面的無窮遠點明顯地表示出來.引入了擴充復平面與無窮遠點，在很多討論中帶來了方便，但本書所謂的平面指的是“有限平面”，點指的是有限平面上的點。二區(qū)域

1.區(qū)域的概念鄰域：復平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內(nèi)部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，設(shè)G是一平面上點集內(nèi)點：

對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點。開集：若G內(nèi)的每一點都是內(nèi)點，則稱G是開集。區(qū)域:

設(shè)D是一個開集，且D是連通的，稱D是一個區(qū)域。外點內(nèi)點D-區(qū)域P連通集:邊界與邊界點:已知點P不屬于D，若點P的任何鄰域中都包含D中的點及不屬于D的點，則稱P是D的邊界點；閉區(qū)域:

區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,有界區(qū)域與無界區(qū)域:若存在R>0,對任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無界。練習：判斷下列區(qū)域是否有界?(1)圓環(huán)域:(2)上半平面:(3)角形域:2.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。重點：設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點。定義：稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。換句話說,簡單曲線自身不相交.z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線簡單閉曲線的性質(zhì)：任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，

t∈[a，b]，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。外部邊界內(nèi)部簡單說，單連通域為無洞區(qū)域，多連通域為有洞區(qū)域3.單連通域與多連通域定義

復平面上的一個區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。單連通域多連通域三小結(jié)

理解區(qū)域的有關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點、開集、邊界點、邊界、區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域理解單連通域與多連通域.了解復球面的有關(guān)概念第三節(jié)復變函數(shù)

◆

一復變函數(shù)概念

◆

二映射

◆三

反函數(shù)

◆四小結(jié)一復變函數(shù)概念

1.復變函數(shù)的定義:3.復變函數(shù)的研究方法2.單(多)值函數(shù)的定義:復變函數(shù)w=f(z)可以看做一元函數(shù)來研究，也可以轉(zhuǎn)化成兩個二元是函數(shù)來研究例1例2二映射

1.引入:2.映射的定義:在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合oxy(z)oxy(z)Gzouv(w)G*w=f(z)ww=f(z)復變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）

在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的對應關(guān)系來表達兩對變量u，v

與x，y

之間的對應關(guān)系，以便在研究和理解復變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。2.映射的象的求法例1是一個非常簡單的映射，已知z平面圖形知w平面的圖形，對于復雜的映射，如何由z平面曲線C求w平面曲線呢？

方法如下：已知(a)若C的直角坐標方程為,則所求且是全同圖形.方程由消去x,y得到.(b)若C的方程為參數(shù)方程則由得的參數(shù)方程例2函數(shù)將下列z平面上曲線（或圖形）映成w平面上什么曲線？例3函數(shù)將下列z平面上曲線映成w平面上什么曲線？

三反函數(shù)例設(shè)z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.四小結(jié)復變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個重點.注意：復變函數(shù)與一元實變函數(shù)的定義完全一樣,只要將后者定義中的“實數(shù)”換為“復數(shù)”就行了.第四節(jié)復變函數(shù)的極限與連續(xù)

◆

一復變函數(shù)的極

◆二復變函數(shù)的連續(xù)性

◆三本節(jié)小結(jié)一復變函數(shù)的極限